【优化方案】2014-2015学年高中数学 第二章 推理与证明(第1课时)课时作业 新人教A版选修2-2

【优化方案】2014-2015学年高中数学 第二章 推理与证明（第1课

时）课时作业 新人教A 版选修2-2

[学业水平训练]

1．给出下面一段演绎推理：

有理数是真分数，大前提

整数是有理数，小前提

整数是真分数．结论

结论显然是错误的，是因为( )

A ．大前提错误

B ．小前提错误

C ．推理形式错误

D ．非以上错误

解析：选A.推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数．

2．指数函数y ＝ax(a ＞1)是R 上的增函数，y ＝2|x|是指数函数，所以y ＝2|x|是R 上的增函数．以上推理( )

A ．大前提错误

B ．小前提错误

C ．推理形式错误

D ．正确

解析：选B.此推理形式正确，但是，函数y ＝2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选B.

3．(2014·三门峡高二检测)在证明f(x)＝2x ＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x ＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x ＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )

A ．①④

B ．②④

C ．①③

D ．②③

解析：选A.根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x ＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x ＋1为增函数，故①④正确．

4．(2014·黄冈高二检测)用演绎推理证明函数y ＝x3是增函数时的小前提是( )

A ．增函数的定义

B ．函数y ＝x3满足增函数的定义

C ．若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)

D ．若x1＞x2，则f(x1)＞f(x2)

解析：选B.“三段论”中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y ＝x3满足增函数的定义，结论是y ＝x3是增函数，故选B.

5．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是( )

A ．a2＜b2＋c2

B ．a2＝b2＋c2

C ．a2＞b2＋c2

D ．a2≤b2＋c2

解析：选C ．由余弦定理的推论cos A ＝b2＋c2－a22bc

，要使∠A 为钝角，当且仅当cos A ＜0，而2bc ＞0.

∴b2＋c2－a2＜0.

∴a ，b ，c 应满足的条件是a2＞b2＋c2. 6．求函数y ＝log2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义，即a≥0，小前提是log2x －2有意义，结论是________．

解析：由三段论的形式可知，结论是log2x －2≥0.

答案：log2x －2≥0

7．用三段论证明函数f(x)＝x ＋1x 在(1，＋∞)上为增函数的过程如下，试将证明过程补充完整：

①______________________大前提

②______________________小前提

③______________________结论

答案：①如果函数f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1，x2，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)在给定区间内是增函数．

②任取x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝ x1－x2 x1x2－1 x1x2

， 由于1＜x1＜x2，故x1－x2＜0，x1x2＞1，

即x1x2－1＞0，所以f(x1)＜f(x2)．

③函数f(x)＝x ＋1x 在(1，＋∞)上为增函数．

8．已知函数f(x)＝a －12x ＋1

，若f(x)为奇函数，则a ＝________. 解析：因为奇函数f(x)在x ＝0处有意义，则f(0)＝0，而奇函数f(x)＝a －12x ＋1

的定义域为R ，所以f(0)＝a －120＋1

＝0. 解得a ＝12.

答案：12

9．将下列演绎推理写成三段论的形式．

(1)一切不能被2整除的数都是奇数，75不能被2整除，所以75是奇数；

(2)三角形的内角和为180°，钝角三角形ABC 的内角和为180°.

解：(1)大前提：一切不能被2整除的数都是奇数；

小前提：75不能被2整除；

结论：75是奇数．

(2)大前提：三角形的内角和为180°；

小前提：钝角三角形ABC 是三角形；

结论：钝角三角形ABC 的内角和为180°.

10. 如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，DE ∥FA ，求证：ED ＝AF.

证明：同位角相等，两条直线平行，

大前提

∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，小前提

所以DF ∥EA.结论

两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提

DE ∥FA ，且DF ∥EA ，小前提

所以四边形AFDE 为平行四边形．结论

平行四边形的对边相等，大前提

ED 和AF 为平行四边形的一组对边，小前提

所以ED ＝AF.结论

[高考水平训练]

1．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)＜0.对任意正数a ，b ，若a ＜b ，则必有( )

A ．bf(a)＜af(b)

B ．af(b)＜bf(a)

C ．af(a)＜f(b)

D ．bf(b)＜f(a)

解析：选B.构造函数F(x)＝xf(x)，

则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)．

由题设条件知F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．

若a ＜b ，则F(a)＞F(b)，即af(a)＞bf(b)．

又f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，

所以bf(a)＞af(a)＞bf(b)＞af(b)．故选B.

2．若不等式ax2＋2ax ＋2＜0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________． 解析：①a ＝0时，有2＜0，显然此不等式解集为?，

②a≠0时需有????? a ＞0Δ≤0?????? a ＞04a2－8a≤0??????

a ＞0，0≤a≤2， 所以0＜a≤2.

综上可知实数a 的取值范围是[0,2]．

答案：[0,2]

3．(2014·石家庄高二检测)求证：在锐角三角形ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C ．

证明：因为在锐角三角形中，A ＋B ＞π2，所以A ＞π2－B ，所以0＜π2－B ＜A ＜π2.

又因为在(0，π2)内，正弦函数是单调递增函数，

所以sin A ＞sin(π2－B)＝cos B ，

即sin A ＞cos B.

同理可证sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A.

把以上三式两端分别相加得sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C ．

4．已知a ，b ，c 是不为1的正数，x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且有ax ＝by ＝cz 和1x ＋1z ＝2y .求证：

a ，

b ，

c 顺次成等比数列．

证明：设ax ＝by ＝cz ＝m(m ＞0)，

则x ＝logam ，y ＝logbm ，z ＝logcm.

故1x ＝logma ，1y ＝logmb ，1z ＝logmC ．

再由1x ＋1z ＝2y ，得logma ＋logmc ＝2logmb. ∴logm(ac)＝logmb2，∴ac ＝b2. 故a ，b ，c 顺次成等比数列．

高中数学选修2-2推理与证明 直接证明与间接证明

2.2.1综合法和分析法 [学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.2.了解分析法和综合法的思维过程和特点.3.会用分析法、综合法证明实际问题. 知识点一综合法 1.定义 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. 2.基本模式 综合法的证明过程如下： 已知条件?…?…?结论 即用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图可表示为： P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Q n?Q 3.综合法的证明格式 因为…，所以…，所以…，…，所以…成立. 思考综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 答案演绎推理. 知识点二分析法 1.分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法. 2.基本模式

用Q 表示要证明的结论，P 表示条件，则分析法可用框图表示为： Q ?P 1→P 1?P 2→P 2?P 3→…→得到一个明显成立的条件 3.分析法的证明格式 要证…，只需证…，只需证…，…，因为…成立，所以…成立. 思考 分析法与综合法有哪些异同点？ 答案 相同点：两者都是直接利用原命题的条件(或结论)，逐步推得命题成立的证明方法——直接证明法.不同点：证法1，由因导果，使用综合法；证法2，执果索因，使用分析法. 题型一 综合法的应用 例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1 b ≥4. 证明 方法一 ∵a ，b 是正数，且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1 ab ≥4. 方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1 b ≥2 1 ab >0， ∴(a ＋b )???? 1a ＋1b ≥4. 又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ≥4. 方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2 b a ·a b ＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号. 反思与感悟 利用综合法证明问题的步骤： (1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法. (2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路. (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法. 跟踪训练1 已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)， 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等. ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.

线面平行与垂直的证明题

线面平行与垂直的证明1：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求证：AC⊥平面B1BDD1； （2）求三棱锥B-ACB1体积． 2：如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点． 求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面BDE． D1 C1 B1 A1 C D B A

3：如图：在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中， ∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，2 1 AD ． （Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明：平面SBC ⊥平面SCD . 4：已知多面体ABCDFE 中， 四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，AF ⊥BF ，平面ABEF ⊥平面ABCD ， O 、M 分别为AB 、FC 的中点，且AB = 2，AD = EF = 1. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面FBC ； （Ⅱ）求证：OM ∥平面DAF .

5：．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是P C的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD； 6：已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相交于AB，点M，N分别在AC和BF上，且 AM=FN. C

求证：MN ‖平面BCE. 7：如图，正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a （1）求证：直线//1B A 平面1ACD （2）求证：平面1ACD ⊥平面D BD 1；

8：如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点， 求证：(1) FD∥平面ABC (2) AF⊥平面EDB. 9：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点， （1）求证：平面A B1D1∥平面EFG; （2）求证：平面AA1C⊥面EFG.

新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结

《推理与证明》知识归纳总结 第一部分 合情推理 学习目标: 了解合情推理的含义(易混点） 理解归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简单的推理(重点、难点） 了解合情推理在数学发展中的作用(难点) 一、知识归纳： 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： 归纳推理: 1．归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． 2．归纳推理的一般步骤: 第一步,通过观察个别情况发现某些相同的性质; 第二步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想）. 思考探究： 1．归纳推理的结论一定正确吗? 2.统计学中,从总体中抽取样本，然后用样本估计总体,是否属归纳推理? 题型1 用归纳推理发现规律 1、观察 < < ；….对于任意正实数,a b , ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a

２、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图． 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图 有7个蜂巢，第三个图有１９个蜂巢，按此规律,以 ()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数．则(4)f =___＿_;()f n =_＿______＿__． 【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式 ［解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f 133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f 总结:处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 类比推理 1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 2.类比推理的一般步骤： 第一步:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; 第二步:用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想． 思考探究: 1．类比推理的结论能作为定理应用吗? 2.(1）圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体? (２)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论? 题型2 用类比推理猜想新的命题 [例]已知正三角形内切圆的半径是高的 13,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手 ［解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=??== ，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=??==即正四面体的内切球的半径是高4 1 总结：(１）不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2）类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

高中数学四大推理方法巧解证明题

高中数学四大推理方法巧解证明题 高中数学四大推理方法巧解证明题 高中数学是数学各种基础知识的总结和归纳，同时也是以前所学到的数学知识的深化和检验。针对高中数学的这一特性，可以通过四大推理方法来进行证明题的解答，不但可以掌握数学知识脉络，也可以把所学到的知识上升到思维层面，使自己可以综合运用数学知识，达到学以致用的目的。 一、合情推理法 在高中数学证明题的解答过程中使用合情推理，有着比较重要的作用以及影响。比较常用的合情推理法就是类比推理法，这是一种从特殊转向特殊的推理方法，两种类似对象间的推理，一个对象有着某个性质，而另一个对象同时也有类似性质。进行类比时，对已知对象性质推理的过程进行充分的考虑，之后类比推导出类比对象性质。高中数学知识的结构很复杂，难度也比其他学科大，而通过合情推理法，并结合多种的思维方法，使学生可以进行思考和分析，也培养了学生对于数学学习的兴趣，提高了学生数学的学习能力。所以，合情推理法是一种很好的解答高中数学证明题的方法。 二、演绎推理法 对于演绎推理法来说，这是一种从一般转向特殊的推理方法，高中数学证明题的证明过程大都是通过演绎推理来证明的，保证演绎推理的前提以及形式正确，就能保证结论是正确的，同时要注意推理的过程具有正确性以及完备性。

三、间接和直接证明法 （一）直接证明法 直接证明法比较常见的就是综合法以及分析法。其中，综合法就是利用已知的条件以及数学定理和公理等，进行推理论证，之后推导出结论成立。综合法也被称作为顺推证法或者由因导果法。而分析法是从结论出发，对结论充分成立的条件进行逐步的寻求，把结论归纳总结成明显成立的一个条件。 （二）间接证明法 间接证明法比较常用的就是反证法，其证明步骤为首先反设，之后归谬，最后存真。首先假设结论不成立，就是把结论反面假设为真，之后的归谬就是在己知条件和反设背景下推理，得出同假设命题相矛盾的结论，最后的存真就是由归谬得出的结果进行反设命题不真的断定，来说明原先结论是成立的。 四、归纳推理法 同上述的推理方法相比较来说，归纳推理法注重对高中数学知识总体的规划，总结和归纳所学到知识。我们都知道，高中数学的知识点比较多，每个知识点之间都有着一定的关系，一道证明题中，可能存在几个知识点，如果同学们不能归纳知识的话，短时间内就不能看出题目中知识点之间的联系，就会严重影响题目的解答。 在高中数学的证明题目中，虽然有限的研究对象比较常见，但是，更为常见的是研究对象众多，一些特定的情况下研究对象可能是无穷的，同学们很难找到突破口。如果同学们把研究对象根据形成的情况

(完整版)线面平行证明的常用方法

线面平行证明的常用方法 张磊 立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨： 方法一：中位线型：找平行线。 例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC 分析： 如图⑴ 如图⑵ 如图⑶ 方法二：构造平行四边形，找平行线 例2、如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE//CF ，求证：AE//平面DCF. 分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 就是平面AEGD 与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 即可。 方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已 知平面平行的平面 例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为菱形， M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：：取OB 中点E ，连接ME ，NE ，只需证平面MEN 平面OCD 。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。 例4、已知正方形ABCD 和正方形ABEF AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE. 如图⑷ 如图⑸ 如图⑹ E B A D C G F F y C B E D A S z _ M _ D _ A B _ O E P E D C B O A B C D E F N M

例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′，C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ； (2)求S △A ′B ′C ′：S △ABC . 方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系 （或找空间一组基底）及平面的法向量。 例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．证明EF ∥平面SAD ； 分析：因为侧棱SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。 证明：如图，建立空间直角坐标系D xyz -． 设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，， 00222a a b E a F ???? ? ????? ，，，，，， 02b EF a ??=- ?? ?u u u r ，，． 因为y 轴垂直与平面SAD ，故可设平面的法向 量为n r =（0，1，0） 则：02b EF n a ??=- ?? ?u u u r r g g ，，（0，1，0）=0 因此 EF n ⊥u u u r r 所以EF ∥平面SAD ．

高中数学选修2-2推理与证明教(学)案及章节测试及答案

推理与证明 一、核心知识 1.合情推理 （1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 （2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式：三段论 “三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 3.直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 （1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 （2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 4反证法 （1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 （2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正

线线平行线面平行面面平行的练习题

线线平行、线面平行、面面平行部分的练习题 1．如图2-3-3所示,已知α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,AB ∥α.求证：ＣＤ∥EF. 2.已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面αI 平面β=b ， 求证//a b ． 3. 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。求证：MN //平面BCE 4．如图2-3-7所示，正三棱柱ABC —A1B1C1中，D 是BC 的中点，试判断A1B 与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论. 5．、已知⊥PA 矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点， 求证：MN//平面PAD. 6.在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点.求证：(1)E 、F 、B 、D 四点共面；（2）面AMN ∥面EFBD. 7．已知在正方体ABCD －1111D C B A 中，M 、N 分别是11D A 、11B A 的中点，在该正方体中作出与平面AMN 平行的平面，并证 明你的结论。

8．已知点 是△ 所在平面外一点，点 ， ， 分 别是△ ，△ ，△ 的重心，求证：平面 平 面 ． 9. 已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证：面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥面ＡＢＣ； (2)求S △A ′B ′C ′： S △ABC . . 10. 如图所示11 1 ABC A B C -中，平面ABC//平面A 1B 1C 1 ， 若D 是棱1 CC 的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使 11//C AB DE 证明你的结论 答案与提示： 1.证明：∵AB β,AB α,又∵AB ∥α,α∩β =CD,∴AB ∥CD,同理ＡＢ∥ＥＦ，∴ＣＤ∥ＥＦ. 2. 证明：经过a 作两个平面γ和δ，与平面α和β分别相交于直线c 和d ， ∵a ∥平面α，a ∥平面β， ∴a ∥c ，a ∥d ，∴c ∥d ， 又∵d ?平面β，c ?平面β， ∴c ∥平面β， d c b a δ γ β α

如何提高新课改下的高中数学课堂教学

如何提高新课改下的高中数学课堂教学 课堂教学是高中数学教学的主阵地，如何提高课堂教学质量和教学方法，已摆在教育工作者面前、亟待解决的重要问题。为了寻求大面积提高数学课堂教学质量的出路，我们数学教研组进行了“分层教学，分类指导”的教学改革研究。下面结合本人的实践谈谈认识和体会，供大家参考。 一、创设课堂情境，让学生主动参与，激发学习兴趣 1.对高中数学课堂教学的认识。当前数学教学现状仍然处在“教师讲，学生听”或“学生练，老师看”或由“教师满堂灌转向学生满堂练”，“依分数论质量”等这个教学应试“怪圈”之中。在这种狭窄的数学思想下的数学教学的问题核心是由于脱离学生的数学实际，培养出的学生只能高分低能。走出这个怪圈的出路何在？高中数学教改实践证实：从学生实际出发进行数学教学是走出应试教学“怪圈”的有效途径。这种数学教学的结构和程序为：以学生的数学实际为教学的起点，将数学知识问题化、活动化，改革过程的评价以利于激起学生的认识冲突吸引学生积极“参与”，从而使学生最终通过其主动构建起自己新的认识结构。 2.对每一学生要有一个清楚的认识。我认为就是以学生已有的知识和经验为基础的认识结构，它主要以包括三个方面的内容。一是学生个体已有的知识性结构，即数学基础知识水平，数学基本技能技巧。数学思维形式，数学思想、策略和观念。二是学生个体已有

的能力性结构，主要是学习能力，包括求知的能力（即思维能力），做事的能力（即解决问题的能力），共同生活的能力（即班集体中共同讨论学习的能力），创造和发展的能力（即创新能力）。三是学生已有的动力性结构，即非智力因素，主要包括兴趣、情感、信心、毅力、意志、习惯、品质等。学生的实际就是数学教学的实际，也是数学的起点和归宿。 3.正确理解教学目的，教学思想要面向学生实际。我认为教师要正确地处理好以下三个关系。第一，数学目标要符合学生的实际。这就是说确定数学目标应该是“让学生跳一跳能摘到桃子”，既不能随意降低目标，又不能主观提高目标。第二，教学思想要面向学生实际。 一是要面向全体学生，大面积提高数学质量，二是要让学生受到全方位的教学教育，即学生不仅要掌握数学知识，学会数学，而且要爱学数学，会学数学并且会用数学。第三，教学内容“同化”学生实际。要使学生能够把每节课的教学内容纳入到自己已有的认识结构中（即同化学生实际），教学内容就应该与纯实际“同化”，即就要把教学的新知识分解为学生已知的知识，半知的知识和未知的知识进行教学。 二、创设情境课堂，转变教学观念，探究课堂教学 1.教师要摸清每一个学生实际，定准教学起点。成功的教学总是以学生为主体，并重视教师的主导作用，而教师发挥的主导作用的

浅析高中数学课堂教学的优化措施

浅析高中数学课堂教学的优化措施 发表时间：2014-08-08T14:05:13.903Z 来源：《教育学文摘》2014年7月总第125期供稿作者：刘胜平 [导读] 高中数学课堂教学发生了翻天覆地的变化，追求课堂效率的高效是所有老师的共同追求。 ◆刘胜平广东省普宁市第二中学515300 摘要：新改革不断深入，高中数学课堂的教学发生了根本的变化，教育教学的重中之重是如何完成高效率课堂。一些教师尚未很好地领会新课标中的教学理念，所以不能有效地运用教学新策略，在教学中就犯了形式主义错误。所以，现在每一位高中数学教师面临并需要解决的教学难题就是如何掌握科学有效的教学方法并提高高中数学课堂教学有效性。 关键词：新课改高中数学课堂教学教学方法 新改革的进行，高中数学课堂教学发生了翻天覆地的变化，追求课堂效率的高效是所有老师的共同追求。但是尽管新课改已进行好几年，很多教师依然没领会新课标中的教学理念，没有运用教学新策略，达不到新课标的新要求。这是我们在进行新课程改革中所面临的难题。 如今高中数学新课程改革到了攻坚的阶段，我们发现课堂教学方法与学习方法已经有了非常大的进步，变成高中生的“自主探究”取代了老师的“填鸭教学”。如今课堂教学更注重让学生学会自主探索，通过合作更好地培养他们的创新精神、合作能力以及实践能力。结合近几年笔者的高中数学教学经验，下面谈谈对这个问题的体会及思考： 一、细化课堂教学目标 课堂教学的指导和方针是教学目标，所有课堂教学活动都要围绕此展开。所以一定要确定科学有效的教学目标，才能使教学组织有条不紊地进行。因为高中数学课程的系统较初中要更强一些，知识板块的联系非常紧密，我们一定要对高中数学教材的内容进行深入分析，再把它细化到课堂的每个环节当中。所以我们一定要对每一节课的内容有具体的了解，并要懂得所讲这些内容和前面所讲的有什么联系、与后面的知识有什么联系，抓住教学中的重点和难点，并综合高中生的具体情况，有效地制定出各个课时的教学目标。要抓重突难，把有限的时间用来解决最核心的问题，让每一节课的教学能够科学有效地进行。提高高中数学课堂教学效率的前提是细化教学目标。 二、优化组合教学内容 教科书是适用性很强的教学材料，但内容不同，所以它不能满足不同层次的学生。我们如果仅仅是照本宣科，一定无法激发高中生的求知欲与学习兴趣，必然影响他们的智力发展以及创新能力的培养。我们要以教学内容和高中生的具体情况为依据，对教科书中的内容进行优化重组，化静态知识为动态知识。优化教材内容，不仅可以让高中生借助之前的知识主动积极地参与探究新知，而且有利于高中生智力和能力的锻炼，让课堂效率都能达到事半功倍的功效。 三、选择科学、有效的教学方法 课堂教学的形式和方法多种多样，教学有法，贵在得法。我们要以教学内容和学生的具体情况为依据，进而采用行之有效的教学方法，比如高一学生注重直观教学法，高二学生注重探究教学法。无论选用哪一种教学方法，我们都要以激发高中生学习数学的积极性与兴趣为出发点，因为这是高中生学习中最重要、最活跃的成分。我们要做到三点——新、趣、异，务必要利用好多媒体技术等辅助性教学器材，使所学内容更为形象化。多媒体技术光、色、声的变化，能给高中生制造一种新奇感，吸引他们的注意力并激发学习兴趣。比如：教高中生用电脑绘制组合图形，用多媒体向他们展现生活中的柱体与锥体图形，慢慢引入本课教学内容。这样能够激发他们潜在的认知兴趣，让他们有一个清晰的认知，可以深刻牢固地理解教学内容。 引发高中生最强烈的学习动机是自我实现的需要。所以在课堂教学中，我们要从激发他们获得成功的需求入手，用引导性的言语并创设情境以及巧设悬念达到强化他们自我表现的意识。通过自己的深思后获取新识，更能体验成功的快感。高中生寻找并发现问题的过程，就是一个获取新知的过程。要选择行之有效的教学方法，方能实现高中生愿学、乐学的高效教学目标。 四、及时做课堂教学效果的反馈 课堂活动是一个双向活动，是由师生双方一起进行的双向活动，课堂教学是一个动态的系统，反馈则是对控制的一种好方法。学生是课堂教学的主体，他们的反馈能检验教学效果。高中生信息反馈一定要及时全面，保证信息的准确，从而科学有效地调控课堂教学目标，提高课堂教学效率。 五、强化对课堂教学的管理 课堂教学的管理是一个持续时间长、内容复杂的工程，是课堂效率的保证。所以我们务必要具备强有力的的组织与管理能力，只有这样才能实现提高课堂教学效率的目标。我们要营造民主、宽松的教学氛围，这是重要条件之一；要建立平等的师生关系，让所有高中生都获得关爱。在爱的氛围中，高中生的聪明才智才能得到发挥，才能够最终达到高效率的课堂教学。 总而言之，随着新课程改革在高中教学中的不断深入，高中数学课堂教学已经发生了翻天覆地的变化。打造科学高效的课堂是教育教学的重中之重，充分发挥学生的能力并激发他们的学习动力是新时期对教师的新要求。高中数学教师一定要将教学目标细化、教学内容优化，科学地选择教学方法，及时做好课堂教学反馈并加强多课堂教学管理，只有这样，才能真正打造高效课堂。 参考文献 [1]姚桂香高中数学课堂教学的优化策略探寻——基于新课标实施背景下的思考[J].课程教育研究，2013，(28)。 [2]陈杰龙高中数学教学中学生预习与听课的优化策略[J].语数外学习(高考数学)，2012，(03)。

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

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立体几何线面、面面平行的证明

Q D C B A P C 1 B 1 A 1D 1 D C B A D A 1 C 1 C B 1 B 理科数学复习专题 立体几何 线面平行与面面平行专题复习 【题型总结】 题型一 小题：判断正误 1. a 、b 、c 是直线，,,αβγ是平面，下列命题正确的是_____________ α αβ βααβαβαγαγββααα////a ,//a //a //,//a ////a ,//a ////,////a //,//a //a //,//a b b b b c c b b 则⑥则⑤则④则③则②则① 归纳：_______________________________________ 题型二 线面平行的判定 1、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，E 、F 分别是ＰＢ，ＰＣ的中点，求证：EF 归纳： 3、在正方体中，Ｅ，Ｆ分别为C1D1和BC 的中点， 求证： FE 1111111//. ABCD A B C D AB D C BC -在正方体中，求证：平面平面11111111111,,:(1)//;(2)//. ABC A B C D AC BC AB D D AC B DA BC D -2、如图已知正三棱柱中，点为的中点求证平面为的中点，求证：平面平面111ABC A B C -AB AC =,,M N P 11,,BC CC BB 1//A N AMP

【综合练习】 一、选择题 1、直线和平面平行是指该直线与平面内的（ ） (A)一条直线不相交 (B)两条直线不相交 (C)无数条直线不相交(D)任意一条直线都不相交 2、已知a b ||,αα?，则必有（ ） ()||(),A a b B a b 异面 (),C a b 相交 (),D a b 平行或异面 3、若直线a,b 都与平面?平行，则a 和b 的位置关系是（ ） (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或相交或是异面直线 4.已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ?α；④α⊥β；⑤α∥β.为使m ∥β，应选择下面四个选项中的 ( ) A ．①④ B ．①⑤ C ．②⑤ D ．③⑤ 5．下列命题正确的是 （ ） A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行 B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行 C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行 D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面 6. 以下命题（其中a ，b 表示直线，?表示平面） ①若a ∥b ，b ??，则a ∥? ②若a ∥?，b ∥?，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥?，则a ∥? ④若a ∥?，b ??，则a ∥b 其中正确命题的个数是 （ ） 个 个 个 个 二、解答题 1．如图，E D ,分别是正三棱柱111ABC A B C -的棱1AA 、11B C 的中点， 求证：1//A E 平面1BDC ； 2、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=1，点E 是PC 的中点，作EF PB 交PB 于点

高中数学新课改的实践体会和教法优化.doc

高中数学新课改的实践体会和教法优化- 【摘要】高中数学新课程标准更多地强调学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题，本文就如何激起学生的学习兴趣，优化课堂结构，改进教学方法，重视培养和提高数学思维、如何优化课堂结构提高课堂效果等问题，进行相关探讨。 【关键词】高中数学；创设情境；优化结构；数学思维 课堂教学是学生在校期间学习科学文化知识的主阵地，也是对学生进行思想品德教育的主渠道。课堂学习是学生获得知识与技能的主要途径，因此，教学质量的好坏，主要取决于课堂教学质量的好坏。怎样才能较好地提高中学数学课堂教学质量？我根据多年的高中数学教学经验以及新课改的一些实践体会认为：必须激起学生的学习兴趣，优化课堂结构，改进教学方法，重视培养和提高数学思维。 一、创设多彩的教学情境，激发学生的学习兴趣 新课程标准更多地强调学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题，主动地运用数学知识分析生活现象，自主地解决生活中的实际问题。如何达到这个目标？心理学家认为，兴趣是人们力求认识某种事物或爱好某种活动的倾向，兴趣的功效之一就是能对正在进行的活动起推动作用，学生的学习兴趣和自觉性是构成学习动机的重要成分。所以在教学中我们要以学生已有的知识和生活经验作为数学教学的资源，设计学生感兴趣的丰富多彩的教学情境，使学生感受到数学并不是枯燥无味且没多大用处的，而是与生活的联系紧密。为此，可以与学生多交流，了解他们喜欢什么，对什么感兴趣。通过学生所了解、熟悉的社会实际问题（如环境问题、治理垃圾问题、旅游问题等），为学生创设生动活泼

的探究知识的情境，从而充分调动学生学习数学知识的积极性，激发学生的学习热情。例如在讲循环结构时引进电脑病毒事件“熊猫病毒”，一开始就“引人入胜”，产生好奇心，并由此产生求知欲望与热情，对理解内容起到了良好的作用。 及时地进行表扬与鼓励，是提高学习兴趣的重要方法。课堂教学中，要对同学们的热情态度和取得的成绩给予正确的评价和适当的鼓励。如在讲完一个概念后，让学生复述，并回答概念的内涵和外延；讲完一个例题后，让学生归纳其解法，运用了哪些数学思想和方法。对于基础差的学生，可以对他们多提一些基础问题，让他们有较多的锻炼机会。同时，教师要鼓励学生大胆提问，耐心细致地回答学生提出的问题，并给予及时的肯定和表扬，增强学生提问的勇气和信心。 当学生的作业做得很好时，当学生的解题方法新颖时，当学生的成绩有进步时，当学生表现出刻苦钻研精神时，都要给予适度的表扬，以增强学习信心，达到表扬一个人，激励一大片的目的。 二、优化课堂结构，提高课堂时间的利用率 数学课堂教学一般有复习、引入、传授、反馈、深化、小结、作业布置等过程，如何恰当地把各部分进行搭配与排列，设计合理的课堂教学层次，充分利用课堂时间，是上好一节数学课的最重要的因素。 设计课堂层次时，必须重视认知过程的完整性，要回归认识的最初，也就是要遵循人们认识事物的规律。由于人们认识事物的过程是一个渐进的过程，因此，要努力做到使教学层次的展开符合学生的认知规律，使教师的教与学生的学两方面的活动协调和谐。在组织课堂教学时，当同学初步获取教师所传授的知识

2019-2020年高中数学选修1-2合情推理

2019-2020年高中数学选修1-2合情推理 教学目标： 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 教学重点： 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 教学过程 一、引入新课 1归纳推理 (一)什么是归纳推理 归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。 拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。这里就有着归纳推理的运用。 (二)归纳推理与演绎推理的区别和联系 归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般。其实，从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实。而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的。也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。 归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的，两者互相依赖、互为补充，比如说，演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来，从这个意义上我们可以说，没有归纳推理也就没有演绎推理。当然，归纳推理也离不开演绎推理。比如，归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的，这只有借助于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导，而这本身就是一种演绎活动。而且，单靠归纳推理是不能证明必然性的，因此，在归纳推理的过程中，人们常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证。从这个意义上我们也可以说，没有演绎推理也就不可能有归纳推理。 (三)观察与实验 归纳推理是一种由特殊性知识的前提得出一般性知识的结论的推理。当然，人们在进行归纳推理的时候，总是先要搜集到一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的知识作为前提，

立体几何线面平行垂直,线面角二面角的证明方法

A P B C E D 一：线面平行的证明方法： 1、用“近似平行法”先找到面上与已知直线平行的直线（一般为表示面的三角形的边界直线，或三角形某边上的中线） 看找到的这条线与已知线的长度关系，1）若相等应该构造平行四边形；2）若不相等一般利用三角形中位线的性质（将这两个不相等的线段的端点连结并延长即会出现关键三角形）。 2、若既不能构造平行四边形也不能性用中位线性质，则应再构造一个此直线所在的平面，证明此平面与已知平面平行（先证面面平行，推出线面平行） 例一：如图，已知菱形ABCD ，其边长为2， 60BAD ∠= ，ABD ?绕着BD 顺时针旋转120 得到PBD ?，M 是PC 的中点． （1）求证：//PA 平面MBD ； （2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值． 例二：已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 、 边 长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是 棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ； （2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离． 例三：如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点， 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ． 二：线面垂直的证明方法： 通过线线垂直，证明线面垂直 1） 利用勾股定理逆定理及三角形中两个角和为90°； 2） 利用等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂 直等； 3） 通过线面垂直，反推线线垂直； 4） 利用面面垂直的性质，证明垂直于交线即垂直于另一个平面。 例四：如图,四边形ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB=4a ，BC= CF=2a,P 为AB 的中点. (1)求证：平面PCF ⊥平面PDE ； (2)求四面体PCEF 的体积. C

高二数学选择进修2-2第二章推理与证明

高二数学选修2-2第二章推理与证明 1、 下列表述正确的是（ ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤. 2、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“ a b a b c c c +=+ （c ≠0） ” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ?/平面α，直线a ≠ ?平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的， 这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。 (A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度； (C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。 5、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1=a a n --+112 ， (a ≠1，n ∈N)”时，在验证n=1 成立时，左边应该是 （ ） (A)1 (B)1＋a (C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 3 7、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时

线面平行证明常用方法

线面平行证明的常用方法 方法一：两平行线能确定一个平面，过已知直线的两个端点作两条平 行线使它们与已知平面相交，关键：找平行线，使得所作平面与已知平面的交线。 （08浙江卷）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=?90,AD=3,EF=2。求证：AE//平面DCF. 分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG 可得四边形BCGE 为矩形， 又ABCD 为矩形， 所以AD EG ∥，从而四边形ADGE 故AE DG ∥． 因为AE ?平面DCF ，DG ?平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ． 方法二：直线与直线外一点有且仅有一个平面，关键：找第三个点, 使得所作平面与已知平面的交线。 （06北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC . 分析：由D 、P 、B 三点的平面与已知平面AEC 的交线最易找，第三个点选其它的点均不好找交线. 证明：连接BD ，与 AC 相交于 O ，连接 ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 ∴EO ∥PB. 又 PB ?平面 AEC ，EO ?平面 AEC ， ∴PB ∥平面 AEC.

方法三：两个平面是平行, 其中一个平面内的直线和另一个平面平行, 关键：作平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面 （０８安徽卷）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形， 4 ABC π∠=, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：M 为OA 的中点,找OA(或AD)中点,再连线。 证明：取OB 中点E ，连接ME ，NE ME CD ME CD ∴，‖AB,AB ‖‖ 又,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖ MN OCD ∴平面‖