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高一数学基础练习专题15.不等式的基本性质及解法

15.专题：不等式的基本性质与不等式的解法

一、选择题

1．已知R d c b a ∈,,,,则下列选项正确的是（）

C 2

3．设log 2log 20a b <<，则（）

（A ）01a b <<< （B ）01b a <<< （C ）1b a << （D ） 1a b <<

4．三个数0.73a =，30.7b =，3log 0.7c =的大小顺序为（） A.b c a << B.b a c << C.c a b << D.c b a <<

5．若不等式0)(2

>--=c x ax x f 的解集为()2,1-，则函数)(x f y =的图像为( )

6．若不等式240ax bx +->的解集是{}12x <<，则a b +的值是（） A 、4 B

、3 C 、2

D 、1

7．若01a <<，则不等式）

A B C

D 8．、设f(x),g(x)定

义域都是R,且f(x)≥0解为[)，

解集为φ0)(,2,1≥x g 则不等式

)()(x g x f ?>0解集为（）

A [1,2)

B R

C φ

D [)+∞?∞,2)1,( 9．已知m ，n 之间的大小关系是（） A ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

）

C. 1a <

D.1a >

11．

（）

A.}1|{>x x

B.}1|{≥x x

C.}11|{-=≥x x x 或

D.}11|{=-≥x x x 或

） A 13的解为31x

-<<-或2x >，

则a 的取值为（） A C D ．－2

14．不等式

>--x x 的解集是（） A.)1,2(- B. ),2(+∞ C. )1,2(-),2(+∞? D.

)2,(--∞),1(

+∞?

二、填空题 15a,b,c 的大小关系是．

16．已知?

??<-≥=0,10

,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++?+≤的解集是。

17>”或“<”）

18．设偶函数()f x 满足()24(0)x

f x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为 .

三、解答题

19．本小题满分12分)

解关于x 的不等式541+-a ，且1≠a ）.

20．解关于x 的不等式

01)1(2<++-x a ax ．()a R ∈

21．本小题满分14分）若不等式012≥++ax x 对恒成立，求a 的最小值.

22．解下列不等式：若不等式04)2(2)2(2

<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，试确定实数a 的取值范围．

23．解不等式：.1)1(log )2(log 2

-->--x x x a a

15.专题：不等式的基本性质与不等式的解法参考答案

1．C 试题分析：A 项错误，反例0m =；B 项错误，反例0c <；C 项同向不等式相加性；D 项错误，反例1,1a b ==-

2．D 试题分析：根据题意，故可知a 最大排除A,B 然后看c

3．B 试题分析：借助于对数函数的图象。因为log 2log 20a b <<，所以01b a <<<，故选B 。

4．D 试题分析：0.73a =031>=.30.7b =00.71<=,3log 0.7c =3log 10<=，所以

c b a <<.

5．B 试题分析：因为不等式0)(2

>--=c x ax x f 的解集为()2,1-，所以0,a <且2,1-为

方程20ax x c --=的两个根，所以函数图象为开口向下的抛物线，且与x 轴的交点为

()()

2,0,1,0.-

6．A 【解析】∵不等式2

40ax bx +->的解集是{}12x <<，∴1,2x x ==为方程

240ax bx +-=的解 ∴2,6a b =-= ∴4a b +=，

7．B 【解析】解析：∵01a <<，∴

∴原不等式的解集为{|x x a <，或 8．D 【解析】)()(x g x f ?>0得???

?<>??????<<>>0)x (g 0

)x (f 0)(0)(,0)x (g 0)x (f 0)(0)(，解集为或φx g x f x g x f 2x 1x R

x 2

x 1x ≥

?∈≥<或，综上或

9．A 【解析】110,20,2224;22a a m a a a a >->∴=+

=-++≥=-- 222211

0,22,()()4,22

x x x n --<->-∴=<=所以.m n >故选A

10．B

11．B 【解析】当1x =时，不等式成立；当1x ≠时，不等式可化为10

x x ->??+≥?，解得1;

x >综上，原不等式解集为{}|1.x x ≥故选B

12．C 试题分析：原不等式转化为()()1210x x -+>或10x -=，解得1x ≥或

13．D 试化为()()()130x a x x +++>，解集为31x -<<-或2x >，所以方程()()()130x a x x +++=的根为3,1,2--2a ∴=-

．

试

题

分

析

：

由

于

分

式

不

等

式

()0()()0()f x f x g x g x >?>21

0(1)(2)(2)04

x x x x x -∴>?--+>- 对于x>1时，则有x>2,当x<1时，则有-2

15．b>a>c 【解析】

试题分析：根据式子特点构造函数()ln f x x =，分别看作函数()ln f x x =图象上的点（2，f （2）），（3，f （3）），（5，f （5））与原点连线的斜率，结合图象可知当5

＞3＞2b>a>c

16 试题分析：因为??

?<-≥=0

,10

,1)(x x x f ，所以20x +≥，2x ≥-时，

(2)(2)5x x f x ++?+≤化为(2)15

x x ++?≤，解得，所20x +<，2x <-时， (2)(2)5x x f x ++?+≤化为(2)(1)5x x ++?-≤，解得2x <-，

综上知，不等式(2)(2)5x x f x ++?+≤的解集是

考点：本题主要考查函数的概念，简单不等式解法。点评：简单题，解答此类问题，可以利用“直接法”，分类讨论，也可以利用图象法，通过画图，观察得解。 17．>

18．(,0)(4,)-∞?+∞

【解析】解：因为偶函数()f x 满足()24(0)x

f x x =-≥，故函数()2402=-=∴=x

f x x 结合函数单调性可知，需满足22

(2)022->?->??

-<-?

x f x x ，解得则(2)0f x ->的解集为

(,0)(4,)-∞?+∞

19．试题分析：当01a <<时，函数x

y a =在R 上为减函数 . ……2由541+--，即2x < ……5分当1a >时，函数x

y a =在R 上为增函数 . ……7分由541+- . ……10分综上，当01a <<时，原不等式的解集为

当1a >时，原不等式的解集为……12分

20．（1）0a >时，原不等式可化为(1)(1)0ax x --<

1，

当01a <<时，

当 1a =时， x ∈?，此时原不等式解集为?

当1a >时，

（2）0a = 时，原不等式可化为10x -+< ，解得1x >，此时原不等式解集为{|1}x x >

（3） 0a <时

1，

解得

21．解：因为012≥++ax x 所有

时，原不等式即为04<-，恒成立， 3分

当 2≠a 时，要使不等式04)2(2)2(2

<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，

必须 2

204(2)44(2)0a a a -

，解得，22<<-a ． …………………11分

综上所述，a 的取值范围是22≤<-a ．………………12分

23．不等式的解集为}32|{<

【解析】原不等式变形为)22(log )2(log 2

122

1->--x x x ．所以，原不等式

3230,203,01,

0)1)(2(22201,022

22<??????<->->+-???

???-<-->->--?x x x x x x x x x x x x x x ．故原不等式的解集为}32|{<

七年级下册不等式及其基本性质讲义

环球雅思教育学科教师讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：学科教师：课题课型□预习课□同步课复习课□习题课授课日期及时段教学内容? 【基础知识网络总结与新课讲解】知识点一、不等式的有关概念: 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来,表示不等关系的式子,叫做不等式。注意：常见的不等号有五种：“≠”、“＞”、“<”、“≥”、“≤”．例1.请指出下列各式哪些是不等式:①x＋y=y+ｘ②4+x＞5③-3＜０④a＋b≤ｃ+ｂ⑤ａ≠0⑥２ｘ-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1)a是正数；(2）y与２的差是非负数;(３）ａ与6的和大于7；（4)y的一半不小于3;(5)8与x的３倍的和不大于1。提示:注意一个数的＂和"，"差"，＂倍","分＂的表示法以及＂大于＂，＂不小于","不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0,负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数＂可表示为"＜0"，"非负数＂可表示为"≥０"。?参考答案: （1）a＞0 (2)y-２≥0 （3)a+6>７ (４）≥３（５)8+3ｘ≤1

,+ 4,－４，４.5?提示:把下列各值分别代入不等式的左边计算２ｘ+1 2.5 ,- - 1,0,3 立?? 的值,若小于５则不等式成立;若不小于５则不等式不成立。参考答案：当x=-1,０,-2.5,－4时,不等式2x+1＜5成立。说明:因为当x=１，0,-2．５，-4时，不等式2x+１<5成立，当x=2,＋４,４.5时，不等式2x+1＜5不成立，所以同方程类似，我们可以说-1,0，-2．5-4是不等式２x+1＜5的解，而2,+4，４.5不是不等式2x+１＜5的解。例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。? (１)由２a＞5，得a＞(2）由ａ-7>，得a>7 (3)由- a>０，得a＜0 （4)由3a>2a-１,得a>-1。例５.设a>b；用＂>"或＂<＂号填空: (１） (2)a-5 b-5 (3）- ａ- b (4)６ａ６b (５)－（6）－ a -ｂ参考答案：(1）＞（２)> （3）< （４)> (５)＜（6)< 例５．试比较下列两个代数式值的大小: (1）5ａ+２与4a+2 （2)x3+3x2-7与x3+２x2-7 提示:我们知道,若ａ-b＞0,则a＞b;若a-b=0,则a=b；若a－ｂ<0，则a＜ｂ,所以要比较a与ｂ的大小,可以先求出a与ｂ的差,再看这个差是正数、负数还是零。参考答案：(１)（5a+２）－（4ａ＋２)=5a+２-4a－2=ａ ∵a可取正数,负数或零,∴５a+２和4a+2间的大小关系有三种可能:?①当a>0时，5a＋2＞4a+2 ②当a=0时,５ａ+2=4a＋2?③当ａ＜0时,５a＋ 2<4a+2。?（2)（x３+3x２-７）－(x3＋２x２－7)=x３+3x2-2ｘ2+７＝ｘ2∵ｘ2≥０(对任意x) ∴ｘ3+3x2-７≥x3＋2x2－7 例6.已知二数a>2,b>2,试比较a+b与ab的大小。

高一数学集合与不等式测试题.

高一级数学单元测试题集合与不等式一、选择题：(4分×15=60分) 1、设{}|7M x x =≤，x = （） A. x ∈ M B. x M ? C .{}x M ∈ D .｛x ｝∪M 2、下列不等式中一定成立的是（）． A ．x >0 B ． x 2≥0 C ．x 2>0 D ． |x |>0 3、已知集合A =[-1，1]，B =(-2，0)，则A ∩B =（）。 A ．(-1，0) B ．[-1，0) C ．(-2，1) D ．(-2，1] 4、下列表示①{0}=?、②{0}?∈、③{0}??、④0∈?中,正确的个数为( ) A.2 B.1 C.4 D.3 5、设U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（C U A ）∪（C U B ）= （） A {0} B {0，1} C {0，1，4} D {0，1，2，3，4} 6、已知 ?∪A =｛1，2,3｝，则集合A 真子集的个数（） A 5 B 6 C 7 D 8 设U =[－3,5]，C U A =[－3，0）∪（3,5] 7、设p 是q 的必要不充分条件，q 是r 的充要条件，则p 是r 的（）。 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8、不等式()()012<+-x x 的解集是（） A 、〔—1，2〕 B 、〔2，—1〕 C 、R D 、空集 9、设、、均为实数，且＜，下列结论正确的是( )。 A. ＜ B. ＜ C. －＜－ D. ＜ 10、若x 2－ax －b <0的解集是{x |20的解集为（） A ．11{|}23x x - ≤≤ B ．11{|}23x x -<< C ．11{|}23x x -<<-D ．11{|}23 x x -≤≤- 11、一元二次方程x 2 – mx + 4 = 0 有实数解的条件是m ∈（） A.（－４,４） B.［－４,４］ C.（－∞，－４）∪（４, ＋∞） D.（－∞，－４］∪［４, ＋∞） 12、下列不等式中，与 3 2<-x 的解集相同的是（） A 0542 <--x x B 051 ≤-+x x C 0)1)(5(<+-x x D 0542 <-+x x 14、设全集U={(x ,y )R y x ∈,},集合M={(x ,y ) 12 2 =-+x y }，N={(x ,y )4-≠x y },那么（C U M ）(C U N )等于（） A {（2，－2）} B {（－2，2）} C φ D C U N 15、已知集合M={直线}，N={圆}，则M ∩N 中的元素个数为( ) A 0个 B 0个或1个或2个 C 无数个 D 无法确定二、填空题（5分×6=30分） 13、 p ：a 是整数；q ：a 是自然数。则p 是q 的。

高一数学不等式解法例题.doc

典型例题一例 1 解不等式：（ 1）2x3 x2 15 x 0 ；（2） ( x 4)( x 5)2 (2 x)3 0 ．分析：如果多项式 f (x) 可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式 f ( x) 0 （或f (x) 0 ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（ 1）原不等式可化为 x(2x 5)( x 3)0 把方程 x(2 x 5)( x 3) 0 的三个根 x1 0, x2 5 , x3 3顺次标上数轴．然后从右上2 开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为x 5 0或 x 3 x 2 （ 2）原不等式等价于 ( x 4)( x 5)2 (x 2)3 0 x 5 0 x 5 (x 4)( x 2) 0 x 4或 x 2 ∴原不等式解集为x x 5或 5 x 4或x 2 说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿” ，其法如下图．典型例题二例 2 解下列分式不等式：（ 1） 3 1 2 ；（2） x2 4x 1 1 x 2 x 2 3x2 7x 2 分析：当分式不等式化为f (x) 0(或0) 时，要注意它的等价变形g( x)

① f ( x) f ( ) g ( ) 0 g( x) x x ② f ( x) f (x) g(x) f ( x) f ( x ) 0或 ( ) ( ) 0 或 g( x) g (x) 0 g (x) f x g x （ 1）解：原不等式等价于 3 x 3 x 0 x 2 x 2 x 2 x 2 3( x 2) x( x 2) x 2 5x 6 ( x 2)( x 2) (x 2)( x 2) ( x 6)( x 1) 0 (x 6)( x 1)( x 2)(x 2) 0 ( x 2)( x 2) (x 2)( x 2) 0 用“穿根法” ∴原不等式解集为 ( , 2) 1,2 6, 。（ 2）解法一：原不等式等价于 2x 2 3x 1 0 3x 2 7x 2 (2x 2 3x 1)(3x 2 7 x 2) 0 2x 2 3x 1 0 2x 2 3x 1 3x 2 7x 2 或 3x 2 7x 2 1 或 1 x 或 x 2 x 2 1 3 ∴原不等式解集为 ( , 1 ) ( 1 ,1) (2, ) 。 3 2 解法二：原不等式等价于 ( 2x 1)( x 1) 0 (3x 1)( x 2) (2x 1)( x 1)(3x 1) (x 2) 0 用“穿根法” ∴原不等式解集为 ( , 1) ( 1 ,1) (2, ) 3 2 典型例题三例 3 解不等式 x 2 4 x 2

不等式的基本性质知识点

不等式的基本性质知识点不等式的基本性质知识点 1．不等式的定义：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。如证明y=x3为单增函数，设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2， f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2 +x22] 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 2．不等式的性质： ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。不等式基本性质有： (1) a>bb<a (对称性)

(2) a>b, b>ca>c (传递性) (3) a>ba+c>b+c (c∈R) (4) c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac<bc。运算性质有： (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。 (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

高中数学不等式训练习题

不等式训练1 A 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．若02522 >-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．函数y ＝log 2 1（x ＋11+x ＋1）（x > 1）的最大值是（） A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 3．不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{x| 43≤x ≤2} B ．{x|4 3≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 11< B ． b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值 21和最大值1 B ．最大值1和最小值4 3 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组? ??->-≥32x x 的负整数解是____________________。 2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30，则这个两位数为____________________。 3．不等式0212<-+x x 的解集是__________________。 4．当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________。 5．若f(n)=)(21)(,1)(,122N n n n n n n g n n ∈= --=-+?,用不等号连结起来为____________.

高一数学一元二次不等式解法练习题及答案.doc

高一数学一元二次不等式解法练习题及答案例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01 a [ ] A a x B x a ．＜＜．＜＜11 a a C x a D x x a ．＞或＜．＜或＞x a a 1 1 分析比较与的大小后写出答案． a 1 a 解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选． 0a 1a a x A 11 a a 例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6 分析求算术根，被开方数必须是非负数．解据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．分析根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．解根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知 -=-+=-=-=-?? ?????b a a ()()1211122×得

a b ==-1212 ，．例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2) (4)3x 2-+- -+-3132 511 3 122x x x x x x ＞＞()() 分析将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．答 (1){x|x ＜2或x ＞4} (2){x|1x }≤≤3 2 (3)? (4)R (5)R 说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．例不等式＋＞的解集为5 1x 1 1-x [ ] A ．{x|x ＞0} B ．{x|x ≥1} C ．{x|x ＞1} D ．{x|x ＞1 或x ＝0} 分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞， 1x 0001 111 22 ----x x x x x ∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．

七年级下册不等式及其基本性质讲义

环球雅思教育学科教师讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：学科教师：课题课型□预习课□同步课□复习课□习题课授课日期及时段教学内容【基础知识网络总结与新课讲解】知识点一、不等式的有关概念： 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。注意：常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”．例1.请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1）a是正数；（2）y与2的差是非负数；（3）a与6的和大于7；（4）y的一半不小于3；（5）8与x的3倍的和不大于1。提示：注意一个数的"和"，"差"，"倍"，"分"的表示法以及"大于"，"不小于"，"不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0，负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数"可表示为"＜0"，"非负数"可表示为"≥0"。参考答案：

（1）a ＞0 (2)y-2≥0 (3)a+6＞7 (4) ≥3 (5)8+3x ≤1 注意：列不等式时应注意两点： ①"是正数"表示为＞0"，"是负数"表示为＜0"；"非正数"表示为"≥0"。 ②"不大于"用"≤"表示，"不小于"用"≥"表示。 2．不等式的基本性质（1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。用式子表示：如果a>b ，那a+c>b+c （或a –c>b –c ）（2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。用式子表示：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ， c b c a >。（3）不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。用式子表示：如果a>b ，且c<0，那么acb ，那么bb ，b>c 那么a>c 。注意：不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据。不等式的性质与等式的性质类似，但等式的结论是“仍是等式”，而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。在运用性质（2）和性质（3）时，要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数，首先认清这个数的性质符号，从而确定不等号的方向是否改变。说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有： ①若a －b ＞0，则a 大于b ； ②若a －b ＜0，则a 小于b ； ③若a －b ≥0，则a 不小于b ； ④若a －b ≤0，则a 不大于b ； ⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号； ⑥若ab ＜0或0a b <，则a 、b 异号。任意两个实数a 、b 的大小关系： ①a-b>O ?a>b ； ②a-b=O ?a=b ； ③a-b