难点14++数列综合应用问题

难点 数列综合应用问题

纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.

●难点磁场

(★★★★★)已知二次函数y =f (x )在x =2

2

+t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0.

(1)求y =f (x )的表达式；

(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ；

(3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n .

●案例探究

［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少

5

1

，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

4

1

. (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式；

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.

知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.

错解分析：(1)问a n 、b n 实际上是两个数列的前n 项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.

技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.

解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－5

1

)万元，…第n 年投入为800×(1－

5

1)n －1

万元，所以，n 年内的总投入为 a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1=∑

=n k 1

800×(1－51)k －

1

=4000×［1－(

5

4)n ］

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+4

1

)，…，第n 年旅游业收入400×(1+

4

1)n －1

万元.所以，n 年内的旅游业总收入为 b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k －1=∑

=n k 1

400×(45)k －

1.

=1600×［(

4

5)n

－1］ (2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即：

1600×［(

45)n －1］－4000×［1－(54)n ］＞0，令x =(5

4

)n ，代入上式得：5x 2－7x +2＞0.解此不等式，得x ＜52，或x ＞1(舍去).即(54)n ＜5

2

，由此得n ≥5.

∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.

［例2］已知S n =1+3121++…+n

1

,(n ∈N *)设f (n )=S 2n +1－S n +1,试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式：f (n )＞［log m (m －1)］2－20

11

［log (m －1)m ］2恒成

立.

命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.

错解分析：本题学生很容易求f (n )的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.

技巧与方法：解决本题的关键是把f (n )(n ∈N *)看作是n 的函数，此时不等式的恒成立就转化为：函数f (n )的最小值大于［log m (m －1)］2－

20

11

［log (m －1)m ］2. 解：∵S n =1+

3121++…+n

1

.(n ∈N *) 0)4

21321()421221(4

22

32122121321221)()1(121

3121)(112>+-+++-+=+-

+++=+-+++=-+++

++++=-=∴++n n n n n n n n n n n f n f n n n S S n f n n 又 ∴f (n +1)＞f (n )

∴f (n )是关于n 的增函数 ∴f (n ) min =f (2)=

20

9

321221=

+++ ∴要使一切大于1的自然数n ，不等式

f (n )＞［lo

g m (m －1)］2－

20

11

［log (m －1)m ］2恒成立 只要209＞［log m (m －1)］2－20

11［log (m －1)m ］2成立即可

由???≠->-≠>1

1,011,0m m m m 得m ＞1且m ≠2 此时设［log m (m －1)］2=t 则t ＞0

于是?????>->0

2011209

t t 解得0＜t ＜1

由此得0＜［log m (m －1)］2＜1

解得m ＞

2

5

1+且m ≠2. ●锦囊妙计

1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.

2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：

(1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.

(2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系. (3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.

●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★★)已知二次函数y =a (a +1)x 2－(2a +1)x +1，当a =1，2，…，n ，…时，其抛

物线在x 轴上截得的线段长依次为d 1,d 2，…,d n ,…,则lim ∞

→n (d 1+d 2+…+d n )的值是( )

A.1

B.2

C.3

D.4 二、填空题

2.(★★★★★)在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2，4依次成等差数列，而1，y 1，y 2，8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是_________.

3.(★★★★)从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升.

4.(★★★★★)据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.

三、解答题

5.(★★★★★)已知数列{a n }满足条件：a 1=1,a 2=r (r ＞0),且{a n a n +1}是公比为q (q ＞0)的等比数列，设b n =a 2n －1+a 2n (n =1,2,…).

(1)求出使不等式a n a n +1+a n +1a n +2＞a n +2a n +3(n ∈N *)成立的q 的取值范围；

(2)求b n 和n

n S 1

lim

∞→，其中S n =b 1+b 2+…+b n ；

(3)设r =219.2－1，q =

2

1

，求数列{n n b b 212log log +}的最大项和最小项的值.

6.(★★★★★)某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分

配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金

n

b

元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.

(1)设a k (1≤k ≤n )为第k 位职工所得奖金金额，试求a 2,a 3，并用k 、n 和b 表示a k (不必证明)；

(2)证明a k ＞a k +1(k =1,2,…,n －1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；

(3)发展基金与n 和b 有关，记为P n (b ),对常数b ，当n 变化时，求lim ∞

→n P n (b ).

7.(★★★★)据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：

(1)2001年回收废旧物资多少吨？

(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？ (3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？ 8.(★★★★★)已知点的序列A n (x n ，0),n ∈N ,其中x 1=0,x 2=a (a ＞0),A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….

(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间关系式(n ≥3);

(2)设a n =x n +1－x n ，计算a 1,a 2,a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明；

(3)求lim ∞

→n x n .

参考答案

难点磁场

解：(1)设f (x )=a (x －2

2+t )2－42

t ，由f (1)=0得a =1.

∴f (x )=x 2－(t +2)x +t +1.

(2)将f (x )=(x －1)［x －(t +1)］代入已知得：

(x －1)［x －(t +1)］g (x )+a n x +b n =x n +1，上式对任意的x ∈R 都成立，取x =1和x =t +1分别代入上式得：

?????+=++=++1

)

1()1(1n n n n n t b a t b a 且t ≠0，解得a n =t 1［(t +1)n +1－1］，b n =t t 1+［1－(t +1]n

) (3)由于圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，又由(2)知a n +b n =1，故圆C n 的圆心O n 在直线x +y =1上，又圆C n 与圆C n +1相切，故有r n +r n +1=2｜a n +1－a n ｜=2(t +1)n +1

设{r n }的公比为q ，则

①

②

?????+=++=+++++2

111)

1(2)

1(2n n n n n n t q r r t q r r ②÷①得

q =n

n r r 1+=t +1，代入①得r n =2)1(21

+++t t n

∴S n =π

(r 12

+r 22

+…+r n 2)=

3

4

222

1)

2()1(21)1(++π=--πt t t q q r n ［(t +1)2n －1］ 歼灭难点训练

一、1.解析：当a =n 时y =n (n +1)x 2－(2n +1)x +1 由｜x 1－x 2｜=

a

?

，得d n =)1(1+n n ，∴d 1+d 2+…+d n

1)11

1(lim )(lim 1

1

11113121211)1(132121121=+-=+++∴+-=+-++-+-=+++?+?=

∞→∞→n d d d n n n n n n n n

答案：A 二、2.解析：由1,x 1,x 2,4依次成等差数列得：2x 1=x 2+1,x 1+x 2=5解得x 1=2,x 2=3.又由1，y 1,y 2,8依次成等比数列，得y 12=y 2,y 1y 2=8,解得y 1=2,y 2=4,

∴P 1(2,2),P 2(3,4).∴21),2,2(OP ==(3,4) ∴,5||,22,14862121===+=OP OP

110

2

52221sin ||||2110

2

sin ,10272

2514|

|||cos 21212121212121=???==

∴=∴=

?=

=∴?OP P OP S OP P OP OP OP P P OP

答案：1

3.解析：第一次容器中有纯酒精a －b 即a (1－

a b )升，第二次有纯酒精a (1－a

b

)－b a a b

a )

1(-，即a (1－a b )2升，故第n 次有纯酒精a (1－a

b )n 升. 答案：a (1－

a

b )n

4.解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a 5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元).

答案：120000 三、

5.解：(1)由题意得rq n －

1+rq n ＞rq n +1.由题设r ＞0,q ＞0,故从上式可得：q 2－q －1＜0，解

得

251-＜q ＜251+,因q ＞0,故0＜q ＜2

5

1+; (2)∵

0,212212212221212121≠=++=++=∴==---+++++++q a a q

a q a a a a a

b b q a a a a a a n

n n n n n n n n n n n n n n n .b 1=1+r ≠0，所以

{b n }是首项为1+r ，公比为q 的等比数列，从而b n =(1+r )q n -1. 当q =1时，S n =n (1+r ),

1

)1(),2()3()1( ,0)10( ,111lim ,0)1)(1(1lim 1lim ,

1)1)(1(,1;11)1)(1(1lim 1lim

,1)1)(1(,10;0)1(1lim 1lim -∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+=???

??≥<<+-==-+-=--+=>+-=-+-=--+=<<=+=n n n

n n

n n n n n n

n n n n n n n n q r b q q r q

S q r q S q

q r S q r q

q r q S q q r S q r n S 有由所以时当时当

.2.201

1log )1)(1(log log )1(log ])1[(log ])1[(log log log 2222122212-+=-+++=++=-+n q n r q n r q r q r b b n n n n

n

n n b b C 21

2log log +=

记,从上式可知，当n －20.2＞0，即n ≥21(n ∈N *)时，C n 随n 的增大而减

小，故

1＜C n ≤C 21=1+

8

.01

12.20211+

=-=2.25 ①

当n －20.2＜0，即n ≤20(n ∈N *)时，C n 也随n 的增大而减小，故1＞C n ≥C 20=1+

2

.01

12.20201-

=-=－4

②

综合①②两式知，对任意的自然数n 有C 20≤C n ≤C 21,故{C n }的最大项C 21=2.25，最小项

C 20=－4.

6.解：(1)第1位职工的奖金a 1=n b ，第2位职工的奖金a 2=n 1(1－n

1

)b ，第3位职工的奖金a 3=n 1(1－n 1)2b ，…，第k 位职工的奖金a k =n 1 (1－n

1)k －

1b ;

(2)a k －a k +1=21n (1－n

1)k －

1b ＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”

的原则.

(3)设f k (b )表示奖金发给第k 位职工后所剩余数，则f 1(b )=(1－

n

1

)b ,f 2(b )=(1－n 1)2b ,…,f k (b )=(1－n 1)k b .得P n (b )=f n (b )=(1－n

1)n b ,

故e

b b P n n =

∞

→)(lim . 7.解：设a n 表示第n 年的废旧物资回收量，S n 表示前n 年废旧物资回收总量，则数列{a n }是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.

(1)a 6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨)

(2)S 6=2

.01

6.1101%)201(]1%)201[(1066-?=-+-+=99.2992≈99.3(万吨)

∴从1996年到2000年共节约开采矿石20×99.3≈1986(万吨)

(3）由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)， ∴从1996年到2001年共节约：

8

4

104.7102.3974.562???≈3 平方公里.

8.解：(1)当n ≥3时，x n =

2

2

1--+n n x x ; a

a x x x x x x x a a x x x x x x x a a x x a 4

1

)21(21)(212,

2

1

)(212,)2(2332334212212232121=--=--=-+=-=-=--=-+=-==-=

由此推测a n =(－

2

1)n -1

a (n ∈N ) 证法一：因为a 1=a ＞0,且

111112

1

)(2122----+-=-=-=-+=

-=n n n n n n n n n n n a x x x x x x x x x a (n ≥2) 所以a n =(－

2

1)n -1

a . 证法二：用数学归纳法证明：

(ⅰ)当n =1时，a 1=x 2－x 1=a =(－2

1)0

a ,公式成立； (ⅱ)假设当n =k 时，公式成立，即a k =(－2

1)k －

1a 成立.

那么当n =k +1时，

a k +1=x k +2－x k +1=

k k k k k k a x x x x x 2

1

)(212111-=--=-++++ .)2

1

()21(21111公式仍成立a a )(k k -+--=--=

据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意n ∈N ，公式a n =(－2

1

)n -1a 成立.

(3)当n ≥3时，有x n =(x n －x n －1)+(x n －1－x n －2)+…+(x 2－x 1)+x 1 =a n －1+a n －2+…+a 1, 由(2)知{a n }是公比为－

21

的等比数列，所以32)2

1(1lim 1=--=

∞→a x n n a .

数列综合题

1.数列{}n a 的各项均为正数，n

S

为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2

,,n n n a S a 成等差

数列. (Ⅰ)求数列

{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2

ln n

n n a x b =

，求证:对任意实数(]e x ,1∈（e 是常数，

e ＝2.71828???）和任意正整数n ，总有n T < 2；

(Ⅲ) 正数数列{}n c 中，())(,*

11N n c a n n n ∈=++.求数列{}n c 中的最大项. （Ⅰ）解：由已知：对于*N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立

∴

2

1112n n n S a a ---=+ （n ≥ 2）②

①--②得2

112

2----+=n n n n n

a a a a a

∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a

∵

1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥ 2）

∴数列

{}n a 是公差为1的等差数列

又n=1时，2

1

112S a a =+， 解得1a =1 ∴

n a n =.(*N n ∈)

（Ⅱ）证明：∵对任意实数(]e x ,1∈和任意正整数n ，总有

2

ln n

n n a x b =

≤2

1

n .

∴

()n n n T n 11321211112111222-+

+?+?+<+++≤

21

211131212111<-=--++-+-

+=n n n

(Ⅲ)解：由已知 2212

12=?==c c a ，

545

45434

343232355,

244,33=?====?===?==c c a c c a c c a

易得

12234,...c c c c c <>>>

猜想 n ≥2 时，

{}n c 是递减数列.

令

()()22ln 1ln 1

,ln x x x x

x x x f x x x f -=

-?='=则 ∵当().00ln 1,1ln 3<'<->≥x f x x x ，即则时，

∴在[)+∞,3内()x f 为单调递减函数.

由

()

11ln ln 1

1++=

=++n n c c a n n n

n 知.

∴n ≥2 时, {}n c ln 是递减数列.即{}n c 是递减数列.

又12c c < , ∴数列{}n c 中的最大项为323=c .

2．设f1(x)=x +12

，定义fn+1 (x)= f1［fn(x)］，an =2

)0(1)0(+-n n f f （n ∈N*）.

(1) 求数列｛an ｝的通项公式； (2) 若n n

na a a a T 23212232++++= ，Qn=144422+++n n n

n （n ∈N*），试比较9T2n 与Qn

的大小，并说明理由.

解：（1）∵f1(0)=2，a1=2212+-=41

，fn+1(0)= f1［fn(0)］=)

0(12n f +,

∴an+1=2)0(1)0(11+-++n n f f =2)0(121

)

0(12

++-+n n f f =)0(24)0(1n n f f +-= -212

)0(1)0(+-n n f f = -21an.

∴数列｛an ｝是首项为41,公比为-21的等比数列，∴an=41(21

-

)n -1.

（2）∵T2 n = a1+2a 2+3a 3+…+(2n-1)a 2 n -1+2na 2 n ，

∴

21-

T2 n= (-21a1)+(-21)2a 2+(-21)3a 3+…+(-21)(2n-1)a2 n －1+)

21

(-2na2 n

= a 2+2a 3+…+(2n －1)a2 n －na2 n.

两式相减，得23

T2 n= a1+a2+a 3+…+a2 n+na2 n.

∴23T2n =211)21(1412+

??

????--n +n ×41(-21)2n -1=61-61(-21)2n+4n (-21)2n -1.

T2n =91-91(-21)2n+6n (-21)2n -1=91(1-n

n 221

3+). ∴9T2n=1-n

n 221

3+. 又Qn=1-2

)12(1

3++n n ，

当n=1时，22 n= 4,(2n+1)2=9,∴9T2 n ＜Q n ；

当n=2时，22 n=16,(2n+1)2=25,∴9T2 n ＜Qn ；

当n ≥3时，2231022)12()(])11[(2+>++++=+=n C C C C n n n n n n n ，

∴9T2 n ＞Q n.

3． 设不等式组???

??+-≤>>n

nx y y x 30

0所表示的平面区域为Dn ，记Dn 内的格点（格点即横坐

标和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)(n ∈N*). （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；

（2）设bn=2nf(n)，Sn 为{bn}的前n 项和，求Sn ；

（3）记

n n n f n f T 2)

1()(+=

，若对于一切正整数n ，总有Tn ≤m 成立，求实数m 的取

值范围.

（1）f(1)=3 f(2)=6

当x=1时，y=2n ，可取格点2n 个；当x=2时,y=n ，可取格点n 个 ∴f(n)=3n

（2）由题意知:bn=3n ·2n

Sn=3·21+6·22+9·23+…+3(n －1)·2n －1+3n ·2n ∴2Sn=3·22+6·23+…+3(n －1)·2n+3n ·2n+1 ∴－Sn=3·21+3·22+3·23+…3·2n －3n ·2n+1 =3（2+22+…+2n ）－3n ·2n+1

=3·1

1

232122++---n n n

=3(2n+1－2)－3nn+1

∴－Sn=(3－3n)2n+1－6 Sn=6+(3n －3)2n+1

（3）

n n n n n n f n f T 2)

33(32)1()(+=

+=

11(33)(36)

223(33)222

1,1

22

2,1

22

3,1

2n n n n

n n T n n n T n

n n n n n n n n n +++++==++=>+==+≥< 当时当时当时

∴T1T4>…>Tn

故Tn 的最大值是T2=T3=227

∴m ≥227

。

4．已知0a >，且1a ≠，数列{}n a 的前n 项和为n S ，它满足条件

11

1n n a S a -=-

.数列{}n b 中，n n b a =·lg n

a .

（1）求数列

{}n b 的前n 项和n T ；

（2）若对一切*n N ∈都有1n

n b b +<，求a 的取值范围. 解：（1）

111n n a S a -=- ，∴(1)1n n a a S a -=

- 当1n =时，111(1)1a a a S a

a -===-.

当n ≥2时，1n n n a S S -=-=1(1)(1)

11n n n a a a a a a a ----=--，∴ *

()n n a a n N =∈

此时n n b a =·lg n n a a =·lg n a =n ·lg n a a ，

∴12n T b b =++……n b =23lg (23a a a a +++……+

).n

na 设

2323n u a a a =+++……+n na ， ∴23(1)n a u a a a -=+++……1n n a na +-1(1)

1n n a a na a +-=--，

∴

12

(1)

.1(1)n n n na a a u a a +-=--- ∴lg n T a =·12

(1)

[].1(1)n n na a a a a +---- ……6分

（2）由

1

1lg (1)lg n n n n b b na a n a a ++时，由lg 0a >，可得

1n

a n >

+

*1(),1,1n n N a n <∈>+

∴

1n a n >+对一切*n N ∈都成立， ∴此时的解为1a >.

②当01a <<时，由lg 0a < 可得

(1),,1n

n n a a n >+<

+

1n n +≥*1(),01,2n N a ∈<<∴01n

a n <<+对一切*

n N ∈都成立，

∴此时的解为1

02a <<

.

由①，②可知

对一切*n N ∈，都有1n

n b b +<的a 的取值范围是1

02a <<

或1a >. ……14分

5、已知函数

44

44

(1)(1)()(1)(1)x x f x x x ++-=

+--（0x ≠）。

（Ⅰ）若()f x x =且x ∈R ，则称x 为()f x 的实不动点，求()f x 的实不动点；

（II ）在数列{}n a 中，12a =，1()n n a f a +=（n *

∈N ），求数列{}n a 的通项公式。

解：（Ⅰ）由

42361()44x x f x x x ++=

+及()f x x =得 424223613210144x x x x x x x x ++=?--=?=+或2

13x =-

（舍去），

所以1x =或1-，即()f x 的实不动点为1x =或1x =-；

（II ）由条件得4

444114441(1)(1)1(1)1(1)(1)1(1)1n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++??

++-+++=?== ?

+-----??

，从而有 1111

ln

4ln 11

n n

n n a a a a ++++=--，

由此及

111

ln

ln 301

a a +=≠-知：数列1ln 1n n a a ??+??

-?

?是首项为ln 3，公比为4的等比数列，故有 1

11

41441131

ln 4ln331131n n n n n n n n n a a a a a ----+++=?=?=---（n *∈N ）。

6、已知函数

()()

R x x f x ∈+=

2

41

，点()111,y x P ，()222,y x P 是函数()x f 图像上的两个点，

且线段21P P 的中点P 的横坐标为21

． ⑴求证：点P 的纵坐标是定值； ⑵若数列{}n a 的通项公式为

()

m n N m m n f a n ,,2,1, =∈?

??

??=，求数列

{}n a 的前

m 项的和

m S ；

⑶若N m ∈时，不等式1

1

++<

m m m m S a S a 恒成立，求实数a 的取值范围．

解：⑴由题可知：

121221=?

=+x x ，所以，

()()(

)(

)

(

)(

)

2

14442444444244442

4244

442412412

12

1

2

12

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2121=++++=+++++=++++=

+++=+=++x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f y y

点P 的纵坐标

41

221=+=

y y y P 是定值，问题得证．

⑵由⑴可知：对任意自然数n m ,，21=??? ??-+??? ??m n m f m n f 恒成立．

由于

?

??

??+??? ??-+??? ??-++??? ??+??? ??=m m f m m f m m f m f m f S m 1221 ，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于：??? ??+??? ??++??? ??-+??? ??-+??? ??=?

?? ??+??? ??-+??? ??-++??? ??+??? ??=m f m f m m f m m f m m f m m f m m f m m f m f m f S m 12211221

所以，()()

1361

)1(212121122112-=+-=?

??

??+????????? ??+??

? ??-++????????? ??-+??? ??+????????? ??-+??? ??=m f m m m f m f m m f m m f m f m m f m f S m

所

以，()13121

-=m S m

⑵∵

()13121-=

m S m ， ∴()231211+=+m S m

∴

1

1++<

m m m m S a S a 等价于0

23131

12

依题意，①式应对任意N m ∈恒成立． 显然0>a ，因为0>m

a

（N m ∈），所以，需且只需0

23131<+--m a

m 对任意N m ∈恒成

立．即：1323-+>

m m a 对N m ∈恒成立． 记

()1323-+=

m m m g （N m ∈）．∵ ()()()()0

13239132323531<-+-=-+-++=-+m m m m m m m g m g ，

∴()m g （N m ∈）的最大值为

()251=

g ，∴ 25

>

a ．

题目 高中数学复习专题讲座---构建数学模型解数列综合题和应用性问题

高考要求

纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题 这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关

数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度

重难点归纳

1 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分

析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题

2 纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关

(1)事理关 需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力

(2)文理关 需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系

(3)事理关 在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建

相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化 构建出数学模型后，要正确得到问

题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力

典型题例示范讲解

例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少

5

1

，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上1

(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n

的表达式；

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

命题意图 本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合

运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型

知识依托 本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、

不等式的解法等知识点

错解分析问a n 、b n 实际上是两个数列的前n 项和，易与“通项”混淆；(2)问是

既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差

技巧与方法 正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指

数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧

解 (1)第1年投入为800万元，

第2年投入为800×(1－51

)万元，… 第n 年投入为800×(1－5

1)n －1

万元，

所以，n 年内的总投入为

a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－5

1

)n －1

=

∑

=n

k 1

800×(1－

51)k －1=4000×［1－(5

4)n

］ 第1年旅游业收入为400万元， 第2年旅游业收入为400×(1+4

1

)，…， 第n 年旅游业收入400×(1+

4

1)n －1

万元 所以，n 年内的旅游业总收入为

b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+4

1

)k －1

=

∑

=n

k 1

400×(

45)k －1=1600×［(4

5)n

－1］ (2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即1600×［(4

5)n

－1］－4000×［1－(

5

4)n

］＞0， 令x =(

5

4)n ，代入上式得 5x 2

－7x +2＞0 解此不等式，得x ＜5

2

，或x ＞1(舍去)

即(54)n ＜5

2

，由此得n ≥5

∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入

例2已知S n =1+

3121++…+n

1,(n ∈N *

)，设f (n )=S 2n +1－S n +1,试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式

f (n )＞［lo

g m (m －1)］2－

20

11［log (m －1)m ］2

恒成立 命题意图 本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析

问题、解决问题的能力

知识依托本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙

错解分析本题学生很容易求f (n )的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理

技巧与方法 解决本题的关键是把f (n )(n ∈N *)看作是n 的函数，此时不等式的恒成立

就转化为

函数f (n )的最小值大于［log m (m －1)］2

－20

11［log (m －1)m ］2

解 ∵S n =1+

3121++…1 (n ∈N *

) 0)4

21321()421221(4

22

32122121321221)()1(121

3121)(112>+-+++-+=+-

+++=+-+++=-+++

++++=-=∴++n n n n n n n n n n n f n f n n n S S n f n n 又 ∴f (n +1)＞f (n ) ∴f (n )是关于n 的增函数 ∴f (n ) min =f (2)=

20

9

321221=

+++ ∴要使一切大于1的自然数n ，不等式

f (n )＞［lo

g m (m －1)］2－

20

11［log (m －1)m ］2

恒成立 只要209＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2

成立即可

由???≠->-≠>1

1,011,0m m m m 得m ＞1且m ≠2 此时设［log m (m －1)］2

=t 则t ＞0

于是?????>->0

2011209

t t 解得0＜t ＜1

由此得0＜［log m (m －1)］2

＜1 解得m ＞

2

5

1+且m ≠2 例3 已知二次函数y =f (x )在x =2

2

+t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0

(1)求y =f (x )的表达式；

(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1

［g (x )］为多项式，n ∈N *

),试用t 表示a n 和b n ；

(3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2

，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n

解 (1)设f (x )=a (x －2

2+t )2－42

t ，由f (1)=0得a =1

∴f (x )=x 2

－(t +2)x +t +1

(2)将f (x )=(x －1)［x －(t +1)］代入已知得

(x －1)［x －(t +1)］g (x )+a n x +b n =x n +1

， 上式对任意的x ∈R 都成立， 取x =1和x =t +1分别代入上式得

?????+=++=++1

)

1()1(1

n n n n n t b a t b a 且t ≠0， 解得a n =t

1

［(t +1)n +1

－1］，b n =

t

t 1+［1－(t +1]n

) (3)由于圆的方程为(x －a n )2

+(y －b n )2

=r n 2

，

又由(2)知a n +b n =1，故圆C n 的圆心O n 在直线x +y =1上，

又圆C n 与圆C n +1相切，故有r n +r n +1=2｜a n +1－a n ｜=2(t +1)n +1

设{r n }的公比为q ，则

1

2

111)1)n n n n n n r r q t r r q t ++++?+=+??+=+?? ①

②

②÷①得

q =n

n r r 1+=t +1，代入①得r n =2)1(21

+++t t n

∴S n =π(r 12

+r 22

+…+r n 2

)=3

4222

1)

2()1(21)1(++π=--πt t t q q r n ［(t +1)2n

－1］ 学生巩固练习

1 已知二次函数y =a (a +1)x 2

－(2a +1)x +1，当a =1，2，…，n ，…时，其抛物线在x 轴

上截得的线段长依次为d 1,d 2，…,d n ,…,则lim ∞

→n (d 1+d 2+…+d n )的值是( )

A 1

B 2

C 3

D 4

2 在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，

x 1，x 2，4依次成等差数列，而1，y 1，y 2，8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是_________

3 从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；

这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升

4 据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》 “2001年国内生产总值

达到95933亿元，比上年增长7 3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内

生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元

5 已知数列{a n }满足条件 a 1=1,a 2=r (r ＞0),且{a n a n +1}是公比为q (q ＞0)的等比数列，

设b n =a 2n －1+a 2n (n =1,2,…)

(1)求出使不等式a n a n +1+a n +1a n +2＞a n +2a n +3(n ∈N *

)成立的q 的取值范围； (2)求b n 和n

n S 1

lim

∞→，其中S n =b 1+b 2+…+b n ；

(3)设r =219

2

－1，q =

2

1

，求数列{n n b b 212log log +}的最大项和最小项的值

6 某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下

首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖

金

n

b

元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金

(1)设a k (1≤k ≤n )为第k 位职工所得奖金金额，试求a 2,a 3，并用k 、n 和b 表示a k (不必证明)；

(2)证明a k ＞a k +1(k =1,2,…,n －1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义； (3)发展基金与n 和b 有关，记为P n (b ),对常数b ，当n 变化时，求lim ∞

→n P n (b )

7 据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7 4×108

吨，占地562 4平方公里，

若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问(1)2001年回收废旧物资多少吨？

(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？ (3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？

8 已知点的序列A n (x n ，0),n ∈N ,其中x 1=0,x 2=a (a ＞0),A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线

段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，…

(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间关系式(n ≥3);

(2)设a n =x n +1－x n ，计算a 1,a 2,a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明； (3)求lim ∞

→n x n

参考答案:

1 解析 当a =n 时y =n (n +1)x 2

－(2n +1)x +1

由｜x 1－x 2｜=

a

?

，得d n =)1(1+n n ，

∴d 1+d 2+…+d n 1111223(1)

n n =

+++??+ 1111111122311

n n n =-+-++-=-++

121

()(1)1lim lim 1

n n n d d d n →∞→∞∴+++=-=+ 答案2 解析 由1,x 1,x 2,4依次成等差数列得 2x 1=x 2+1,x 1+x 2=5解得x 1=2,x 2=3

又由1，y 1,y 2,8依次成等比数列，得y 12

=y 2,y 1y 2=8,解得y 1=2,y 2=4, ∴P 1(2,2),P 2(3,4) ∴21),2,2(OP ==(3,4)

∴,5||,22,14862121===+=OP OP

121212

12cos sin 1010||||

OPOP POP POP OP OP ∴===∴=

12

121211||||sin 512210

OP P S OP OP POP ?∴==??= 答案3 解析 第一次容器中有纯酒精a －b 即a (1－

a

b

)升， 第二次有纯酒精a (1－a b )－

b a a b a )1(-，即a (1－a

b )2升， 故第n 次有纯酒精a (1－a

b )n

升 答案a (1－

a

b )n

4 解析 从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7 3%为公比

数列的综合应用

数列的综合应用 导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用． 自主梳理 1．数列的综合应用 数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会． (1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法． (2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题． (3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的． (4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由S n 求a n 时，要对______________进行分类讨论． 2．数列的实际应用 数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型． (1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n 还是求S n . (2)分期付款中的有关规定 ①在分期付款中，每月的利息均按复利计算； ②在分期付款中规定每期所付款额相同； ③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值； ④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和． 自我检测 1．(原创题)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为 ( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．44 2．(2017·汕头模拟)在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6 a 16 等于 ( ) A.23 B.32 C ．－16 D ．－56 3．若{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，把{a n }的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n }，设{b n }的前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，下列结论正确的是 ( ) A ．b n ＋1＝3b n ，且S n ＝1 2(3n －1) B ．b n ＋1＝3b n －2，且S n ＝1 2(3n －1) C ．b n ＋1＝3b n ＋4，且S n ＝1 2(3n －1)－2n D ．b n ＋1＝3b n －4，且S n ＝1 2 (3n －1)－2n

高中数学数列专题大题训练

高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．

等差数列讲义(学生版)

2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念、通项公式 【学习目标】 1.理解等差数列的定义(重点)； 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题； 3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用(重、难点). 【要点整合】 1. 等差数列的概念 2. 等差中项 如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 注意 根据等差中项的定义，a ，A ，b 成等差数列，则A ＝a ＋b 2；反之，若A ＝a ＋b 2 ，也可得到a ，A ，b 成等差数列，所以A 是a ，b 的等差中项?A ＝a ＋b 2 3. 等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 上述公式中有4个变量，a 1，d ，n ，a n ，在4个变量中已知其中的三个便可求出其余的一个，即“知三求一”.其作用为： (1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项； (2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差，从而可求等差数列中的任一项； (3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项. 【典例讲练】 题型一 等差数列的概念 例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…；

(4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a，a，a，a，a，…. 练习1：数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列() A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 题型二等差中项 例2在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列. 练习2：若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项. 题型三等差数列的通项公式及应用 例3(1)若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. (2)已知递减等差数列{a n}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？ （3）等差数列2,5,8,...,107共有项

数列综合应用(放缩法)教案资料

数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 二、典例讲解 1．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和 为n B ，求证：21

③．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列{}n a 满足：11=a ， )3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 112 13-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中， 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数）， 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的 逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++

10数列 (学生版)

高考文科数学（客观题）考点分类训练<<数列>> 1.等差数列}{n a 中,482=+a a ,则它的前9项和=9S （ ） A ．9 B ．18 C ．36 D ．72 2.已知等差数列{n a }中,74 a π = ,则tan(678a a a ++)等于（ ） A ． B ． C ．-1 D ．1 3.已知正项组成的等差数列{}n a 的前20项的和100,那么615a a ?最大值是（ ） A ．25 B ．50 C ．100 D ．不存在 4.已知数列{}n a 是等比数列,且251 2,4 a a == ,则12231n n a a a a a a +++???+=（ ） A ．16(14)n -- B ．16(12)n -- C ．32(14)3n -- D ．32 (12)3 n -- 5.在等比数列{}n a 中,531=+a a ,1042=+a a ,则=7a （ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．128 6.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：*),(N n m S S S m n m n ∈=++且 ==101,6a a 那么（ ） A ．10 B ．60 C ．6 D ．54 7.以双曲线15 422=-y x 的离心率为首项，以函数()24-=x x f 的零点为公比的等比 数列的前n 项的和=n S （ ） A ．()2 3 123--?n B ．n 2 3 3- C ．3 2321-+n D ． 3 234n - 8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则5a =（ ） A. 16- B. 16 C. 31 D. 32

数列的综合应用

第十六节 数列的综合应用 [自我反馈] 1．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2 n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( ) A ．－1或2 B ．0或2 C ．2 D ．1 解析：选C 由题意可知，a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ， 解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数)， 又b n ＋1b n －1＝b 2 n ＝2b n (n ≥2)， 所以b n ＝2(n ≥2)，log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2. 2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝????? a n 2 ，当a n 为偶数时， 3a n ＋1，当a n 为奇数时. 若a 6＝ 1，则m 所有可能的取值为( ) A ．{4,5} B ．{4,32} C ．{4,5,32} D ．{5,32} 解析：选C a n ＋1＝????? a n 2 ，当a n 为偶数时， 3a n ＋1，当a n 为奇数时， 注意递推的条件是a n (而不是n )为偶 数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32. 3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝6，若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________． 解析：由题意知等差数列{a n }的公差d ＝ a 3－a 1 2 ＝2，则a 4＝8，a 5＝10，设所加的数为x ， 依题意有(8＋x )2 ＝(2＋x )(10＋x )，解得x ＝－11. 答案：－11 4．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N * )等于________． 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{a n }， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得 2 1－2n 1－2 ≥100，即2n ≥51，

2012届高三数学一轮复习 5.5 数列的综合应用课时训练解析 新人教A版

第五章 第五节 数列的综合应用 (时间60分钟，满分80分) 一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．(2011·济南模拟)已知数列{a n }是首项为a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则其公比q 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D. 2 解析：依题意有2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4 ＝4a 1－2a 1q 2 ，整理得q 4 ＋q 2 －2＝0，解得q 2 ＝1(q 2 ＝－2舍去)，所以q ＝1或－1. 答案：C 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 4＝36，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N * )的直线的一个方向向量的坐标可以是( ) A ．(－1 2，－2) B ．(－1，－1) C ．(－1 2 ，－1) D ．(2，1 2 ) 解析：设数列{a n }的公差为d ，则有????? 2a 1 ＋2×12 d ＝104a 1 ＋4×3 2 d ＝36，解得d ＝4，于是直线PQ 的 斜率k ＝ a n ＋2－a n n ＋2－n ＝d ＝4，故直线的一个方向向量的坐标可以是(－1 2 ，－2)． 答案：A 3．(2011·福州模拟)等差数列中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( ) A ．156 B ．52 C ．26 D ．13 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4， ∴S 13＝13a 1＋a 13 2＝13a 4＋a 102 ＝26. 答案：C 4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2 －b n x ＋2n 的两个零点，则 b 10等于( ) A ．24 B ．32

数学押题30天之专题三数列(学生版)

2009年高考最后30天抢分必备 专题三 数列 【押题理由】数列在教材中的内容不多，但高考所占分值比重不小,.数列中蕴含中丰富的数学思想方法，故备受命题专家的青睐.数列是一类特殊的函数，是知识的一个交汇点.可以和函数、方程、三角、不等式、解析几何、数学归纳法等相结合出综合解答题. 高考题以两种基本数列为载体，有小题和大题.选择、填空题多考查数列的基础知识和基本性质属于低、中档题；解答题多是综合题，低档题也有，中、高档题居多.这些题目重点考查数列的基本概念、基本公式和基本性质，恰当选择、灵活运用是关键，加强数列的运算是重中之重.因此，押题重点是小题强化双基，大题强化综合，兼顾知识点与方法的覆盖面. 【押题1】在等差数列{}n a 中，若10031004100610074a a a a +++=，则该数列的前2009项的和是（ ） A ．2007 B ．2008 C ．2009 D ．2010 【押题2】数列{}n a 中，10a >，且满足1 1 3(2)32n n n a a n a --=≥+，则数列{}lg n a 是： （ ） A 递增等差数列 B 递减等差数列 C 递减数列 D 以上都不是 【押题3】数列{}n a 中，13a =，27a =，当n N * ∈时，2n a +等于1n n a a +的个位数，则数 列{}n a 的第2010项是 （ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 7 【押题4】公差不为零的等差数列}{n a 中，022112 73=+-a a a ，数列}{n b 是等比数列， 且 ==8677,b b a b 则（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【押题5】已知{n a }是等差数列,57a =,555S =,则过点2(3,)P a ，4(4,)Q a 的直线的斜率为 （ ） A ．4 B ． 4 1 C ．— 4 D ．14 - 【押题6】设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10:S 5＝1:2，则S 15:S 5＝( ) A . 34 B . 23 C . 12 D . 13 【押题7】设函数21123()n n f x a a x a x a x -=++++，1 (0)2 f = ，数列{}n a 满足2*(1)()n f n a n N =∈，则数列{}n a 的通项n a 等于 . 【押题8】已知数点()1,n n a a +在直线10x y -+=上， 11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，数列()132n n S n S +??? ? ? ?+??? ?的最大值为

考点4 等差数列(学生版)

考点4 等差数列 [玩前必备] 1．数列的定义 按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． 2．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作这个数列的通项公式． 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ， 则a n ＝????? S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2). 4．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示． 5．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 说明：等差数列{a n }的通项公式可以化为a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)的形式，即等差数列的通项公式是关于n 的一次表达式，反之，若某数列的通项公式为关于n 的一次表达式，则该数列为等差数列. 6．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ，则S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2 d . 说明：数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)．这表明d ≠1时，等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次表达式，并且没有常数项. 7．等差中项 如果A ＝a ＋b 2 ，那么A 叫作a 与b 的等差中项． 8．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . [玩转典例] 题型一 数列的概念 例1 根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项： (1)a n ＝n 2－12n －1 ；(2)a n =n(n+2). [玩转跟踪]

7.5数列综合应用[复习+提高]教案

7.5数列综合应用 【知识要点回顾】 一、数列综合问题中应用的数学思想 1．用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在自然数集上的函 数； 2．用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程； 3．用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列的研究； 4．数列综合问题常常应用分类讨论思想，特殊与一般思想，类比联想思想，归纳猜想思想等。 二、解决问题的主要思路有 1．把综合问题分解成几个简单的问题 2．把综合问题转化为熟悉的数学问题 3．通过观察，探索问题的一般规律性 4．建立数列模型，使用模型解决问题 三、实际问题的数列模型 依据实际问题的递推、等差、等比情境，将问题转换为递推数列、等差数列和等比数列，建立数列模型探究和解决实际应用问题。 四、注意 （1）直接用公式求和时，要注意公式的应用范围和公式的推导过程。 （2）求一般数列的前n 项和，无通法可循，为此平时要注意掌握某些特殊数列前n 项和的求法。 （3）数列求和时，要注意观察它的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。 【课前小练】 1、某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，6小时后细胞成活的个数是（ B ） A ．63 B ．65 C ．67 D ．71 65 6122)1(1125361 1121==+=∴?-=-∴-===-+a n a a a a a a a n n n n n n 时，，，解： 2、根据市场调查结果、预测某种家用商品从年初开始的几个月内积累的需求量n S （万件） 近似的满足：），，，，1221()521(90 2 =--= n n n n S n 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ C ） A ．5月，6月 B ．6月，7月

高三数学总复习综合专题数列求和(学生版)

数列求和 概述：先分析数列通项的结构特征，再利用数列通项揭示的规律来求数列的前n 项和，即求和抓通项。 1、直接（或转化）由等差数列、等比数列的求和公式求和 思路：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 ①等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=； ②等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n ； ③)1(211+==∑=n n k S n k n ； ④)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n ； ⑤21 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n 。 2、逆序相加法 思路：把数列正着写和倒着写再相加。（即等差数列求和公式的推导过程的推广） 例1：设函数2 22)(+=x x x f 的图象上有两点),(),,(211121y x P y x P ，若)(2121OP OP OP +=，且点P 的横坐标为2 1。 （1）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值； （2）若; 求,),()3()2()1(*n n S N n n n f n f n f n f S ∈+?+++= 3、错位相减法

思路：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则求{}n n b a 的前n 项和n S 可用错位相减法。 例2：在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>。 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。 4、裂项相消法 思路：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。一般地，数列{}n a 为等差数列，且公差不为 0，首项也不为0，∑∑∑=++==+-?=-=n i i i i i n i n i i i a a d a a d a a 111111)11(1)11(11。 常见的通项分解（裂项）如下： ①)11(1)(1k n n k k n n a n +-?=+=，（当1≠k 时，通项裂项后求和是隔项相消的，注意观察剩余项） 1 11)1(1+-=+=n n n n a n ；（通项裂项后求和是逐项相消的，剩余的是所裂项的首项和末项） ②)1 21121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n ； ③]) 2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n 等。 例3：求数列 ???++???++,11 ,,321 ,211 n n 的前n 项和。 补充练习：已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为26)('-=x x f ，数列{}n a 的前n 项

等差数列(学生版)

等差数列 导引： 若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。 例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。 计算等差数列的相关公式: 通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差 项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2 在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。 例题1有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项 练习： 1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。 2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项? 3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?

例题2 有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？ 练习： 1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。 2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。 3、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少? 例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。 练习： 1、计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。 2、计算5+10+15+20+? +190+195+200的和。

3、计算100+99+98+…+61+60的和 例题4计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990) 练习： 1、计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002) 2、计算(2+4+6+...+100)-(1+3+5+ (99) 3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。 例题5 已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。 练习： 1、有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。

数列的综合应用教案

数列的综合应用教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

11 =+

1、等差数列{}n a 中,若124a a +=, 91036a a +=,则10S =______. 2. 设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若 11a =,21179 d -<<-, 则当n S 取最大值时,n 的值为_ __. 3.在等差数列{}n a 中，S n 是它的前n 项的和，且8776,S S S S ><，给出下列命题：①此数列公差0

专题12 数列-三年(学生版)

专题12数列 1．【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 2．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则 A ．当101,102b a => B ．当101,104 b a =>C ．当102,10b a =->D ．当104,10 b a =->3．【2018年高考浙江卷】已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324 ,a a a a <D ．1324 ,a a a a >>4．【2018年高考北京卷文数】设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．【2018年高考北京卷文数】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音， 从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A f B ． C ． D ．6．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4+S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314 a S ==，，则S 4=___________．

5-5第五节 数列的综合应用练习题(2015年高考总复习)

第五节 数列的综合应用 时间：45分钟 分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，1 2a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4 的值为( ) A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5－12或5＋12 解析 设{a n }的公比为q (q ＞0)，由a 3＝a 2＋a 1，得q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52.而a 4＋a 5a 3＋a 4 ＝q ＝1＋5 2. 答案 B 2．据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( ) A ．10秒钟 B ．13秒钟 C ．15秒钟 D ．20秒钟 解析 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…a n 则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n (n －1)d 2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15. 答案 C 3．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列???? ?? 1f (n )(n

∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 解析 由f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1得m ＝2，a ＝1. ∴f (x )＝x 2 ＋x ，则1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 . ∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1 n ＋1 ＝1－ 1n ＋1＝n n ＋1 . 答案 A 4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1 n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( ) A ．有最小值63 B ．有最大值63 C ．有最小值31 D ．有最大值31 解析 ∵a n ＝log 2n ＋1 n ＋2 ＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 22－log 23＋log 23－log 24＋…＋log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)＝1－log 2(n ＋2)． 由S n <－5，得log 2(n ＋2)>6， 即n ＋2>64，∴n >62，∴n 有最小值63. 答案 A 5．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2 －b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( ) A ．24 B ．32

高中数学精讲教案-数列求和、数列的综合应用

高中数学-数列求和、数列的综合应用 考点一 数列求和 知识点 数列的求和方法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 ①等差数列的前n 项和公式： S n ＝ n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1) 2 d . ②等比数列的前n 项和公式： S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. ③常见数列的前n 项和公式： a ．1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ； c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2； d ．12＋22＋32＋…＋n 2＝ n (n ＋1)(2n ＋1) 6 ； e ．13＋23＋33＋…＋n 3＝????n (n ＋1)22. (2)倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式有： ①1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1； ②1n (n ＋2)＝12??? ?1 n －1n ＋2； ③1(2n －1)(2n ＋1)＝12??? ?1 2n －1－12n ＋1； ④ 1n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n . (4)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． (5)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分

天津市高三数学总复习 综合专题 数列 理 (学生版)

数列（理） 考查内容：本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、 不等式证明等基础知识，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力、 推理论证能力及综合分析、解决问题的能力。 1、在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+。 （1）设1 2 n n n a b -= 。证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。 2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （1）证明：当2b =时，{} 12n n a n --?是等比数列； （2）求{}n a 的通项公式 3、已知数列{}n a 的首项12 3 a = ，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…。 （1）证明：数列? ?? ?? ?-11n a 是等比数列； （2）数列? ?? ?? ?n a n 的前n 项和n S 。 4、已知数列{}n a 满足：1±≠n a ，2 11=a ，()() 2211213n n a a -=-+，记数列21n n a b -=，221n n n c a a +=-， n N *∈。 （1）证明数列 {}n b 是等比数列； （2）求数列{}n c 的通项公式； （3）是否存在数列{}n c 的不同项k j i c c c ,,，k j i <<，使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项 k j i c c c ,,，k j i <<；若不存在，请说明理由。 5、已知数列{}n a 、{}n b 中，对任何正整数n 都有：

11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--L 。 （1）若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）若数列{}n b 是等比数列，数列{}n a 是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由； （3）若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，求证：1132 n i i i a b =<∑ 。 6、设数列{}n a 满足11a =，22a =，121 (2)3 n n n a a a --= +，(3,4,)n =L 。数列{}n b 满足11,(2,3,)n b b n ==L 是非零整数，且对任意的正整数m 和自然数k ，都有 111m m m k b b b ++-≤+++≤L 。 （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记(1,2,)n n n c na b n ==L ，求数列{}n c 的前n 项和n S 。 7、有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a ， (,1,2,3,,, 3)m k n n =L ≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列。 （1）证明1122m d p d p d =+，n m ≤≤3，12,p p 是m 的多项式，并求12p p +的值； （2）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L （每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m c m d 的前n 项和n S 。 （3）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（2）中的n S ，求使得不等式1 (6)50 n n S d ->成立的所有N 的值。 8、数列}{n a 的通项公式为?? ? ? ?-=3sin 3cos 22 2 ππn n n a n ，其前n 项和为n S 。 （1）求n S ； （2）设n n n n S b 4 3?= ，求数列}{n b 的前n 项和n T 。 9、数列}{n a 满足}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22 n n n n n a a a a a n ππ+===++=L 满足。

2019版一轮优化探究理数练习：第六章第五节数列的综合应用含解析

一、填空题 1．设等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝4d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 的值为________．解析：由条件知a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4d ＋(n －1)d ＝(n ＋3)d ，即a n ＝(n ＋3)d (n ∈N *)．又a 2k ＝a 1·a 2k ，所以(k ＋3)2d 2＝4d ·(2k ＋3)d ，且d ≠0，所以(k ＋3)2＝4(2k ＋3)，即k 2－2k －3＝0，解得k ＝3或k ＝－1(舍去)． 答案：3 2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线 连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12 n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________． 解析：由已知可得第n 年的产量a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2；当n ＝1时也适合．据题意令a n ≥150?n ≥52，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年． 答案：7 3．等差数列中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是________． 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4， ∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2 ＝26.答案：26 4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于________． 解析：依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64. 答案：64 5．有限数列A ：a 1，a 2，…，a n ，S n 为其前n 项和，定义S 1＋S 2＋…＋S n n 为A 的“凯森和”，若有99项的数列a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为________． 解析：设a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为