正四面体的外接球半径的求法

正四面体的外接球半径的求法

正四面体是一种比较灵活的多面体，而球又是高中教材中唯一保留下来的旋转体，此两种几何的组合无疑有着特殊的意义。现把求四面体外接球的半径的几种方法总结如下，本人认为很有代表意义，希望它对高三备考的师生能有启发作用。

如右图：已知正四面体A B C D -，H 为底面的中心，O 为外接球的球心，设棱长为a ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，试求R.

方法一：易知R+r=AH=

3a

，由等积法得：

A BCD O ABC O BCD O CDA O DAB

V V V V V -----=+++

所以：

1143

3B C D B C D

A H S r S ???=?

? 故14

r A H

=

,34

R A H

=

所以 4

R a =

.

方法二：如图AH M BN M

???所

H M O N A M

O A

=

，即

13

r R

=

,又由R+r=AH=

3

a

可得

4R a =

.

方法三：

如图设延长AH 交球面上一点K,则AK=2R,在直角三角形ABK 中由射影

定理得2AB AH AK =? 即2

23a R

=

? 故得4

R =

.

方法四：2a

的正方体，显然正方体

()22

a R

=故可得4R a =

.

小结：此四种方法立体交叉，思想性、艺术性各有千秋，对培养学生的空间想象能力以及综合解题能很有帮助。

外接球半径常见的求法

多面体外接球半径常见求法 知识回顾： 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系： ． 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 球的表面积表面积S ＝ ；球的体积V ＝ ． 球与棱柱的组合体问题 1． 正方体的内切球： 球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为R 。 如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2 a R =； 2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2 2=。 3． 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2 31==。 一、公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 图3 图4 图5

二、多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、补形法 例3 ，则其外接球的表面积是 . 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R = 变式1：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ） A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．2 24a π 四、寻求轴截面圆半径法 例4 正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思 想方 法值得我们学习. 变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积 C D A B S O 1图3

四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法 在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。 本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。 一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为 2 2 2 c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2 2 22c b a R ++= 【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解： 因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++= 1663142 2 22=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S 二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。 【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。 A C D B E

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ， 5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。 解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22 210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ?中斜边为AC 在PAC Rt ?中斜边为AC 取斜边的中点O ， 在ABC Rt ?中OC OB OA == 在PAC Rt ?中OC OB OP == 所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心 52 1 == AC R 所以该外接球的体积为3 500343π π==R V 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。 三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解 【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，?=∠120BAC ， 2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。 解：由已知建立空间直角坐标系 )000(，， A )002(，， B )200(，，D 由平面知识得 )031(，，-C O A B C P A B C D z x y

探求正四面体外接球、内切球半径求法

探求正四面体外接球、内切球半径 正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角 形， 有外接球、内切球，且球心重合 . 已知正四面体 ABCD 棱长为 a ，设外接球半径为 R ，内切球半径为 r ，球心为 O ，则 正四面体的高 h 是 36 a ，外接球半径是 46 a 即R 43 h ；内切球半径是 126 a 即 1 r h . 外接球半径是内切球半径的 3 倍 . 下面从不同角度、用不同方法进行探求： 4 方法一：（勾股定理） 作AH 平面BCD 于H 点,则点 H 是V BCD 的中心， 在 Rt V BOH 中， BO 2 BH 2 OH 2 ， 作AH 平面BCD 于H 点,则点 H 是V BCD 的中心， 高h AH 6 a 3 a ， 设 O 为球心， 则O AH . 连结 BH , BO . Q AO BO ABO BAO = , BOH 2. 在 Rt V ABH 中， tan BH AH 3 a 3 6 3 a 2 , 2, 在 Rt V OBH 中， tan 2 BH OH 3 a 3 r 3a , 3r , 高 h AH 6 a ，设 O 为球心，则 O 3 AH . 连结 BH , BO . 即 R 2 ( 33 a )2 ( 36 a 33 R )2， 46 a ,r 4 hR 66 aa 34 6 a 12 方法二： 三角正切倍角公式）

2 方法三：（分割等体积） 作AH 平面BCD 于H 点,则点 H 是V BCD 的中心， 得到四个以 O 为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是 内切球的半径 r ，设正四面体每个面的面积为 S ， 则 4V O BCD V A BCD , 即 4 13 S g r 1 3 S g AH , 11 r AH h 12 6a , 44 12 R h r 6 a 6 a 6 a . 3 12 4 方法四：（侧棱、高相似或三角） 作AH 平面BCD 于H 点,则点 H 是V BCD 的中心， 高 h AH 6 a ，设 O 为球心，则 O AH . 3 设 M 是 AB 的中点，连结 OM ,OB , BH , Q AO BO OM AB AMO AHB Rt ，又 MAO HAB ， Q tan 2 2 tan tan 2 3a 3r 2 ( 22)2 2 2, 6 a , R h r 12 6 a 3 6 a 12 6 a . 4 V AMO : V AHB ， AM AO AH AB ， 高 h AH 6 a ，设 O 为球心，则 O 3 AH . 连结 BO , CO , DO ,

多面体外接球半径内切球半径常见几种求法

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,84x x x h h =??=??∴??=???=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离2 d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直， 则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R =

探求正四面体外接球内切球半径求法

探求正四面体外接球、内切球半径 正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合. 已知正四面体ABCD 棱长为a ，设外接球半径为R ，内切球半径为r ，球心为O ，则正四面体的高h 是 3a ，外接球半径是4a 即34R h =；内切球 半径是a 即14 r h =. 外接球半径是内切球半径的3倍. 下面从不同角度、用不同方法进行探求： 方法一：（勾股定理） 作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V 高3 h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO 在Rt BOH V 中，222BO BH OH =+， 即222))33 R a a R =+-， 方法二：（三角正切倍角公式） 作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V 高3 h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO 在Rt ABH V 中，tan ,23 a BH AH θ=== 在Rt OBH V 中，3tan 2,3a BH OH r r θ===

方法三：（分割等体积） 作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V 高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,,,BO CO DO 得到四个以O 为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是 内切球的半径r ，设正四面体每个面的面积为S ， 则4,O BCD A BCD V V --=即114,33 S r S AH ?=g g 方法四：（侧棱、高相似或三角） 作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V 高3 h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设M 是AB 的中点，连结,,,OM OB BH AMO AHB Rt ∴∠=∠=∠，又MAO HAB ∠=∠， AMO AHB ∴V :V ， AM AO AH AB ∴=， 即 ,a R a = 或：设BAH MAO θ∠=∠=，则 在Rt ABH V 中，3cos a AH AB a θ==， 在Rt AMO V 中，2cos .a AM AO R θ==

四面体外接球的球心半径求法

四面体外接球得球心、半径求法 在立体几何中,几何体外接球就是一个常考得知识点,对于学生来说这就是一个难点,一方面图形不会画,另一方面在画出图形得情况下无从下手,不知道球心在什么位置,半径就是多少而无法解题。 本文章在给出图形得情况下解决球心位置、半径大小得问题、 一、出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。 【原理】:长方体中从一个顶点出发得三条棱长分别为,则体对角线长为,几何体得外接球直径为体对角线长 即 【例题】:在四面体中,共顶点得三条棱两两垂直,其长度分别为,若该四面体得四个顶点在一个球面上,求这个球得表面积。 解: 因为:长方体外接球得直径为长方体得体对角线长 所以:四面体外接球得直径为得长 即: 所以 球得表面积为 二、出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。 【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。 【例题】:已知三棱锥得四个顶点都在球得球面上,且,,,,求球得体积。 解:且,,,, 因为 所以知 所以 所以可得图形为: 在中斜边为 在中斜边为 取斜边得中点, 在中 在中 所以在几何体中,即为该四面体得外接球得球心 A C

所以该外接球得体积为 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外得两个点连线、 三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求解? 【例题】:已知在三棱锥中,,,,求该棱锥得外接球半径、 解:由已知建立空间直角坐标系 解得 所以半径为 【结论】:空间两点间距离公式: 四、四面体就是正四面体 处理球得“内切”“外接"问题 与球有关得组合体问题,一种就是内切,一种就是外接。作为这种特殊得位置关系在高 考中也就是考查得重点,但同学们又因缺乏较强得空间想象能力而感到模糊。解决这类题目 时要认真分析图形,明确切点与接点得位置及球心得位置,画好截面图就是关键,可使这类问 题迎刃而解。 一、棱锥得内切、外接球问题 例1.正四面体得外接球与内切球得半径就是多少？ 分析:运用正四面体得二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。 解:如图1所示,设点就是内切球得球心,正四面体棱长为.由图形得对称性 知,点也就是外接球得球心.设内切球半径为,外接球半径为. 正四面体得表面积、 正四面体得体积 , 在中,,即,得,得 【点评】由于正四面体本身得对称性可知,内切球与外接球得两个球心就是 重合得,为正四面体高得四等分点,即内切球得半径为 ( 为正四面体得高),且 外接球得半径,从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间得关系。 例２。设棱锥得底面就是正方形,且,,如果得面积为1,试求能够放入这个 图1 棱锥得最大球得半径. 解:平面, 图2

四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法 一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为 2 22c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即22 22c b a R ++= 【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++= 1663142 222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S 二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。 【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。 【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。 解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ?中斜边为AC 在PAC Rt ?中斜边为AC ，取斜边的中点O ， 则OC OB OA ==，OC OB OP == 所以OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心 521==AC R 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。 三、四面体是正四面体 A C D B E O A B C P

简单几何体外接球半径的求法及答案

简单几何体外接球半径的求法 一、补成正方体或长方体型 有三维垂直的条件或者正四面体或者三对相对棱分别相等的三棱锥。 练习：1、三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，长度 2，则其外接球半径为。 分别为3，5，2 2，则其外接球表面积为。 2、正四面体棱长为2 3、已知三棱锥A-BCD的三对相对棱分别长为5 , 13， 10 , 则其外接球表面积为。 二、补成圆柱型 底面有外接圆的直棱柱都可以补成圆柱求外接球半径。 练习：1、三棱锥P-ABC中，PA垂直于底面ABC， 120，PA=3， AB=BC=2，∠B=0 其外接球表面积为。 2、三棱锥P-ABC中，PC垂直于底面ABC，

AB=3，BC=23，∠B=060， 其外接球表面积为π28，则PC=。 三、正棱锥型 外接球球心在正棱锥高所在直线上，在直角三角形中求解。 练习：1、如图，正三棱锥A-BCD 底面边长BC=6，高AH=8，则其 外接球表面积为。 2、正四棱锥底面边长为4，侧棱长为112 ，则其外接球表面积为。 四、面面垂直型 找出互相垂直的这两个面的外心21,O O ，分别过21,O O 作所在平面的垂线21,l l ，21,l l 的交点即为外接球的球心。在直角三角形中求外接球的半径。 练习：1、三棱锥P-ABC 中，面PBC 垂直于面ABC ， ABC Δ和PBC Δ都是边长为6的正三角形， 则其外接球半径为。

2、三棱锥P-ABC 中，面PBC 垂直于面ABC ， ABC Δ是斜边为BC 的直角三角形，PBC Δ是边长为6的正三角形，则其外接球半径为。 3、三棱锥P-ABC 中，面PBC 垂直于面ABC ， ABC Δ是斜边为AB 的直角三角形，AC=4，PBC Δ是边长为6的正三角形，则其外接球半径为。 4、四棱锥P-ABCD 中，面PBC 垂直于面ABCD ，其中PBC Δ都是边长为6的正三角形，底面ABCD 是矩形， AB=8，则其外接球半径为。

多面体的外接球半径常见求法

多面体的外接球半径常见求法 知识回顾： 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体 的。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体 的。 球心到截面的距离d与球半径R及截面的半径r有以下关 系：． 球的表面积表面积S＝；球的体积V＝． 一、公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 ，底 8面周长为3，则这个球的体积为 . 小结本题是运用公式222 =+求球的半径的，该公式是求球的半 R r d 径的常用公式. 二、多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π

小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、寻求轴截面圆半径法 例3 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都 S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的 体积为 . 而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习. 变式：底面边长为3的正三棱柱外接球的体积为332π ，则该三棱柱 的体积为 C D A S O 1 图3

四、确定球心位置与球心在截面上的投影 例4：三棱锥P ABC ?是边长为2的正三角形，PA⊥底-中，底面ABC 面ABC，且2 PA=，则此三棱锥外接球的半径为（） 21 A．2 B．5C．2 D． 3 变式1：三棱锥P ABC ?中AB=3，BC=4，AC=5 PA⊥底 -中，底面ABC 面ABC，且2 PA=，则此三棱锥外接球的半径为 变式2：三棱锥P ABC ?中AB=4，BC=5，AC=6 PA⊥底 -中，底面ABC 面ABC，且2 PA=，则此三棱锥外接球的半径为 变式3：已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O的表面积为 . 五、补形法 例5 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别

正四面体外接球和内切球球心

设正四面体为A-BCD. 作三角形BCD中,CD边的中线BE, BC边的中线DF. BE,DF相交于G,连接AG. 以下讨论AG的性质. 连接AE,AF. 由于BC垂直于AE, BC垂直于AF, 故BC垂直于平面ADF,(垂直于平面上的两相交直线,就垂直于这平面) 从而BC垂直于AG.(垂直于平面,就垂直于平面上的任何直线) 同理,CD垂直于AG, 即知AG垂直于平面BCD. 即AG是过三角形BCD的外心且垂直这三角形所在平面的直线. 故其上任何一点到三点BCD等距离. (1) 再者,平面ABE是二面角平面C-AB-D的平分面.即:二面角C-AB-E = E-AB-D 由此知,平面ABE上任何点到平面ABC 和平面ABD的距离相等. 同理:平面ADF是二面角平面C-AD-B的平分面. 知:平面ADF上任何点到平面ABD 和平面ACD的距离相等. 而AG在是上述两平面的交线,, 故AG上的任何点到,此到三平面ABC,ABD,ACD的距离相等(2) 同理,设三角形ADC的中心为H,连接BH, 则BH有相应的性质: (1a)其上任意点到三点ADC的距离相等; (2a)其上任意一点到三平面:BCD,BCA,BAD 距离相等.. AG, BH都在同一平面ABE中,设它们相交于O,则O点到四点:A,B,C,D距离相等, 且O点到四面ABC,ABD, BCD,ACD距离相等. 即O点既是外接球的中心,又是内切球的中心. 求证:空间中两条异面直线有且只有一条公垂线! 即已知:直线a和直线b为异面直线 求证:它们有且只有一条公垂线 我问过很多同学和老师他们都写不出来...注意证明公垂线的存在性和唯一性! 存在性证明 过直线b作平面A平行于a，将a向A投影得a'交b于点p 过点p作直线c垂直于A ∵c⊥A ∴c⊥b且c⊥a'

探求正四面体外接球、内切球半径求法

探求正四面体外接球、内切球半径 正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合. 已知正四面体ABCD 棱长为a ，设外接球半径为R ，内切球半径为r ，球心为O ，则正四面体的高h 是3a ，外接球半径是4a 即34R h = ；内切球半径是12a 即1 4r h =. 外接球半径是内切球半径的3倍. 下面从不同角度、用不同方法进行探求： 方法一：（勾股定理） 作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥ 高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO 在Rt BOH 中，222BO BH OH =+， 即222))R a a R =+-， ,.R a r h R a a a ∴==-=-= 方法二：（三角正切倍角公式） 作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥ 高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO = ,2.AO BO ABO BAO BOH θθ=∴∠=∠∠= 在Rt ABH 中，tan ,23a BH AH θ=== 在Rt OBH 中，3tan 2,a BH OH r θ===

2 3 ( 2 r ? ∴== ,. r a R h r a a a ∴==-=-= 方法三：（分割等体积） 作平面于点,则点H是的中心， AH BCD H BCD ⊥ 高 3 h AH a ==，设O为球心，则. O AH ∈连结,,, BO CO DO 得到四个以O为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是内切球的半径r，设正四面体每个面的面积为S， 则4, O BCD A BCD V V -- =即 11 4, 33 S r S AH ?= 11 , 44 . r AH h a R h r a a a ∴=== =-=-= 方法四：（侧棱、高相似或三角） 作平面于点,则点H是的中心， AH BCD H BCD ⊥ 高 3 h AH a ==，设O为球心，则. O AH ∈ 设M是AB的中点，连结,,, OM OB BH AO BO OM AB =∴⊥ AMO AHB Rt ∴∠=∠=∠，又MAO HAB ∠=∠， AMO AHB ∴， AM AO AH AB ∴=， 2 2tan tan2, 1tan θ θ θ = -

三棱锥外接球问题

三棱锥外接球问题 河北师范大学实验中学 秦琳 摘要:三棱锥外接球问题是高考热点，也是难点，常见的椎体外接球问题是有固 定方法的，本文做了一些总结。 关键字：三棱柱，外接球，高考题 引入语: 近几年三棱锥外接球问题，经常出现在高考题中，本文就常见的几种题型做一些介绍，希望对同学们有所帮助。 (2011年全国高考题)（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为 ()A 6 ()B 6 ()C 3 ()D 2 【解析】选A ABC ?的外接圆的半径3 r =O 到面ABC 的距离3d == SC 为球O 的直径?点S 到面ABC 的距离为2d = 此棱锥的体积为11233ABC V S d ?=?==此解法充分利用了球当中的性质：每一个截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面圆所在平面。下面就几个例题简单总结一下三棱锥外接球问题。 1.(2010辽宁11)已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥， 1SA AB ==，BC ，则球O 表面积等于 选A （A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π 【解析】该椎体可以补成一个长方体，而长方体的体对角线就是外接圆的直径，所以可轻松

得解。 解：14 2112=++=R ππ442==R S 球 练一练：将边长为2的正ABC ?沿BC 边上的高AD 折成直二面角B AD C --，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为 ． 答案：5π 说明：对于直角四面体和双垂四面体，都可以补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一性质求解。 2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。 解析：由于有一条棱垂直于底面，所以该棱柱可以补成一个直三棱柱，而直三棱柱的外接球的球心正好是三棱柱中截面的外接圆圆心。 答案：π332 说明：对于能补成直三棱柱的三棱锥外接球问题皆可用此法解。 3.正四面体BCD A -的边长为2，求该四面体外接球的表面积 。 解析：正四面体可以看成是有一个正方体的四条对角线构成的，所以它的外接球与正方体的外接球是同一个，从而轻松得解。 解：若对角线为2，则边长为2，体对角线为6，球半径为2 6，表面积为π6。 另解： 33 2=ED ,362344=- =AE = ?-+=OD OD AE ED OD 22)(26 =∴球S π6 此法对于顶点在底面的射影是地面三角形的外心的三棱锥外接球问题皆可用。