高考真题 三角函数的综合应用

三角函数的综合应用

2019年

1.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；

（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；

（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．

2010-2018年

一、选择题

1．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，

m 变化时，d 的最大值为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．（2016年浙江）设函数2

()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期

A ．与b 有关，且与c 有关

B ．与b 有关，但与c 无关

C ．与b 无关，且与c 无关

D ．与b 无关，但与c 有关 3．（2015陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数

3sin()6

y x k π

?=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10 4（2015浙江）存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有

A ．(sin 2)sin f x x =

B ．2

(sin 2)f x x x =+ C ．2(1)1f x x +=+ D ．2(2)1f x x x +=+

5．（2015新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，

CD 与DA 运动，∠BOP =x ．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为

A B C D

6．（2014新课标Ⅰ）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为

A ．

B ．

C ．

D ．

7．（2015湖南）已知函数230

()sin(),()0,f x x f x dx π

?=-=?

且

则函数()f x 的图象的一条对称轴

是 A ．56x π= B ．712x π= C ．3x π= D ．6

x π= 二、填空题

8．（2016年浙江）已知2

2cos sin 2sin((>0)x x A x b A ω?+=+)+,则A =__，b =__． 9．(2016江苏省) 定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点

个数是 ． 10．（2014陕西）设2

0π

θ<

<，向量()()sin 2cos cos 1θθθ==，

，，a b ，若∥a b ， 则=θtan _______．

11．(2012湖南)函数()sin()f x x ω?=+的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A ,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.

（1）若6

π

?=

，点P 的坐标为（0，

33

2

），则ω= ；

（2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率

为 ．

三、解答题

12．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧

的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为

CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．

N

M P

O

A

B C

D

(1)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；

(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

13．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，

容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为

cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的

长度；

（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的

长度．

14．（2015山东）设2

()sin cos cos ()4

f x x x x π

=-+

．

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c ，若()02

A

f =，1a =，求△ABC

面积的最大值．

15．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关

系：ππ

()103cos

sin 1212

f t t t =--，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天的最大温差； （Ⅱ）若要求实验室温度不高于

，则在哪段时间实验室需要降温？

16．（2014陕西）ABC ?的内角C B A ，，

所对的边分别为c b a ，，． （I ）若c b a ，，

成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，

成等比数列，求B cos 的最小值． 17．（2013福建）已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<的周期为π，图像的一个对称中

心为(

,0)4

π

，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）

，在将所得图像向右平移

2

π

个单位长度后得到函数()g x 的图像． (1)求函数()f x 与()g x 的解析式； (2)是否存在0(

,)64

x ππ

∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．

(3)求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点．

答 案 2019年

1.解析 解法一：

（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .

由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，

所以84cos sin

105

PBD ABE ∠=∠==. 所以12

154

cos 5

BD PB PBD =

==∠.

因此道路PB 的长为15（百米）.

（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知2210AD AE ED =

+=，

从而2227

cos 0225

AD AB BD BAD AD AB +-∠=

=>?，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.

当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；

当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.

设1P 为l 上一点，且1

PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，

此时11113

sin cos 1595

PD PB PBD PB EBA =∠=∠=?

=； 当∠OBP >90°时，在1

PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.

由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，

2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半

径.

综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.

因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H. 以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.

因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，?3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （?4，?3），直线AB 的斜率为3

4

. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43

-， 直线PB 的方程为425

33

y x =-

-

. 所以P （?13，9），2

2

(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.

（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （?4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （?4，9），又A （4，3），

所以线段AD ：3

6(44)4

y x x =-

+-.

在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM ==，

所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.

当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；

当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.

设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （?13，9）； 当∠OBP >90°时，在1

PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），

由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段

QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.

综上，当P （?13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离

4(13)17PQ =+-=+

因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+

2010-2018年

1．C 【解析】由题意可得

d =

=

=

=

（其中cos ?=

，sin ?=

），∵1sin()1θ?--≤≤,

d

1=+

，

∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ． 2．B 【解析】由于2

1cos2()sin sin sin 2

x

f x x b x c b x c -=++=

++． 当0b =时，()f x 的最小正周期为π； 当0b ≠时，()f x 的最小正周期2π；

c 的变化会引起()f x 的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B ．

注：在函数()()()f x h x g x =+中，()f x 的最小正周期是()h x 和()g x 的最小正周期的公倍数． 3．C 【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这

段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 4．D 【解析】对于A ，当4

x

π

或

54

π时，sin 2x 均为1，而sin x 与2

x x 此时均有两个值，故A 、B 错误；对于C ，当1x 或1x =-时，2

12x ，而|1|x 由两个值，故C 错误，选D ．

5．B 【解析】由于(0)

2,()1

5,()22

()4

2

4

f f f f π

ππ

，

故排除选项C 、D ；当点P 在BC 上时，2()tan 4tan (0)4

f x BP AP

x

x x π

≤≤．不难发现()f x 的图象是非线性，

排除A ．

6．C 【解析】由题意知，()|cos |sin f x x x =?，当[0,

]2x π

∈时，1

()sin cos sin 22

f x x x x ==；当(

,]2x π

π∈时，1

()cos sin sin 22

f x x x x =-=

-，故选C ． 7．A 【解析】由

22330

1sin()cos()|cos cos 02x dx x ππ

????

?-=--=

+=?

， 得tan ?=

()3

k k Z π

?π=

+∈，所以()sin()()3

f x x k k Z π

π=-

-∈，

由正弦函数的性质知sin()3y x k ππ=-

-与sin()3

y x π

=-的图象的对称轴相同， 令32x k πππ-=+，则5()6x k k Z ππ=+∈，所以函数()f x 的图象的对称轴为

5()6x k k Z ππ=+∈，当0k =，得56

x π

=

，选A ． 8

1

【解析】22cos sin 2)14

x x x π

+=++

，所以 1.A b ==

9．7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．

10．

12

【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cos θθ=，∴2

2sin cos cos θθθ=，∵(0,)2πθ∈，

∴1

tan 2

θ=．

11．（1）3；（2）4

π【解析】（1）()y f x '=cos()x ωω?=+

，当6

π

?=

，点P 的坐标为（

0，

2

）时cos

36

π

ωω=

∴=； （2）曲线()y f x '=cos()x ωω?=+的半周期为

πω，由图知222T AC π

πωω

===， 122

ABC

S

AC π

ω=

?=，设,A B 的横坐标分别为,a b ．设曲线段ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S 则()()

sin()sin()2b

b

a

a

S f x dx f x a b ω?ω?'=

==+-+=?

，

由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224

ABC

S

P S

π

π=

==． 12．【解析】(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．

θ

H

E K

G

N

M P

O A

B

C D

过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以COE θ∠=， 故40cos OE θ=，40sin EC θ=，

则矩形ABCD 的面积为240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )θθθθθ?+=+，

CDP ?的面积为1

240cos (4040sin )1600(cos sin cos )2

θθθθθ??-=-．

过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则10GK KN ==． 令0GOK θ∠=，则01sin 4θ=，0(0,)6

πθ∈． 当0[,

)2

π

θθ∈时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，

所以sin θ的取值范围是1[,1)4

．

答：矩形ABCD 的面积为800(4sin cos cos )θθθ+平方米，CDP ?的面积为

1600(cos sin cos )θθθ-，sin θ的取值范围是1

[,1)4

．

(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (0)k >， 则年总产值为4800(4sin cos cos )31600(cos sin cos )k k θθθθθθ?++?-

8000(sin cos cos )k θθθ=+，0[,)2

π

θθ∈．

设()sin cos cos f θθθθ=+，0[,

)2

π

θθ∈，

则2

2

2

()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ'=--=-+-=--+． 令()0f θ'=，得π6

θ=， 当0(,)6

π

θθ∈时，()>0f θ′

，所以()f θ为增函数； 当(

,)62

ππ

θ∈时，()<0f θ′

，所以()f θ为减函数， 因此，当π

6

θ=时，()f θ取到最大值．

答：当π

6

θ=

时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 13．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，

所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处． 因为107AC =，40AM =． 所以2240(107)30MN =

-=，从而3

sin 4

MAC ∠=

． 记AM 与水平的交点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足， 则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =， 从而11

116sin PQ AP MAC

=

=∠．

答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.

( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)

（2）如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义，1OO ⊥平面 EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1OO ⊥EG . 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，1OO ⊥11E G . 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处.

过G 作GK ⊥11E G ，K 为垂足， 则GK =1OO =32. 因为EG = 14，11E G = 62， 所以1KG =

6214

242

-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=.

设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25

KGG KGG απ=+==∠∠. 因为

2απ<<π，所以3cos 5

α=-. 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7

sin 25

β=. 因为02βπ<<

，所以24

cos 25

β=. 于是sin sin()sin()sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+∠

42473(35)525255

=?+-?=. 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则 22P Q ⊥平面EFGH ，故

22P Q =12，从而 2EP =

22

20sin P NEG

Q =∠.

答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)

14．【解析】（Ⅰ）由题意1cos(2)

12()sin 222

x f x x π

++=-

x x 2sin 21212sin 21+-= 2

1

2sin -=x ．

由ππ

ππk x k 22

222+≤≤+-(Z k ∈)，可得ππππk x k +≤≤+-44(Z k ∈)；

由ππ

ππk x k 22

3222+≤≤+(Z k ∈)，得ππππk x k +≤

≤+434(Z k ∈)； 所以)(x f 的单调递增区间是]4

,4[ππ

ππk k ++-（Z k ∈）；

单调递减区间是]43,4[ππ

ππk k ++（Z k ∈）．

（Ⅱ）1()sin 022A f A =-=，1

sin 2

A ∴=，

由题意A 是锐角，所以 cos 2

A =

． 由余弦定理：A bc c b a cos 22

2

2

-+=， 可得2

2

12b c bc =+≥

323

21

+=-≤

∴bc ，且当c b =时成立．

2sin 4bc A ∴≤

．ABC ?∴面积最大值为4

3

2+．

15．【解析】（Ⅰ）因为1()102(

cos sin )102sin()212212123

f t t t t ππππ

--+--+， 又240<≤t ，所以373

12

3

ππ

π

π

<

+

≤

t ，1)3

12sin(1≤+≤-π

πt ， 当2=t 时，1)312sin(

=+ππt ；当14=t 时，1)3

12sin(-=+π

πt ；

于是)(t f 在)24,0[上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为12C ?，最低温度为8C ?，最大温差为4C ? （Ⅱ）依题意，当11)(>t f 时实验室需要降温. 由（Ⅰ）得)3

12sin(210)(π

π+-=t t f ，

所以11)312sin(

210>+-ππ

t ，即1

sin()1232

t ππ+<-， 又240<≤t ，因此6

1131267ππππ<+

c b a ，，成等差数列，2a c b ∴+=

由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=

sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+

()sin sin 2sin A C A C ∴+=+

（2）

c b a ，，成等比数列，22b ac ∴=

由余弦定理得2222221

cos 2222

a c

b a

c ac ac ac B ac ac ac +-+--=

=== 222a c ac +≥（当且仅当a c =时等号成立） 22

12a c ac

+∴≥（当且仅当a c =时等号成立）

2211112222

a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立）

即1cos 2B ≥

，所以B cos 的最小值为1

2

17．【解析】（Ⅰ）由函数()sin()f x x ω?=+的周期为π，0ω>，得2ω=

又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4

π

，(0,)?π∈

故()sin(2)04

4

f ππ

?=?

+=，得2

π

?=

，所以()cos 2f x x =

将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移

2

π

个单位长度后得到函数()sin g x x =

（Ⅱ）当(

,)64x ππ

∈时，1sin 22x <<

，1

0cos 22

x <<， 所以sin cos2sin cos2x x x x >>．

问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在(,)64

ππ

内是否有解

设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(

,)64

x ππ

∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(

,)64x ππ

∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64

ππ

内单调递增

又1

()06

4

G π

=-

<，()042G π=

> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64

ππ

内存在唯一零点0x ，

即存在唯一的0(

,)64

x ππ

∈满足题意． （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=

当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin x

a x

=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈时方程解的情况

令cos 2()sin x

h x x

=-

，(0,)(,2)x πππ∈ 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)

(,2)x πππ∈的交点情况

22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0

h x '=，得2x π=或32

x π

=．

当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表

当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞

故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点；当

1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点；当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由

函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当

1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππ内有3个交点，由周期性，20133671=?，所以67121342n =?=

综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点