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高考数学复习专题10 复数、推理与证明(原卷版)

高考数学复习专题10 复数、推理与证明(原卷版)
高考数学复习专题10 复数、推理与证明(原卷版)

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专题10 复数、推理与证明

学校:_________ 姓名:_________ 班级:_________ 考号:_________

多项选择题(请将答案填写在各试题的答题区内)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1.(2020春?滕州市校级月考)已知集合{|n M m m i ==,}n N ∈,其中i 为虚数单位,则下列元素属于集合

M 的是( )

A .(1)(1)i i -+

B .

11i

i

-+ C .

11i

i

+- D .2(1)i -

2.(2019秋?日照期末)若复数z 满足(1)3i z i -=+(其中i 是虚数单位),则( ) A .z 的实部是2

B .z 的虚部是2i

C .12z i =-

D

.||z =3.设1z ,2z 是复数,则下列命题中的真命题是( ) A .若12||0z z -=,则12z z = B .若12z z =,则12z z =

C .若12||||z z =,则1122z z z z =g g

D .若12||||z z =,则22

12z z =

4.已知复数1z i =+,则下列命题中正确的为( ) A

.||z = B .1z i =- C .z 的虚部为i

D .z 在复平面上对应点在第一象限

5.已知1z 与2z 是共轭虚数,以下4个命题一定正确的是( ) A .2212||z z <

B .1212||z z z z =

C .12z z R +∈

D .

1

2

z R z ∈

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6.复数z 的共轭复数记为z ,复数z 、z 分别对应点Z 、Z .设A 是一些复数对应的点组成的集合,若对任意的Z A ∈,都有Z A ∈,就称A 为“共轭点集”.下列点集中是“共轭点集”的有( )

A .{(x ,22)|(1)1}y x y +-?

B .24{(,)|24}0y x x y y x x >-??

<-+??>?

C .2

2{(,)|1}2

x x y y -=

D .{(,)|2}x x y y =

7.以下四个命题中正确的为( )

A .若x ,y R ∈,i 为虚数单位,且(2)1x i y i --=-+,则(1)x y i ++的值为4-

B .将函数()cos(2)13f x x π=++的图象向左平移6

π

个单位后,对应的函数是偶函数

C .若直线4ax by +=与圆2

2

4x y +=没有交点,则过点(,)a b 的直线与椭圆22

194

x y +=有两个交点

D .在做回归分析时,残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小 8.下面四个命题中的真命题为( ) A .若复数z 满足1

R z

∈,则z R ∈

B .若复数z 满足2z R ∈,则z R ∈

C .若复数1z ,2z 满足12z z R ∈,则12z z =

D .若复数z R ∈,则z R ∈

9.(2019秋?琼山区校级期末)已知复数(,)z x yi x y R =+∈,则( ) A .20z … B .z 的虚部是yi

C .若12z i =+,则1x =,2y = D

.||z

10.(2020?海南模拟)如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图,则下列判断正确的是( )

A.1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了1 3

B.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势

C.2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例

D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率11.(2020?淄博一模)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了如图的折线图.根据该折线图,下列结

论正确的是()

A.年接待游客量逐年增加

B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月

C.2017年1月至12月接待游客量的中位数为30

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳

12.(2020?山东模拟)如图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的统计图,如10月份销售任务是400台,完成率为90%,下列叙述正确的是()

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A.2018年3月的销售任务是400台

B.2018年月销售任务的平均值不超过600台

C.2018年总销售量为4870台

D.2018年月销售量最大的是6月份

13.(2020?临朐县模拟)某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程,收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位:公里)的数据,绘制了下面的折线图.

根据折线图,下列结论错误的是()

A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数

B.月跑步平均里程逐月增加

C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月

D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平稳

14.(2019秋?福州期末)某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席:

①团员或班干部;②体育成绩达标.

若小明有资格参选学生会主席,则小明的情况有可能为()

A.是团员,且体育成绩达标

B.是团员,且体育成绩不达标

C.不是团员,且体育成绩达标

D.不是团员,且体育成绩不达标

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15.(2019秋?日照期末)某大学进行自主招生测试,需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示,下列叙述正确的是( )

A .甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前

B .乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前

C .甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前

D .甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前

16.(2020?潍坊模拟)将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵,如图:该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列,每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0)m >.已知112a =,13611a a =+,记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有( )

A .3m =

B .767173a =?

C .1(31)3j ij a i -=-?

D .1

(31)(31)4

n S n n =+-

17.某学员在网上进行驾照模拟测试,在测试过程中,每答完一道题,屏幕上都会自动计算并显示当前答对题数、答错题数及正确率,若他共答了10道题,记每答完一道题,屏幕上自动显示的正确率分别为1a

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2a ,10a ?,以下四个判断中正确的是( )

A .若1210a a a <

B .若1210a a a =>?>,则必是第一、第二题均答对,其余题均答错

C .有可能89a a <且910a a >

D .满足方程5102a a =的序数对5(a ,10)a ,不可能超过5对

高考推理与证明真题汇编理科数学(解析版)

2012高考真题分类汇编:推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 : 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A .28 B .76 C .123 D .199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11,数列的前两项相加后面的项,即 21++=+n n n a a a ,所以可推出12310=a ,选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,AE =BF = 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 (A )16(B )14(C )12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到EA 点时,需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数, 以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断,下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B .d C .d D .d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由,得设选项中常数为则;中代入得, 中代入得,C 中代入得中代入得,由于D 中值最接近的真实值,故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<,

巧构几何图形 证明代数问题

巧构几何图形证明代数问题 ——兼谈构造法 习题已知a,b,c,d为正数,a^2+b^2=c^2+d^2,ac=bd,求证a=d,b=c. 分析注意到条件a^2+b^2=c^2+d^2,如果把a,b;c,d分别看成两个直角三角形的直角边,那么a^2+b^2,c^2+d^2分别表示这两个直角三角形的斜边的平方。故可构造如下图形1。 ac=bd,即 BC*AD=AB*CD ∴BC/AB=CD/AD 又∠B=∠D=90 ?? ∴Rt⊿ABC 相似于Rt⊿ADC 但为公共斜边,故 Rt⊿ABC?Rt⊿ADC ∴AB=AD,BC=CD,即b=c,a=d. 评注把正数与线段的长联系起来,给代数等式附以几何意义,从而利用图形的特点巧妙地解决了上述习题。其证法十分简捷,独具风格,耐人寻味!其高明之处就在于选择了恰当的图形!这种思考方法的关键是把数和形结合起来以互相利用!对代数等式可以这样做,对不等式也可以。 应用 【例1】已知a,b是两个不相等的正实数,求证(a+b)/2 >ab

[证明] 以a+b为边长作正方形,然后过a,b的连接点作正方形各边的垂线(如图2),于是大正方形的面积为(a+b)^2,四个矩形的面积都是ab,这样得 (a+b)^2>4ab ab>0 ∴a+b>2ab 即(a+b)/2>ab 【例2】已知0<θ<∏/2,求证1AB ∴sinθ+cosθ>1(三角形两边之和大于第三边) 又⊿ABC的面积=(1/2)BC*AC≤(1/2)AB*CO=(1/4)AB^2(三角形面积不大于一边与这边上中线积的一半) ∴2BC*AC≤AB^2 又BC^2+AC^2≤AB^2 ∴(BC+AC)^2≤2AB^2,BC+AC≤2AB,即sinθ+cosθ≤2

代数式恒等式的证明

初中数学竞赛专题选讲 代数恒等式的证明 一、内容提要 证明代数恒等式,在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形,要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。 具体证法一般有如下几种 1.从左边证到右边或从右边证到左边,其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。 2.把左、右两边分别化简,使它们都等于第三个代数式。 3.证明:左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边-右边=0可得左边=右边。 4,由己知等式出发,经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边, 二、例题 例1求证:3 n+2-2n+2+2×5 n+2+3 n-2 n=10(5 n+1+3 n-2 n-1) 证明:左边=2×5×5 n+1+(3 n+2+3 n)+(-2 n+2-2 n) =10×5 n+1+3 n(32+1)-2 n-1(23+2) =10(5 n+1+3 n-2 n-1)=右边 又证:左边=2×5 n+2+3 n(32+1)-2 n(22+1) =2×5 n+2+10×3 n-5×2 n 右边=10×5 n+1+10×3 n-10×2 n-1 =2×5 n+2+10×3 n-5×2 n ∴左边=右边 例2 己知:a+b+c=0 求证:a3+b3+c3=3abc 证明:∵a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)(见19例1) ∵:a+b+c=0 ∴a3+b3+c3-3abc=0即a3+b3+c3=3abc 又证:∵:a+b+c=0∴a=-(b+c) 两边立方a3=-(b3+3b2c+3bc2+c3) 移项a3+b3+c3=-3bc(b+c)=3abc 再证:由己知a=-b-c 代入左边,得 (-b-c)3+ b3+c3=-(b3+3b2c+3bc2+c 3)+b3+c3 =-3bc(b+c)=-3bc(-a)=3abc

历年高考数学真题精选46 推理与证明

历年高考数学真题精选(按考点分类) 专题46 推理与证明(学生版) 一.选择题(共9小题) 1.(2019?新课标Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为() A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙2.(2019?新课标Ⅰ)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是5151 (0.618 -- ≈,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此 外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 - .若某人满足上述两 个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是( ) A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm 3.(2017?新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则() A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩4.(2016?新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中A点表示十月的平均最高气温约为15C ?,B点表示

四月的平均最低气温约为5C ?,下面叙述不正确的是( ) A .各月的平均最低气温都在0C ?以上 B .七月的平均温差比一月的平均温差大 C .三月和十一月的平均最高气温基本相同 D .平均最高气温高于20C ?的月份有5个 5.(2016?北京)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每 次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) A .乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B .乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C .乙盒中红球不多于丙盒中红球 D .乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 6.(2014?北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不 合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,则这一组学生最多有( ) A .2人 B .3人 C .4人 D .5人 7.(2013?广东)设整数4n ,集合{1X =,2,3,?,}n .令集合{(S x =,y ,)|z x ,y , z X ∈,且三条件x y z <<,y z x <<,z x y <<恰有一个成立}.若(x ,y ,)z 和(z ,w ,)x 都在S 中,则下列选项正确的是( )

利用复数妙解三角几何等问题

利用复数妙解三角几何等问题 摘要 复数在高中涉及的知识点较少,在高考中占据的分数也不多,但却是很有特色的内容。因为复数的代数形式、几何形式、向量形式、三角形式以及指数形式与三角、几何、代数等学科有着密切的联系。本文罗列了复数的代数形式、几何形式、向量形式、三角形式以及指数形式,从解三角函数、几何、不等式、方程等几个问题论述复数在解决非复数数学问题的具体应用,充分认识、深刻理解、熟悉掌握和灵活运用复数的几个表示形式去解答,对学生的创新性思维素质和能力的培养具有重要意义。 关键字:复数;形式;解题;妙解 复数是高三最后一章的内容,短短几页,只有三节,但在高考中却占着一定的分值。高考中复数主要是以选择题与填空题的形式出现,只要掌握了复数的概念以及运算规律,就很容易得出答案。因此,教材的编排只简单介绍了复数的概念,复数的运算以及数系的扩充,没有作过多的介绍,其三角形式和指数形式只是在背景材料中提到过,并没有作详细的介绍。但在实际应用中,很多的数学问题,比如:三角问题、几何问题等我们也可以用复数的知识去解答。在高中数学中,复数把三角、平面几何、解析几何、代数在一定的程度上相互链接起来了,那我们应该如何巧妙地利用复数的不同表示形式去解答这类问题呢下面分别对这几方面进行探究。 1复数的不同表示形式简介 复数的代数形式 =+(其中x、y为实数),其中“i”叫做虚数复数的代数形式表示为z x yi

单位,21i =-,x 和y 分别叫做复数的实部和虚部。 复数的几何形式 图 在复平面上,每一个复数z x yi =+都能够由复平面上坐标为(x ,y )的点 来表示,复数集C 和复平面上的点所称的集合之间建立了一个一一对应的关系:“任何一个复数z x yi =+都可以由复平面的唯一的一个点(x ,y )来表示,反之,复平面内的任何一个点(x ,y )都可以表示唯一的复数z x yi =+。” 复数z x yi =+←???→一一对应复平面内的点(x ,y ),这就是复数的几何表示形式。 复数的向量形式 我们知道,任何一个复数都与平面直角坐标系中的点构成一一对应的关系, 即:复数z x yi =+←???→一一对应复平面内的点M (x ,y ),而点M (x ,y ) ←???→一一对应平面向量。所以,复数z x yi =+←???→一一对应平面向量OM ,也就是说复数z x yi =+也可以用起点为原点,点M (x ,y )为终点的向量OM 表示,OM 这个向量即是复数的向量表示形式。

复数代数形式的加减运算及其几何意义(教案)

新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 教学目标 重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则. 难点:复数加法、减法的几何意义. 知识点:.掌握复数代数形式的加、减运算法则; .理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力. 教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 自主探究点:如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题. 考试点:会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点:复数的加法与减法的综合应用. 拓展点:复数与其他知识的综合. 一、引入新课 复习引入 .虚数单位:它的平方等于,即; .对于复数: 当且仅当时,是实数; 当时,为虚数; 当且时,为纯虚数; 当且仅当时,就是实数. .复数集与其它数集之间的关系:. 一一对应 .复数几何意义: 复数复平面内的向量 我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二、探究新知

探究一:复数的加法 .复数的加法法则 我们规定,复数的加法法则如下: 设,是任意两个复数,那么: 提出问题: ()两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? ()当时,与实数加法法则一致吗? ()它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: ()仍然是个复数,且是一个确定的复数; ()一致; ()实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项.【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神. .复数加法的运算律 实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的,有 (交换律), (结合律). 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力. .复数加法的几何意义 复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设分别与复数对应,则有,由平面向量的坐标运算有 . 这说明两个向量的和就是与复数对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示:

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式: ????sin π3-2+????sin 2π3-2=43 ×1×2; ????sin π5-2+????sin 2π5-2+????sin 3π5-2+????sin 4π5-2=43×2×3; ????sin π7-2+????sin 2π7-2+????sin 3π7-2+…+????sin 6π7-2=43×3×4; ????sin π9-2+????sin 2π9-2+????sin 3π9-2+…+????sin 8π9-2=43 ×4×5; … 照此规律,????sin π2n +1-2+????sin 2π2n +1-2+????sin 3π2n +1-2+…+??? ?sin 2n π2n +1- 2=__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n +1) 【解析】观察等式右边的规律:第1个数都是4 3,第2个数对应行数n ,第3个数为n +1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i =1,2,3,…,n ),观察下列不等式: a 1+a 2 2≥a 1a 2; a 1+a 2+a 33≥3 a 1a 2a 3; a 1+a 2+a 3+a 44≥4 a 1a 2a 3a 4; … 照此规律,当n ∈N *,n ≥2时,a 1+a 2+…+a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *,n ≥2). 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式:

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义.doc

3.2复数代数形式的四则运算 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义 整体设计 教材分析 复数的加减运算不仅是本节的重点,也是本章知识的重点之一.复数代数形式的加法运算法则是一种规定,它的合理性体现在:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神.复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.对于复数加法、减法运算的几何意义(即可以通过|hj量加法、减法法则来进行),它不仅乂一次让我们看到了向量这一工具的功能,也使数和形得到了有机的结合. 课时分配 1课时. 教学目标 1.知识与技能目标 掌握复数代数形式的加法、减法运算法则,能进行复数代数形式加法、减法运算,理解并掌握复数加法与减法的几何意义. 2.过程与方法目标 培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力. 3.情感、态度和价值观 培养学生学习数学的兴趣,勇于创新的精神,并且通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 重点难点 重点:发数代数形式的加法、减法的运算法则. 难点:复数加法、减法的几何意义. 教学过程 引入新课 我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究发数的加减运算. 探究新知 我们规定,复数的加法法则如下: 设Zi=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数,那么(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i. 提出问题: 问题1:两个夏数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? 问题2:当b=0, d=0时,与实数加法法则一致吗? M题3:它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 活动设计:学生独立思考,口答. 活动成果:1.仍然是个复数,且是一个确定的复数;2.一致;3.实质是实部与实部相加, 虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项.

三角函数恒等式的证明

三角形内有关角的三角函数恒等式的证明 张思明 课型和教学模式:习题课,“导学探索,自主解决”模式 教学目的: (1)掌握利用三角形条件进行角的三角函数恒等式证明的主要方法,使学生熟悉三角变换的一些常用方法和技巧(如定向变形,和积互换等)。 (2)通过自主的发现探索,培养学生发散、创造的思维习惯和思维能力,体验数形结合、特殊一般转化的数学思想。并利用此题材做学法指导。 (3)通过个人自学、小组讨论、互相启发、合作学习,培养学生自主与协作相结合的学习能力和敢于创新,不断探索的科学精神。 教学对象:高一(5)班 教学设计: 一.引题:(A,B环节) 1.1复习提问:在三角形条件下,你能说出哪些有关角的三角恒等式? 拟答: , …… , ,

…… 这些结果是诱导公式,的特殊情况。 1.2今天开始的学习任务是解决这类问题:在三角形条件下,有关角的三角恒等式的证明。学习策略是先分若干个学习小组(四人一组),分头在课本P233---P238,P261-266的例题和习题中,找出有三角形条件的所有三角恒等式。 1.3备考:期待找出有关△ABC内角A、B、C的三角恒等式有: (1)P233:例题10:sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2 (2)P238:习题十七第6题:sinA+sinB-sinC=4sinA/2sinB/2cosC/2. (3) cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2. (4) sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC. (5)cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC. (6)P264:复参题三第22题:tgA+tgB+tgC = tgAtgBtgC. (7) 也许有学生会找出:P264--(23)但无妨。 1.4请各组学生分工合作完成以上恒等式的证明: 提示:建议先自学例题10,注意题目之间的联系,以减少证明的重复劳动。 二.第一层次的问题解决(C,D环节) 2.1让一个组上黑板,请学生自主地挑出有“代表性”的3题(不超过3题)书写证明过程。然后请其他某一个组评判或给出不同的证法。 证法备考:(1)左到右:化积---->提取----->化积。 (2)左到右:化积---->提取----->化积sin(A+B)/2=cosC/2

用复数证明代数问题

毕业论文题目:用复数证明代数问题学号:24111101025 姓名: 教学院: 专业班级: 指导教师: 完成时间:2015年5月1日 教务处制

贵州工程应用技术学院毕业论文(设计)任务书 注:本表一式一份,用于装订完整文本。

贵州工程应用技术学院毕业论文(设计)学生诚信声明书本人郑重声明:本人所提交的毕业论文(设计)《》是本人在指导教师指导下独立研究、写作的成果,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果,论文中所引用他人的无论以何种方式发布的文字、研究成果,均在论文中加以说明;对本文研究做出过重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。如果存在弄虚作假、抄袭、剽窃的情况,本人愿承担全部责任。 论文(设计)作者:(签字)时间:年月日 指导教师:(签字)时间:年月日 贵州工程应用技术学院毕业论文(设计)版权使用授权书本毕业论文(设计)《》是本人在校期间所完成学业的组成部分,是在指导教师的指导下完成的,论文(设计)工作的知识产权属于贵州工程应用技术学院。本人同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文(设计)的复印件和电子版,允许论文(设计)被查阅和借阅;本人授权贵州工程应用技术学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印、网页制作或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。毕业论文(设计)无论做何种处理,必须尊重本人的著作权,署明本人姓名。 未经指导教师和贵州工程应用技术学院同意,本人不擅自发表毕业论文(设计)相关研究内容或利用毕业论文(设计)从事开发和盈利性活动。毕业后若发表毕业论文(设计)中的研究成果,需征得指导教师同意,作者第一单位署名应为“贵州工程应用技术学院”,成果发表时本人工作(学习)单位可以在备注中注明。 论文(设计)作者:(签字)时间:年月日 指导教师:(签字)时间:年月日

代数恒等式的证明练习

1. 求证: ①(a+b+c)2+(a+b-c)2-(a-b-c)2-(a-b-c)2=8ab ②(x+y )4+x 4+y 4=2(x 2+xy+y 2)2 ③(x-2y)x 3-(y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24(5 n +3 n-1) ⑤a 5n +a n +1=(a 3 n -a 2 n +1)(a 2 n +a n +1) 2.己知:a 2+b 2=2ab 求证:a=b 3.己知:a+b+c=0 求证:①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 2 4.己知:a 2=a+1 求证:a 5=5a+3 5.己知:x +y -z=0 求证: x 3+8y 3=z 3-6xyz 6.己知:a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证:a=b=c 7.己知:a ∶b=b ∶c 求证:(a+b+c )2+a 2+b 2+c 2=2(a+b+c)(a+c) 8.己知:abc ≠0,ab+bc=2ac 求证: c b b a 1111-=- 9.己知:a c z c b y b a x -=-=- 求证:x+y+z=0 10.求证:(2x -3)(2x+1)(x 2-1)+1是一个完全平方式 11己知:ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除 求证:ad=bc

练习20 1.④左边=5 n(5 2-1)+3 n-1(33-3)= 24(5 n+3 n-1)注意右边有3n-1 2.左边-右边=(a-b)2 3.②左边-右边=(a2+b2-c2)2-4a2b2=…… 4.∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入 5.用z=x+2y代入右边 6.用已知的(左-右)×2 7.用b2=ac分别代入左边,右边化为同一个代数式 8.在已知的等式两边都除以abc 9.设三个比的比值为k, 10.(2x2-x-2)2 11. 用待定系数法

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

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近世代数证明题

证明题 1、设G 是群,a ∈G ,令C G (a )= {x |x ∈G ,xa = ax },证明:C G (a )≤G 2、设G ~ G ,H ≤G ,H = {x | x ∈G ,f (x )∈ H }。证明:H /Kerf ≌H . 3、证明:模m 的剩余类环Zm 的每一个理想都是主理想。 4、设R = ???? ??c o b a ,a ,b ,c ∈Z ,I = ???? ??o o x o x ∈Z 。 (1)验证R 是矩阵环Z 2×2的一个子环。 (2)证明I 是R 的一个理想。 5、设G 是群,u 是G 的一个固定元,定义“o ”:aob = a u 2 b (a ,b ∈G ),证明 (G , o )构成一个群. 6、设R 为主理想整环,I 是R 的一个理想,证明R /I 是域?I 是由R 的一个素元生成 的主理想. 7、证明:模m 的剩余类环Zm 的每个子环都是理想. 8、设G 是群,H ≤G 。令N G (H ) = {x | x ∈G ,xH = Hx }.C G (H )= { x | x ∈G ,?h ∈ H ,hx = xh }.证明: (1)N G (H )≤G (2)C G (H )△N G (H ) 9、证明数域F = {a +b 7|a ,b ∈Q}的自同构群是一个2阶循环群. 10、设R 是主理想环,I = (a )是R 的极大理想,ε是R 的单位,证明:εa 是R 的 一个素元. 11、设G 与G 是两个群,G ~ G ,K = Kerf ,H ≤G ,令H = {x |x ∈G ,f (x ) ∈ H },证明:H ≤G 且H /K ≌H . 12、在多项式环Z [x ]中,证明: (1)(3,x )= {3a 0+a 1x +…+a n x n |a i ∈Z }. (2)Z [x ]/(3,x )含3个元素. 13、设H 是群G 的子群,令N G (H )={x |x G , xH =Hx },证明N G (H)是G 的子群. 14、在整数环Z 中, a, b Z,证明(a, b )是Z 的极大理想的充要条件是a , b 的最大公 因数是一个素数。 f f

恒等式的证明

第五讲恒等式的证明 代数式的恒等变形是初中代数的重要内容,它涉及的基础知识较多,主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则,因式分解的知识与技能技巧等等,因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一.本讲主要介绍恒等式的证明.首先复习一下基本知识,然后进行例题分析. 两个代数式,如果对于字母在允许范围内的一切取值,它们的值都相等,则称这两个代数式恒等. 把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形.恒等式的证明,就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等. 证明恒等式,没有统一的方法,需要根据具体问题,采用不同的变形技巧,使证明过程尽量简捷.一般可以把恒等式的证明分为两类:一类是无附加条件的恒等式证明;另一类是有附加条件的恒等式的证明.对于后者,同学们要善于利用附加条件,使证明简化.下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧. 1.由繁到简和相向趋进 恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式). 例1 已知x+y+z=xyz,证明:x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz. 分析将左边展开,利用条件x+y+z=xyz,将等式左边化简成右边. 证因为x+y+z=xyz,所以 左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2) =(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2 =xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx) =xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx) =xyz+xyz+xyz+xyz

复数代数形式的四则运算(教学设计)(2)

复数代数形式的四则运算(教学设计)(2) §3.2.2复数代数形式的乘除运算 教学目标: 知识与技能目标: 理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,熟练进行复数的乘法和除法的运算。理解复数乘法的交换律、结合律、分配律;了解共轭复数的定义及性质 过程与方法目标: 理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观目标: 复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点:复数代数形式的除法运算。 教学难点:对复数除法法则的运用。 教学过程: 一、复习回顾,新课引入: 1、复数z1与z2的和的定义:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2、复数z1与z2的差的定义:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3、复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 4、复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 二、师生互动、新课讲解: 1.乘法运算规则: 规定复数的乘法按照以下的法则进行: 设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律: (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i, z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1,b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵(z1z2)z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)=[(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i](a3+b3i) =[(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3]i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i, 同理可证: z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i, ∴(z1z2)z3=z1(z2z3). (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i] =[a1(a2+a3)-b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)+a1(b2+b3)]i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i =(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i

代数基本定理的证明方法研究(论文)

前 言 代数学基本定理在代数学中占有十分重要的地位,而在整个数学界中也起着基础作用。代数学基本定理有两种等价的陈述方式。第一种陈述方式为:“任何一个一元n 次复系数多项式0111...)(a z a z a z a z p n n n n ++++=--(1≥n ,0≠n a )在复数域内至少有一根”,它的第二种陈述方式为:“任何一个一元n 次复系数多项式0111...)(a z a z a z a z p n n n n ++++=--(1≥n ,0≠n a )在复数域内有n 个根,重根按重数计算”。尽管这个定理被命名为代数基本定理,但,迄今为止,该定理尚无纯代数方法证明。数学家J.P 赛尔曾经指出:代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。美国数学家John Willard Milnor 在数学名著《从微分观点看拓扑》中给了一个证明,是几何直观的,但其中用到了和临界点测度有关的萨尔德定理。在复变函数论中,对代数基本定理的证明是相当优美的,其中运用了很多经典的复变函数的理论成果。 代数基本定理的第一个证明是由法国数学家达朗贝尔给出的,但其证明是不完整的。紧接着,欧拉也给出了一个证明,但也有缺陷。严格来说,第一个完整的证明是数学家高斯给出的,他在分析了拉格朗日的证明方法以后于1799年给出的,他是运用的纯解析的方法证明。而后,到高斯71岁时,共给出了四种证明方法。十九世纪七十年代,数学家 H.W.Kuhn []18 对于该定理给出了引人注目的构造性证明,这种方法的数学形象极好,并已 实际用于复系数代数方程求根,堪称不动点算法的范例。如果将复数域理解为复平面,将 0111...)(a z a z a z a z p n n n n ++++=--(1≥n ,0≠n a )的根理解为它在复平面上的零点,那 么就可以借助复变函数的理论去证明代数学基本定理。这种证明方法比较简洁,方法也有 多种。近年来,诸多数学家又给出了其它的证明方法,例如2003年翁东东[]6 对代数基本 定理进行了多种方法的分析,并给予了形象的证明。他并没有采用常用的刘维尔定理和儒歇原理运用复变函数的方法进行证明,而是采用了初等方法证明了代数基本定理,说明可不用复变函数理论中的有关概念和定理进行证明该定理。 本论文结合有关知识点,主要目的是归纳总结代数基本定理几种代表性的证明方法。第一章运用复变函数理论中的柯西定理、刘维尔定理、儒歇定理、辐角原理、最大模原理、最小模原理、留数定理来证明代数学基本定理,并对这些证明方法进行说明、比较与总结。第二章主要介绍了翁东东的初等方法的证明。第三章介绍了Kuhn 的两个构造性的证明方法。第四章简单介绍了高斯的纯解析证明方法。

恒等式证明

初一数学竞赛系列讲座(7) 有关恒等式的证明 一、知识要点 恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明,对于一般恒等式的证明,常常通过恒等变形从一边证到另一边,或证两边都等于同一个数或式。在恒等变形过程中,除了要掌握一些基本方法外,还应注意应用一些变形技巧,如:整体处理、“1”的代换等;对于条件恒等式的证明,如何处理好条件等式是关键,要认真分析条件等式的结构特征,以及它和要证明的恒等式之间的关系。 二、例题精讲 例1 求证:a 1+(1-a 1)a 2+(1-a 1)(1-a 2)a 3+…+(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n =1-(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n ) 分析:要证等式成立,只要证明1- a 1- (1-a 1)a 2- (1-a 1)(1-a 2)a 3 -…- (1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n =(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n ) 证明:1- a 1- (1-a 1)a 2- (1-a 1)(1-a 2)a 3 -…- (1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n =(1-a 1)[ 1- a 2- (1-a 2)a 3- (1-a 2)(1-a 3)a 4 -…- (1-a 2)(1-a 3)…(1-a n-1)a n ] =(1-a 1) (1-a 2)[ 1- a 3- (1-a 3)a 4- (1-a 3)(1-a 4)a 5 -…- (1-a 3)(1-a 4)…(1-a n-1)a n ] =(1-a 1) (1-a 2) (1-a 3)[ 1- a 4- (1-a 4)a 5- (1-a 4)(1-a 5)a 6 -…- (1-a 4)(1-a 5)…(1-a n-1)a n ] =…… =(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n ) ∴ 原等式成立 例2 证明恒等式 ()()()()()() 11322321121132322121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n ++++++=++++++ (第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题) 证明 评注:裂项是恒等变形中常用的一种方法 ()()()()()()11322321121322211113232121132322121111111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ++++++=???? ??+-++???? ??+-+???? ??+-=???? ??+-++???? ??+-+???? ??+-=++++++

高考数学推理与证明

第十二章推理与证明 考纲解读 分析解读 本部分是新课标内容,高考考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数为载体,考查综合法、分析法及反证法.本节内容在高考中的分值分配:①归纳推理与类比推理分值为5分左右,属中档题;②证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属中高档题.

五年高考 考点一合情推理与演绎推理 1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( ) A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛 C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛 答案 B 2.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (i)男学生人数多于女学生人数; (ii)女学生人数多于教师人数; (iii)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;

②该小组人数的最小值为. 答案①6 ②12 3.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是. 答案1和3 4.(2016山东,12,5分)观察下列等式: π- +π - =×1×2; π- +π - +π - +π - =×2×3; π- +π - +π - +…+π - =×3×4; π- +π - +π - +…+π - =×4×5; …… 照此规律, π- +π - +π - +…+π - = . 答案 5.(2015陕西,16,5分)观察下列等式 1-= 1-+-=+ 1-+-+-=++ …… 据此规律,第n个等式可为. 答案1-+-+…+ - -=++…+ 6.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;

初中数学重点梳理:恒等式证明

恒等式证明 知识定位 代数式的恒等变形是初中代数的重要内容,它涉及的基础知识较多,主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则,因式分解的知识与技能技巧等等,因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一.本讲主要介绍恒等式的证明.首先复习一下基本知识,然后进行例题分析. 两个代数式,如果对于字母在允许范围内的一切取值,它们的值都相等,则称这两个代数式恒等. 把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形.恒等式的证明,就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等. 证明恒等式,没有统一的方法,需要根据具体问题,采用不同的变形技巧,使证明过程尽量简捷.一般可以把恒等式的证明分为两类:一类是无附加条件的恒等式证明;另一类是有附加条件的恒等式的证明.对于后者,同学们要善于利用附加条件,使证明简化.下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧. 知识梳理 知识梳理1:由繁到简和相向趋进 恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式). 知识梳理2:比较法 比较法利用的是:若0,则(作差法);或若1,则(作商法)。a a b a b a b b -==== 这也是证明恒等式的重要思路之一。 知识梳理3:分析法与综合法 根据推理过程的方向不同,恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法.分析法是从要求证的结论出发,寻求在什么情况下结论是正确的,这样一步一步逆向推

导,寻求结论成立的条件,一旦条件成立就可断言结论正确,即所谓“执果索因”.而综合法正好相反,它是“由因导果”,即从已知条件出发顺向推理,得到所求结论. 知识梳理4:其他解题方法及技巧 除了上述方法,设k 、换元等方法也可以在恒等式证明中发挥效力. 例题精讲 【试题来源】 【题目】已知x+y+z=xyz ,证明:x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz . 【答案】因为x+y+z=xyz ,所以 左边=x(1-z 2-y 2-y 2z 2)+y(1-z 2-x 2+x 2z 2)+(1-y 2-x 2+x 2y 2) =(x+y+z)-xz 2-xy 2+xy 2z 2-yz 2+yx 2+yx 2z 2-zy 2-zx 2+zx 2y 2 =xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx) =xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx) =xyz+xyz+xyz+xyz =4xyz=右边. 【解析】将左边展开,利用条件x+y+z=xyz ,将等式左边化简成右边. 【知识点】恒等式证明 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】已知1989x 2=1991y 2=1993z 2,x >0,y >0,z >0,且 111 1x y z ++=198919911993198919911993x y z ++=++ 【答案】 令1989x 2=1991y 2=1993z 2=k(k >0),则

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