考虑层相互作用的框架柱计算长度
考虑层相互作用的框架柱计算长度
王金鹏童根树
（浙江大学杭州310027）
摘要在放弃了传统计算长度系数法的三个理想化假定后，提出了有侧移框架失稳时考虑层间支援的框架柱计算长度的计算方法。对于两层框架，求解一个一元二次方程得到各柱柱端的转动约束；对于三层框架，求解一个一元三次代数方程，得到各柱柱端的转动约束。进而由传统公式或规范附表可得到计算长度系数值。对于更多层的情况，先确定薄弱层，并假设薄弱层的上下层柱远端的梁端约束全部提供给与薄弱层相邻层的柱，即可得到精度很高的计算长度系数值。
关键词层间支援柱端转动约束刚度计算长度系数
C O L U M NE F F E C T I V EL E N G T HC O N S I
D
E R I N GT H E I N T E R-S T O R Y I N T E R A C T I O N
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（Z h e j i a n g U n i v e r s i t y H a n g z h o u310027）
A B S T R A C T W i t h t h r e e a s s u m p t i o n s o f t h e c o n v e n t i o n a l e f f e c t i v e l e n g t h a p p r o a c h a b a n d o n e d，a n e w a p p r o a c h i s p r o p o s e d b y w h i c h c o l u m n e f f e c t i v e l e n g t h c o n s i d e r i n g i n t e r-s t o r y i n t e r a c t i o n c a n b e o b t a i n e d i n u n-b r a c e d t w o-s t o r y o r t h r e e-s t o r y f r a m e s.A q u a d r a t i c e q u a t i o nw i t h o n e v a r i a b l e f o r t w o s t o r y f r a m e s a n d a c u b i c e q u a t i o nw i t h o n e v a r i a b l e f o r t h r e e s t o r y f r a m e s a r e d e r i v e d f r o mw h i c h t h e r o t a t i o n a l r e s t r a i n t p r o v i d e d t o e a c h c o l u m n e n dm a y b e s o l v e d a n d t h e e f f e c t i v e l e n g t h f a c t o r s c a n t h e n b e d e t e r m i n e d b y t h e t r a d i t i o n a l f o r m u l a o r t a b l e s.F o r f r a m e o fm o r e t h a n3s t o r i e s，a s u b-a s s e m b l a g e o f t h r e e s t o r i e s i s t a k e n o u t，a n d t h i sm e t h o d i s a l s o a p p l i c a b l e f o r t h i s s u b-a s s e m b l a g e，a n d t h e r e s u l t i s o f h i g h a c c u r a c y.
K E Y W O R D S i n t e r-s t o r y s u p p o r t r o t a t i o n a l r e s t r a i n t s t i f f n e s s o f c o l u m n e n d e f f e c t i v e l e n g t h f a c t o r
计算长度系数法是框架柱稳定设计中最常用的一种方法，它避免了对结构作整体屈曲分析。以梁柱线刚度比作参数，能够方便地给出计算长度系数，因此得到了广泛的应用。
但是，传统的计算长度系数是在理想化假定下得到的，难免与实际情况不符合，因此不断有人研究改进计算长度系数精度的方法。同层各柱轴力不同时各柱间存在着相互支援〔1〕（S a l e m1969），已经有公式来考虑这种相互支援作用对计算长度系数的影响。实际上，不同层的柱子之间也存在着相互支援。B r i d g e和F r a s e r（1986）对无侧移框架进行了研究〔2〕，提出了一种迭代法，并对柱端约束是负值时（指柱子对相邻层柱子提供约束的情况）给出了计算长度系数诺模图；
D u a n和C h e n（1989）在保留传统计算长度系数法的其他假定下对相邻层柱子远端实际为固定或铰接的情况进行了分析〔3〕；H e l l e s l a n d和B j o r h o v d e（1996）提出一种平均值法（m e t h o d o fm e a n s）可以应用于无侧移失稳和有侧移失稳框架，但是不能应用于刚度变化太大的结构，对有侧移失稳情况精度也不理想〔4，5〕。K i s h i和C h e n等（1997）则在考虑梁柱连接半刚性的情况下如何确定层与层相互作用进行了研究〔6〕。W o o d（1974）对框架柱失稳进行了全面地研究，并给出了柱端约束是负值时的临界荷载图表〔7〕。梁启智（1992）介绍了确定框架柱计算长度系数的三个水平〔8〕，水平一是传统方法，考虑同层各柱相互作用的方法为水平二，考虑层与层相互作用的方法为水平三。文中提出了考虑层与层相互
作用的累积算法，即从顶层和底层开始计算，分别往下和往上逐层计算到薄弱层，把各层可利用的潜力收集到薄弱层的两个柱端，再确定薄弱层的计算长度系数。
第一作者：王金鹏男1978年9月出生硕士研究生
收稿日期：2003-12-12
上述研究试图避开整体屈曲分析寻找比较简便的方法，但是由于需要迭代，或精度不好，或某些结果反而离精确解更远，因而还无法得到广泛应用。本文利用临界荷载与柱端约束的关系式得到了两层框架有侧移失稳时求解柱端转动约束的一个一元二次方程。继而得到框架柱的计算长度系数值。在两层问题彻底解决的基础上，提出了三层以及多层框架的求解方法。
1基本假定
多层框架有侧移失稳时柱计算长度系数可用式（1）计算〔9〕：
μE
7.5K1K2+4（K1+K2）+1.52
7.5K1K2+K1+K
?2（1）
式中，K
1
、K
2
分别是柱上下端梁线刚度之和与柱线刚度之和的比值。如进一步考虑同层各柱的相互支援，则采用下式对计算长度系数进行调整：
μ
?
i E π2
E I c i ∑P j
l 2
c i P i ∑P c r ?
j
（2
）式中，P c r j E π2E I c j ／（μj l j ）2，P j
是柱轴力，I c i 为柱截面惯性矩，l c i
为柱高。下面考察一个实例，以更清楚地了解柱子的层间支援。图1为双层单跨刚架，设αi E 1（i E 1，2，3，4），并设梁柱截面相同，跨度和层高相同。文献〔9〕给出柱子计算长度系数精确值μE 1.383。按式（1），上、下柱的计算长度系数分别为1.450，1.280。与精确解相比，上柱的μ值偏大。分析原因可知，按传统方法，梁对柱的约束按柱线刚度分配给上下柱，未考虑柱远端的约束条件以及上下柱各自的失稳倾向。实际上，上柱A 点受到的转动约束比下柱在C
点得到的约束弱，
上柱为薄弱柱，有先于下柱屈曲的趋势。但由于层间支援，A B 柱和B C 柱是同时屈曲的，下层柱B C 对上层柱A B 提供了支援，结果提高了上柱的屈曲荷载，下柱屈曲荷载相应降低，从而拉平到相同的μ值。
i 值相等，这里的P i 为柱轴
力，P e i E π2E I c i ／l 2c i ；5
）失稳时各层的层间位移角相等。上述假定导致梁的约束在上下层柱子上按照柱线刚度分配。
上例中，层间相互支援改变了B 点处梁约束在上下柱之间的分配。因此，要考虑层与相邻层柱的相互支援就要摒弃一些假定。
首先，“柱端转角隔层相等”的假定不太合适。多层刚架柱脚固定时，对底层柱和二层柱而言，它导致二层和三层的柱子远端也固定住了，得到的计算长度系数就偏小。在上、下层柱子远端的连接是铰接时，也会有偏危险的结果出现，见文献〔9
〕。图1的例子采用传统假定，就会与上柱、下柱实际的柱远端连接情况相去甚远。文献〔3〕对图2中的C 和D 两点分别为铰接和固定，其他假定不变的情况下，对A B 柱进行了稳定分析。采用文献〔3〕的模型分析图1框架，可解得下柱μE 1.216，上柱μE 1.496。因此按照文献〔3〕考虑柱脚固定的结果，比传统方法更偏离了精确解。
因此文献〔3〕考虑柱子远端实际支承情况的模型，表面上看比传统方法更加合理，但是结果偏离精确解反而更大。
这是因为底层柱子考虑下端固定后，刚度增加，根据结构力学的结论，刚度大者，分配到的梁端弯矩也大，因此与上柱相比，下柱分配到了更多的梁转动约束，上柱分配得到的约束更小了，因此上柱计算长度系数反而增加。这个例子表明，单纯考虑相邻层柱子远端约束的实际情况来调整梁转动约束在上下层柱子上的分配，会得到适得其反的结果。对图1做整体屈曲分析，计算得到θA E 0.725θB ，
Δ2／Δ1E （θB +θA ）／θB E 1.725。文献〔3〕仍假定Δ1／l c E Δ2／l c ，不符合整体屈曲时的情况，因此第5条假定也应当加以摒弃。
本文仅采用如下假定（图2）：1）刚架屈曲时同层的各横梁两端转角大小相等、方向相同；2）横梁中的轴力对梁本身的抗弯刚度的影响可以忽略不计；3）各层柱按比例加载。保留假定1是因为，文献〔10〕的研究表明，如果只存在同层各柱的相互支援，不存在层与层的相互支援，则这条假定对每层总的屈曲荷载没有影响。取消假定4，是因为在各柱按比例加载的情况下，设各柱C i 的荷载比例因子为αi ，由于同时失稳，易得：
k i l c i
k j l c j
E αi l 2
c i I c j αj l 2
c j
I c ?
i E u i u j E μj
μi （3
）2柱端转动约束及计算长度的确定
设柱上下两端各有转动刚度为m 1、m 2的转动弹簧，则该柱的临界荷载为：
αi P c r E π2i c i
μ2
i l c i E π2［7.5m 1m 2+6（m 1+m 2）i c ］7.5m 1m 2+24（m 1+m 2）
i c
+54.72i 2c ?i c i
l
c i （4
）1i c 1θB ；下柱B C ：m 1θB E-M B C E-u 1
t a n u 1
i c 1θB ，m 2E ∞。所以下柱的m 1和上柱的m 2都随着μ1值变化。可以利用式（4）及上下层柱同时屈曲这个条件来确定下柱的m 1值。对上柱A B ：m 1E 6i b 2，m 2E 6i b 1+u 1t a n u 1
i c 1，代入式（4），并设x E i c 1i c 2，y E i b 1i c 2，z E i b 2i c 2，γE l c 2α1l c 1，ηE-x u 1
t a n u 1
，化
简得方程：
P E
π2［7.5z （6y -η）+6z +6y -η］7.5z （6y -η）+4（6z +6y -η）+9.12?i c 2l c 2
（5）对下柱B C ：m 1E-u 1
t a n u 1
i c 1，m 2E ∞，代入式（4），化简得另一个方程：
P E π2（7.5η+6x ）7.5η+2
4x ?i c 1α1l c 1（6
）式（5）、式（6
）相等，经整理得到η的一元二次方程：a η2+b η+c E 0
（7）式中a E 7.5γx （7.5z +4）-7
.5（7.5z +1）（7a ）b E -24x （7.5z +1）+45（7.5y
z +y +z ）+6γx 2（7.5z +4）-7.5γx （45y z +24y +24z +9.12）（7b
）c E 144x （7.5y
z +y +z ）-6γx 2（45y z +24y +2
4z +9.12）（7c
）解此方程得到ηE -b -b 2
-4?a c 2a （另一个解没有意义）。
这样我们就得到了图3中上下柱的柱端约束刚度，上柱A B ：m 1E 6i b 2，m 2E 6i b 1-（η／x ）i c 1；下柱B C ：m 1E （η／x ）i c 1，m 2E ∞。利用K 1E m 1／6i c ，K 2E m 2／6i c ，代入式（1）计算各柱的计算长度。
由于按比例加载，故各柱存在关系如式（3），在得到各柱的K 值后，先由式（1）算出上柱的μ1值，再利用式（3）得到下柱的μ2值，称为从上柱入手；先算出下柱的μ2值，再利用式（3）得到上柱的μ值，称为从下柱入手。表1是x E 1，y E
1，z E 1时的计算结果。可以看出按照上述方法计算的μ值非常理想，不论从哪层柱入手，μ1、μ
2值都是一样的。表1y =1，z =1时两层框架柱的计算长度系数
γμ1精确值μ
1值误差／%μ2精确值
μ
2值误差／%
0.11.1451.1540.773.6203.6480.780.21.1521.1600.642.5772.5930.650.31.1621.1680.522.1222.1330.530.41.1751.1800.421.8581.8650.420.51.1921.1970.351.6861.6920.350.61.2161.2210.341.5701.5760.330.81.2881.2950.551.4401.4480.5511.3831.3950.861.3831.3950.8621.8701.8971.491.3221.3421.4932.2712.3081.651.3111.3331.6542.6132.6591.731.3071.3291.7252.9162.9681.781.3041.3271.7763.1913.2491.811.3031.3261.7983.6793.7471.851.3011.3251.83104.110
4.187
1.871.3001.3241.85
注：x E 1.0（μ1值从下柱入手，μ
2值从上柱入手）。3更为一般的两层框架
上面讨论的是图3中底层柱脚固定的情况，实际上还有柱脚铰支等其他的连接情况。图4所示为更为一般的两层框架，其底层柱脚C 点与线刚度为i b 0的梁B 0相刚接。下面建立图4的求解方法。由B 节点弯矩平衡，知m B 1+m B 2E 6i b 1。以m B 1为未知量，对A B 柱：m 1E 6i b 2，m 2E m B 2E
6i b 1-m B 1；对B C 柱：m 1E m B 1，m 2E 6i b 0。
代入式（4），并令m B 1i c 2E η，i c 1i c 2E x ，i b 1i c 2E y ，i b 2i c 2E z ，i b 0i c 2E t ，l c 2
α1l c 1E γ。
按照同样步骤得到式（7
），式中的系数变为：a E （7.5t +x ）（7.5z +4）x γ-（7.5t +4x ）（7.5z +1
）（8a ）b E 6t x 2γ（7.5z +4）-x γ（45y z +24y +2
4z +9.12）（7.5t +x ）-（7.5z +1）（24x t +9.12x 2）+（45y z +6y +6
z ）（7.5t +4x ）（8b
）c E （45y z +6y +6
z ）（24x t +9.12x 2）-6t x 2γ（45y z +24y +2
4z +9.12）（8c ）得到η值后，即可求得柱端转动约束刚度，相应得到B C 柱：
K ?1E t ／x ，K ?2E η／（6x ）；A B 柱：K ?1E y -η
／6，K ?2E z 。代入式（1）求解μ1、μ2值。当t →∞时，图4就退化为图3的模型，式（8a ）~式（8c ）也就退化为式（7a ）~式（7c ），而当t →0时，
图4即为底层柱脚铰接的情况。4不对称问题的解法
对于结构不对称的问题，如图1，令α1E 4，α2E 1，α3E 2，α4E 2，各柱和梁长度相等为l ，线刚度相等为i 。按照文献〔8〕的步骤求解，先单独考虑C 1柱和C 2柱的层间相互影响，算得各自的μ1、μ2值，再考虑C 3柱和C 4柱的层间相互影响，算得μ3、μ4值。然后，再考虑同层各柱相互影响。利用式（2）调整μ1、μ3值和μ2、μ4值，得到各柱新的计算长度系数。本例中，先单独考虑C 1柱和C 2柱得到μ1E 1.164，μ2E 2.329，单独考虑C 3柱和C 4柱得到μ3E μ4E 1.388。利用式（2）作同层柱间μ值调整，得到μ1E 1.092，μ3E 1.545，μ
2E 2.065，μ4E 1.460。精确解为μ1E 1.033，μ2E 2.067，μ3E μ4E 1.461。两者μ1、μ
3相差较大，并且前者的各柱μ值不符合式（3）关系。即先单独考虑各柱竖向相互影响，再考虑同层各柱相互影响，结果精度不够，且各柱μ值不符合式（3
）关系。本文采用梁柱合成的方法来求解。将每层柱线刚度之和作为合成柱的线刚度，各柱端的梁约束相加作为合成的转动约束，轴力相加作为合成柱的轴力，求解这个合成的模型。上例中，上层柱线刚度相加得到合成柱线刚度为2i ，柱C 2上端梁的约束刚度为6i ，柱C 4上端梁的约束刚度为6i ，相加得到合成柱上端梁的约束刚度为12i 。下层柱线刚度相加得到合成柱线刚度为2i ，柱C 2和柱C 1连接处梁的约束刚度为6i ，柱C 4和柱C 3连接处梁的约束刚度为6i ，相加得到中间层梁的总约束刚度为12i 。合成后的结构相当于图3中上层柱C 2的线刚度为2i ，下层柱C 1的线刚度为2i ，梁B 2对柱A 点的约束刚度为12i ，梁B 1对柱B 点的约束刚度为1
2i ，下层柱C 1下端仍然固定。柱C 2的轴力为上层柱总的轴力，柱C 1的轴力为下层柱总的轴力，亦即α1E 4+21+2
E 2。于是得到上、下层柱的μ值分别为1.705、1.205，这样就得到了各层各柱考虑了层与层相互影响的总的∑P c r i ，利用式（2），可以直接得到该层各柱的考虑了同层相互支援、又考虑了层与层相
互支援的计算长度系数。上例采用上述步骤得到μ1E 1.044，μ2E 2.088，μ
3E μ4E 1.476，与精确解比较，误差仅为1%，应该就是式（1）本身的误差，而且各柱μ值符合式（3
）的关系。5三层框架和多层框架的解法
两层框架中，只有一个节点的两柱端扭转刚度未知，结果是求解一个一元二次方程。三层框架中将有两个未知节点，这样必然就有两个未知量。按照同样的方法建立方程，结果是一个二元二次方程组，化简后得到一个一元三次方
程。按照《实用数学手册》〔11〕上提供的一元三次方程的解
法，可以得到精确解。从而得到各个柱很精确的计算长度系数。限于篇幅本文不再展开。
对于更多层框架，上面方法不便推广，因为在数学上更高次的方程不好求解。此时，需要先判别薄弱层，接着取出薄弱层及其上下层组成三层框架模型进行分析。考虑到与相邻层更远的层对薄弱层的影响不大，这种方法是可以接受的。同时假定薄弱层的上下层柱远端的梁端约束全部提供给与薄弱层相邻层的柱，这样就可以通过初等代数运算直接获得薄弱层柱的计算长度系数，再由式（3）得到其他层柱的计算长度系数，避免了迭代求解，精度也很理想，见文献〔12〕。6结语
考虑层间支援的柱子计算长度系数，除了整体分析，目前还没有简便的计算方法。本文提出了一种新方法，通过简单的初等代数运算即可获得很精确的解答，由于计算模型中
包含相邻层柱的远端梁，因此可以很方便地解决柱远端连接情况不同的问题。
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b E 2.418，
c E 5.221，m p E 1.029，1-b m p -a m p 2E 1
.292>0，m c r E 1.029，αE 0.971，βE 0
，n c r E 0.247，N y E 4860.7k N ，M y E 717.7k N ?m 。
根据拱体A B 及拱体C D 的轴力和平面内弯矩包络图，见图7，分别验算拱体两段、中点及两个四分点处的稳定情况。根据拱体A B 及拱体C D 的轴力可得：N m a x
／N y E 0.185~0.205 ，因此采用式（11）进行稳定判断。由于βE 0 ，式（11）可简化为：α （M m a x M y ）<1（13 ）因为αE 0.971<1，而（M m a x ／M y ）<1，所以恒有α（M m a x ／M y ）<1可见，拱体稳定性满足要求。S T R A P 验算结果表明，管线桥（架）的各支撑也同样满足要求，结构实际用钢量仅53.9t ，其中管线用钢36t ，大大少于桁架方案。4结语 “西气东输”工程宁夏中卫县段管线已于2003年底顺利通过国家验收，“西气东输”工程已开始向上海、江苏等地送气。对C A 105~C A 106标段跨越桥（架）的分析设计表明：1）采用拱桥（架）方案用钢量仅为采用桁架方案桥（架）部分的约1／9，且管线变形小、受力较小，安全可靠。结构形式的正确选择，是结构实现优化设计的最有效的手段，设计中，单纯强调单位面积用钢量指标的高低，是片面而盲目的。只有选择合理的结构形式，充分利用各种材质的特点，扬长避短，才能有效地实现降低造价的目的。 2 ）出平面的荷载效应对管线影响较小，其断面应力的控制点基本上仍近似为平面内荷载效应的控制点，按平面荷载效应计算结构管线上作用的荷载效应误差不大，仍具有工程意义。 参考文献 1铁木辛柯S ，盖尔J .材料力学.韩耀新， 等译.北京：科学出版社，19902罗邦富， 魏明种，沈祖炎，等.钢结构设计手册.第二版.北京：中国建筑工业出版社，19913陈绍蕃.钢结构稳定设计指南.北京：中国建筑工业出版社，1996 4Y a b u k iT ，K u r a n i s h i S .U l t i m a t eS t r e n g t hD e s i g no fS t e e lA r c h B r i d g e S t r u c t u r e .I n ：I A B S EP r o c .19845G B 50251-2003输气管道工程设计规范6G B 50009-2001建筑结构荷载规范7G B 50011-2001建筑抗震设计规范8G B 50017-2003钢结构设计规范