选修2-3计数原理

命制人： 审核人： 使用时间： 2014.3.23 高二数学学案选修2-3(理科）

班级： 姓名：

课题：1.1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

学习目标：

1、进一步理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；

2、能根据具体问题的特征，选择两种技术原理解决一些实际问题.

重点：分类做到不重不漏，分步做到步骤完整；

难点：用两个计数原理解决计数问题时，区分需要分类还是需要分步．

一、典例分析：

例1、给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母G A ~或Z U ~，后两个要求用数字9~1，

最多可以给多少个程序命名？

例2、核糖核酸)(RNA 分子是在生物细胞中发现的化学成分。一个RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据。总共有4种不同的碱基，分别用U G C A ,,,表示。在一个RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序发现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA 分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA 分子？

例3、电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制。为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成。问：

（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？

（2）计算机汉字国标码（GB 码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？

只有比别人更勤奋，才能品尝成功的滋味

例4、计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般地，一个程序模块由许多个子模块组成。如图，它是一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数。你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？

你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？

例5、随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现。那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？

思考1：你能归纳一下用分类加法计数原理、分步乘法计数原理解决计数问题的方法吗？

思考2：乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计数原理也有这种类似的关系吗？

当堂检测：

1.乘积))()((54321321321C C C C C b b b a a a ++++++++展开后共有多少项？

2.某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是0到9之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？

3.甲乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）

A.6中

B.12种

C.24种

D.30种

4．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有多少种？

课后作业：

A 组

1.设B A ,是两个非空集合，定义{},,|),(B b A a b a B A ∈∈=*若{}{},4,3,2,1,2,1,0==Q P 则Q P *中元素的个数是( )

A ．4

B ．7

C ．12

D ．16

2.有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是（ ）

A.14

B.23

C.48

D.120

3.由数字4,3,2,1组成的三位数中，各位数字按严格递增（如123）或严格递减（如421）顺序排列的个数是（ ）

A.4 B ．8 C ．16 D ．24

4.10个完全相同的苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（ ）种

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

5.(1)4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一项，不同报法的种数是43还是34？

（2）3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是53还是3

5？

6.现有高中二年级四个班的学生从中选出34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外兴趣小组，若推选两人做小组组长，这两人需来自不同的班级.有多少种不同的选法？

7.圆周上有10个等分点，任取3个可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为多少？

8.如图有4个编号为1,2,3,4的小三角形，要在每一个三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种（可以重复使用），并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？

只有比别人更勤奋，才能品尝成功的滋味

B 组

1.直线方程0=+By Ax ，若从0,1,2,3,5,7这六个数字中每次取两个不同的数作为系数B A 、的值，则方程表示不同直线的条数是（ ）

A.2

B.12

C.22

D.25

2.假设7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人分别同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？

3.如图所示，用不同的五种颜色（红、黄、蓝、绿、紫）分别为E D C B A 、、、、五部分着色，相邻部分不能用同种颜色，但同一种颜色可以反复使用，则符合这些要求的不同着色方法有多少种？

4.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为多少?

两个基本计数原理教案

第一章计数原理 第1节两个基本计数原理 教材分析 本节课《分类计数原理与分步计数原理》是苏教版普通高中课程标准试验教科书（选修2-3)第一章第一节的内容，是本章后续知识的基础,对后续内容的学习有着举足轻重的作用,另外本节课涉及的分步、分类的思想是解决实际问题的最有效武器，是人们思考问题的最根本方法. 学情分析 高二学生已具备一定的数学知识和方法，能很容易的接受两个原理的内容，并应用原理解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”．虽然学生已经具备了一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养．另外，学生的求知欲强，参与意识，自主探索意识明显增强，对能够引起认知冲突，表现自身价值的学习素材特别感兴趣。但在合作交流意识欠缺，有待加强. 目标分析 ⑴知识与技能 ①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容 ②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题． ⑵过程与方法 ①通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例学生感悟两个原理的应用并最终学会应用 ②通过“学生自主探究、合作探究，师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理，并应用它们解决实际问题 ⑶情感、态度、价值观 树立学生积极合作的意识，增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣. 教学重难点分析 教学重点：分类计数原理与分步计数原理的掌握 教学难点：根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题． 教法、学法分析 教法分析： ①启发探究法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。 ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。 学法分析：本节课要求学生自主探究，学会用类比的思想解决问题，树立学生的合作交流意识. 教学过程 一、创设情境：对于分类计数原理设计如下情境（看多媒体）： 该情境是原教材上情境经过加工设计的，比原教材情境更加贴近学生生活，能够增强学生的有意注意，激发学生的兴趣，调动学生的主动性和积极性,从而进入思维情境接着是对情境的处理：在情境处理过程中要启发学生由特殊情形归纳出一般原理,遵循由简单到复杂的认知规律，我处理情境的办法是： 第一步在解决问题时首先让学生尝试分析,然后由学生代表分析解答，教师及时给出评价，并由老师给出解题过程，在这里由老师按分类计数原理给出解题过程，为学生顺利总结概括出原理做好铺垫. 第二步对原问题加以引申：若当天有4次航班，则有多少种不同方法？ 设计的意图是让学生更清楚的认识到总方法数是各类方法数之和. 第三步提出问题：你能否尽可能简练的总结出问题1中的计数规律？ 接着由学生分组讨论、总结问题1中计数规律，这样由学生总结归纳，并通过讨论准确叙述出分类计数原理，可以提高学生的数学表达意识，激发合作意识和竞争意识，体验获得成功的喜悦，也就完成了情感目标.

两个计数原理与排列组合知识点与例题

两个计数原理与排列组合知识点及例题 两个计数原理内容 1、分类计数原理： 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法. 2、分步计数原理： 完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法. 例题分析 例1某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。现要配成一荤一素一汤的套餐。问可以配制出多少种不同的品种？ 分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤） 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择 第二步配一个素菜有5种选择 第三步配一个汤有2种选择 共有N=3×5×2=30（种） 例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。 （1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？ （1）分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？ 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算。 解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择 第二类从下层取一本书有4种选择 共有N=5+4=9（种） （2）分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？ 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择 第二步从下层取一本书有4种选择 共有N=5×4=20（种） 例3、有1、2、3、4、5五个数字. （1）可以组成多少个不同的三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？ （1）分析： 1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数） 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 略解：N=5×5×5=125（个）

高中数学选修2-3两个基本计数原理

两个基本计数原理 教学目标： 1、准确理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理概念和步骤 2、会运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的问题 要点扫描： 1、（1）分类计数原理（加法原理）： （2）分步计数原理（乘法原理）： 2、分类计数原理和分步计数原理的区别和联系 分类计数原理和分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题，其区别在于：分类计数原理针对的是＿＿＿问题，其中各种方法＿＿＿＿，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是＿＿＿问题，各个步骤中的方法＿＿＿＿，只有各个步骤都完成之后才算做完这件事。 例题讲解： 例1、（1）一个学生要从5本不同的文史类书，4本不同的理科类书及3本不同的艺术类书中任选一本书阅读，有多少种不同的选法？ （2）一个学生要从5本不同的文史类书，4本不同的理科类书及3本不同的艺术类书中各选一本书阅读，有多少种不同的选法？ 例2、从1到200的自然数中，各个数位上都不含数字8的有多少个？ 例3、3名学生报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，有多少种不同的报名方法？若有4项冠军在3人中产生，每项冠军只能有一人获得，有多少种不同的夺冠方法？ 例4、电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？

例5、在区间[400，800]上，（1）有多少个能被5整除且数字允许重复的整数？（2）有多少 个能被5整除且数字不允许重复的整数？ 当堂反馈： 1、某人要将4封信投入3个信箱中，不同的投寄方法有 （ ） A 、12种 B 、7种 C 、43种 D 、34种 2、从0，1，2，3，4，5，7七个数中任取两个数相乘，使所得积为偶数，这样的偶数共有 （ ） A 、18个 B 、9个 C 、12个 D 、10个 3、有三个车队分别有5辆，6辆，7辆车，现欲从其中两个车队各抽调一辆车外出执行任务， 设不同的抽调方案数为n ，则n 的值为 （ ） A 、107 B 、210 C 、36、 D 、77 4、已知集合A={},102,≤≤-∈x z x x A n m ∈,,方程12 2=+n y m x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则这样的椭圆共有 （ ） A 、45个 B 、55个 C 、78个 D 、91个 作业：课课练 课时1，2

高中数学选修2-3计数原理概率知识点总结

选修2-3定理概念及公式总结 第一章基数原理 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理， 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 用于计算， 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, 用于证明。 n n A =!n =()1231????- n n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 （1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m n C 表示 （2）组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 用于计算， 或)! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。

计数原理知识点总结与训练

计数原理知识点总结 一、两个计数原理 3、两个计数原理的区别 二、排列与组合 1、排列： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2、排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列 的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。用符号 表 示. 3、排列数公式： 其中 4、组合： 一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 5、组合数： 从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。用符号 表示。 6、组合数公式： 其中 注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”. 7、性质： m n A m n A ()()() ()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=Λ . ,,*n m N m n ≤∈并且m n C ()()() ()! !! !121m n m n m m n n n n C m n -= +---= Λ . ,,*n m N m n ≤∈并且m n n m n C C -=m n m n m n C C C 1 1+-=+

三、二项式定理 如果在二项式定理中，设a=1,b=x ，则可以得到公式： 2、性质： 0241351 2 n n n n n n n C C C C C C -=+++=+++=L L 奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：

1.1 两个基本计数原理(2)

教学内容 §1.1 两个基本计数原理（2） 教学目标要求（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能根据具体问题的特征，选择分类加法原理或分步乘法原理解决一些简单的实际问题； （2）通过对分类计数原理与分步计数原理的理解和运用，提高学生分析问题和解 决问题的能力，开发学生的逻辑思维能力． 教学重点分类计数原理与分步计数原理的区别和综合应用． 教学难点分类计数原理与分步计数原理的区别和综合应用． 教学方法和教具 教师主导活动学生主体活动一．问题情境 复习回顾：1．两个基本计数原理； 2．练习： （1）从2，3，5，7，11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、 分母，则可产生不同的分数的个数是，其中真分数的 个数是． （2）①用0，1，2，……，9可以组成多少个8位号码； ②用0，1，2，……，9可以组成多少个8位整数； ③用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位整数； ④用0，1，2，……，9可以组成多少个有重复数字的4位整数； ⑤用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数． 二．数学运用 1．例题： 例1 用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同 的颜色，共有多少种不同的涂法？ 分析完成这件事可分四个步骤，不妨 设①、②、③、④的次序填涂． 解：第一步，填涂①，有4种不同颜色 可选用； 第二步，填涂②，除①所用过的颜色外， 还有3种不同颜 色可选用； 第三步，填涂③，除①、②用过的2种 颜色外，还有2种 不同颜色可选用； 第四步，填涂④，除②、③用过的2种颜色外，还有2种不同颜色可 选用． ???=种不同的方法，即填涂这张 所以，完成这件事共有432248 地图共有48种方法． 答共有48种不同的涂法． 思考：如果按①、②、④、③的次序填涂，怎样解决这个问题？

高中数学选修2-3计数原理练习

高中数学选修2-3计数原理练习 一、选择题： 1、某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案有（ ） A.3种 B.6种 C.7种 D.9 2、某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（ ） A. 50种 B.105种 C. 510 种 D.以上都不对 3、某高校从8名优秀毕业生中选出5名支援西部建设，其中甲必须当选的种数是（ ） A 35 B 56 C 21 D 36 4、假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ） A ．3 19823C C 种 B ．(2 19733319723C C C C +)种 C ．)C -(C 4 1975200种 D ．)C C C (4197135200-种 5、4·５·6·7·…·(n-1)·ｎ等于（ ） A.4-n n A B.3 -n n A C.ｎ！－4！ D. ! 4! n 6、已知x ,y ∈N ，且x n C ＝y n C ，则x 、y 的关系是（ ） A.x =y B.y =n -x C.x =y 或x +y =n D.x ≥y 7、下面是高考第一批录取的一份志愿表： 现有4所重点院校，每所院校有3 个专业是你较为满意的选择，如果表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有不同的填写方法的种数是（ ） A ．32 33)(4A ? B ．32 33)(4C ? C ．32 33 4)(C A ? D ．32 33 4)(A A ? 8、从6位男学生和3位女学生中选出4名代表，代表中必须有女学生，则不同的选法有（ ） A ．168 B ．45 C ．60 D ．111 9、氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，某肽链由7种不同的氨基酸构成， 若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的改变方法共有 （ ） A ．210种 B ．126种 C ．70种 D ．35种 10、电话号码盘上有10个号码，采用八位号码制比采用七位号码制可多装机的门数是（ ） A ．87 1010A A - B ． C 108-C 107 C ．781010- D ．88108 C A 11、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）， 要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共（ ）种 A ．210种 B ．420种 C ．630种 D ．840

《计数原理》优质课教案

10.1计数原理 【教学目标】 1．理解分类计数原理与分步计数原理，会利用两个原理解决实际问题. 2．培养学生比较、类比、归纳等数学思想方法和灵活应用的能力． 3．让学生体会数学来源生活，并为生活服务的道理，激发学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 掌握分类计数原理与分步计数计数原理． 【教学难点】 区别和运用分类计数原理与分步计数计数原理． 【教学方法】 本节课主要采用问题驱动法．教师创设问题情景，引导学生从特殊到一般归纳出分类计数原理与分步计数原理．并通过例题讲解，使学生进一步深化对定理的理解．最后通过对比和练习，明确两个定理的联系和区别. 【教学过程】 环节教学内容师生互动设计意图 导入 教师提出问题，学生独立思考． 师：生活中常见的计数问题蕴 含着什么原理呢？ 用两个 和大家生活 密切相关的 问题引出课 题，可以充 分激发了学 生的学习兴 趣，调动学 生的积极 性。 新课问题1.1 解2＋3＝5(种)． 问题1.2： 解5＋4＝9(种)． 师：问题1.2要完成一件什么 事？ 完成这件事有多少类不同的办 法？ 教师通过问 题引导学生 一步步分析 解题思路.

新课担任班长和团支部书记，会有多少 种选举结果呢？ 解3×2＝6(种)． 问题2.2：张宁打算去应聘， 她有4件不同的上衣，2条不同的 裤子，她可以搭配出多少套不同的 造型？ 解4×2＝8(种)． 分步计数原理完成一件事， 需要分成n个步骤，做第1步有 m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法……做第n步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共 有 N＝m1×m2×…×m n 种不同的方法. 例2 职二(8)班有26名男生,20名 女生, 从中选出一名男生和一名 女生代表班级参加技能比赛,有多 少种不同的选法？ 解利用分步计数原理得 N＝26×20＝520种 不同的取法. 练习2： 1.由数字 1，2，3，4，5 可 以组成多少个数字可以重复的三 位数？ 第一步：选出一个班长，有 种不同的选法； 第二步：选出一个团支书，有 种不同的选法． 完成这件事有多少种不同的方 法？ 教师指导学生类比分类计数原 理给出分步计数原理的概念. 应用分步计数原理分析，例2 要完成一件什么事？分为几个步 骤？每一步骤中有几种不同的方 法？完成这件事共有几种不同的方 法？ 教师总结要点：分步时要“步 骤完整” 学生分组讨论：要完成什么 事？能一步完成吗？若不能，分几 题2.2引出 分步计数原 理.对于较 难理解的乘 法结果，可 结合初中学 过的树形图 突破. 增强学 生的类比能 力和归纳能 力. 通过例2引 导学生学习 分析问题的 方法。 分组讨论既 能增强学生 解决实际问 题的能力， 弱化难点，

高中数学选修2-3 第一章《计数原理》单元测试题(含答案)

高中数学选修2--3 第一章《计数原理1》单元测试题 一、选择题 1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ） A ．81 B ．64 C ．12 D ．14 2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机 各1台，则不同的取法共有（ ） A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种 3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ） A ．33A B ．334A C ．523533A A A - D ．231132 3233A A A A A + 4．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长， 不同的选法总数是（ ） A.20 B ．16 C ．10 D ．6 5．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、 物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A ．男生2人，女生6人 B ．男生3人，女生5人 C ．男生5人，女生3人 D ．男生6人，女生2人. 6．在8 2x ? ?的展开式中的常数项是（ ） A.7 B ．7- C ．28 D ．28- 7．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是（ ） A.120 B ．120- C ．100 D ．100- 8．22n x ???展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是 （ ） A ．180 B ．90 C ．45 D ．360 二、填空题 1．从甲、乙，……，等6人中选出4名代表，那么（1）甲一定当选，共有

种选法．（2）甲一定不入选，共有种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有种选法. 2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法. 3．由0,1,3,5,7,9这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数. 4．在10 (x的展开式中，6x的系数是 . 5．在220 -展开式中，如果第4r项和第2 (1) x r+项的二项式系数相等， T= . 则r=， 4r 6．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个？ 7．用1,4,5,x四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x . 8．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有________________个？ 三、解答题 1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果. （1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二年级数学课外小组10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-3导学案 1.1 两个基本计数原理

1.1 两个基本计数原理 1．分类计数原理 完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有m 1种不同的方法，在第2类方式中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方式中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法．分类计数原理又称为加法原理． 预习交流1 应用分类计数原理的原则是什么？ 提示：做一件事有n 类方式，每一类方式中的每一种方法均完成了这件事． 2．分步计数原理 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．分步计数原理又称为乘法原理． 预习交流2 应用分步计数原理的原则是什么？ 提示： 做一件事要分n 个步骤完成，只有所有步骤完成时，才完成这件事，也就是说，每一步骤中每种方法均不能完成这件事． 一、分类计数原理问题 从甲地到乙地每天有火车3班，汽车8班，飞机2班，轮船2班，问一天内乘坐班次不同的运输工具由甲地到乙地，有多少种不同的走法？ 思路分析：由于每班火车、汽车、飞机、轮船均能实现从甲地到乙地，因此利用分类计数原理．

解：根据运输工具可分四类： 第1类是乘坐火车，有3种不同的走法； 第2类是乘坐汽车，有8种不同的走法； 第3类是乘坐飞机，有2种不同的走法； 第4类是乘坐轮船，有2种不同的走法； 根据分类计数原理，共有不同的走法的种数是N＝3＋8＋2＋2＝15. 设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这些画中只选一幅布置房间，有__________种不同的选法． 答案：14 解析：根据分类计数原理，不同的选法有N＝5＋2＋7＝14种． 如果完成一件事有n类方式，每类方式彼此之间是相互独立的，无论哪一种方式的每种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理(加法原理)． 二、分步计数原理问题 有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各1个，有多少种不同的取法？ 思路分析：要从盒子里取到红、白、黄小球各1个，应分三个步骤，并且这三个步骤均完成时，才完成这件事，故应用分步计数原理． 解：分三步完成： 第1步是取红球，有6种不同的取法； 第2步是取白球，有5种不同的取法； 第3步是取黄球，有4种不同的取法； 根据分步计数原理，不同取法的种数为N＝6×5×4＝120. 现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人自发组织参加数学课外活动小组，为便于管理，每年级各选一名组长，有__________种不同的选法． 答案：756 解析：根据分步计数原理有N＝9×12×7＝756种不同的选法． 如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步计数原理(乘法原理)． 1．两个书橱，一个书橱内有7本不同的小说，另一个书橱内有5本不同的教科书．现从两个书橱任取一本书的取法有__________种． 答案：12 解析：根据分类计数原理，不同的取法有N＝7＋5＝12种． 2．教学大楼有5层，每层均有2个楼梯，由1楼到5楼的走法有__________种． 答案：16 解析：根据分步计数原理，不同的走法有N＝2×2×2×2＝16种． 3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，从中推选两名来自不同年级的

两个计数原理

两个计数原理 两个基本原理 1．加法原理： 2．乘法原理： 1．现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人他们自愿组成数学课外小组。 （1）选其中一人为负责人，有多少种不同选法？ （2）每班选一名组长，有多少不同选法？ （3）推选二人作中心发言，这二人需要来自不同班级，有多少种不同选法？ 2．（1）在连接正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有多少个？ （2）四名运动员争夺三项冠军，不同结果最多有多少种？ （3）四名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方法有多少种？ 3．（1）从1到200的自然数中，各个数位上不含有数字8的有多少个？ （2）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字，且数字1和2不相邻的五位数，求这种一位数个数？ （3）由数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，求这种五位数的个数？ （4）由数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位偶数，求这种五位偶数的个数。 （5）由数字0、1、2、3、4组成没重复数字的五位数，其中能被4整除的有多少个？ 4．直线方程Ax+13y=0，若从0、1、2、3、5、7六个数字中每次取两个不同的数作为A、B的值，则表示不同直线条数为（） A．2条B．12条C．22条D．25条 5．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形个数为（） A．25 B．26 C．36 D．37 6．若x，yEN+，且x+y=6，则有序自然数对（x，y）有多少个（） A．11 B．13 C．14 D．15 7．某电话号码为168—×××××若后面的五位数字，由6或8组成，则这咱电话号码共有（）A．20 B．25 C．32 D．60 8．某人射击8枪，命中4枪，恰有3枪连在一起的数是（） A．720 B．480 C．224 D．20 9．已知集合} , 10 2 | {xEZ x x A≤ ≤ - =m，nEA，方程1 2 2 2 = + n y m x ，表示长轴，在x轴上椭圆，则这样椭圆共有几个（） A．45 B．55 C．78 D．91 10．十字路口来往车辆，若不允许车辆回头，共有种不同行车路线。 11．不通过乘：[（a1+a2）（b1+b2+b3）+c1+c2]（d1+d2+d3），展开共有项 12．三位正整数全部印出来，“0”这个字一共有个。 13．有壹元币3张，伍元币1张，拾元币2张，可以组成种不同币值 14．30030能被个不同的偶数整除。 15．（1）用红、黄、蓝、黑4种不同的颜色涂入图中A、B、C、D四个区域内，要求相邻区域的涂色不得相同，则不同涂色方法共有多少 （2）用五种不同颜色经图中4个区域涂色，如果每一个区域涂一种颜色，相邻区域不同色共有多少种涂色方法 16．在某个城市中，M，N两地之间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向自沿图中路线前进，则从M到N不同的走法共有多少种？

选修2-3第一章计数原理教材分析

选修2-3第一章：“计数原理”教材分析与教学建议 一、地位与作用 计数问题是数学中的重要研究象之一，分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。计数原理是学习统计与概率以及相关分支的基础。计数原理的思想方法独特灵活，有利于培养和发展学生的抽象能力和逻辑思维能力。 二、本章重点、难点 1．重点：（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理；（2）排列与组合的意义；（3）排列数公式与组合数公式；（4）二项式定理。 2．难点：（1）如何利用原理和有关公式解决应用问题。 三、课程标准 1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。 2．排列与组合 通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。 3．二项式定理 能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。四、教学安排与课时分配 这部分的内容与《大纲》没有太大的区别，在处理方式上，相对于排列、组合来说，《标准》更强调基本的计数原理，而把排列、组合、二项式定理的证明作为计数原理的应用实例。就计数原理本身而言，《标准》强调对计数思想的理解， 两个版本相比，A版更加注重体现课标的精神，比如：从内容编排上看，非常强调基本计数原理的思想及其应用，第一节安排了有梯度的9个例题，计划用4课时，让学生通过丰富的实例来熟悉原理及其基本应用，而同样内容B版为3个例题，2课时；注重学生对新概念、新公式的探究。 避免抽象的讨论计数原理，而且强调计数原理在实际中的应用。教学用时比《大纲》少了4课时。 六、教材分析 （一）计数原理 1．分类加法计数原理 （1）原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N m n =+种不同的方法．

1.1两个基本计数原理(二)教案

备课时间年月日[来源:学科网][来源:学#科#网 Z#X#X#K] 编写： 上课时间[来源:https://www.wendangku.net/doc/1d1519694.html,] 第周周月日[来 源:Z_xx_https://www.wendangku.net/doc/1d1519694.html,][来源:学科网] 班级节次 课题 1.1两个基本计数原理（二）总课时数第节 教学目标1、能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原理、分步计数原理； 2、能综合运用两个原理解决一些简单的实际问题； 3、会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理的作用． 重难 点 综合运用两个基本原理解决一些简单的实际问题；准确选用两种基本原理．教学 参考 教材、教参 授课方法合作探究、讲授 教学辅助手段 多媒体 专用教室 教学教学二次备课

过程设计复习回顾： 分类计数原理： 分步计数原理： 分类计数原理与分步计数原理的区别与联系 问题 1. 某电脑用户计划使用不超过500元的 资金购买单价分别为60元、70元的单片软件 和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3盒，磁 盘至少买2盒，问有多少种不同的选购方式？ 问题 2.等腰三角形的三边均为正整数，且其 周长不大于10，这样不同形状的三角形的种数 为多少？ 问题 3.将3种作物种植在如图所示的5块试 验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田 不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多 少种？ 当堂检测 1、某巡洋舰上有一 排四根信号旗杆，每 根旗杆上可以挂红 色、绿色、黄色三种 信号旗中的一面（每 根旗杆必须挂一 面），则这排信号旗 杆所发出的信号种 数为． 2、有三个车队分别 有5辆、6辆、7辆 车，现欲从其中两个 车队各抽掉一辆车 外出执行任务，设不 同的抽调方案数为 n，则n的值为 ． 3、某同学逛书店， 发现三本喜欢的书， 决定至少买其中一 本，则购买方案有 种

知识点总结-选修2-3计数原理知识讲解

知识点总结-选修2-3 计数原理

计数原理知识点 知识网络 一、两个计数原理 1. 分类加法计数原理：完成一件事，有n 类办法， 在第1类办法中有1m 种不同的办法； 在第2类办法中有2m 种不同的方法； ..... 在第n 类办法中有n m 种不同的方法 那么，完成这件事共有n m m m N 21中不同的方法. 2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤， 做第1步有1m 种不同的方法； 做第2步有2m 种不同的方法； ..... 做第n 步有n m 种不同的方法 那么，完成这件事共有n m m m N 21种不同的方法.

3、两个计数原理的区别 二、排列与组合 1.排列 （1）排列定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 （2）排列数：从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素的所有不同排列的个数叫 做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。用符号m n A 表示. （3）排列数公式： 其中*,N m n ，并且n m 特殊的，当n m 时，即有 ! ! 121m n n m n n n n A m n 1 2321 n n n A n n

n n A 称为n 的阶乘，通常用!n 表示，即 !n A n n 2. 组合： （1）组合定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 （2）组合数：从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素的所有不同组合的个数叫 做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。用符号m n C 表示。 （3）组合数公式： 其中*,N m n ，并且n m ， 规定10 n C 注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”. （4）组合数的性质： 三、二项式定理 1. 二项式定理：一般地，对于*N n ，有 *)()(222110N n b C b a C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n n n . 右边的多项式叫做n b a )( 的二项展开式，它一共有1 n 项，其中r r n r n b a C 叫做二项展开式的第1 r 项（也称通项），用1 r T 表示，即 r r n r n r b a C T 1 如果在二项式定理中，设x b a ,1，则可以得到公式： ! !! !121m n m n m m n n n n C m n m n n m n C C m n m n m n C C C 1 1

两个计数原理与排列组合知识点及例题

两个计数原理与排列组合知识点及例题两个计数原理内容 1、分类计数原理： 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法. 2、分步计数原理： 完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法. 例题分析 例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。现要配成一荤一素一汤的套餐。问可以配制出多少种不同的品种 ( 分析：1、完成的这件事是什么 2、如何完成这件事（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤） 3、它们属于分类还是分步（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理 5、进行计算. 解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择 第二步配一个素菜有5种选择 。 第三步配一个汤有2种选择 共有N=3×5×2=30（种） 例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。 （1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法 * （2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法 （1）分析：1、完成的这件事是什么 2、如何完成这件事 3、它们属于分类还是分步（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理 5、进行计算。 解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择 、 第二类从下层取一本书有4种选择 共有N=5+4=9（种） （2）分析：1、完成的这件事是什么 2、如何完成这件事 3、它们属于分类还是分步（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理 5、进行计算. — 解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择 第二步从下层取一本书有4种选择 共有N=5×4=20（种） 例3、有1、2、3、4、5五个数字. （1）可以组成多少个不同的三位数 （2）可以组成多少个无重复数字的三位数 （3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数 — （1）分析：1、完成的这件事是什么 2、如何完成这件事（配百位数、配十位数、配个位数） 3、它们属于分类还是分步（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理 5、进行计算.

高中数学选修2-3计数原理测试题(含答案)

高中数学选修2-3计数原理测试题 （本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分） 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．若m 为正整数，则乘积()()()=+++2021m m m m Λ （ ） A ．20 m A B ．21 m A C ．20 20+m A D ．21 20+m A 2．若直线0=+By Ax 的系数B A ,同时从0,1,2,3,5,7六个数字中取不同的值,则这些方程表示不同的直线条数 （ ） A ． 22 B ． 30 C ． 12 D ． 15 3．四个编号为1，2，3，4的球放入三个不同的盒子里，每个盒子只能放一个球，编号为1的球必须放入，则不同的方法有 （ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．96种 4．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第几个数 （ ） A ．6 B ．9 C ．10 D ．8 5．把一个圆周24等分,过其中任意三个分点可以连成圆的内接三角形,其中直角三角形的个数是 （ ） A ．2024 B ．264 C ．132 D ．122 6. 在(a-b)99 的展开式中，系数最小的项为( ) 50 7. 数11100 -1的末尾连续为零的个数是( ) B.3 ……………………………..装……………………………. 订…………………………….线…. …………………………….

8. 若4 25225+=x x C C ，则x 的值为 （ ） A ．4 B ．7 C ．4或7 D ．不存在 9．以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是 （ ） A ．3 4C B ．3 718C C C ．3 71 8C C -6 D ． 124 8-C 10．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些 取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则 n m 等于（ ） A ． 10 1 B ． 51 C ．10 3 D ． 5 2 第Ⅱ卷（非选择题，共100分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．设含有8个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ， 则T S 的值为___________． 12．有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法 的总数为 ． 13．在(x-1)11 的展开式中，x 的偶次幂的所有项的系数的和为 . 14． 六位身高全不相同的同学在“一滩”拍照留念，老师要求他们前后两排各三人，则后 排每个人的身高均比前排同学高的概率是 ． 15. 用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则 x . 三、解答题（共计75分） 16．（12分）平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上，此外任三点不共线． （1）过每两点连线，可得几条直线 （2）以每三点为顶点作三角形可作几个 （3）以一点为端点作过另一点的射线，这样的射线可作出几条

计数原理(公开课)

分类加法计数原理与分步乘法计数原理 熊向前208班 【教材分析】“分类加法计数原理和分步乘法计数原理”是人教A版高中数学课标教材选修2-3“第一章计数原理”第1.1节的内容，教学需要安排4个课时，本节课为第1课时．两个计数原理不仅是继续学习排列、组合和二项式定理的理论依据，更是处理计数问题的两种基本思想方法，在本章中是奠基性的知识．两个计数原理的灵魂是划归与转化的思想、分类与整合的思想和特殊与一般的思想的具体化身．从数学本质的角度看，以退为进，以简驭繁，是理解和掌握两个计数原理的关键，运用两个计数原理是知识转化为能力的催化剂． 【学情分析】在高中数学《必修2》中学习“古典概型”时，已学会了用列举法解决最简单的计数问题；同时在学习和生活中，学生已经不自觉地会使用“分类”和“分步”的方法来思考和解决问题，这些都是学生学习两个计数原理的认知基础．两个计数原理虽简单朴素，易学好懂，但如何让学生借助已有的数学活动经验，抽象概括出两个计数原理，并领悟其中重要的数学思想方法，则是本课必须要突破的难点．为此，抓住以下两个要点尤为重要：一是要通过典型丰富的实例来帮助学生完成归纳提炼的过程，加强学生应用两个计数原理解决问题的意识——这是有效提升学生抽象概括能力的契机；二是要在解决问题的过程中，始终突出两个计数原理的核心要素，即弄清“完成一件事”的含义和区分“分步”与“分类”的特征——这是如何选择两个计数原理的关键． 【教学目标】知识与技能：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的实际问题．过程与方法：通过诱导，探索得出结论，培养学生的理解能力和抽象概括能力；通过知识应用培养学生的分析和解决问题的能力．情感、态度与价值观：通过实例引入体会数学来源生活，并为生活服务，激发学生学习本章的兴趣；通过探索与发现的过程，使学生体会数学研究的成功与快乐，学会提出问题、分析问题、解决问题，激发学生勇于探索，敢于创新的精神，优化学生的思维品质． 【教学重点】归纳出两个计数原理，并能初步用其解决一些简单的实际问题． 【教学难点】准确区分“分类”和“分步”． 【教学方法】本节课是概念原理课的教学典范．采用问题式教学为主，辅以启发式、探究式、自助式、讨论式的教学方式． 【教学用具】粉笔、多媒体等． 【教学过程】 1．创设情境，提出问题 “日”字加一笔能够组成多少个常见的汉字？（田、申、甲、由、电、旧、旦、白、目共9个．）我们将这种方法数的计算问题都称之为计数问题．生活中还有很多计数问题，如：（1）座子上有多少本书？（2）教室里面坐了多少个人？（3）从甲、乙、丙中选一个人当班