圆的典型基本图形

圆的典型基本图形

图形1：如图1：AB 是⊙O 的直径，点E 、C 是⊙O 上的两点。

（1）在“AC 平分∠BAE ”；“AD ⊥CD ”；“DC 是⊙O 的切线”三个论断中，知二推一。

（2）如图2、3，DE 等于弓形BCE 的高；DC =AE 的弦心距OF （或弓形BCE 的半弦EF ）。

（3）如图（4）：若CK ⊥AB 于K ，则：

①CK=CD ；BK=DE ；CK=BE/2=DC ；AE+AB=2BK=2AD ; ②⊿ADC ∽⊿ACB （或AC 2=AD?AB ）

（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG ⊥CD 于E 时（如图5），则： ①DE=GB ；②DC=CG ；③AD+BG=AB ；④AD?BG=DG 2/4=DC 2

图形2：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ACB =90°。点O 是AC 上一点，以OC 为半径作⊙O 交AC 于点E ，基本结论有：

（1）在“BO 平分∠CBA ”;“BO ∥DE ”;“AB 是⊙O 的切线”;“BD=BC ”。四个论断中，知一推三。

（2）①G 是⊿BCD 的内心；②

③⊿BCO ∽⊿CDE(或BO?DE=CO?CE ）

（3）如图（3

），若①BC=CE ，则：②tan ∠ADE=AE/AD=1/2； ③BC ：AC ：AB =3

：4：5 ；（在①、②、③中知一推二）④设BE 、CD 交于点H ，,则BH=2EH

图形3：如图：Rt ⊿ABC 中，∠

ABC =90°,以AB 为直径作⊙O 交AC 于D ，基本结论有：

如右图：（1）DE 切⊙O ? E 是BC 的中点； （2）若DE 切⊙O ，则： DE=BE=CE ；

如图1：DE ∥AB ?⊿ABC 、⊿CDE

图5图4

图3图2图1CG=GD

图形4：：以直角梯形ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ， 基本结论有：

（1）如图1：①AD+BC ＝CD ； ②∠COD =∠AEB =90°； ③OD 平分∠ADC （或OC 平分∠BCD ）；（注：在①、②、③及④“CD 是⊙O 的切线”四个论断中，知一推三）

（2）如图2，连AE 、CO ，则有：CO ∥AE ，CO?AE =2R 2(与基本图形2重合)

（3）如图3，若EF ⊥AB 于F ，交AC 于G ，则：EG =FG .

图形5：如图：直线PR ⊥⊙O 的半径OB 于E ，PQ 切⊙O 于

Q ，BQ 交直线PQ 于R 。基本结论有

（1）PQ=PR (⊿PQR 是等腰三角形)；

（2）在“PR ⊥OB ”、“PQ 切⊙O ”、“

PQ=PR ”中，知二推一

（3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB 2

图形6：如图，⊿ABC 内接于⊙O ，I 为△ABC 的内心。基本结论有：

（1）如图1，①BD=CD=ID ；②DI 2＝DE·DA ；

③∠AIB =90°+ 1/2∠ACB ;

（2）如图2，若∠BAC =60°，则：BD+CE=BC.

图形7：已知，AB 是⊙O 的直径，

C 是 中点，C

D ⊥AB 于D 。BG 交CD 、AC 于

E 、

F 。 基本结论有：

（1）CD =1/2BG ；BE=EF=CE ；GF=2DE (反之，由CD =1/2BG 或BE=EF 可得：C 是 中点)

（2）OE=1/2AF ，OE ∥AC ；⊿ODE ∽⊿AGF

（3）BE·BG=BD·BA

（4）若D 是OB 的中点，则：①⊿CEF 是等边三角形；②

图1图3

图2图1图2BG A BC=CG=AG BG

九年级圆基础知识点,(圆讲义)

一对一授课教案 学员姓名：____何锦莹____ 年级：_____9_____ 所授科目：___数学__________ 上课时间：____ 年月日_ ___时分至__ __时_ __分共 ___小时 一、圆的定义： 1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随 之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径． 2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O ⊙”，读作“圆O”． 3 同圆、同心圆、等圆： 圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆. 注意：同圆或等圆的半径相等． 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB． 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心 角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 一、圆的对称性 1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． 2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合． 二、垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2. 推论1：⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 练习题；

圆设计及思维导图精编版

圆设计及思维导图 集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-

主题单元设计

学习活动设计（针对该专题所选择的活动形式及过程）一、创设生活情境、导入新课。 1、欣赏，走进圆的世界。 2、借助实物画圆 3、师：以往同学们在画图时都用的是尺子，今天你为什么不用尺子画圆呢(尺子边是直的，不好画圆) 二、动手操作、认识各部分名称。 1、画圆 2、观察、认识圆的各部分名称。 让学生自读课本例2，了解圆的各部分名称 ②认识圆的圆心。 ③认识圆的半径。。 三、合作探究，学习特征。 1、谈话：刚才我们通过学习知道了圆的各部分名称，那么圆有什么特征呢请同学们在纸上任意画一个圆，并将它剪下来。画一画，量一量，折一折手中的圆形纸片，看看有什么发现 2、学生自主探究。课件出示讨论题: ①在同一个圆里有多少条半径多少条直径 ②在同一个圆里半径的长度都相等吗直径的呢 ③在同一个圆里半径和直径有什么关系？ ④圆是轴对称图形吗它有几条对称轴 3、合作交流： ①用画、折的方法来验证半径、直径有无数条。 ②用画、折的方法来验证半径、直径相等。③通过测量和推理的方法验证直径是半径的2倍，并让学生理解用字母表示直径与半径的关系。④通过把圆沿不同方向对折来理解圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 (四)、实践运用，反馈内化。 我们知道了圆的画法，名称，特征，请同学们运用今天的知识解决几个问题。 1、你认为下面的说法对吗（课件展示） ①圆的直径是半径的2倍。 ②圆有无数条对称轴。 ③半径3厘米的圆比直径4厘米的圆小。 ④画直径是6厘米的圆时，圆规两脚之间的距离为3厘米。 五、运用新知、解决实际问题。 圆的特征在生活中得到广泛的应用。车轮为什么做成圆形车轴为什么要安放在圆心（课件展示） 六、总结评价、拓展延伸。

圆与扇形(经典题汇总)

圆与扇形 公式与割补 内容提要 本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念，及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识． 圆是我们在生活中经常见到的图形，它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴，绕圆心旋转任何角度还保持原状．而且，所有的平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的． 我们知道，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用π表示．另外，一般把直径记作d ，半径记作r ，如图1所示． 如图3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分，所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论． 扇形的圆心角为n °时，它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的360 n ． 我们先来熟悉一下这些公式． 练习： n ° 图3 图1

1.半径是2的圆的面积和周长分别是多少？ 2.直径是5的圆的面积和周长分别是多少？ 3.周长是10π的圆的面积是多少？ 4.面积是9π的圆的周长是多少？ 例题 一、基本公式运用 例题1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3.14计算） 例题2.已知扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，则这个扇形的半径和周长各是多少？（圆周率按3.14计算） 60° 随堂练习： 1.已知一个扇形的弧长为0.785厘米，圆心角为45 ，这个扇形的半径和周长各是多少？ 2.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？

例题3.如图，直角三角形ABC 的面积是45，分别以B ，C 为圆心，3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是35.58．请问：角A 是多少度？（π取3.14） 二、 圆中方，方中圆 例题4.如图，左下图和右下图中的正方形边长都是2，那么大圆、小圆的面积分别为________、________． 随堂练习： 1. 已知外面大圆的半径是4，里面小圆的面积是多少？（答案用π表示） 二、割补法 例题5. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）： （1） （2） 2

《圆》单元知识结构图

《圆》单元知识结构图 在《圆》这一单元中，通过对曲线图形——圆的特征和有关知识的探索与学习，初步认识研究曲线图形的基本方法，促进学生空间观念的进一步发展。下面，我将从以下几个方面来谈我对这一单元教材的认识和我的主要教学策略： 一、课标要求： 关于圆，在第一学段（1—3年级）的要求是： 1．会辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。2．能用简单的语言描述它的特征。初步了解它是轴对称图形。3．能对简单图形进行分类并会用各种平面图形拼图。 在本学段，即第二学段（4—6年级）的要求是： 1．通过观察、操作，认识圆，掌握圆的特征，会用圆规画圆；2．知道圆是轴对称图形，进一步认识轴对称图形，能运用平移、轴对称和旋转设计简单的图案。 3．探索并掌握圆的周长和面积公式，能够正确计算圆的周长和面积。4．经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会圆的知识在生活中的广泛应用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。 圆是一种曲线图形，它同直线图形有不同的特点。在本册之前各册教材出现的平面图形都是直线图形。所以“圆”的教学是学生系统认识曲线图形特征的开始。在低年级的教学中虽然也出现过圆，但只是直观的认识，

本册的第五单元《圆》，要认识圆的基本特征，会画圆，会计算圆的周长和面积并会灵活应用这些知识解决实际问题。从学习直线图形到学习曲线图形，不论是内容本身、还是研究问题的方法，都有所变化，教材通过对圆的研究，使学生初步认识研究曲线图形的基本方法，同时，也渗透了曲线图形与直线图形的内在联系。在这一单元里，教材还利用学生已有的对轴对称图形的初步认识探讨圆的轴对称特点，给出轴对称图形的概念，使学生关于轴对称图形的知识系统化，从而更好地发展学生的空间观察。 二、知识结构： 本单元教材主要内容有：认识圆、圆的周长和圆的面积等。 圆的认识包括圆的基本特征（认识圆心、半径和直径、半径和直径的长度间的关系）、掌握用圆规画圆的方法（加深对圆的认识）、圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 圆的周长和面积计算公式的教学，加强了启发性和探索性，注意让学生动手操作，使学生在实践活动中通过交流、思考来探究圆的周长和面积计算方法，逐步导出和掌握计算公式。对于圆的周长，让学生通过用线绕一绕，把圆放在直尺上滚一滚等方法来测量，然后再通过填表，运用不完全归纳法来探寻周长与直径的比值的规律，从而引出圆周率的概念。对于圆的面积教学，则采用转化的方法，把圆的面积转化为熟悉的直线图形的面积来计算。 三、教学目标： 1．知识与技能目标：认识圆，掌握圆的基本特征，理解直径与半径

小学数学圆的知识点归纳复习

小学数学圆的知识点归纳 复习 Prepared on 21 November 2021

小学数学圆的知识点归纳复习 1、基本知识点 （1）圆的初步认识 圆中心的一点叫圆心,用o 表示。一端在圆心,另一端在圆上的线段叫半径,用r 表示。两端都在圆上,并过圆心的线段叫直径,用d 表示。 圆有无数条半径，无数条直径，所有的半径都相等，所有的直径也都相等，在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，字母关系式为2d r =。或半径是直径的一半，字母关系式为12r d =。 圆规两脚尖所叉开的距离为圆的半径。在圆内最长的线段是直径。将一张圆形纸片至少对折2次，就能确定圆心的位置。 圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。 （2）圆的周长（用C 来表示） 圆一周的长度就是圆的周长。 任何圆的周长除以它的直径的商是一个固定的数,我们把它叫做圆周率,所以任何一个圆的圆周率，都不随圆的大小而变化。用字母π表示，计算时通常取3.14，注意π是一个固定值，而3.14是一个近似值。 公式： == ÷圆的周长圆周率圆的周长圆的直径圆的直径。 圆的周长公式：C=πd 或C=2πr 一个圆的周长是直径的π倍，是半径的2π倍。 （3）圆的面积（用S 来表示） 圆所占地方的大小就是圆的面积。 把一个圆，经若干等分后，再拼成一个近似的长方形：

长方形的长=圆周长的一半=πr，长方形的宽=半径=r。 长方形的面积=πr2即圆的面积 圆的面积公式：S=πr2 （4）半圆的周长和面积 将一个圆沿着任何一条直径剪开分成两个相同的半圆，其中的一个就叫做半圆。半圆是由一条半圆弧和一条直径围成。那么 半圆C 半圆的周长公式： C=2 2 d d r r π π +=+ 半圆 半圆C 半圆的面积公式： 2 =2 C r π÷ 半圆 （5）圆环的周长和面积 两个同心圆形成一个圆环。 设小圆和大圆（或内圆和外圆）的半径和直径分别为r和R。（R﹥r） 圆环的周长： =22 C r R ππ + 圆环 圆环的面积： () 2222 =R-R S r r πππ =- 圆环 （6）圆的相关结论 一个圆的半径扩大若干倍，则它的直径也扩大相同的倍数，周长也扩大相同的倍数，而面积扩大倍数的平方倍。 在周长相等的长方形，正方形和圆中，（圆）的面积大一些。 2、典型例题 例1、画圆时，圆规两脚之间的距离为4cm，那么这个圆的直径是（ ）cm，周长是（ ）cm，面积是（ ）平方厘米。 点评：考察圆的基本要素半径、直径、周长、面积之间的相互转化。 跟踪例1、一个圆形花坛的周长是25.12米，这个花坛的直径是（ ）米，半径是（ ）米，面积是（）米2。 例2、试求出这个图形的周长和面积

圆的典型基本图形

圆的典型基本图形 图形1：如图1：AB 是⊙O 的直径，点E 、C 是⊙O 上的两点。 （1）在“AC 平分∠BAE ”；“AD ⊥CD ”；“DC 是⊙O 的切线”三个论断中，知二推一。 （2）如图2、3，DE 等于弓形BCE 的高；DC =AE 的弦心距OF （或弓形BCE 的半弦EF ）。 （3）如图（4）：若CK ⊥AB 于K ，则： ①CK=CD ；BK=DE ；CK=BE/2=DC ；AE+AB=2BK=2AD ; ②⊿ADC ∽⊿ACB （或AC 2=AD?AB ） （4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG ⊥CD 于E 时（如图5），则： ①DE=GB ；②DC=CG ；③AD+BG=AB ；④AD?BG=DG 2/4=DC 2 图形2：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ACB =90°。点O 是AC 上一点，以OC 为半径作⊙O 交AC 于点E ，基本结论有： （1）在“BO 平分∠CBA ”;“BO ∥DE ”;“AB 是⊙O 的切线”;“BD=BC ”。四个论断中，知一推三。 （2）①G 是⊿BCD 的内心；② ③⊿BCO ∽⊿CDE(或BO?DE=CO?CE ） （3）如图（3 ），若①BC=CE ，则：②tan ∠ADE=AE/AD=1/2； ③BC ：AC ：AB =3 ：4：5 ；（在①、②、③中知一推二）④设BE 、CD 交于点H ，,则BH=2EH 图形3：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ ABC =90°,以AB 为直径作⊙O 交AC 于D ，基本结论有： 如右图：（1）DE 切⊙O ? E 是BC 的中点； （2）若DE 切⊙O ，则： DE=BE=CE ； 如图1：DE ∥AB ?⊿ABC 、⊿CDE 图5图4 图3图2图1CG=GD

圆是一种生活中最常见的平面图形

圆是一种生活中最常见的平面图形，也是最简单的曲线图形。在教学中充分联系生活实际，让学生回答日常生活中圆形的物体，并通过观察、操作、讨论使学生认识圆的形状，掌握圆的画法及圆各部分的名称，特征。学生获取知识兴趣浓厚，积极主动。 一、从生活实际引入，并在进行新知的探究活动中密切联系生产、生活实际。 课的开始，通过屏幕显示生活中经常见到的圆，如钟面、车轮、硬币等，接着又让学生举例说出生活中圆形的物体。课的结尾让学生讨论车轮为什么要制成圆的，并出示小猴坐车的几个形象动画，使学生具体的感知数学应用的广泛性，调动了学生学习的积极性，潜移默化的对学生进行了学习目的教育。 二、思维往往是从动手开始的，在教学中，引导学生用多种感官参与到知识的生成过程中。 要解决数学知识抽象性与学生思维形象性之间的矛盾，关键是引导学生动手操作。本节课在认识圆的各部分名称，理解圆的特征，教学圆的画法时，安排了让学生折一折、化一化、指一指、比一比、量一量等动手实践活动，引导学生用眼观察，动脑思考，动口参与讨论，收到了较好的教学效果。 三、重视激发学生求知欲。 教学圆的认识时，注重给学生创设思维的空间，注意引导学生积极体验，自己产生问题意识，自己去探究、尝试，总结，从而主动获取知识。 四、本节课，计算机直观形象、动静结合、节省教学时间的功能充分得到发挥，展现了知识发生、发展过程，加深了学生对知识的理解和掌握。 但本节课让学生画圆时，由于学生比较感兴趣，不停的想用圆规画，耽误时间较长，占用教学时间多了，导致课的总结时间不够 圆的认识》教学反思 教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级上册，学生在认识了长方形、正方形、平行四边形等平面图形，并直观认识了圆的基础上进行学习的。它是研究曲线图形的开始，也是后继学习圆的周长、面积、扇形、圆柱、圆锥的基础。本课让学生学会用圆规画标准圆，并一步认识深刻体会圆的特征及其内在联系，这既是本课的重点也是难点所在。学生在低年级虽然也认识了圆，但只是直观的，对于掌握圆的特征还是有难度的。由认识直线图形到认识曲线图形，是认识发展的一次飞跃。 本节课做的好的地方有：课始创设了“抢坐游戏”的情境导入新课，一下子激发了学生的学习兴趣。这一比赛，唤醒学生的生活经验，同时又富于思考性和挑

圆与扇形(经典题汇总)

圆与扇形 ——公式与割补 内容提要 本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念，及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识． 圆是我们在生活中经常见到的图形，它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴，绕圆心旋转任何角度还保持原状．而且，所有的平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的． 我们知道，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用π表示．另外，一般把直径记作d ，半径记作r ，如图1所示． 如图3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分，所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论． 扇形的圆心角为n °时，它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的360 n ． n ° r 图3 图1

我们先来熟悉一下这些公式． 练习： 1.半径是2的圆的面积和周长分别是多少？ 2.直径是5的圆的面积和周长分别是多少？ 3.周长是10π的圆的面积是多少？ 4.面积是9π的圆的周长是多少？ 例题 一、基本公式运用 例题1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3.14计算） 例题2.已知扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，则这个扇形的半径和周长各是多少？（圆周率按3.14计算） 60°

随堂练习： 1. 已知一个扇形的弧长为0.785厘米，圆心角为45o ，这个扇形的半径和周长各是多少？ 2. 扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？ 3. 如图，直角三角形ABC 的面积是45，分别以B ，C 为圆心，3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积 是35.58．请问：角A 是多少度？（π取3.14） 二、 圆中方，方中圆 4. 如图，左下图和右下图中的正方形边长都是2，那么大圆、小圆的面积分别为________、________． 随堂练习： 1. 已知外面大圆的半径是4，里面小圆的面积是多少？（答案用π表示）

利用圆设计图案

《利用圆设计图案》教学设计 浙江省诸暨市暨阳小学余寿华（初稿） 浙江省诸暨市实验小学教育集团陈菊娣（修改） 浙江省诸暨市教育局教研室汤骥（统稿） 教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第59页内容及相关练习。 教学目标： 1．通过图案设计加深对圆的特征的认识。 2．在画图的过程中提高画圆的技能，发展学生的观察能力与操作能力。 3．学会欣赏数学的美，热爱数学学习的情感。 教学重点：利用圆设计图案。 教学难点：确定圆心与半径。 教学准备：课件。 教学过程： 一、创设情境，导入新课 教师：一个人的力量很有限，一群人的力量可以很强大；一个圆很单调，一堆圆会怎样呢？让我们一起去看一看吧。（课件出示图片） 教师：构成这些图案的基本图形都是圆，你想用圆来设计一个美丽的图案吗？ 【设计意图】呈现以圆为基本图形的各种设计图案，通过图形的美激发学生的兴趣，使学生迅速进入学习状态。其中第3、4两幅图比较简单，易于学生观察图形的构成方式，有利于新知探究。 二、教学例题，探究画法 1．出示例题。 用圆可以设计出许多漂亮的图案。下面的图形就是用圆规和直尺一步一步画出来的。

2．探究画法。 教师：请同学们拿出圆规和尺子在练习纸上试一试。 学生尝试后，教师选择典型性错误在黑板上展示，引导学生分析错误原因。 教师：这位同学遇到了什么困难？怎么帮助他？ 学生：他画的圆太大了。 教师：说明要完成图形，对圆的大小有要求。圆的大小由什么决定呢？ 学生：半径。 教师：请看屏幕，通过观察分解图，你能确定圆的半径吗？ 学生：在圆内画一个最大的正方形，正方形的边长就是小圆的直径。 教师：如何画出圆内的最大的正方形呢？ 教师：可以以圆心为交点，画两条互相垂直的直径。这两条直径分别与圆相交，所形成的4个交点，就是正方形的四个顶点。（也可以把这个过程反过来，先画两条互相垂直的线段，再以垂足为圆心画圆，圆与两条垂线分别相交，连接4个交点，即可得到圆内最大的正方形。）

圆的基本图形研究—多切图2020.3.30

圆的基本图形研究——多切图 基本模型： 【例1】（2018武汉四调）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O分别与边AB、AD、DC相切，切点分别为E、G、F，其中点E为边AB的中点. （1）求证：BC与⊙O相切； （2）如图2，若AD=3，BC=6，求EF的长. 【例2】（2019武汉中考）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点 (1)如图1，求证：AB2＝4AD·BC (2)如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积

典题精炼： 1、已知，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ⊥BC ，⊙O 分别与边AB 、BC 、CD 、AD 相切，切点分别为G 、F 、E 、H . （1）若∠ABC=60°，求证：BF=3CF ； （2）如图2，GE ，BC 的延长线交于点P ，若CD=4，BF=3，求GP 的长. 2、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB=4，BC=1，以AB 为直径的⊙O 与CD 相切于点E . （1）求CD 的长； （2）连接AC ，OE 相交于点M ，求MA CM 的值.

3、如图，△ABC 中，∠C=90°，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F . （1）如图1，求sin ∠DFE 的值； （2）如图2，若3 2 AF BF ，求sin ∠DEF 的值. 4、如图，在等边△ABC 中，AB=6，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 相切于点D . （1）求⊙O 的半径长； （2）点M 是⊙O 上的一点，且BM ⊥DM ，求BM 的长.

圆在生活中有哪些应用

圆在生活中有哪些应用Prepared on 21 November 2021

圆在生活中有哪些应用？ 圆是几何图形中最普通、最实用，而又最完美的图形。在日常生活、工农业生产、交通运输、土木建筑等方面，都可以见到圆的形象，圆的有关性质被广泛应用。 为什么草原上的蒙古包是圆形的? 蒙古包为天穹式，呈圆形，木架外边用白羊毛毡覆盖。因为它是圆形的，所以立在草原上，大风雪中阻力小，再大的地震中也不会变形，顶上又不积雨雪，寒气不易侵入，是非常安全的住所。 为什么绝大多数植物的根和茎的横截面是圆形的？ 因为在周长相等的情况下，围成圆的面积最大，所以绝大多数植物的根和芝的横面的圆形的，这使收水分和养料的面积更大. 圆在生活中有什么应用为什么绝大多数植物的根和茎的横截面是圆形的 用最小的材料得到最大的表面积。植入就能更多地吸取养分。 另外，从力学角度讲，圆的受力四周是一样的。（根生长要钻下去） 你看看下水道阴井盖子，也是圆的。 1.是掉不下去。 2.是相同材料，做的面积最大。（水每秒通过速度也最大） 3.随便哪个角度都能放好。 4.。。。。。就不说了。还有很多。 在我们的日常生活中有不少的物体是圆形的，如：硬币、瓶盖、钟面、圆桌、钮扣、圆形饼干、铁饼、光盘，还有那草原上的蒙古包和交通工具上的轮胎。在这生活中众多的圆形用具中，你们有没有想过，它们为什么是圆形的？ 首先蒙古包为天穹式，呈圆形，木架外边用白羊毛毡覆盖。因为它是圆形的，所以立在草原上，大风雪中阻力小，再大的地震中也不会变形，顶上又不积雨雪，寒气不易侵入，是非常安全的住所。 然后说说轮胎吧。最开始的轮是实心的,边缘也不是磨圆光滑的,而是不规则多边形的。但是这样不仅在行进中颠簸得厉害,而且由于是实心的原因,十分耗材和沉重并且容易坏。后来历经多年的诸多木匠和工匠以及勤劳智慧的劳动人民的努力改进,不规则多边形逐渐被接近圆形的轮取代,轴和轮的关系在同时期也得到了改进,轴的出现使材料大为节省,车辆也变得轻盈起来。 西方数学、哲学史上历来有这么种说法：“上帝是按照数学原则创造这个世界的”。而现在想来，石子入水后浑然天成的圆形波纹，阳光下肆意绽放的向日葵，天体运行时近似圆形的轨迹，甚至于遥远天际悬挂的那轮明月、朝阳……而所有这一切，给予我们的不正是一种微妙的启示吗？ 圆以它柔美、对称的线条，成为每个人心中最完美的事物的代表。它与满字搭配，也只有它与满来组合，才能给人以成功的喜悦。 可你又是否发现，拥有这最完美外形的事物，却往往给人以失望、悲伤。夜幕下的圆月，它的阴晴圆缺，令人悲喜交加，每月中，它仅有一次让人感到圆满、团聚、幸福的外形，其余则或多或少的有些悲伤。还有那人为自己设计的游戏——足球，不仅圆，而且黑白交隔的外色又有几分神秘与严肃，足球在每

圆的知识点总结及典型例题.

圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 1

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； （3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB ＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。 解：①∵AB ＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN ＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1 ②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60° 2

圆的基本图形及综合训练

A C A B 圆的基本图形及综合训练 一、基础过关题 1、已知：四边形ABCD 内接与⊙O ，AC ⊥BD ,OE ⊥AB 。 求证：OE = 1 2 CD （圆内接四边形一边的弦心距等于对边的一半） 2、已知：△ABC 内接与⊙O ，高AD 、BE 交与点G , AD 的延长线交⊙O 与点F , 求证：DG = DF. 3、已知：AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB , BC = CE . 求证：(1) PC = PF = PB (2) CD = 1 2 BE.

A B D 4、已知：等边△ABC 内接与⊙O ，点P 是AB 上任意一点。 求证：PA + PB = PC. 5、已知：等腰直角△ABC 内接与⊙O ，AB 是直径，点P 是BC 上任意一点。 求 PA PB PC -的值 6、已知：△ABC 内接与⊙O ，AD 、BI 是角平分线，AD 交BC 于点E 。 求证：DB = DI

B C 7、在△ABC 中，DA =60，以BC 为直径的⊙O 交AB 、AC （或延长线）于点D 、E ，连接OD 、OE . 求证：△ODE 为等边三角形 8、AB 是⊙O 的直径，直线CD 交⊙O 于E 、F ，AC ⊥CD,BD ⊥CD . (1) 求证：CE = DF . (2) 设AC=1h ，BD=2h ,点O 到CD 的距离为 h ，分别求图（1）、图（2）中的1h 、2h ,、和h 的数量关系。 图（1） 图（2）

二、中档重点题 1、如图所示，AB.ＣＤ为圆０的弦，且ＡＢ⊥ＣＤ,ＡＢ与ＣＤ相交于M, （1）若EM⊥AC,E 为垂足，交BD于F,求证：DF=BF; （2）若ON⊥AC于N，求证:ON=1/2BD. 2、如图，AB为⊙0的一条直径，D为弧AB中点，点C在直径AB的另一半圆弧上，弦CD交∠BAC的角平分线于O1，（1）求证：DA=DO1;O1D=√2OA （2）过O1做O1M⊥AB于M,试探究O1M,OA与CD之间的关系，并证明。 3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC.BC,E为⊙O上一点，且BE=CE,点F在BE上，CF ⊥AB于D,（1）求证：CB=CF;（2）若CF=2，BF=1，求BD的长。

圆的基本图形

B B A 圆的基本图形 1、已知：四边形ABCD 内接与⊙O ，AC ⊥BD ,OE ⊥AB 。 求证：OE = 1 2 CD （圆内接四边形一边的弦心距等于对边的一半） 2、已知：△ABC 内接于⊙O ，高AD 、BE 交与点G , AD 的延长线交⊙O 于点F , 求证：DG = DF. 3、已知：AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB , BC = CE . 求证：(1) PC = PF = PB ；(2) CD = 1 2 BE.

D B A E B A 已知AB 是⊙O 的直径，点 C 是半圆上一点，C D 平分∠ACB ，交⊙O 于点D ，若CD=10，求四边形ADBC 的面积。 已知AB 是⊙O 的直径，点C CDO ，求∠ECB 的度数。 4、已知：等边△ABC 内接于⊙O ，点P 是AB 上任意一点。 求证：PA + PB = PC.

B C B B A 5、已知：等腰直角△ABC 内接于⊙O ，A B 是直径，点P 是B C 上任意一点。 求 PA PB PC -的值 6、已知：△ABC 内接于⊙O ，AD 、BI 是角平分线，AD 交BC 于点E 。 求证：DB = DI 7、在△ABC 中，∠ A =60，以BC 为直径的⊙O 交AB 、AC （或延长线）于点D 、E ，连接OD 、OE . 求证：△ODE 为等边三角形

图1 图2 F 8、AB 是⊙O 的直径，直线CD 交⊙O 于E 、F ，AC ⊥CD,BD ⊥CD . (1) 求证：CE = DF . (2) 设AC=1h ，BD=2h ,点O 到CD 的距离为 h ，分别求图（1）、图（2）中的1h 、2h ,、和h 的数量关系。 9、如图,⊙M 与x 轴交于A 、D 两点, 与y 轴正半轴交于B 点,C 是⊙M 上一点,且A(-2,0),B(0,4),AB=BC. (1) 求圆心M 的坐标; (2) 求四边形ABCD 的面积; (3) 过C 点作弦CF 交BD 于E 点，当BC=BE 时，求CF 的长. y

中考数学圆中基本图形及结论

《圆的证明与计算》专题研究 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 一、考点分析： 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。 三、解题秘笈： 1、判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例： （1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O 的切线；

圆的基本概念和性质—知识讲解(基础)

圆的基本概念和性质—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性； 2．能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系； 3．情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯. 【要点梳理】 要点一、圆的定义及性质 1.圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.

圆中基本图形变换及计算(课本图形变换)

1如图。AB 为⊙O 直径，AE 与过C 点切线垂直，垂足为E 。 （1） 求证：AC 评分∠EAB ； （2） 若BC=8，sin ∠ECA= 53，求EC 2如图。AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，AC 平分∠EAB ，AE ⊥CE 于E ， （1） CE 为⊙O 的切线； （2） 若AB=10，sin ∠ACE=5÷5，求CE 3如图。AB 为⊙O 直径，C ，D 为⊙O 上两点，∠BAC=∠DAC ，CE ⊥AD 于E ，连BC ， （1） 求证：CE 是⊙O 的切线； （2） 若DE=1，BC=2，求劣弧BC 的长。 4如图。AB 为⊙O 直径，AB=10，玄AD=6，玄AC 平分∠BAD ，CE ⊥AD 于E ， （1） 求证；CE 为切线； （2） 求AC 的长。 B B B B

5如图。AB 为⊙O 直径，CE 与⊙O 相切于C ，AE ⊥CE 于E ，交 ⊙O 于D ，连CD ， （1）:求证：AC 平分∠DAB ； （2）若DE=2，sin ∠DAC=5÷5，求⊙O 的半径 6如图。AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，过C 的切线CE ⊥AE 于E ，交圆于点D ，连AC ，CD ，BC （1） 求证:AC 平分∠BAD ； （2） 若DC=4，tan ∠DCE 2 1，求半径OA 7如图。AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，AE 与过C 点的切线垂直于E ，交圆于D ，连CD ，CB ， （1） 求证：CD=CB ； （2） 若AC=25，CD=5，求AD 。 8．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=43，点E 为线段OB 上一 点（不与O ，B 重合），作CE ⊥OB ，交⊙O 于点C ，垂足为点 E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，A F ⊥PC 于点F ，连接CB ． （1）求证：CB 是∠ECP 的平分线； （2）求证：CF=CE ； （3）当 CP CF =43时，求劣弧?BC 的长度（结果保留π） A B B B

与圆的切线有关的基本图形

与圆的切线有关的基本图形 图形1：如图：AB 是⊙O 的直径，点D 、C 是⊙O 上的两点， 基本结论有： （1） 在“AD 平分∠BAC ”；“AE ⊥ED ”；“DE 是⊙O 的切线”三个论断中，知二推一。 图形2：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ABC =90°,以AB 为直径作⊙O 交AC 于D ， 基本结论有： 如右图：（1）DE 切⊙O ?E 是BC 的中点； （2）若DE 切⊙O ，则：①DE=BE=CE ； 图形特殊化：在（1）的条件下 如图：DE ∥AB ?⊿ABC 、⊿CDE 是等腰直角三角形； (09武汉）22．（本题满分8分） 如图，Rt ABC △中，90ABC ∠=°，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ． （1）求证：直线DE 是O ⊙的切线； 图形3：如图，⊿ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点F ， O E A B C D C E B A O F D E D C B A O

基本结论有： （1）DE ⊥AC DE 切⊙O ； （2）在DE ⊥AC 或DE 切⊙O 下，有：①⊿DFC 是等腰三角形； ②EF=EC ；③D 是 的中点。④连AD ，产生母子三角形。 图形4：如图，⊿ABC 内接于⊙O ，I 为△ABC 的内心。 基本结论有： （1）如图1，①BD=CD=ID ；②DI 2＝DE·DA ； ③∠AIB =90°+ 2 1 ∠ACB ; （2）如图2，若∠BAC =60°，则：BD+CE=BC 图形5：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ACB =90°。点O 是AC 上一点，以OC 为半径作⊙O 交AC 于点E ，基本结论有： （1）在“BO 平分∠CBA ”;“BO ∥DE ”;“AB 是⊙O 的切线”;“BD=BC ”。四个论断中， 知一推三。 （2）在图（1）中的线段BC 、CE 、AE 、AD 中，知二求二。 F E D C B O A 图1 E O I D C B A A B C D I O E 图2 BF 图2 E G O F D C B A H 图3A B C D F O G E 图1 E O D C B A

初中数学几何专题-圆中的基本图形

圆中的基本图形 【基本图形1】 1、如图，AB 是⊙O 的直径，C 在⊙O 上，AD 平分∠BAC ，若AC ＝3，CD ＝5，求⊙O 的半径及AD 长. 2、点A ，B 在⊙O 上，∠ABO 的平分线交⊙O 于点C ． （1）如图1，连接CO ，证明：CO ∥AB ； （2）如图2，过点C 作CE ⊥AO 于E ，若AE ＝2，AB ＝6，求CB 的长． 3、如图，△ABC 中，以AC 为直径的⊙O 交AB 于D ，交BC 于E ，且CE ︵ ＝DE ︵ ． （1）求证：AB ＝AC ； （2）F 为AC ︵ 上一点，连接EF ，若AF ︵ ＝CF ︵ ，AB ＝10，BC ＝12，求EF 的长． 4、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD 为直径，AB ＝BC ，BH ⊥AD 于H ，AH ＝2，BH ＝4． （1）求⊙O 的半径； （2）求四边形ABCD 的面积； （3）E 是线段BD 上一点，BE ＝BC ，连接CE 并延长交⊙O 于F ，求CF 的长． A B A C O B A O C E 图 2 图 1 D

【基本图形2】 1、如图，在△ABF 中，AB ＝AF ，以AB 为直径的⊙O 交AF 于C ，交BF 于D ，E 在CF 上，DE ⊥AF ，DE 为⊙O 的切线，若CF ＝DE ＝1，求⊙O 的半径. 2、如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 在⊙O 上，DE ⊥AE ，AD 平分∠BAC ，若AC ＝3，CE ＝1，求圆O 的半径和AD 的长. 3、如图，在△AEG 中，∠E ＝90°，B 在AG 边上，以AB 为直径的⊙O 交AE 于C ，与EG 相切于点D. 若DE ＝4，BD ＝5，求AC 和BG 的长. 4、如图，AB 为⊙O 的直径，AC 和CF 为⊙O 的切线，AC ＝3，DF ＝2，求⊙O 的半径. 5、如图，AB 为⊙O 的直径，AD ，BC 和CD 为⊙O 的切线，若⊙O 的半径为1，CD ＝5，求BC 的长. A A C A O B D F

圆经典例题分析总结

圆经典例题分析总结 经典例题透析 1．垂径定理及其应用 在圆这一章中，涉及垂径定理的有关知识点很多，如弓形中的有关计算、切线的性质、判定定理等，也是在各地中考中经常出现的一个考点.应用垂径定理可以进行线段的垂直、平分以及弓形面积的计算等. 1．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面. (1)请你补全这个输水管道的圆形截面图； (2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径. 思路点拨：本题考查圆的确定、垂径定理以及直角三角形的性质有关等知识. 解：(1)作法略.如图所示. (2)如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C， ∵OC⊥AB， ∴. 由题意可知，CD=4cm. 设半径为x cm，则. 在Rt△BOD中，由勾股定理得： ∴. ∴. 即这个圆形截面的半径为10cm. 总结升华：在解答有关圆的问题时，常需要运用图中已知条件寻找线段之间、角之间、弧之间的关系，从中探索出如等腰三角形、直角三角形等信息，从而达到解决问题的目的，此题还可以进一步求出阴影部分的周长或面积等. 举一反三： 【变式1】“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学

语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( ) A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸 答案：D 解析：因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可. 根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”， 知(寸)，在Rt△AOE中，， 即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸). 2．圆周角及其应用 圆周角与圆心角是本章中最常用的角，在中考中经常出现，一般单独考查它的题目不多，都是隐含在其他题目中. 2．如图所示，△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，若∠BOC=120°，∠BAD等于( ) A.30° B.60° C.75° D.90° 思路点拨：本题可求先出∠BAC的度数，∠BAC所对的弧是优弧，则该弧所对的圆心角度数为360°-120°=240°，所以，因此， . 答案：B. 举一反三：