湖南省长郡中学2021届高三数学入学摸底考试试题
本试题卷共8页,22小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:
1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x ∈N|12
<2x +1<16},B ={x|x 2-4x +m =0},若1∈A ∩B ,则A ∪B = A.{1,2,3} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}
2.已知复数z 满足z(1+2i)=|4-3i|(其中i 为虚数单位),则复数z 的虚部为
A.-2
B.-2i
C.1
D.i
3.f(x)=1cosx
x 的部分图象大致是
4.饕餮(t āo ti è)纹,青铜器上常见的花纹之一,盛行于商代至西周早期。有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上,如图所示,每个小方格的边长为1,有一点P 从A 点出发,每次向右或向下跳一个单位长度,且向右或向下跳是等可能性的,那么它经过3次跳动后,恰好是沿着餮纹的路线到达点B 的概率为
A.1
2
B.
1
4
C.
1
16
D.
1
8
5.已知椭圆C:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的右焦点F,点P在椭圆C上,点Q在圆E:(x+3)2
+(y-4)2=4上,且圆E上的所有点均在椭圆C外,若|PQ|-|PF|的最小值为56,且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,则椭圆C的标准方程为
A.
2
21
2
x
y
+= B.
2
21
4
x
y
+= C.
22
1
43
x y
+= D.
22
1
42
x y
+=
6.命题p:f(x)=x+alnx(a∈R)在区间[1,2]上单调递增;命题q:存在x∈[2,e],使得
1 ln x
x -
-e+4+2a≥0成立(e为自然对数的底数),若p且q为假,p或q为真,则实数a的取值范围是
A.(-2,-3
2
) B.(-2,-
3
2
)∪[-1,+∞) C.[-
3
2
,-1) D.(2,-
3
2
)∪[1,+
∞)
7.已知A(2,1)B(2
3
,0),C,D四点均在函数f(x)=log2
ax
x b
+
的图象上,若四边形ABCD为
平行四边形,则四边形ABCD的面积是
A.26
5
B.
26
3
C.
52
5
D.
52
3
8.设数列{a n}的前n项和为S n,当n∈N*时,a n,n+1
2
,a n+1成等差数列,若S n=2020,且a2<3,
则n的最大值为
A.63
B.64
C.65
D.66
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。
9.2020年两会“部长通道”工信部部长表示,中国每周大概增加1万多个5G基站,4月份增加5G用户700多万人,5G通信将成为社会发展的关键动力,右图是某机构对我国未来十年
5G 用户规模的发展预测图。则
A.2022年我国5G 用户规模年增长率最高
B.2022年我国5G 用户规模年增长户数最多
C.从2020年到2026年,我国的5G 用户规模增长两年后,其年增长率逐年下降
D.这十年我国的5G 用户数规模,后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差
10.如图已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A>0,ω>0,|φ|≤2
π)的图象与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C ,BC 2BD =,∠OCB =
3
π,|OA|=2,|AD|=221。则下列说法正确的有
A.f(x)的最小正周期为12
B.φ=-
6π C.f(x)的最大值为163
D.f(x)在区间(14,17)上单调递增 11.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,过AB 作一垂直于直线B 1C 的平面交平面ADD 1A 1于直线l ,动点M 在直线l 上,则
A.B 1C//l
B.B 1C ⊥l
C.点M 到平面BCC 1B 1的距离等于线段AB 的长度
D.直线BM 与直线CD 所成角的余弦值的最大值是3
12.若存在实常数k 和b ,使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x 都满足:F(x)≥kx +b 和G(x)≤kx +b 恒成立,则称此直线y =kx +b 为F(x)和G(x)的“隔离直线”,已知函数f(x)=x 2(x ∈R),g(x)=1x
(x<0),h(x)=2elnx(e 为自然对数的底数),则 A.m(x)=f(x)-g(x)在x ∈(
0)内单调递增 B.f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”,且b 的最小值为-4
C.f(x)和g(x)间存在“隔离直线”,且k 的取值范围是[-4,1]
D.f(x)和g(x)之间存在唯一的“隔离直线”y =x -e
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.三封信随机放入两个不同的信箱中,共有n 种方法,则(2x +
1x
)n 展开式的常数项为 。(用数字作答)
14.设a ,b ,c 为单位向量,向量a 与b 的夹角为120°,则(a -c)·(b -c)的取值范围是 。
15.已知点A ,B 关于坐标原点O 对称,|AB|=2,以M 为圆心的圆过A ,B 两点,且与直线y =1相切。若存在定点P ,使得当A 运动时,|MA|-|MP|为定值,则点P 的坐标为 。
16.在三棱锥P -ABC 中,PA =PB =PC =2,二面角A -PB -C 为直二面角,∠APB =2∠BPC(∠BPC<
4
),M ,N 分别为侧棱PA ,PC 上的动点,设直线MN 与平面PAB 所成的角为α。当tan α的最大值为2532时,则三棱锥P -ABC 的体积为 。 四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
在①数列{a n }为等差数列,且a 3+a 7=18;②数列{a n }为等比数列,且a 2a 6=64,a 2a 3<0;③S n -1=a n -1(n ≥2)这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并加以解答。
已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1, 。
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)是否存在正整数k ∈{8,9,10},使S k >512,若存在,求出相应的正整数k 的值;若不存
在,请说明理由。
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。
18.(本小题满分12分)
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D在BC边上,且BD=2DC,若sin2A+sin2C
-sin2B=2
3
sinAsinC,c=2。
(I)求sinB的值;
(II)设∠BAD=α,∠DAC=β,若△ADC的面积为22
3
,求
sin
sin
α
β
的值。
19.(本小题满分12分)
据相关部门统计,随着电商网购的快速普及,快递包装业近年来实现了超过50%的高速年均增长,针对这种大好形式,某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线。已知该包装胶带的质量以某项指标值k为衡量标准。为估算其经济效益,该化工厂先进行了试生产,并从中随机抽取了1000个包装胶带,统计了每个包装胶带的质量指标值k,并分成以下5组,其统计结果及产品等级划分如下表所示:
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布,并解决下列问题(注:每组数据取区间的中点值):
(1)由频数分布表可认为,该包装胶带的质量指标值k近似地服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ近似为样本的标准差s,并已求得s≈10.03。记X表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k在区间(50.54,80.63]之外的包装胶带个数,求P(X=1)及X的数学期望(精确到0.001);
(2)已知每个包装胶带的质量指标值k与利润y(单位:元)的关系如下表所示:(t∈(1,4))
假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去,且这一年的总投资为5000万元(含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内),问:该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资?
试说明理由。
参考数据:若随机变量Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ 20.(本小题满分12分) 已知底面为正三角形的斜三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是棱A1B1,AB的中点,点A1在底面投影为AC边的中点O,A1C∩AC1=P,A1F∩AE=G。 (1)证明:PG//平面A1B1C1; (2)若AB=6,AA1=5,点M为棱A1B1上的动点,当直线AM与平面A1FC 2117时,求点M的位置。 21.(本小题满分12分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线交抛物线C于D,E两点,且|DE|=4。 (1)求抛物线C的方程; (2)设直线l过点A(2,0)且与抛物线C交于P,Q两点,点R在抛物线C上,点N在x轴上,NP NQ NR0 ++=,直线PR交x轴于点B,且点B在点A的右侧,记△APN的面积为S1,△ RNB的面积为S2,求1 2 S S 的最小值。 22.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=e x+e-x,其中e是自然对数的底数。 (1)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;