《命题与证明》知识讲解

《命题与证明》知识讲解

宋老师

【学习目标】

1．了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会判断一个命题的真假；

2．了解综合法的证明步骤和书写格式.

3．运用平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及其推论去解决一些简单的问题，用几何语言进行简单的推理论证.

4.了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立.会判断

一个命题的逆命题的真假.

【要点梳理】

)

要点一、定义、命题、真命题、假命题

定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给它们的定义.

命题：判断一件事情的句子叫命题．

真命题：如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题.

假命题：如果条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题.

要点诠释：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以，即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可.要说明一个真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理,证明它的正确性.

要点二、证明

(

根据已知真命题，确定某个命题的真实性的过程，叫做证明．经过证明的真命题称为定理.

证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理，每个推理都应包括因、果和有因得果的依据.其中，“因”是已知事项，“果”是推出的结论；“有因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质.

证明的步骤：1.根据题意，画出图形；

2.根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；

3.写出证明过程.

要点诠释：推理和证明是有区别的，推理是证明的组成部分，一个证明过程往往包含多个推理.

要点三、三角形的内角和定理及其推论

》

三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.

推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.

要点诠释：(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．

(2)三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．

(3)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．

（4）三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°．

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．

（5）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．

·

要点四、互逆命题

在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.

把一个命题的条件与结论互换，就得到它的逆命题，我们能够判断一个命题及其它的逆命题的真假.证明一个命题是假命题，只需举出一个反例就可以了.

要点诠释：每一个命题都有对应的逆命题，一个真命题的逆命题不一定是真命题，同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题.

反例就是复合命题的条件，但不符合命题的结论的例子，它可以是数值、图形，也可以是文字说明.一个命题的反例可以有很多个，解题时只需要举出其中最易懂的一个即可.

【典型例题】

类型一、逆命题与逆定理

\

1. 下列命题是真命题的是（）

A．如果|a|=1，那么a=1

B．有两条边相等的三角形是等腰三角形

C．如果a为实数，那么a是有理数

D．相等的角是对顶角.；

【答案】B.

【解析】如果|a|=1，那么a=±1，故A错误；如果a为有理数，那么a是实数，故C错误；两个直角三角形中的两个直角相等，但不是对顶角，故D错误；而B根据等腰三角形的定义可判断正确；

—

【总结升华】主要考查命题的真假，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义.

举一反三：

【变式】（2016春?东平县期中）下列句子中，不是命题的是（）

A．三角形的内角和等于180°B．对顶角相等

C．过一点作已知直线的平行线D．两点确定一条直线

【答案】C．

C不是可以判断真假的陈述句，不是命题；

}

A、B、D均是用语言表达的、可以判断真假的陈述句，都是命题．

故选C．

2.下列命题中，逆命题正确的是（）

A.对顶角相等

B.直角三角形两锐角互余

C.全等三角形面积相等

D.全等三角形对应角相等

【答案】B.

【解析】A选项逆命题是相等的角是对顶角，不对；B选项逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，对的；C选项逆命题是面积相等的三角形是全等三角形显然不对；D选项的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，不一定，也可能是相似三角形.

(

【总结升华】判断逆命题是否正确，能举出反例即可.

举一反三：

【变式】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒，得到新的命题，并判断这些命题的真假．

(1)对顶角相等；

(2)两直线平行，同位角相等；

(3)若a=0，则ab=0；

(4)两条直线不平行，则一定相交；

【答案】(1)对顶角相等(真)；相等的角是对顶角(假)；

(2)两直线平行，同位角相等(真)；同位角相等，两直线平行(真)；

(3)若a=0，则ab=0(真)；若ab=0，则a=0(假)；

(4)两条直线不平行，则一定相交(假)；两条直线相交，则一定不平行(真)；

3. 对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a

⊥b；④a∥c；⑤a⊥c，请你以其中两个作为题设，另一个作为结论，用“如果…，那么…”的形式，写出两个正确的命题．

*

【思路点拨】同一平面内，根据垂直于同一直线的两直线平行；平行于同一直线的两直线平行，则可由③⑤得到②；由①②得到④．

【答案与解析】

解：如果③a⊥b，⑤a⊥c，那么②b∥c；

如果①a∥b，②b∥c，那么④a∥c．

【总结升华】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题，正确的命题叫真命题，错误的命题为假命题；命题分为题设与结论两部分．也考查了平行线的性质．

类型二、证明举例

（1）平行线的性质与判定进行几何证明：

4. （2015春?姜堰市期末）如图，直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截．已知AB⊥ BC、CD⊥ BC，BE∥ CF，，求证：∠ 1=∠ 2．

(

【思路点拨】由于AB⊥ BC、CD⊥ BC得到AB∥ CD，利用平行线的性质得到∠ ABC=∠ DCB，又BE∥CF，则∠ EBC=∠ FCB，可得到∠ ABC﹣∠ EBC=∠ DCB﹣∠ FCB，即有∠ 1=∠ 2．【答案与解析】

证明：∵ AB⊥ BC、CD⊥ BC，

∴AB∥ CD，

∴∠ ABC=∠ CB，

又∵ BE∥ CF，

∴∠ EBC=∠ FCB，

、

∴∠ ABC﹣∠ EBC=∠ DCB﹣∠ FCB，

∴∠ 1=∠ 2．

【总结升华】本题考查的是平行线的判定和性质的综合应用.

举一反三：

【变式】如图所示，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由．

【答案】∠A=∠F．

^

证明：∵∠AGB=∠DGF，∠AGB=∠EHF，

∴∠DGF=∠EHF，

∴BD∥CE；

∴∠C=∠ABD，

又∵∠C=∠D，

∴∠D=∠ABD，

∴DF∥AC；

:

∴∠A=∠F．

（2）与三角形有关的几何证明：

5.如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．

【思路点拨】根据角平分线的定义、三角形内角和定理可知∠BAD+∠ABI+∠HCI=90°．又因为∠BAD+∠ABI=∠BID，90°-∠HCI=∠CIH，所以∠BID=∠CIH．

【答案与解析】

证明：∵AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，

、

∴∠BAD=1

2

∠BAC，∠ABI=

1

2

∠ABC，∠HCI=

1

2

∠ACB．

∴∠BAD+∠ABI+∠HCI

=1

2

∠BAC+

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB

=1

2

（∠BAC+∠ABC+∠ACB）

=1

2

×180°

=90°．

∴∠BAD+∠ABI=90°-∠HCI．

，

∵IH⊥BC，

∴∠IHC=90°

∴90°-∠HCI=∠CIH，

∴∠CIH=∠BAD+∠ABI

∵∠BID=∠BAD+∠ABI（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和）

∴∠BID=∠CIH．

【总结升华】考查了角平分线的定义及三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，在推导角的关系时，一定不要忘记与三角形有关的角中还有一个特别重要的性质：三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和.

(3)文字命题的证明：

6、求证：等边三角形内部任一点到三边的距离之和为定值.

【思路点拨】先画图，设等边三角形的边长为a,高为h,再利用三角形的面积公式来求，原三角形分成三个大小不等的三个三角形，三个三角形的面积和与原三角形的面积相等，即S△AB C=S△PAB+S△PBC+S△PA C；可得h=PE+PF+PD.

【答案与解析】

已知：如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任一点，PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC．垂足分别为E、G、F，求证：PE+PG+PF为定值.

证明：设等边三角形△ABC的边长为a，面积为S．

连结PA、PB、PC，则

S△APB=1

2

a?PE，S△CPB=

1

2

a?PF，S△APC=

1

2

a?PG，

于是S△APB+S△CPB+S△APC=1

2

a?PE+

1

2

a?PF+

1

2

a?PG，

即1

2

a?PE+

1

2

a?PF+

1

2

a?PG=S，

PE+PF+PG=2S

a

，为定值．

【总结升华】对于文字命题的证明,要根据文字所描述的内容写出已知和求证，然后证明.