二次根式讲义
二次根式
（1）一般地，我们把形如(≥0)的式子叫做二次根式，其中为整式或分式，叫做被开方式．
（2）二次根式有意义的条件是≥0，即被开方式是非负数．
（3）二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式
中被开方数非负（a ≥0）,算术平方
根非负 (≥0). 1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A
、 B
D
2、已知是正整数，则实数n 的最大值为（ ） A ．12 B ．11 C ．8 D ．3
3
、若，则x －y 的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
4、如果a 2＝－a ，那么a 一定是 （ ）
A 、负数
B 、正数
C 、正数或零
D 、负数或零
5、下列说法正确的是( )
A 、若 ,则a ＜0
B 、若 ,则a ＞0
C 、
D 、5的平方根是
6、当a=-3时，二次根式1－a 的值等于 。
7、若x x x x -?-=--32)3)(2(成立。则x 的取值范围为 ；
a 2=- a a 2= a 5
a 4
b 8=a 2b 4
8、已知xy ＞0,化简二次根式2x y x -
的正确结果是( )
9、已知二次根式2x 的值为3，那么x 的值是（ ）
A 、3
B 、9
C 、-3
D 、3或-3 10
、若a =
，b =，则a b 、两数的关系是（ ） A 、a b = B 、5ab = C 、a b 、互为相反数 D 、a b 、互为倒数
11．化简(－3)2 的结果是
A ．3
B ．－3
C ．±3
D ．9
12、计算：(3－2)2003·(3＋2)2004＝_______。
（3）
（4）
(a ≥0，b ≥0)
（5）(a ≥0，b ＞0)
如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且被开方式中不含有能开得尽方的因式，这样的二次根式称为最简二次根式．
1、下列根式中,最简二次根式是( )
2、 计算
1．
（2（x ≥0） 2．
2 3．
2 4．
2
2、化简下列二次根式：
8X C.6X 3 D.X 2+1 A.y B.-y C.-y D.--y
3、计算：3÷6的结果是 ( ) A 、12 B 、62 C 、32 D 、 2
4、已知：22a b =-=，，分别求下列代数式的值：
（1）22a b ab -； （2）22a ab b ++．
5、先化简，再求值：
，其中
6、已知实数a 、b 在数轴上的位置如图．
化简：
．
a=2-
3a 2-1a-1
a 2-a
7、（6分）由两个等腰直角三角形拼成的四边形（如图）
，已知AB
（1）四边形ABCD 的周长；
（2）四边形ABCD 的面积．
8、已知
x 、y 为实数，且实数m 适合关系式
，试确定m 的值．
9、若x 为实数，化简下列各式
（1）
（2）
10、在如图的4×4的方格内画△ABC ，使它的顶点都在格点上，三条边长分别为 3，214
，15
练习：
1、实数a 在数轴上的位置如图所示，化简: =___________.
2、若ab ＜0,
则化简 的结果是_____________.
3、已知1y =，则
y x
= 。 a 2b
4、已知：当a取某一范围内的实数时，代数式
的值是一个常数（确定值），则这个常数是；
5、若0
1=
+
+
-y
x
x，则2005
2006y
x+的值为；
6、若正三角形的边长为25cm，则这个正三角形的面积是_______cm2。
7、在平面直角坐标系中，点P（-3，-1）到原点的距离是。
8、观察下列等式：①
1
2
1
-
=2+1；②
2
3
1
-
=3+2；③
3
4
1
-
=4+3；……，请用字母表示你所发现的规律：。
9、计算（每小题3分，共18分）
（1）(2 (2)+
（3）)(22
1- (4)32－5
1
2
＋6
1
8
（5）（6）
10、实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：
(3+1)(3-1)+(2-1)0-(-
1
3
)-2
(2-a)2+(a-3)2
人教版八年级下册 第十六章 二次根式知识清单及典型题型练习 讲义(无答案)
二次根式知识清单及典型题型练习 姓名________ 1.二次根式：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 ) )00x x ><中，二次根式有 个 二次根式有意义的条件： ①当__________时， 1 1 m +有意义；②当__________ x 有（ ）个．A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 变式：已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+-< x x y ,化简 1 1--y y =_________. 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 练．下列式子为最简二次根式的是( ) 3.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2 ） 利用二次根式的性质化简：①．若0x <，则x = ；②．若0,0a b <>，则 = ；2 = ；④若0xy ≠，=-成立的条件是 ；⑤若01x <<等于 ． ⑥= ；⑦3y =，x +y 的平方根=_____. 4.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 练：下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） A ．2112与 B ．2718与 C ．3 13与 D ．5445与 变式：若最简二次根式____,____a b ==。 5.二次根式的运算： （1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． a （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0） 0 （a =0）；
（2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a = （a>0，b≥0） （特别应注意a 、b 的取值） 练：①使等式 ()()1111x x x x +-= -+g 成立的条件是 。 ②当x __________时， 22 x x x x =--有意义； ③计算： ( ) 483273_____________-÷=；33 23121418÷???? ? ?++-= 6、二次根式的大小比较（通常采用平方法，作差法，求倒法） 比较大小：①23- 32- ②53- 23+ ③76- 65- 变式：设25,3223-=-=-= c ，b a ,则a 、b 、c 的大小关系 7、在实数范围内分解因式 在实数范围内分解因式。（1）4x 2－3= ；（2）9y 4－4= 8、规律性问题 练：观察下列各式及其验证过程： ， 验证：； 验证:. （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4 4 15 =_________； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程. 变式： 已知，则a _________ 巩固练习： 1、下列根式中，最简二次根式为：（ ） A 0.2b B ．x 2 4- C ． x 4 D ．()x +42
二次根式拓展提高讲义及答案
二次根式拓展提高（讲义） 一、知识点睛 1． 理解二次根式的双重非负性，辨识四类典型形式． (1)若20x y z ++=，则_____x y _____z _____，，．=== (2)若出现2x -或x -，则x _____=． (3)若x 和x -同时存在，则x _____=． (4)2_______x =；2()=_______x ． 2． 根据数轴和线段的几何特征建等式． c b a C B A 如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称（即C 是线段AB 的中点），则线段AC =_______，BC =_______，因为AC =BC ，所以a ，b ，c 的数量关系是______________. 3． 完全平方公式在二次根式化简中的应用． (1)222_________a ab b ±+=； (2)若00m n ＞ ，＞，则 ()()22 22m mn n m mn n ++=++()2_________.m n =+= 4． 实数比较大小． (1)作差法 (2)形似法 (3)乘方法 (4)分母有理化 二、精讲精练 1．若x ，y 为实数，且220x y ++-=，则2013x y ?? ???的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2
2．已知212102 x y y ++++=，则y x =___________． 3．一个数的平方根是22+a b 和4a -6b +13，求这个数． 4．若a ，b 为实数，且满足()1110a b b +---=，则 20132012a b -=________． 5．若21--x 有意义，则x 的值为________． 6．化简()2 241121711a a a a +--+----=________． 7．若223y x x =-+--，则y x =________． 8．若224412-+-+=-x x y x ，则3x +4y =________． 9．当1<<4x 时，化简：2212816．x x x x -++-+ 10．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示： a b c 0 化简：()()323a c b a b a c +--++ -． 11．化简：()2 244123x x x -+- -．
培优专题：二次根式
二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地，我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式，其中0 a≥。 根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是0 a≥，由此我们判断下列式子有意义的条件： 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出： (0) a a =≥，在此我们可将其拓展为： a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () （1）、根据二次根式的这个性质进行化简： ①数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简 2a ②化简求值： 1 a a= 1 5 ③已知， 1 3 2 m -<< ，化简2m ④______ =； ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. （2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二．二次根式a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即0 ≥ a
②二次根式a 是非负数，即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2 1 ＜x ≤3 例2（1）化简x x -+-11＝_______． (2) x ＋y )2，则x －y 的值为( ) (A)－1． (B)1． (C)2． (D)3． 例3(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．以上都不是 (2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的倒数。 三，如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。 （1）、 根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内： ①- ②(a -（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四，拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例：（1）1的整数部分为a ，小数部分为b ，试求ab —b 2的值。 （2）若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 （3 a ，小数部分为 b ，求a 2+b 2 的值。 （4）若________a a b a b ==是的小数部分，则。 5a a b -（的整数部分为a ，小数部分为b ，求的值。 2、巧变已知，求多项式的值。 32351 x x x x = +-+（1）、若的值。
八年级二次根式教师讲义带答案
第五章二次根式 【知识网络】 知识点一：二次根式的概念 形如…（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被幵方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是J为二次根式的前提条件，如J，& I,二「’等是二次根式，而J ，丿厂■等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a± 0时，" 有意义，是 二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被幵方数大于 或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a< 0时, ■■ 没有 意义。 知识点三：二次根式二（』匚）的非负性 ^:）表示a的算术平方根，也就是说，门（二/ ）是一个非负数， 即Z 10 （“ _「）。 注：因为二次根式二）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数, 0的算术平方根是0,所以非负数（）的算术平方根是非负数，即「上 0 （），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类 似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0 ;若八」，则a=0,b=0 ;若“、-，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（厂）：的性质 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式）是逆用平方根的定义得出的结论。 上面的公式也可以反过来应用：若心：，则如：—w.
知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1化简爲「时，一定要弄明白被幵方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0,则等于a本身，即&二；若a是负数，则等于a的相反数-a, 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，='一定有意义； 3、化简勺丁时，先将它化成’，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：、'与打的异同点 1不同点：二八与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而“'表示一个实数a的平方的算术平方根；在中^ ：|，而中a可以是正实数，0,负实数。但-、宀与都是非负数，即'，&兰°。因而它的运算的结果是有差别的，(亦尸，而 2、相同点：当被幵方数都是非负数，即时，―' 二扛；-「时，无 意义，而八 '. 知识点七：二次根式的运算 1. 二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母 中不含根号. (2) 注意知道每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广： 2. 二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3. 二次根式的混合运算
最新二次根式的讲义汇总
专题一二次根式【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如.a _0（a 一0）的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数a的算数平方根。 【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。 例 1 下列各式1）L；,2）.飞,3） - -X22,4）、一4,5）L（-；）2,6）.,口,7）, a2—2a 1， 其中是二次根式的是_________ （填序号）. 例2使，x +“ ；x-2有意义的x的取值范围是（） A ,x > 0 B ,x 丰 2 C.x>2 D ,x > 0 且 2.[来源：学*科* 网Z*X*X*K]例 3 若y= .、X -5 + _ 5 -X +2009，则x+y= ______________ 练习1使代数式有意义的x的取值范围是（） x —4 A 、x>3 B x> 3 C x>4 D、x >3 且x丰4 练习2若x —1 - .1—x = （x y），则x —y 的值为（） A. —1 B . 1 C . 2 D . 3 例 4 若a—2|+5/^5 =0,贝U a2—b= ____________________ 。 例5 在实数的范围内分解因式：X4 - 4X 2 + 4= ________ ___________ 例6 若a、b为正实数，下列等式中一定成立的是（）： A、诟+ 品=^a2+b2; B、寸（a2+b2）2=a2+b2； C、（ .a + . b ）2= a2+b2; D、. （a—b）2=a—b; 【知识点2】二次根式的性质：（1）二次根式的非负性，■. a 一0（a 一0）的最小值是0;也就是说=（「：—?）是一个非负数，即二二0 注：因为二次根式=（，二I）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正
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二次根式 专题一二次根式 a (a0) 非负性的综合应用 1. 已知实数 a,b 满足 a 1 2 b 0，则a b_______. 2. 若y 3 2x 4 5 4 2x 3 ，求 ( 5x)y的值. 3.已知xy y 2 x 2 0 ，求x与 y 的值. 专题二利用二次根式的性质将代数式化简 4. 把 a 1 化成最简二次根式正确的结果是（）b a b A. b a B. a b C.a b D. b a 5. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则( a 3)2 (a 5)2化简后为（） A .2 B.-8 C. 8 2a D. 2 2a 6. 化简：(x 2)2 (1 x)2 ( x 2) 2 . 7. 已知( a )2 1 ，化简：a2(a 1)2 . 二次根式的乘除运算 专题一二次根式的分母有理化 1.阅读下列运算过程： 2 2 3 2 3 ， 2 2 5 2 5 . 3 3 3 3 5 5 5 5 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么化简2 的结果是（）6 A． 2 B ． 6 C ． 6 ． 6 D 3 2. 化简： 1 ，甲、乙两位同学的解法如下： 6 5 甲： 1 6 5 = 6 - 5 ； 6 5 ( 65)( 65)
1 6 - 5 （ 6 ）（ 6 - ） 乙： 5 5 6 - 5 . 6 5 6 5 6 5 下列法正确的是（） A．甲、乙的解法都正确 B ．甲正确，乙不正确C．甲、乙的解法都不正确D ．乙正确、甲不正确3.察下列各式，通分母有理化，把不是最二次根式的化成最二次根式： 1 = 1 ( 2 1) 1) 2 1 = 2 -1， 2 1 ( 2 1)( 2 2 1 1 = ( 1 ( 3 2) 2) 3 2 = 3 - 2， 3 2 3 2)( 3 3 2 同理可得： 1 = 4 - 3 ，?.从算果中找出律，并利用一律算 4 3 （ 1 + 1 + 1 +? + 1 ）（2013 1）的． 2 1 3 2 4 3 2013 2012 专题二二次根式乘除中的规律与方法 4. 算：（1）( 2 1)( 2 1) =______；（2） ( 3 2)( 3 2) =______；（ 3）(2 3)(2 3) =______；（4） ( 5 2)( 5 2) =______； 根据以上律，写出用n （ n 正整数）表示上述律的式子：___________. 5. 已知 a n 3 n 1 ， bn 2 n （n 0 ），比 a、b 的大小. 6.察下列各式及其程: 2 2 2 2 ，： 2 2 2 3 (23 2) 2 2(22 1) 2 2 2 ． 3 3 3 3 22 1 22 1 3 (1) 按照上述两个等式及其程的基本思路，猜想 4 4 的形果并行； 15 （ 2）上述各式反映的律，写出用n ( n 自然数，且n 2 )表示的等式，并明它成立.
二次根式全章复习讲义
人教版九年级上第二十一章二次根式 二次根式 教师：学生：时间：内容简介： 本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、?同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等． 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义：的式子叫二次根式，其中 形如 是一个非负数时， 叫被开方数，只有当 才有意义． 【典型例题】 【例1】下列各式1），其中是二次根式的是（填序号）．
举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（） A、 B、 C、 D、 2、在、、、、中是二次根式的个数有个 【例2】若式子有意义，则x的取值范围是．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 举一反三： 1、使代数式有意义的x的取值范围是（） A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4 2、使代数式有意义的x的取值范围是 3、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【例3】若2009，则 解题思路：式子（a≥0），，2009，则2014 举一反三： 1、若，则x－y的值为（） A．－1 B．1 C．2 D．3
2、若x、y都是实数，且，求的值 3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。 已知a是整数部分，b是的小数部分，求的值。 若的整数部分是a，小数部分是b，则。 若的整数部分为x，小数部分为y，求的值. 知识点二：二次根式的性质 【知识要点】1. 非负性：是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： 3. 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负
《二次根式》培优专题之(一)难点指导与典型例题(含答案及解析)
《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式，则一定有a ≥0；当a ≥0时，必有a ≥0； 2、当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根，因此有 ()a a =2；反过来，也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式； 3、()2a 表示a 2的算术平方根，因此有a a =2，a 可以是任意实数； 4、区别()a a =2和a a =2 的不同： ( 2a 中的可以取任意实数，()2a 中的a 只能是一个非负数，否则a 无意义． 5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （1）因式的内移：因式内移时，若m ＜0，则将负号留在根号外．即： x m x m 2-=(m ＜0)． （2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： 6、二次根式的比较： （1）若，则有；（2）若，则有． 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小． < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算