湖北省部分重点中学2012—2013学年度高三起点考试

湖北省部分重点中学2012—2013学年度高三起点考试

理科数学试卷

一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只

有一项是符合题目要求的． 1、已知复数

z=122

-

+，则21z z ++=

( ) A 、0

B

、122-- C 、

122

i +

D

、

122

- 2．下列命题中的假命题是 ( )

A ．存在实数α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β

B ．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β

C ．对任意α和β，使cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β

D ．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcos β－sin αsin β

3、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从0，1，2，3，4，5，6这七个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 ( )

A 、105个

B 、70个

C 、55个

D 、40个

4、执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为 ( )

A 、6-

B 15-、

C 、3

D 、10 5、 甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，

1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的众数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩

的标准差，则有 ( )

A. 1212,x x s s ><

B. 1212,x x s s =<

C. 1212,x x s s ==

D. 1212,x x s s <>

6、已知函数3

()13

x

x

f x =

+（x R ∈），正项等比数列{}n a 满足501a =，则1299(ln )(ln )(ln )f a f a f a +++= ( )

A ．101

B ．99

C ．101

2

D ．

992

7、若函数y=f(x) (x ∈R)满足f(x+2)=f(x),且x ∈(]1,1-时，2

21)(x x f -=，函数2lg )(-=x x g ，则函数)()()(x g x f x h -=在区间[]12,6-内零点的个数为

( )

A 、18

B 、 19

C 、20

D 、17

8、如图，在平面斜坐标系XOY 中，θ=∠xoy ，平面上任意一点P

关于斜坐标系的斜坐标这样

甲乙012

9

6554

1

83557

2

定义：若21e y e x OP +=（其中21,e e 分别是X 轴， Y 轴同方向的单位向量）。则P 点的斜坐标为（x,y ）， 向量的斜坐标为(x,y)。有以下结论：

①若

60=θ，P （2，-1

3=

②若P （),11y x ，Q ),(22y x ，则

(2121x +=+③若=（),11y x ，=),(22y x ,则2121,y y x x +=?

④若

60=θ，以O 为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为0122=-++xy y x 其中正确的结论个数为 ( )

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

9、已知x,y ∈R 且122=+y x ，a,b ∈R 为常数，22222222y a x b y b x a t +++=

则

( )

A 、t 有最大值也有最小值

B 、t 有最大值无最小值

C 、t 有最小值无最大值

D 、t 既无最大值也无最小值

10、椭圆E ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上的任一点，且2

1PF ?的最大值的取值范围是[]

223,c c ，其中22b a c -=

，

则椭圆E 的离心率e 的取值范围是( ) A 、???

?

?

??1,33 B 、??????22,21 C 、???????1,22 D 、??????1,21 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填写在

答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两个均不得分。 （一）必考题（11-14题）

11．已知n n n x a x a x a a x x x x ++++=++++++++ 221032)1()1()1()1(，且

126210=++++n a a a a ，那么n

x

x )13(-

的展开式中的常数项为 .

12. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的 体积为_______m 3.

13、关于式子

的结果，有以下结论：

①半径为

5

2的圆的面积的二分之一 ②半径为5

2

的圆的面积的四分之一

③长短轴长分别为10和5的椭圆面积的二分之一 ④长短轴长分别为10和5的椭圆面积的四分之一

19题图

⑤该式子的值为

258π ⑥该式子的值为2516

π 其中正确结论的序号为 .

14、设集合M={1,2,3，…,n} (n ∈+

N ),对M 的任意非空子集A ，定义f(A)为A 中的最大元素，

当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的f(A)的和为n S ，则：①3S = . ②n S = . （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15、（几何证明选做题）如图圆O 的直径6=AB ,P 是AB 的延长线上一点,过点P 作圆O 的切线,切点为C,连接AC,若0

30CPA ∠=,则PC = .

16、（极坐标与参数方程选做题）若直线l

的极坐标方程为cos()4π

ρθ-=圆C ：cos sin x y θ

θ

=??

=?（θ为参数）上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分12分）已知函数cos2()πsin()

4

x

f x x =

-.

（Ⅰ）化简函数()f x 的解析式，并求其定义域和单调区间；

（Ⅱ）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a,b,c,满足：ab c b a =-+2

2

2

，求)(C f

18.（本题满分12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组[)14,13；第二组

[)15,14，……，第五组[]18,17．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. （I ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为 良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数； （II ）设m 、n 表示该班某两位同学的百米 测试成绩，且已知[][18,17)14,13,?∈n m ， 求事件“1>-n m ”的概率.

19、（本题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥ 底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，CE ∥AB ，BC//AD 。

（Ⅰ）求证：CE ⊥平面P AD ；

（Ⅱ）若P A ＝AB ＝1，AD ＝3，且CD 与平面PAD 所成的角为45°，求二面角B —PE —A 的正切值。 20、（本小题满分12分） 已知函数21

()ln

(0).f x ax x a x

=-+> （Ⅰ）若()f x 是单调函数，求a 的取值范围；

（Ⅱ）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12()()32ln 2.f x f x +>-

21、（本小题满分13分）已知F 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点，A 是椭圆短轴上的一个

顶点，椭圆的离心率为1

2

，点B 在x 轴上，AB ⊥AF ，A 、B 、F 三点确定的圆C

恰好与直线

30x +=相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设O 为椭圆的中心，过F 点作直线交椭圆于M 、N 两点，在椭圆上是否存在点T ，使得0=++OT ON OM

22、（本小题满分14分）数列{n a }满足1a =1且)1(21

)11(21≥+++

=+n a n n a n

n

n 。 （Ⅰ）用数学归纳法证明：2≥n a （)2≥n （Ⅱ）设n

n n n a a a b -=

+1，证明数列}{n b 的前n 项和47

（Ⅲ）已知不等式ln （1+x ）0成立，证明：432e a n < （n

≥1）

（其中无理数e=2.71828。。。）

19题图

湖北省部分重点中学2012—2013学年度高三起点考试

理科数学参考答案

一、选择题：ABCDB DACAB

二、填空题：11、540- 12、π+6 13、①④⑤ 14、① 17 ②12)1(+-n n 15、33 16、123+

三、解答题：17、解：（Ⅰ）22cos sin ()ππ

sin cos cos sin 44

x x

f x x x -=-,…………………………2分

π

cos )2sin()4x x x =

=+=+，……………………4分

由题意πsin()04x -≠，∴ππ(4x k k -≠∈Z ），其定义域为π{|π,4

x x k k ≠+∈ Z }.…………6分 函数()f x 在3ππ

(2π,2π)44

k k k -+∈ Z 上单调递增； 在π5

(2π,2ππ)44

k k k ++∈ Z 上单调递减. …………………………………………8分

（Ⅱ）∵abCosC b a c 22

22-+=,由已知可得：CosC=21,∴A= 3

π

∴2

6

2)cos (sin 2)(+=

+=

A A C f …………………12分 18、解：（Ⅰ）由直方图知，成绩在)[

16,14内的人数为：2738.05016.050=?+?（人） 所以该班成绩良好的人数为27人. ┉┉3分

（Ⅱ）由直方图知，成绩在[)14,13的人数为306.050=?人，

设为x 、y 、z ；成绩在[)18,17 的人数为408.050=?人，设为A 、B 、C 、D . 若[)14,13,∈n m 时，有yz xz xy ,,3种情况；

若[)18,17,∈n m 时，有CD BD BC AD AC AB ,,,,,6种情况； 若n m ,分别在[)14,13和[

)18,17内时，

共有12种情况. ┉┉9分

所以基本事件总数为21种. 记事件“1>-n m ”为事件E,则 事件E 所包含的基本事件个数有12种. ∴P （E ）=

7

42112=. 即事件“1>-n m ”的概率为4

7

. ………12分 19、

∴DE=CE=AB=1，AE=2， （6分）连PE ，BE

法一：以A 为原点O ，AD 为OX 轴，AB 为OY 轴，AP 为OZ 轴建立空间直角坐标系

A （0，0,0），

B （0,1,0）E （2,0,0）

由（I ）知AB 为平面PAE 的法向量且)0,1,0(=AB 设平面PBE 的法向量为),,(z y x n = 由)1,1,0(),0,1,2(,,-=-=⊥⊥

得???=-=-020

y x z y 解之，得)0(2≠???

????

===k k

z k y k x 取)2,2,1(=………………8分

设所求二面角的平面角为θ

，则25

tan ,32cos =

∴==

θθ……………12分 法二：作PE AH ⊥于H ，连BH ，由（I ）知⊥∴⊥PE PE BA ,平面AHB

AHB BE PE ∠∴⊥∴,为所求二面角的平面角 ………………10分

在PAE rt ?中，PA AE PE AH ?=?由，得2

5

tan ,5

2=

=

∠∴=

AH AB AHB AH ………12分 20、解：（Ⅰ）()f x ＝－ln x －ax 2

＋x ， ()f x '＝－ 1 x －2ax ＋1＝－2ax 2

－x ＋1

x

．2分

令Δ＝1－8a 当a ≥ 1

8

时，Δ≤0，()f x '≤0，()f x 在(0，＋∞)单调递减．…4分

当0＜a ＜ 1 8

时，Δ＞0，方程2ax 2

－x ＋1＝0有两个不相等的正根x 1，x 2，

不妨设x 1＜x 2，则当x ∈(0，x 1)∪(x 2，＋∞)时，()f x '＜0，当x ∈(x 1，x 2)时，()f x '＞0，

这时()f x 不是单调函数．综上，a 的取值范围是[ 1

8

，＋∞)． …………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a ∈(0， 1

8

)时，()f x 有极小值点x 1和极大值点x 2，

且x 1＋x 2＝12a ，x 1x 2＝12a ．12()()f x f x +＝－ln x 1－ax 21＋x 1－ln x 2－ax 2

2＋x 2＝－(ln x 1＋ln x 2)－ 1 2(x 1

－1)－ 1 2(x 2－1)＋(x 1＋x 2)＝－ln(x 1x 2)＋ 1 2(x 1＋x 2)＋1＝ln(2a )＋1

4a

＋1．…9分

令g (a )＝ln(2a )＋14a ＋1，a ∈(0， 1 8]，则当a ∈(0， 1 8)时，g '(a )＝ 1 a －14a 2＝4a －1

4a

2＜0，g (a )在(0，

1 8)单调递减，所以g (a )＞g ( 1

8)＝3－2ln 2，即12()()32ln 2.f x f x +>-． ……………12分 21、

（Ⅰ）11,,22e c a b =

∴==

∴1(,0) , )2F a A -取

210()2AF k a -∴=--

AB k ∴=

:AB l y x ∴=+ 令0y = 33 (,0)22x a B a ∴=∴ ∴圆心1

(,0)2

a 半径r a =

∴

圆心到直线30x +=的距离d

1

322a d a +== 2a ∴=

b ∴=∴椭圆方程为22

143

x y +

= ………………6分 （Ⅱ）设直线MN ：ny=x+1，联立?????=++=134

12

2y x x ny ，096)43(2

2=--+ny y n ， 设M ),(11y x ，N ),(22y x ,T ),(00y x ，4

39

,43622

1221+-=+=

+n y y n n y y 0 =++T O N O M O ，???--=--=∴2102

10

x x x y y y

1)43(336)43(4642

22

22=+++∴n n n ，解得，n=0. 即MN 的斜率不存在时，T （2,0）。当MN 的斜率为0时，T 不存在。………………13分 22、证明：（Ⅰ）①当n=2 时，22=a ，不等式成立。 ②假设当n=k(k ≥2)时不等式成立，即2≥k a ， 那么221

)11(21≥>+++

=+k k

k

k a a k k a 。即当n=k+1时不等式成立。 根据①②可知：2≥n a 对 2≥n 成立。………………4分 （Ⅱ）

n n n n a n n a a 211121+++=+，故n

n n n n n n n a n n a a a a a b 2111211++=-=-=++ 当n=1时，11121=-=

a a a

b ，当2≥n 时，2≥n a ，122

2

1

1211+++≤++=n n n n n n a n n b ， 故)2

1

2121())1(1431321(

114321++++++++?+?+≤+++=n n n n n b b b S =1+4741211)21(14111141313121

1=++

????-+??????+-++-+-

-n n n ………………9分 （Ⅲ）当2≥n 时，由（1）的结论知：n n n n

n a n n a n n a )21

11(21)11(1

221+++++≤+++= 故1212121

1ln ln )2111ln(ln ++++++<++++≤n n n n n n n a a n n a ，（x x <+)1ln( ）

故12

12

1

1ln ln ++++≤-n n n n n a a （)2≥n 求和可得n n n n a a 2

12121)1(1431321ln ln 432++++-++?+?<

- =

43

2

1211212<-+-n n 而22=a ，4

32ln 1<∴+n a ，43

2e a n <∴ （)2≥n ，而43121e a <= 故对任意的正整数n ，有4

3

2e a n <∴。………………14分