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大学物理课后习题答案第八单元

习题八

8-1 电量都是q 的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示

(1) 以A 处点电荷为研究对象,由力平衡知:q '为负电荷

2

2

20)

33(

π4130cos π41

2

a q q a

q

'=

?εε

解得 q q 3

3-='

大学物理课后习题答案第八单元

(2)与三角形边长无关.

题8-1图 题8-2图

8-2 两小球的质量都是m ,都用长为l 的细绳挂在同一点,它们带有相同电量,静止时两线夹角为2θ ,如题8-2图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不计,求每个小球所带的电量. 解: 如题8-2图示

??

???

===22

0)sin 2(π41

sin cos θεθθl q F T mg T e

解得 θπεθ

tan 4sin 20mg l q =

8-3 根据点电荷场强公式2

04r

q E πε=

,当被考察的场点距源点电荷很近(r

→0)时,则场强→∞,这是没有物理意义的,对此应如何理解?

解: 02

0π4r r

q E

ε=

仅对点电荷成立,当0→r 时,带电体不能再视为点电

荷,再用上式求场强是错误的,实际带电体有一定形状大小,考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大.

8-4 在真空中有A ,B 两平行板,相对距离为d ,板面积为S ,其带电量分别为+q 和-q .则这两板之间有相互作用力f ,有人说f =

2

02

4d

q

πε,又有人

说,因为f =qE ,S

q

E 0ε=

,所以f =

S

q

02

ε.试问这两种说法对吗?为什么?

f 到底应等于多少?

解: 题中的两种说法均不对.第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的,第二种说法把合场强S

q

E 0ε=

看成是一个带电板在另一带电板处的场强

也是不对的.正确解答应为一个板的电场为S

q E 02ε=

,另一板受它的作用

力S

q

S

q q

f 02

022εε=

=,这是两板间相互作用的电场力.

8-5 一电偶极子的电矩为l q p =,场点到偶极子中心O 点的距离为r ,矢量r

与l

的夹角为θ,(见题8-5图),且l r >>.试证P 点的场强E 在r 方向上的分

量r E 和垂直于r 的分量θE 分别为

r E =

3

02cos r

p πεθ, θE =

3

04sin r

p πεθ

证: 如题8-5所示,将p

分解为与r 平行的分量θsin p 和垂直于r 的分量

θsin p .

∵ l r >> ∴ 场点P 在r 方向场强分量

3

0π2cos r

p E r εθ=

垂直于r 方向,即θ方向场强分量

3

00π4sin r

p E εθ=

大学物理课后习题答案第八单元

题8-5图 题8-6图

8-6 长l =15.0cm 的直导线AB 上均匀地分布着线密度λ=5.0x10-9C ·m -1 的正电荷.试求:(1)在导线的延长线上与导线B 端相距1a =5.0cm 处P 点的场强;(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d =5.0cm 处Q 点的场强. 解: 如题8-6图所示

(1)在带电直线上取线元x d ,其上电量q d 在P 点产生场强为

2

0)

(d π41

d x a x

E P -=

λε

2

2

2

)

(d π4d x a x E E l

l P P -=

=

?

?-ελ

]212

1[π40

l a l a +

-

-

=

ελ

)

4(π2

2

0l a l

-=

ελ

用15=l cm ,9100.5-?=λ1m C -?, 5.12=a cm 代入得

2

10

74.6?=P E 1C

N -?

向水平向右

(2)同理 2

2

2

0d d π41

d +=

x x

E Q λε 方向如题8-6图所示

由于对称性?=l

Qx

E 0d ,即Q E

只有y 分量,

∵ 22

2

2

2

2

2

0d

d

d d π41d ++=

x x x

E Qy λε

2

2π4d d ελ?=

=

l

Qy Qy E E ?

-+22

2

3

2

22)d (d l

l x x

22

2

d

4π2+=l l

ελ

以9

10

0.5-?=λ1

cm

C -?, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得

2

10

96.14?==Qy Q E E 1

C

N -?,方向沿y 轴正向

8-7 一个半径为R 的均匀带电半圆环,电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强.

解: 如8-7图在圆上取?Rd dl =

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题8-7图

?λλd d d R l q ==,它在O 点产生场强大小为

2

0π4d d R

R E ε?

λ=

方向沿半径向外

则 ?

?ελ

?d sin π4sin d d 0R

E E x =

=

??ελ?πd cos π4)cos(d d 0R

E E y -=

-=

积分R

R

E x 000

π2d sin π4ελ

??ελ

π

=

=

?

0d cos π400

=-=

?

??ελπ

R

E y

∴ R

E E x 0π2ελ

=

=,方向沿x 轴正向.

8-8 均匀带电的细线弯成正方形,边长为l ,总电量为q .(1)求这正方形轴线上离中心为r 处的场强E ;(2)证明:在l r >>处,它相当于点电荷q 产生的场强E .

解: 如8-8图示,正方形一条边上电荷4

q 在P 点产生物强P E

d 方向如图,大

小为

()4

π4cos cos d 2

2

21l

r E P +

-=

εθθλ

∵ 2

2cos 2

2

1l

r l

+

=

θ

12cos cos θθ-=

∴ 2

4

π4d 2

2

2

2

l

r l

l

r E P +

+

=

ελ

P E

d 在垂直于平面上的分量βcos d d P E E =⊥

∴ 4

2

4π4d 2

2

2

2

2

2

l

r r

l

r l

r l

E +

+

+

=

⊥ελ

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题8-8图

由于对称性,P 点场强沿OP 方向,大小为

2

)4

(π44d 42

2

2

2

0l

r l

r lr

E E P +

+

=

?=⊥ελ

∵ l

q 4=λ

∴ 2

)4(π42

2

2

2

0l

r l

r qr E P +

+

=

ε 方向沿OP

8-9 (1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量;(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示,在点电荷q 的电场中取半径为R 的圆平面.q 在该平面轴线上的A 点处,求:通过圆平面的电通量.(x

R arctan

=α)

解: (1)由高斯定理0

d εq

S E s

?=

?

立方体六个面,当q 在立方体中心时,每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量0

6εq e =

Φ.

(2)电荷在顶点时,将立方体延伸为边长a 2的立方体,使q 处于边长a 2的

立方体中心,则边长a 2的正方形上电通量0

6εq e =

Φ

对于边长a 的正方形,如果它不包含q 所在的顶点,则0

24εq e =

Φ,

如果它包含q 所在顶点则0=Φe .

如题8-9(a)图所示.题8-9(3)图

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题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图 (3)∵通过半径为R 的圆平面的电通量等于通过半径为2

2x

R +的球冠面

的电通量,球冠面积*

]1)[(π22

2

2

2

x

R x x R S +-

+=

∴ )

(π42

2

00

x R S

q +=

Φε0

2εq =

[2

2

1x

R x +-

]

*关于球冠面积的计算:见题8-9(c)图

ααα

?

?=

d sin π2r r S

ααα

?

?=0

2

d sin π2r

)cos 1(π22

α-=r

8-10 均匀带电球壳内半径6cm ,外半径10cm ,电荷体密度为2×510-C ·m -3

求距球心5cm ,8cm ,12cm 各点的场强. 解: 高斯定理0

d ε∑?=

?q S E s

,0

2

π4ε∑=

q r

E

当5=r cm 时,0=∑

q ,0=E

8=r cm 时,∑q 3

π4p

=3

(r )3

内r -

∴ ()

2

02

3

π43

π

4r

r r

E ερ

-=

4

10

48.3?≈1

C

N -?, 方向沿半径向外.

12=r cm 时,3

π4∑=ρ

q -3(外r )内3

r

∴ ()

4

2

03

3

1010.4π43

π

4?≈-=

r

r r

E ερ

1C

N -?

沿半径向外.

8-11 半径为1R 和2R (2R >1R )的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r <1R ;(2) 1R <r <2R ;(3) r >2R 处各点的场强.

解: 高斯定理0

d ε∑?=

?q S E s

取同轴圆柱形高斯面,侧面积rl S π2=

则 rl E S E S

π2d =??

对(1) 1R r < 0,0==∑E q (2) 21R r R << λl q =∑ ∴ r

E 0π2ελ

=

沿径向向外

(3) 2R r > 0=∑q

∴ 0=E

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题8-12图

8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别为1σ和2σ,试求空间各处场强.

解: 如题8-12图示,两带电平面均匀带电,电荷面密度分别为1σ与2σ, 两面间, n E

)(21210

σσε-=

1σ面外, n E

)(21210

σσε+-= 2σ面外, n E

)(21210

σσε+=

n

:垂直于两平面由1σ面指为2σ面.

8-13 半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r <R 的小球体,如题8-13图所示.试求:两球心O 与O '点的场强,并证明小球空腔内的电场是均匀的.

解: 将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀小球的组合,见题8-13图(a).

(1) ρ+球在O 点产生电场010=E

ρ- 球在O 点产生电场'd

π4π343

03

20OO r E ερ

=

∴ O 点电场'd

3303

0OO r E ερ=

(2) ρ+在O '产生电场'd

π4d 3

4

3

03

01OO E ερ

π='

ρ-球在O '产生电场002='E

∴ O ' 点电场 0

03ερ

=

'E

'OO

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题8-13图(a) 题8-13图(b)

(3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r

',相对O 点位矢为r

(如题8-13(b)图)

则 0

3ερr

E PO =,

3ερr E O P '-=' , ∴ 0

3'3)(3ερερ

ερ

d OO r r E E E O P PO P

=

=

'-=

+='

∴腔内场强是均匀的.

8-14 一电偶极子由q =1.0×10-6C 的两个异号点电荷组成,两电荷距离d=0.2cm ,把这电偶极子放在1.0×105N ·C -1 的外电场中,求外电场作用于电偶极子上的最大力矩.

解: ∵ 电偶极子p

在外场E 中受力矩 E p M

?= ∴ qlE pE M

==max

代入数字 4

5

3

6

max

10

0.210

0.110

210

0.1---?=?????=M

m N ?

8-15 两点电荷1q =1.5×10-8C ,2q =3.0×10-8C ,相距1r =42cm ,要把它们之间的距离变为2r =25cm ,需作多少功? 解: ?

?

=

=

?=

2

2

2

1

212

021π4π4d d r r r r q q r

r q q r F A εε )11(

2

1

r r -

6

1055.6-?-=J

外力需作的功 6

1055.6-?-=-='A A J

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题8-16图

8-16 如题8-16图所示,在A ,B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷,

AB 间距离为2R ,现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点,

求移动过程中电场力作的功. 解: 如题8-16图示

0π41ε=

O U 0)(=-R q R q

π41ε=

O U )3(R

q R

q -

R

q 0π6ε-

=

∴ R

q q U U q A o C O 00π6)(ε=

-=

8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R .试求环中心O 点处的场强和电势. 解: (1)由于电荷均匀分布与对称性,AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消,取θd d R l =

则θλd d R q =产生O 点E

d 如图,由于对称性,O 点场强沿y 轴负方向

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题8-17图

θεθλπ

π

cos π4d d 2

2

2

0??-==

R

R E E y

R 0π4ελ

=

[)2

sin(π

-

2

sin

π

-]

R

0π2ελ-=

(2) AB 电荷在O 点产生电势,以0=∞U

?

?

=

=

=

A

B

20

0012ln π4π4d π4d R

R

x

x

x

x

U ελ

ελελ

同理CD 产生 2ln π402ελ

=

U

半圆环产生 0

034π4πελ

ελ=

=

R

R U

∴ 0

32142ln π2ελ

ελ

+

=

++=U U U U O

8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m ·s -1的匀速率作圆周运动.求带电直线上的线电荷密度.(电子质量0m =9.1×10-31kg ,电子电量e =1.60×10-19

C)

解: 设均匀带电直线电荷密度为λ,在电子轨道处场强

r

E 0π2ελ

=

电子受力大小 r e eE F e 0π2ελ=

=

∴ r

v

m

r

e 2

0π2=ελ

得 13

2

010

5.12π2-?==

e

mv

ελ1

m

C -?

8-19 空气可以承受的场强的最大值为E =30kV ·cm -1,超过这个数值时空气要发生火花放电.今有一高压平行板电容器,极板间距离为d =0.5cm ,求此电容器可承受的最高电压.

解: 平行板电容器内部近似为均匀电场

∴ 4

105.1d ?==E U V

8-20 根据场强E

与电势U 的关系U E -?= ,求下列电场的场强:(1)点电

荷q 的电场;(2)总电量为q ,半径为R 的均匀带电圆环轴上一点;*(3)偶极子ql p =的l r >>处(见题8-20图).

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解: (1)点电荷 r

q U 0π4ε=

题 8-20 图

∴ 02

00π4r r

q r r U E ε=??-= 0r 为r 方向单位矢量. (2)总电量q ,半径为R 的均匀带电圆环轴上一点电势

2

2

π4x

R

q

U +=ε

∴ ()

i x R qx

i x U E 2/3220π4+=??-=ε (3)偶极子l q p

=在l r >>处的一点电势

2

00

π4cos ])

cos 21(1)cos 2(1[π4r

ql l l r q U εθθθε=

+

--

=

∴ 3

0π2cos r

p r

U E r εθ=

??-

=

3

0π4sin 1r

p U r E εθθ

θ=

??-

=

8-21 证明:对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说,(1)相向的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相反;(2)相背的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相同.

证: 如题8-21图所示,设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度

依次为1σ,2σ,3σ,4σ

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题8-21图

(1)则取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合柱面为高斯面时,有

0)(d 32=?+=??S S E s

σσ

∴ +2

σ

03=σ

说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反;

(2)在A 内部任取一点P ,则其场强为零,并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的,即

022220

40

30

20

1=-

-

-

εσεσεσεσ

又∵ +2

σ

03=σ

∴ 1σ4σ=

说明相背两面上电荷面密度总是大小相等,符号相同.

8-22 三个平行金属板A ,B 和C 的面积都是200cm 2,A 和B 相距4.0mm ,A 与C 相距2.0 mm .B ,C 都接地,如题8-22图所示.如果使A 板带正电3.0×10-7C ,略去边缘效应,问B 板和C 板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零,则A 板的电势是多少?

解: 如题8-22图示,令A 板左侧面电荷面密度为1σ,右侧面电荷面密度为

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题8-22图

(1)∵ AB

AC

U

U

=,即

∴ AB AB AC AC E E d d = ∴

2d d 2

1==

=

AC

AB AB

AC E E σσ

且 1σ+2

σ

S

q A =

得 ,32S

q A =σ S

q A 321=

σ

而 7

110

23

2-?-=-=-=A C q S q σC

C 10

17

2-?-=-=S q B σ

(2) 3

1103.2d d ?==

=AC AC AC A

E U

εσV

8-23 两个半径分别为1R 和2R (1R <2R )的同心薄金属球壳,现给内球壳带电+q ,试计算:

(1)外球壳上的电荷分布及电势大小;

(2)先把外球壳接地,然后断开接地线重新绝缘,此时外球壳的电荷分布及电势;

*(3)再使内球壳接地,此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量.

解: (1)内球带电q +;球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +,且均匀分布,其电势

大学物理课后习题答案第八单元

题8-23图

?

?

=

=

?=

2

2

02

0π4π4d d R R R

q r

r q r E U εε

(2)外壳接地时,外表面电荷q +入地,外表面不带电,内表面电荷仍为q -.所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生:

0π4π42

02

0=-

=

R q R q U εε

(3)设此时内球壳带电量为q ';则外壳内表面带电量为q '-,外壳外表面带电量为+-q q ' (电荷守恒),此时内球壳电势为零,且

0π4'π4'π4'2

02

01

0=+-+-=R q q R q R q U

A

εεε

得 q R R q 2

1='

外球壳上电势

()2

2

0212

02

02

0π4π4'π4'π4'R q

R R R q q R q R q U B εεεε-=

+-+

-

=

8-24 半径为R 的金属球离地面很远,并用导线与地相联,在与球心相距为

d 3

=处有一点电荷+q ,试求:金属球上的感应电荷的电量.

解: 如题8-24图所示,设金属球感应电荷为q ',则球接地时电势0=O U

大学物理课后习题答案第八单元

8-24图

由电势叠加原理有:

=

O U 03π4π4'00=+

R

q R

q εε

得 -

='q 3

q

8-25 有三个大小相同的金属小球,小球1,2带有等量同号电荷,相距甚远,其间的库仑力为0F .试求:

(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1,2后移去,小球1,2之间的库仑力;

(2)小球3依次交替接触小球1,2很多次后移去,小球1,2之间的库仑力. 解: 由题意知 2

02

0π4r

q

F ε=

(1)小球3接触小球1后,小球3和小球1均带电

2q q =

',

小球3再与小球2接触后,小球2与小球3均带电

q q 4

3=

''

∴ 此时小球1与小球2间相互作用力

002

2

018

3π483

π4"'2

F r

q

r

q q F =

-

=

εε

(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后,每个小球带电量均为

3

2q .

∴ 小球1、2间的作用力0029

4π432

32

2F r q

q

F ==ε

*8-26 如题8-26图所示,一平行板电容器两极板面积都是S ,相距为d ,分别

维持电势A U =U ,B U =0不变.现把一块带有电量q 的导体薄片平行地放在两极板正中间,片的面积也是S ,片的厚度略去不计.求导体薄片的电势. 解: 依次设A ,C ,B 从上到下的6个表面的面电荷密度分别为1σ,2σ,3σ,4σ,5σ,6σ如图所示.由静电平衡条件,电荷守恒定律及维持U

U

AB

=可得以下6个方程

大学物理课后习题答案第八单元

题8-26图

?????????????++++==+=+-

==

+=+=

=

=+6

54

32

1

543206

54

3002

1001σ

σσ

σσ

σσσσσεσ

σσσεσσd

U

S

q S q d

U

U C S

S q B A

解得 S

q 261=

=σσ S

q d

U

2032-=

-=εσσ

S

q d

U

2054+=

-=εσσ

所以CB 间电场 S

q d

U E 00

422εεσ+

=

=

)2d (2

12

d 02

S

q U E U U CB C ε+

===

注意:因为C 片带电,所以2

U U C ≠,若C 片不带电,显然2

U U C =

8-27 在半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的均匀电介质球壳,介质相对介电常数为r ε,金属球带电Q .试求: (1)电介质内、外的场强; (2)电介质层内、外的电势;