行列式习题答案
行列式习题答案
2
线性代数练习题 第一章 行 列 式
系 专业 班
姓名 学号
第一节 n 阶
行 列 式 一．选择题
1．若行列式x
5
22
31521- = 0，则
=
x
[ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3
（D ）3-
2．线性方程组?
?
?=+=+4
733
22
1
21
x
x x
x ，则方程组的解),(2
1
x x = [ C ]
（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，
5
-） （D ）（5,13--） 3
．
方
程
09
3
142112
=x x
根的个数是
[ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2
（D ）3
3
4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ] （A ）665144322315
a a a a a a
（B ）6553443226
11a a a a a a
（C ）
34
6542165321a a a a a a （D ）
26
654413
3251a a a a a a
5．若55
443211)
541()
1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij
a 的一项，则l k ,的
值及该项的符号为[ B ]
（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负；
（C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是
[ BD ]
(A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题
1．行列式1
2
21
--k k 0
≠的充分必要条件是
3,1
k k ≠≠-
2．排列36715284的逆序数是 13 3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s
4
= 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij
a 中，62
35514614
23a a a a a a
应取的符号为
负 。
三、计算下列行列式： 1．1
32213321=18
2．5
98413111=5
３．y
x
y
x x y x y y x y x +++332()
x y =-+
４．0
0011
0000010
100=1
5
５．0
00100002000010
n n -1(1)!
n n -=-
６．0
11,22111,111
n n n
n a a a a a a --(1)
212,11
(1)n n n n n a a a --=-
线性代数练习题 第一章 行 列 式
系 专业 班
姓名 学号
第二节 行列
式的性质 一、 选择题： 1．如果133
32
31
232221
131211
==a a a a a a a a a D ，33
32
3131
23222121
131211111
232423242324a a a a a a a a a a a a D
---= ，则=1
D
[ C ]
6
（A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）24 2．如果333
32
31
232221
131211
==a a a a a a a a a D ，23
23
3313
22223212
212131111
352352352a a a a a a a a a a a a D
---=，则=1
D
[ B ] （A ）18 （B ）18- （C ）9-
（D ）27-
3．
2
2
2
2
222222222222
)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a =
[ C ]
（A ）8 （B ）2 （C ）0 （D ）6- 二、选择题： 1．行列式=
30092
28092
3621534215
12246000 2. 行列
式=
1
1101101
10110
111 -3
2．多项式0
2
1
11
1
1
)(32
1
32132132
1
=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有根是0,1,2--
7
3．若方程2
2
514
3
2
1
43
43314321x x -- = 0
，则1,x x =±=
4．行列式
=
=
2
100121001210
012D 5
三、计算下列行列式：
1．2
60
5
23211
2131412
-21
214150620.
12325062
r r +=
2．x
a a a x a
a
a x
1[(1)]().
n x n a x a -=+--
线性代数练习题第一章行列式
系专业班姓名学号
第三节行列式按行（列）展开
8
9
一、 选择题：
1．若
1
1
11
11
1
11
111101
-------=
x A ，则A 中x 的一次项系数是
[ D ]
（A ）1 （B ）1- （C ）
4
（D ）4-
2．4阶行列式
4
4
332211
000000a b a b b a b a 的值等于
[ D ]
（A ）4
3214
3
2
1
b b b b a
a a a - （B ）)
)((43432121b b a a b b a a -- （C ）4
3214
3
2
1
b b b b a
a a a + （D ）
)
)((41413232b b a a b b a a --
3．如果1
22
21
1211=a a
a a
，则方程组
??
?=+-=+-0
022221211212111b x a x a b x a x a 的解是
[ B ] （A ）22
2
1211
a b a b x
=
，2
211
112
b a b a x
=
（B ）22
2
1211
a b a b x
-
=，
2
211
11
2b a b a x =
10
（C ）22
2
1211
a b a b x
----=
，2
21
1112
b a b a x
----=
（D ）22
2
1211
a b a b x
----=
，
2
21
1112b a b a x -----
=
二、填空题： 1． 行列式
122
30
5403-- 中元素3的代数余子式是 -6
2． 设行列式4
3216
3
02
1111
8
751=D ，设j
j
A M 44,分布是元素j
a 4的余
子式和代数余子式， 则44
43
42
41
A A A A +++ = 0 ，44
434241
M M M M
+++=
-66
3． 已知四阶行列D 中第三列元素依次为1-，2，0，
1，它们的余子式依次分布为5，3，,7-4，则D = -15 三、计算行列式：
1．3
2142
1
43
1432
4
321
11
123412341341011310
1014120131112
30311113
10131160.
311
-==---=-=-
2.
1
2
1111111
1
1n
a a a ++
+
=
121111*********
1
1
1n
a a
a +++=
12111110
10
01
n
a a a ---
211
1
121
1111001001
00n
c c a a a a a +--+
1112232
1111110
00
01
000
n
a a c c a a a a +
+-+
1
1121
101111000000
n
i n
i i
i
a a a c a c a =+++∑
12
1
1
()(1)
n
n i i a a a a =+∑
或
12
1
21
1
231
131
1
111100
000
n
n a r r a r r a r r a a a a +------2112
1
1
21
23
1
1111000000
n
a a a a a a
c c a a a a ++
+--
1
1
1223133
1
11111
0000
000
n
i i
n n
n
a a a c c a a a c c a a a a =++++∑1
12
2
()(1)
n
n i i a a a a a =++∑
或
112
2112112
1110
111
1101
11111
1
1
1(1).n n n n n
n i i
a a a a a a D a a a a a a a --=++++=
+
=+=+∑
线性代数练习题 第一章 行 列 式
13
系 专业 班
姓名 学号
综 合 练 习
一、 选择题： 1．如果033
32
31
232221
13
1211
≠==M a a a a a a a a a D ，则
33
32
31
232221
131211
1222222222a a a a a a a a a D = =
[ C ]
（A ）2 M （B ）－2 M （C ）8 M （D ）－8 M
2．若x
x x x x
x f 1
7
1
341073221)(----=
，则
2
x 项的系数是
[ A ]
（A ）34 （B ）25 （C ）74 （D ）6 二、选择题： 1．若54
435231a a a a a
j i
为五阶行列式带正号的一项，则 i =
2 j = 1 2. 设行列式2
7
562
513
--=D ，则第三行各元素余子式之和
的值为 8 。
14
三、计算行列式
1
1
1
1111111111111--+---+---x x x x
解：1
11111111
1
111
1
1111111111111
1
11
1
1
x x x x D x
x x x -----+--+-=
=----+----4
10010010010
0x x x
x x ==
四、计算n 阶行列式
x
y
y x x y x y x D n 0
00
0000000
000
000
=
解：11()n n n
n
D
x y +=+-
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：复数与行列式
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 复数与行列式 一、复数 1、（2018上海高考）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 2、（2017上海高考）已知复数z 满足3 0z z +=，则||z = 3、（2016上海高考）设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =__________________ 4、（宝山区2018高三上期末）若i z i 23-+= （其中i 为虚数单位），则Imz = ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 6、（奉贤区2018高三上期末）复数 i +12 的虚部是________. 7、（静安区2018高三二模）若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z = 8、（普陀区2018高三二模）已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为……………………………（ ） )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、（青浦区2018高三二模）若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 10、（青浦区2018高三上期末）已知复数i 2i z =+（i 为虚数单位），则z z ?= ． 11、（松江、闵行区2018高三二模）设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴 上，则m = ． 12、（松江区2018高三上期末）若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈,），则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、（杨浦区2018高三上期末）在复平面内，复数2i z i -= 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、（浦东新区2018高三二模）已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（ ） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5± 15、（浦东新区2018高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ?=?；（3）123123()()z z z z z z ??=??，相应的在向量运算中，下列式子：（1）
(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
行列式经典例题及计算方法
行列式的例题 1.已知方程 01125208 42111111154115 21211111154113 21111113 23232=+ + -x x x x x x x x x ，求x 。 解：由行列式的加法性质，原方程可化为 32321 12520842111111154118 4211111x x x x x x + 3 232 2781941321111112793184 211111x x x x x x = = =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。 2.计算：（化三角形法） 3.拆行列法 42031 2852 51873 121D =
行列式的计算 （四）升级法（加边法） 112122 1212 ,0 n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++= ≠+ 1 21121221 21 1000n n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++ 解：1) 1 21121 1 00(2,31)10010 0n i n a a a b r r i n b b --=+-- 121 (1).n i n i i a b b b b ==+∑ 111 11100 (1,21)00 n i n i i i i n a a a b c b c i n b b =+++ =+∑ 行列式的计算 （二）箭形行列式 0121112 2,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 解：把所有的第列的倍加到(1,,)i n = i i c a -1i +第1列，得： 11201()n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑
行列式检验测试题(有规范标准答案)
第九讲 行列式单元测试题点评 一、填空题（每小题2分，满分20分） 1．全体3阶排列一共有 6 个，它们是123,132,213,231,312,321； 2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次 对换变为奇排列； 3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D' =； 4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这 个行列式等于零； 6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边； 7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列） 的对应元素上，行列式的值不变； 8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的 代数余子式的乘积之和等于零； 9. 11121 222 1122 ; 00 n n nn nn a a a a a a a a a = L L K M M M M L
10.当 k=22 ±时，542k k k =。 二、判断题（每小题3分，满分24分） 1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ΛΛππ则若 （∨） 的符号 的一般项则设n n j i j i j i nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛ M M M M ΛΛ2211D ,.221 2222111211= .)1() (21n j j j Λπ-是 （×） 3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。 （×） 6．若行列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×) 7. 11 121313233321222312 222331 32 33 11 21 31 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×) 8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。 （×） 三、单项选择题（每小题4分，满分20分） 1．位于n 级排列12111k k n i i i i i -+L L 中的数1与其余数形成的反序个数为（ A ）
第一章行列式练习题目及答案
第一章 行列式 一、单项选择题 1．=0 001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3. 若2 1 33 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 4．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 5． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 6. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 7. 若2 23 5 00 1 011110403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0
8. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111. 2．行列式 = -0 10000200 0010 n n . 3．行列式 =--0 01) 1(2211)1(111 n n n n a a a a a a . 4．如果M a a a a a a a a a D ==3332 31 232221131211 ，则=---=32 323331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 5．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为 . 6．行列式 = --+---+---111 1 111111111111 x x x x . 7．n 阶行列式=+++λλλ 111 1 11111 . 8．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3, 2, 1，则该行列式的值为 .
行列式经典例题
大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
行列式练习题及答案
一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0000000010 020001000 -= （ ）. （A ）! n （B ）!)1(2) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 23232101)(= 中，3x 的系数是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.
一、填空题 1．若D=._____324324324,133 32 3131 232221211312111113332 31 232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 2 2913251323 2 213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 8 1 71160451530169 14 4312----- 2． d c b a 100 1100 11001--- 3．a b b b a b b b a D n =
行列式-矩阵练习题
行列式 矩阵练习题 一、单项选择题 1. 设行列式D=a 522315 21-=0，则a =( B ). A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 2. 设A 是k ×l 矩阵，B 是m ×n 矩阵，如果AC T B 有意义，则矩阵C 的为( B ). A. k ×m B. k ×n C. m ×l D. l ×m 3. 设A 、B 均为n 阶矩阵，下列各式恒成立的是( B ). A. AB=BA B. (AB)T =B T A T C. (A+B)2=A 2+2AB+B 2 D. (A+B)(A-B)=A 2-B 2 4. A 为n 阶方阵，下面各项正确的是( C ). A. |-A|=-|A| B. 若|A|≠0,则AX=0有非零解 C. 若A 2=A,则A=E D. 若秩(A)
行列式典型例题
第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 1 1 a a 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --1n c c += 1 1 1 a a a +-=n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -+1 1 001 (1) 0n n a a +-- 而 1 1 001 (1) 0n n a a +--最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a -=2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．
n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a -=n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ． 例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 12112122 1 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶 213111 n r r r r r r +---= 12121100 1001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 1 1121 1 12100000000 n n a a a a a b b b b b + ++ =1 12 1 (1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +=1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例2.3 计算n 阶行列式： 12111 1111 1 1n n a a D a ++= +
行列式典型例题
第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 11 a a O 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - L O =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --O 1n c c += 1 1 1 a a a +-O =n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -O +1 1 001 0(1) 0n n a a +--L O O 而 1 1 01 0(1) 0n n a a +--L O O 最后列展开 =21 (1)n +-2 n a a -O =2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．
n D =2(2) (1)n --11a a a O = 11a a 2 n a a -O =n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ． 例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= +L L M M M L (120n b b b ≠L ) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 121121 221 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L 升阶 213111 n r r r r r r +---= L 12121100100100n n a a a b b b ---L L L M M M M L 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= L 111211 1 2100 00000 n n a a a a a b b b b b + ++L L L L M M M M L =1121(1)n n n a a b b b b b + ++L L 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +L L M M M L =1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例2.3 计算n 阶行列式：
线性代数行列式经典例题22998
线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 1,1,,2 i i r r i n n --=-= L 0111111 1 1 n ----L L M O L 1,,1 j n c c j n +=-= L 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 11,2,,1 111111120 i i r r i n n n +-=----= --L L L M O L 1 2,,1 0012 01231 j c c j n n n n +=---= ---L L L M O L =1 2(1) 2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察德蒙行列式: =
行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 11 11n x x x -----O O = x D 1-n + a n 由于 D 1= x + a 1，2 21 1x D a x a -= +，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1-n D 1+ a 2x 2-n +K + a 1-n x + a n =1 11n n n n x a x a x a --++++L 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 2112 1010010000n n n n x x x a xa a a x a -----++K K K M M M M K 213 c x c += 3212 1231 010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K K M M M M M K =L L = 11 1x f x ---O O O n r = 按展开 1(1)n f +-1 11 1n x x x ----O O = 111n n n n x a x a x a --++++L
线性代数习题册行列式-习题详解.doc
行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是 ( ) a b c d (B) a b d b (A) d a b ； c d c ； c a a 3c b 3d a b a b a b (C) c d c ； (D) c d c . d d 答案： D 2．行列式 D n 不为零，利用行列式的性质对 D n 进行变换后，行 列式的值（ ）． (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D) 保持相同的正负号． 答案： C 二、填空题 1. log a b 1 =. 1 log b a 解析： log a b 1 log a b log b a 1 1 1 0 . 1 log b a cos sin 2. 3 6 =. sin cos 3 6 cos sin 解析： 3 6 cos cos sin sin cos0 sin cos 3 6 3 6 2 3 6 2x 1 3 3. 函数 f (x) x x 1 中， x 3 的系数为 ； 2 1 x 2x 1 1 g( x) x x x 中， x 3 的系数为. 1 2 x 答案： -2 ； -2.
阶行列式 D n中的n最小值是. 答案： 1. 1 2 3 5.三阶行列式0 2 4 中第2行第1列元素的代数余子式 3 1 1 等于. 答案： 5. 6.若 2x 8 0 ，则x= . 1 2 答案： 2. 7. 在n 阶行列式 D a ij 中，当 i 行列式的例题 一．直接用行列式的性质计算行列式 1．试证明 2 2 2 111 2 22 22 21111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c c b =+++++++++证明：先用行列式的加法性质拆第一列，再用初等变换化简得 2 22 22 11111 2 22 22 11111 b a a c c b a a c c b a a c c b a a c b b a a c b b a a c b +++++++++++++=左 2 22 2 1111 2 2 22 1111 b a a c b a a c b a a c a a c b a a c b a a c b +++++++= 222111 222111 b a c b a c b a c a c b a c b a c b += 22 2 111 2 2 2 111 a c b a c b a c b a c b a c b a c b += 2 2 2 1112a c b a c b a c b ==右 2．计算n 阶行列式 n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a D +++++++++= Λ ΛΛΛ Λ21222121211 1 解：当n=1时，D 1=a 1+b 1 ， 当n=2时，D 2=（a 1+b 1）（a 2+b 2）-（a 1+b 2）（a 2+b 1） =（a 1-a 2）（b 1-b 2） 当n≥3时,将第一行乘（-1）加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即 01 111313131 2121212111=---------+++=a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a D n n n n n Λ M M M Λ ΛΛ 综上所述 2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表 ?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ?=)( 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下） 三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(; )(== 若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===，则称A 与B 相等，记为A=B 。 2.1.2 矩阵的运算 1．加法 （1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)(==，则mn ij ij b a B A C )(+=+= （2）运算规律 ① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ） ③ A+O=A ④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 （1）定义：设,)(mn ij a A =k 为常数，则mn ij ka kA )(= （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法 （1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则 ,)(mp ij C C AB ==其中∑== n k kj ik ij b a C 1 （2）运算规律 ①)()(BC A C AB =；②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( （3）方阵的幂 ①定义：A n ij a )(=，则K k A A A = ②运算规律：n m n m A A A +=?；mn n m A A =)( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ≠ ②;00,0===B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB ?≠)( 4．矩阵的转置 线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） 高等代数 《行列式》测 验 一 填空题（2'612'?=） 1. 六阶行列式的展开式共有（ ）项. （A ）120 （B ）60 (C) 720 (D) 240 2. 排列1 2345a a a a a 的逆序数为a ，则排列5 4321a a a a a 的逆序数为（ ）. (A) a - (B) 10a - (C) 10a - (D) 2 a -或a +2 3. 0001002003004 =( ). (A) 24 (B) -24 (C) 0 (D) 12 4. 已知11 121311111212132122232121222223313233313132323341 42 43 4141 42 42 43 , ,a a a b a a b a a a a b a a b a m n a a a b a a b a a a a b a a b a == 则行列式 11121311122122232122313233313241 4243 4142a a a b b a a a b b a a a b b a a a b b ++= ++（ ）. (A) m n + (B) n m - (C) m n - (D) () m n -+ 5. 已知2 31421,1 1 1 D =- i j A 为D 的元素ij a 的代数余子式，则（ ）. (A) 1112130 A A A ++= (B) 1121310 A A A ++= (C) (A),(B)都成立 (D) (A),(B)都不成立 6. 0001 00002000 10 n n =- ( ). (A) 1 (1) !n n +- (B) (1) 2 (1) !n n n -- (C) (1) 2 (1) !n n n +- (D)!n 二 填空题（2'816'?=） 1. 2011阶反对称行列式的值为 . 2. 13234425k l a a a a a 为五阶行列式ij D a =中带负号的项，则k = ， l = . 3. 排列(1)321n n - 的逆序数为 , 13(21)24(2) n n - 的逆序 数为 . 4. 线性方程组 1212040 x x x x λλ+=?? +=?有唯一解，则λ满足 . 5. 若n 阶行列式D 中等于0的元素个数大于2 n n -，则D = . 6. 2 1 1203101311 112 x x ----的展开式中2 x 的系数为 . 7. 1 1111234149161 8 27 64 = . 8. 已知四阶行列式D 的第3行元素为3,3,1,1--, 其对应的余子式的值 为1,2,5,4, 则行列式D = . 大学——行列式经典例题 例 1计算兀素为a ij = | i — j|的n 阶行列式 解方法1 由题设知， an =0, a 〔2 1 , L ,a 1n n 1 丄 故 0 1 L n 1 0 1 L n 1 1 L n 2 r i r 1 1 1 L 1 D n M O i n ,n 1,L ,2 M O n 1 n 2 L 0 1 1 L 1 n 1 n L L n 1 2 L L 1 C j C n M O O L ( 1)n 12* 2 (n 1) j 1,L ,n 1 M 0 2 L 0 1 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行?第二步用的每列加第 n 列. 证明：考察范德蒙行列式： =(a 一②o -打)3 -刃3 一 (匚 -y) 1 L n 1 1 1 L 1 1 0 L n 2 r i r i 1 1 1 L 1 M O i 1,2,L ,n 1 M O n 1 n 2 L n 1 n 2 L 方法2 D n Cj q j 2,L ,n 例2. 1 1 M n 1 设a , 0 L 2 L O 2n 3 L b , c 是互异的实数 =0 =(1)n 12n 2(n 1) 的充要条件是a + c =0. =-1 ■■■■ J J - I .■- ■ ■ J I . 1 1 1 a b c 行列式云即为y2前的系数?于是 1 1 1 a b c 口m ={a-b)[a - e)(b-c){a-\-b-\-c) =0 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D a n 1 a n 2 a i 解：方法1递推法按第列展开, D n = x D n 1 + (-1) a n 由于D1 = x + a 1，D2 2 1+ a n=x(x D n 2+a n 1) + a n=x D n 2+ a2 a1 n 1 a n 必+ a n = L = x D 1+ a n 2X n + a n 1x + a n =x n a〔x L a n 1x a n 方法2第2列的x倍，第3列的x 倍, ，第n列的x n1倍分别加到第1列上 q XC2 D n a n xa n 1 a n 1 a n 2 K x a1 第二章 行列式测试题（A ） 一、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．n 级行列式=0 1 00100 1001000 （ ） （A ）-1 （B ）2 )1() 1(--n n （C ）2 )1() 1(+-n n （D ）1 2．令(),2 271 32014 321 312------= x x f 那么()x f 的一次项系数为（ ） （A ） 1； （B ） 2； （C ） -1； （D ） -2 3．如果行列式=---=33 32 31 23222113 1211 3332 31 232221 13 1211 333222,a a a a a a a a a d a a a a a a a a a 那么（ ） （A ） 2d ； （B ）3d ； （C ）-d ； （D ）-6d 4．如果n (n ≥2)级行列式中每个元素都是1或-1,那么该行列式的值为( ) （A ）偶数； （B ）奇数； （C ）1； （D ） -1 5．行列式n 000 20001的主对角线上每个元素与其代数余子式乘积之和为( ) （A ） n !; （B ）()211n +； （C ） n .n !； （D ） ()2 12n n + 二、填空题（每小题2分，共10分） ⒈排列()()()112221+-k k k k 的逆序数为（ ）。 ⒉在4级行列式中，项11342243a a a a 前带的符号为（ ）。 ⒊ =+++x x x 111111 1 11（ ） ⒋ 3 2323 24441333122211111=（ ） ⒌如果方程组???=++=++010 1dy cx by ax 的系数行列式1=d c b a ，那么它的解为 。 三、判断题（每小题2分，共10分） ⒈ n n a a a a a a 21210 0000 00 -= （ ） ⒉如果n 级行列式中零元素多于n n -2个，那么该行列式的值为0。 （ ） ⒊两个行列式相加，等于对应元素相加。 （ ） ⒋行列式中负对角线上元素的余子式与代数余子式互为相反数。 （ ） ⒌33 32 31 23222113 12113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=--------- （ ） 四、计算下列行列式的值 ⒈ 2 1 100 2502 0214 214 ⒉ () n a b b a b a b a b a 00000000000000000 000 ⒊ n n n n y x x x x y x x x x y x +++ 222211 1 1 ⒋ 1 1 1 212 221212111n n n n n n n n n a a a a a a a a a ------ ⒌ a ax ax ax ax a ax ax a ax a n n n n 3 2 1 2 010010001------行列式的例题
矩阵典型习题解析
线性代数总结材料汇总情况+经典例题
高代-行列式测试题
行列式经典例题
b第一章 行列式测试题