高中物理与函数及函数图象

高中物理与函数图象（一）

函数图象与物理规律

一、学情与内容分析

1、地位与作用：

在高考能力要求中，应用数学工具处理物理问题一项中，就有“能运用几何图形、函数图象进行表达、分析”的要求。图象法就是利用图象来描述两个物理量之间的关系的方法。图象的特点是具有直观性和形象性。从高考试题中也反映物理图象是考试热点之一。

2、重点与难点：

能够正确地作图、读图是准确把握两个物理量间的关键，然后再结合相应的物理规律解答物理问题是重点也是难点。

3、教学说明：

用图像法解题的主要依据是利用了物理过程中恒量与变量之间的关系，以及与数学函数图像之间的联系，再利用几何或分析的方法解决问题。在考试过程中若能巧用图像解题，必会达到事半功倍的效果，特别在高考紧张的气氛下，一般人都易利用公式法和分析法算，思维易混乱，计算繁杂且易算错，这是很不利的，多树立用图像解题的意识，多加训练达到得心应手的境界。但是也不是所有物理题都适用图像法解题，所以我们也必须总结出，哪类题更适合用图像法解题以及哪类题目在高中阶段只能用图像法解。

4、学生情况分析：

图像法是高考考试的热点，高中学生数学水平已经能够解决高中物理中的图像问题，而以往学生只在做习题的时候，零星的接触了一些图像题，在讲解题目的时候，发现学生对于这类题目有点发怵，觉得无从着手，即使这道题搞懂了，碰到其他又不会了，所以对图像问题进行一次总结很有必要。

二、教学目标：

1、知识与技能：

①回顾高中所学过的常见图像

②能搞清图象所揭示的物理规律或物理量间的函数关系

③具有建立图像以及应用图像解决物理问题的能力

2、过程与方法：

①培养学生理解事物本质的能力，以及归纳能力。

②培养学生学科间的迁移能力

3、情感与态度：

①体验用图像方法描述物理现象的乐趣，培养学生用数学方法处理物理问题的意识。

②让学生用科学的眼光去认识事物，去了解事物的本质，培养学生的科学素养。

四、教学方法：

讲授法、归纳法，利用多媒体资源，以学生为主体，展开教学。

五、教学过程：

【引入】提问：描述一个物体过程和物理规律有几种方法举例：一个物体在Array不受任何外力作用下运动用3种不同的方式描述它：匀速直线运动， S＝

vt，，

所以任何一个物理规律或物理过程都有3种描述方法：文字

描述、数学描述和图像描述。但哪种更加直观、形象当然是图像法。在高考

能力要求中，应用数学工具处理物理问题一项中，就有“能运用几何图形、函数图象进行表达、分析”的要求。所以今天我们就来研究物理图像专题。

一、在我们学习高中物理，有哪些常见图像

力学：运动学：s－t图；v－t图；振动和波：y－x图；y－t图

热学：p－T图；V－T图；p－V图

电学：U－I图；P出－R图

这中间包含了我们数学学过的：正比例函数、一次函数、正、余弦函数、反比例函数等函数图像。

（1）物理图象的分类

整个高中教材中有很多不同类型的图象，按图形形状的不同可分为以下几类．

(1)直线型：如匀速直线运动的s－t图象、匀变速直线运动的v－t图象、定值电阻的U－I图象等．

(2)正弦曲线型：如简谐振动的x－t图象、简谐波的y－x图象等．

(3)其他型：分子力与分子间距离的f－r图象等．

下面我们对高中物理中接触到的典型物理图象作一综合回顾，以期对物理图象有个较为图象函数形式特例物理意义

y＝c 匀速直线运动的v

－t图象

做匀速直线运动的

质点的速度是恒矢

量．

y＝kx ①匀速直线运动的

s－t图象

②初速度v0＝0的匀

加速直线运动的v

－t图象(若v0≠

0，则纵截距不为零)

③纯电阻电路的I

－U图象

①表示物体的位移

大小随时间线性增

大．

②表示物体的速度

大小随时间线性增

大．

③表示纯电阻电路

中I随导体两端的

电压U线性增大．

y＝a－kx ①匀减速直线运动

的v－t图象

②闭合电路中的U

－I图象(U＝E－

Ir)

①表示物体的速度

大小随时间线性减

小．

②表示路端电压随

电流的增大而减小．

y＝a

x＋b

·x (双曲线函数)①由纯电阻用电器

组成的闭合电路的

U－R图象(U＝

E

R＋r

R)

②在垂直于匀强磁

场的

[XCzt71．tifBP]导

轨上，自由导体棒在

一恒定动力F的作

用下做变加速运动

的v－t图象

①表示纯电阻电路

中电源的端电压随

外电阻而非线性增

大．

②将达到稳定速度

v m＝

FR总

B2L2

．

y＝kx2 (抛物线函数)①小灯泡消耗的实

际功率与外加电压

的P－U图象

②位移与时间的s

－t图象(s＝

1

2

at2)

①表示小灯泡消耗

的实际功率随电压

的增大而增大，且增

大得越来越快．

②表示位移随时间

的增大而增大，且增

大得越来越快．

xy＝c (双曲线函数)机械在额定功率下，

其牵引力与速度的

关系图象(P＝Fv)

表示功率一定时，牵

引力与速度成反比．

y＝A sin ωt 交流电的e－t图象

(e＝E m sin ωt)

表示交流电随时间

变化的关系．

二、识图：认识图象，理解图象的物理意义；搞清图象所揭示的物理规律或物理量间的函数关系，全面系统地看懂图象中的“轴”、“线”、“点”、“斜率”、“面积”、“截距”等所表示的物理意义。

(1)首先应明确所给的图象是什么图象，即认清图象中比纵横轴所代表的物理量及它们的“函数关系”，特别是对那些图形相似、容易混淆的图象，更要注意区分．例如振动图象与波动图象、运动学中的s－t图象和v－t图象、电磁振荡中的i－t图象和q－t图象等．

(2)要注意理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义．

①点：图线上的每一个点对应研究对象的一个状态．要特别注意“起点”、“终点”、“拐点”、“交点”，它们往往对应着一个特殊状态．如有的速度图象中，拐点可能表示速度由增大(减小)变为减小(增大)，即加速度的方向发生变化的时刻，而速度图线与时间轴的交点则代表速度的方向发生变化的时刻．

坐标原点坐标值是0吗图线上任意一点的物理意义是什么图线相交点含义注意坐标原点不一定是0，比如路端电压--电流图象中；图线上任意一点即可表示某个状态（如横轴是时间，U-I线），也可表示一过程（如1/v-F图，2009-11海淀期中）；两图线相交点只表示横轴和纵轴代表的物理量相等，其他物理量是否相等需要进一步推导，与其他条件有关。比如v-t图中两线交点仅表示该时刻速度相同，而加速度通常不同，位移也不一定相同，也不一定相遇。

例题1：两物体甲和乙在同一直线上运动，它们在0～时

间内的v-t图象如图所示。若仅在两物体之间存在相互

作用，则物体甲与乙的质量之比和图中时间t1分别为

A．1

3

和 B．3和

C．1

3

和 D．3和

【解析】答案B。本题考查图象问题。根据速度图象的特点可知甲做匀加速，乙做匀减速。

根据

v

a

t

?

=

?

得3a a

=

乙

甲

,根据牛顿第二定律有

1

3

F F

m m

=

乙

甲

,得3

m

m

=

甲

乙

,由

v/ms-1

t/s

1

2

乙

甲

24110/0.40.4a m s t

===-乙,得t=,B 正确。

例题2：小灯泡灯丝的电阻会随温度的升高而变大。某同学为研究这一现象，用实验得到如

⑴在左下框中画出实验电路图。 可用的器材有：电压表、电流表、滑线变阻器（变化范围0 — 10 Ω）、电源、小灯泡、电键、导线若干。

⑵在右图中画出小灯泡的U – I 曲线。

⑶如果将本题中的小灯泡接在电动势是，内阻是 Ω的电池两端，小灯泡的实际功率是多少（简要写出求解过程；若需作图，可直接画在第⑵小题的方格图中）

【解析】⑴分压器接法（如下图所示）。⑵如下图所示。⑶作出电源的U ＝E －Ir 图线，该图线与小灯泡的U – I 曲线相交于一点，由此可得小灯泡工作电流为0.35 A ，工作电压为 V ，实际功率为 W

【说明】生在实验复习中已基本掌握，而第⑶问则对实验数据的处理进行了拓展、延伸，对小灯泡的实际功率无计算公式，只能在小灯泡的伏安特性曲线上画出电池的U —I 图线，然后找出两曲线的交点，从而确定此时灯泡的工作状态，得到实际工作功率。这考查了学生对小灯泡的伏安特性曲线的理解和实验数据处理的能力。同时也要深入理解图线交点与电路工作状态的对应关系。

通过画电源的U-I 图，找到两图线的交点是解决此问题的关键所在！

U (V)

(A)

②线：注意观察图线是直线、曲线还是折线等，从而弄清图象所反映的两个物理量之间的关系．纵轴所代表的物理量量值变化吗，是均匀变化还是非均匀变化是否是分段函数（图象）是否存在极值注意观察图象中图线的形状是直线、曲线，还是折线等，分析图线所反映两个物理量之间的关系，进而明确图象反映的物理内涵。如金属导体的伏安特性曲线反应了电阻随温度的升高而增大。图线分析时还要注意图线的拐点具有的特定意义，它是两种不同变化情况的交界，即物理量变化的特殊点。例如，共振图象的拐点（最高点）表明了共振的条件，这时驱动力的频率与物体的固有频率相同；光电效应中光电流—电压图象中存在饱和电流，电源输出功率--外电阻的图象中，在外电阻等于内电阻时输出功率有极值等等。

例题：将一个力电传感器接到计算机上，可以测

量快速变化的力。用这种方法测得的某单摆摆动

过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如图

5所示。由此图线提供的信息做出下列判断，其

中正确的是（）

A、t＝时刻摆球正经过最低点

B、t＝时摆球正处于最高点

C、摆球摆动过程中机械能时而增大时而减

小

D、摆球摆动的周期约是T＝

【解析】本题的关键是把图象与具体的物理情景对应起来，如上图所示，在最低点悬线受到的拉力最大；在最高点悬线受到的拉力最小；又由于受到阻力的作用，物体做阻尼振动，机械能减小；再根据周期性可得周期约。因此，本题的正确答案是A、B选项。

例题3：两带电量分别为q和－q的点电荷放在x轴上，相距为L，能正确反映两电荷连线上场强大小E与x关系的是图（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】A

【解析】由等量异种点电荷的电场强度的关系可知，在两电荷连线中点处电场强度最小，但不是零，从两点电荷向中点电场强度逐渐减小，因此A正确。

③斜率：表示纵横坐标上两物理量的比值．常有一个重要的物理量与之对应，用于求解定量计算中所对应的物理量的大小以及定性分析变化的快慢．如v－t图象的斜率表示加速度．

例题：如图所示，光滑轨道MO和ON底端对接且ON＝2MO，M、N两点高度相同。小球自M 点由静止自由滚下，忽略小球经过O点时的机械能损失，以v、s、a、Ek分别表示小球的速度、位移、加速度和动能四个物理量的大小。下列四象中能正确反映小球自M点到N点运动过程的是【】

解析：首先弄清楚物体在om 段和on 段的运动特征，om 段匀加速，on 段匀减速，得出各个物理量之间的关系，然后根据关系式结合数学知识画出图形。

答案：A

例10（2009年江苏卷8）．空间某一静电场的电势?在x 轴上分布如图所示，x 轴上两点B 、C 点电场强度在x 方向上的分量分别是Bx E 、Cx E ，下列说法中正确的有

A ．E

B x 的大小大于E

C x 的大小

B ．E B x 的方向沿x 轴正方向

C ．电荷在O 点受到的电场力在x 方向上的分量最大

D ．负电荷沿x 轴从B 移到C 的过程中，电场力先做正功，

后做负功

答案：AD 。

【解析】本题的入手点在于如何判断Bx E 和Cx E 的大小，因为

－x 图中斜率为沿x 方向的E ，可见Bx E >Cx E ，A 项正确；同理可知O 点场强最小，电荷在该点受到的电场力最小，C 项错误；沿电场方向电势降低，在O 点左侧，Bx E 的方向沿x 轴负方向，在O 点右侧，Cx E 的方向沿x 轴正方向，所以B 项错误，D 项正确。

④截距：表示纵横坐标两物理量在“边界”条件下物理量的大小．由此往往可得到一个很有意义的物理量．如电源的U －I 图象反映了U ＝E －Ir 的函数关系，两截距点分别为(0，E )和? ??

??E

r ，0． 截距是图线与两坐标轴的交点所代表的坐标数值，该数值具有一定的物

理意义。如下右图为左图情景中杆的速度v 与拉

力F 的关系图，图线在横轴上的截距表示杆所受

到的阻力。同样要注意弹簧的弹力图象、路端电

压--电流图象、光电效应中光电子最大初动能—

光照频率图象等等的截距表示的物理意义。

例7（2009年上海卷22）．如图（a ），质量

m ＝1kg 的物体沿倾角＝37的固定粗糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作用力沿水平方向向右，其大小与风速v 成正比，比例系数用k 表示，物体加速度a 与风速v 的关系如图（b ）所示。求：

（1）物体与斜面间的动摩擦因数； （2）比例系数k 。（sin370=,cos370=,g=10m/s 2） 【解析】 v a /ms －2 （b ） m 4

θ

（a ） －1 A ． B ． C ． D ．

（1）对初始时刻：mg sin －mg cos ＝ma 0 ①，

由右图读出a 0=4 m/s 2 代入①式， 解得：＝g sin －ma 0g cos

＝； （2）对末时刻加速度为零：mg sin －N －kv cos ＝0 ②，又N ＝mg cos ＋kv sin ③，

由右图得出此时v =5 m/s 代入②③式解得：k ＝mg （sin －cos ）v （sin ＋cos

＝0.84kg/s 。 例题：如图所示，A ，B 两条直线是在A ，B 两地分别用竖直向上的力F 拉质量分别是A m 和B m 的物体实验得出的两个加速度a 与力F 的关系图线，由图分析可知（ ）

A ．

B A m m < B ．两地重力加速度B A g g >

C ．B A m m >

D ．两地重力加速度B A g g =

解析：对图象中直线在两轴上的截距的物理意义进行分析，便

可获得解题突破。直线在纵轴上截距的物理意义是物理做自由

落体运动时物体运动的加速度，即重力加速度g ，故可以判定g Ａ=g Ｂ。直线在横轴上的截距的物理意义是竖直向上的拉力Ｆ刚好等于物体的重力，则有m Ａg Ａ

⑤面积：有些物理图象的图线与横轴所围的面积往往代表一个物理量的大小．如v －t 图象中面积表示位移．有些物理图象的图线与横轴所围的面积的值，它常代表另一个物理量的大小。如t v -图中，图线与t 轴所夹的面积代表位移，s F -图象中图线与s 轴所夹的面积代表功，t F -图象中图线与t 轴所夹的面积代表冲量，t i -图象中图线与t 轴所夹的面积代表电量，1s v

-图象中图线与s 轴所夹的面积代表了时间等，端电压－电流图的面积是功率。 例题：例3：有A 、B 两火车在同轨道上同向匀速行驶，A 车在B 车后，速度分别为V A 和V B ，且A 车的速度大于B 车速度，当A 车司机发现B 时两车相距S 并立即刹车，为了避免两车相撞，A 车至少应以多大加速度刹车才能避免相撞

解析：此题可用图象法来解，在同一坐标系中画出AB 两车的V —t 图象，如图所示， A 车做匀减速直线运动，B 车仍做匀速运动。分析图象中交点C 的物理

意义，在此时刻A 、B 速度相等，此前，V A V B ，A 靠近B ，此后，

V A V B ，B 远离A ，故只要在交点C 时刻两车不相撞就行，或者说

两车速度相等是判断相不相撞的临界条件。其中阴影部分面积为A

车比B 车多走的位移，所以要使两车不相撞，此面积必须小于或

等于S 。

评析：此类是同一坐标系中两个图象的交点,此点往往是两个图象的联系点和突破点,解题的关键是要理解此交点的物理意义。

小结：1．中学物理中涉及到的重要图象

力学中主要包括位移时间图象（s-t 图象）、速度时间图象（v-t 图象）、振动图象x －t 图、波动图象y-x 图等;电学中的电场线分布图、磁感线分布图、等势面分布图、交流电图象、电磁振荡图象I-t 图等；还有气体图象p-v 图、v-T 图、p-T 图等；在实验中也涉及到不少图象，如验证牛顿第二定律时要用到a-F 图象、a －1/m 图象，用“伏安法”测电阻时

要画出I-u 图象，测电源电动势和内阻时要画u-I 图，用单摆测重力加速度时要画出的T 2-L

图等；在各类习题中图象问题也是频频出现，更有些图象是教材中未曾出现过的，如力学中F-t图，电磁振荡中的q-t图，电磁感应中的Φ-t图、E-t图等。

2．对图象意义的理解

(1)首先应明确所给图象是什么图象，即认清图象中横轴、纵轴所代表的物理量及他们的关系，特别是对那些图形相似，容易混淆的图象，更要注意区分。例如振动图象和波动图象，s-t图象和v-t图象等。

(2)要清楚的理解图象中的“点”，“线”，“斜率”，“面积”的物理意义。如在速度时间图象里：

A．“点”的意义：图象上的任一点表示这时物体的速度。

B．“线”的意义：任一段线段表示在一段时间内物体速度的变化量。

C．“斜率”的意义：“斜率”表示物体的加速度。

D．“面积”的意义：图象围成的“面积”表示物体在一段时间内发生的位移。

E．“截距”的意义：截距表示物体出发时的速度，横轴截距表示物体出发时距计时起点的时间间隔。

函数的图像及函数与方程

函数的图像及函数与方程 一、温故 对称变换：①奇函数的图象关于______对称；偶函数的图象关于____轴对称； ②f (x )与f (－x )的图象关于____轴对称；③f (x )与－f (x )的图象关于____轴对称； ④f (x )与－f (－x )的图象关于______对称；⑤f (x )与f (2a －x )的图象关于直线______对称； ⑥|f (x )|的图象先保留f (x )原来在x 轴______的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到； ⑦f (|x |)的图象先保留f (x )在y 轴______的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到． 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且____________，那么函数y ＝f (x )在区间________上有零点． 二、例题讲解 考点一 作图 例1 (1)作函数y ＝|x －x 2|的图象(2)作函数y ＝x 2－|x |的图象； （3）作函数y ＝1|x |－1 的图象．（4）作函数x y --=524的图像 （5）作函数2log 2-=x y 的图像

考点二 识图 例2 (1)函数2log 2x y =|的图象大致是________(填入正确的序号)． (2)函数f (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式是下列四者之一，正确的序号为________． ①f (x )＝x ＋sin x ；②f (x )＝cos x x ；③f (x )＝x cos x ；④f (x )＝x ·(x －π2)·(x －3π2 )． 变式 已知y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (1－x )的图象为________(填序号)． 例3.已知f (x )＝????13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的 表达式为________． 例4. 函数f (x )＝????? 3x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，则y ＝f (x ＋1)的图象大致是________．

函数图象与函数与方程

函数图象有关知识梳理 1．函数图象的变换 (1)平移变换： ①水平平移：y ＝f (x ±a )(a ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向左(＋)或向右(－)平移a 个单位而得到．②竖直平移：y ＝f (x )±b (b ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向上(＋)或向下(－)平移b 个单位而得到． (2)对称变换：①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． ②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称． ③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称． 另：一些常用的对称结论：①若函数)(x f y =对定义域内的任意实数x 都有)()(x a f x a f -=+成立，则函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称；（变式)2()(x a f x f -=）②一般地，若函数)(x f y =对定义域内的任意实数x 都有)()(x b f x a f -=+成立， 则函数)(x f y =的图像关于直线2 b a x += 对称；③若函数)(x f y =对定义域内的任意实数x 都有)2(2)(x a f b x f --=成立，则函数)(x f y =的图像关于点),(b a 对称；（特别地若)2()(x a f x f --=或)()(x a f x a f --=+成立，则关于点)0,(a 对称）；④两个不同函数的对称：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2 a b x -= 对称。 (3)伸缩变换： ①y ＝A f (x )(A ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上每点的纵坐标伸长(A ＞1时)或缩短(10<

函数与方程练习题及答案 (1)

函数与方程 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即__________，则α叫做这个函数的 ________． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与_______有交点?函数y＝f(x)有_____． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 3. 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)， 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[难点正本疑点清源] 1．函数的零点不是点 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标． 2．零点存在性定理的条件是充分而不必要条件 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c就是方程f(x)＝0的根．这就是零点存在性定理．满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图， f(a)·f(b)>0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以我们说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要． 1．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间 ________． 2．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是_____．3．已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1) (k∈N*)，则k的值为________．4．若函数f(x)＝a x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．5．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________. 题型一判断函数在给定区间上零点的存在性 例1函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象． (1)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是() A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)

高中数学函数与方程知识点总结经典例题及解析高考真题及答案

函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x = 的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一 个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?

基本初等函数、函数与方程

基本初等函数、函数与方程 一、选择题 1．(2017·吉林实验中学模拟)若f (x )是幂函数，且满足错误!＝2，则f 错误!＝( ) A ．12B ．14 C ．2 D ．4 解析：选B 设f (x )＝x α，由错误!＝错误!＝3α＝2，得α＝log 32，∴f 错误!＝错误!log 32＝错误!. 2．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( ) 解析：选B f (x )＝错误!故选B ． 3．计算：(log 32－log 318)÷81－14＝( ) A ．－32 B ．－6 C ．32 D ．6 解析：选B (log 32－log 318)÷81－14＝log 3218÷(34)－14＝log 319÷34×????－14＝－2÷1 3＝－6，故选B ． 4．(2016·全国丙卷)已知a ＝243，b ＝323，c ＝251 3，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b 解析：选A a ＝243＝423，b ＝323，c ＝2513＝52 3 . ∵y ＝x 2 3在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c ＞a ＞B ． 5．函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B 函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数，就是方程|log 2x |＋x －2＝0的根的个数． 令h (x )＝|log 2x |，g (x )＝2－x ，画出函数的图象，如图． 由图象得h (x )与g (x )有2个交点，∴方程|log 2x |＋x －2＝0的解的个数为2.故选B ．

函数图像与函数方程(教师版)

函数图像与函数方程 【知识要点】 1.函数图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 ①)(x f y =――→关于x 轴对称 )(x f y -=； ②)(x f y =――→关于y 轴对称 )(x f y -=； ③) (x f y =――→ 关于原点对称 )(x f y --=； ④)10(≠>=a a a y x 且――→ 关于y ＝x 对称 )10(log ≠>=a a x y a 且. (3)翻折变换 ①)(x f y =――――――――――→保留x 轴上方图像 将x 轴下方图像翻折上去|)(|x f y =. ②)(x f y =――――――――――――→保留y 轴右边图像，并作其 关于y 轴对称的图像|)(|x f y =. (4)伸缩变换 ①)(x f y = )(ax f y =. ②)(x f y = )(x af y =. 2.函数的零点 (1)函数零点的定义

对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． (2)几个等价关系 方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0)()(

2021版高考数学二轮复习专题限时集训12函数的图象与性质函数与方程

专题限时集训(十二) 函数的图象与性质、函数与方程 (建议用时：40分钟) 1．已知函数f (x )＝? ?? ?? x 2 ，x ≥0， －x ，x ＜0，则f (f (－2))＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝ f 2x log 12 2－x 的定义域为( ) A.??????32，＋∞ B.??????32，2 C.? ?? ??32，＋∞ D.???? ??12，2 3．[一题多解]设函数f (x )＝x 3 (a x ＋m ·a －x )(x ∈R ，a ＞0且a ≠1)是偶函数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2 4．(2019·全国卷Ⅱ)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1 D ．－e －x ＋1 5．已知奇函数f (x )在R 上是减函数，且a ＝－f ? ????log 3110，b ＝f (log 39.1)，c ＝f (20.8 )， 则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞b ＞a C ．b ＞a ＞c D ．c ＞a ＞b 6．[易错题]已知函数f (x )在(－1,1)上既是奇函数，又是减函数，则满足f (1－x )＋f (3x －2)＜0的x 的取值范围是( ) A.? ????12，＋∞ B.? ????12，1 C.? ????34，＋∞ D.? ?? ??34，1 7．(2019·洛阳模拟)函数f (x )＝ 1 sin x －x 的图象大致为( )

方程与函数的区别

方程与函数的区别? 代数式:用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,叫代数式。 函数:如果对于一个变量(比如x)在某一范围内的每一个确定的值,变量(比如y)都有唯一确定的值和它对应,那么,就把y叫做x的函数。 函数式:用解析法(公式法)表示函数的式子叫函数式。 方程:含有未知数的等式叫方程。 解析式表示因变量与自变量的关系。 联系:函数式和方程式都是由代数式组成的.没有代数式,就没有函数和方程.方程只是函数解析式在某一特定函数值的解。方程表示特定的因变量的自变量解。如5x+6=7这是方程；y=5x+6这是解析式。 区别: 1.概念不一样. 2.代数式不用等号连接. 3.函数表示两个变量之间的关系.因变量(函数)随变量(自变量)的变化而变化. 4.方程是含有未知数的等式.其未知数(变量)的个数不固定.未知数之间不存在自变和因变的关系. 方程重在说明几个未知数之间的在数字间的关 系；方程可以通过求解得到未知数的大小；方 程可以通过初等变换改变等号左右两边的方程。方程的解是固定的，但函数无固定解值解。式；函数只可以化简，但不可以对函数进行初等变换。 5. 函数和方程本质区别就是:方程中未知数x是一个常量（虽然方程可能有多个解），函数中x是变量，因此y也是变量，并且是由于x的变化而变化。 6.函数：重在说明某几个自变量的变化对因变量的影响；特定的自变量的值就可以决定因变量的值；就像平面解析几何里圆就是方程、区别在于函数就看他们的值是否一一对应。就像圆的方程（x-a）^2+(y-b)^2=r^2就是方程，它们的值不是一一对应关系，所以不是函数是方程的一种，函数强调的是一一对应，及1个X值（自变量）只能有一个Y值（应变量）与之对应比如：y=x+1 它是函数，y^2=x 它不是函数，但它是方程。 7.函数和方程是数学中的两个基本概念，在许多情况下它们可以相互转化。例如在一元函数y = f(x)用一个解析式表示并且不需要区分自变量和因变量(函数)时，这个函数式就可以看作一个二元方程；反之，能够由方程F(x, y) = 0确定的函数关系称为隐函数([4], p.9)。但是函数与方程是有差别的。 8. 首先,函数的自变量和因变量是一一对应的,一个X值只有一个相应的Y值与之对应,而曲线方程则不然,比如一个椭圆方程中,对于一个X值有两个Y值与之对应.像这样的曲线方程就不能成为一个函数的表达式. 其次,函数表达式表示的是两个变量之间一一对应的关系,而曲线方程则借用点的集和的方式来将一个曲线以代数的形式表现出来,实质上一个曲线的表达。 二者关系可以通过例子来看：x^2+x-1=0相当于函数y=x^2+x-1函数值y=0，解方程问题就转化为函数的自变量x定义域中取什么值时y=0？有点像求反函数。自然x^2+x-1=1 变成x^2+x-1=y也未尝不可，解方程转化为函数的自变量x定义域中取那个值时y=1？实际上上了大学学了高等数学就知道都可以，数学是工具为人所用，怎么简单就怎么来。但是刚开始学习函数，函数是有自己的规律法则的。所以x^2+x-1=1要把他转换成函数形式就要把1 移到左边即x^2+x-2=y，相当于规定都求y=0时的x，这个规定也是约定俗成的，数学中方程标准都是形式都是右边为零。 方式应该是{(x,y)|曲线方程｝ 按照定义，方程是含有未知数的等式，函数是两个非空数集之间的一个映射。方程F(x, y)

函数与方程思想总结很好很全面

函数与方程思想 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系； 3．函数方程思想的几种重要形式 (1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。 (2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y ＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；

(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要； (4)函数f(x)＝(1+x)^n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题； (5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论； (6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。 【例1】.关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题： ①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题是_____________ 解答：根据题意可令｜x2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t2－t＋k＝0，(*) 作出函数t＝｜x2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t＝0或t＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t＜1时，原方程有4个根，③当t＝1时，原方程有3个根. (1)当k＝－2时，方程(*)有一个正根t＝2，相应的原方程的解有2个； (2)当k＝时，方程(*)有两个相等正根t＝，相应的原方程的解有4个； (3)当k＝0时，此时方程(*)有两个不等根t＝0或t＝1，故此时原方程有5个根；

函数图像与函数方程

函数图像与函数方程 【知识要点】 1、函数图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 ①)(x f y =――→关于x 轴对称)(x f y -=; ②)(x f y =――→关于y 轴对称)(x f y -=; ③) (x f y =――→关于原点对称)(x f y --=; ④) 10(≠>=a a a y x 且――→关于y ＝x 对称)10(log ≠>=a a x y a 且、 (3)翻折变换 ①)(x f y =――――――――――→保留x 轴上方图像 将x 轴下方图像翻折上去 |)(|x f y =、 ②)(x f y =――――――――――――→保留y 轴右边图像并作其关于y 轴对称的图像 |)(|x f y =、 (4)伸缩变换 ①)(x f y = )(ax f y =、 ②) (x f y = )(x af y =、 2、函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点.

(2)几个等价关系 方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象就是连续不断的一条曲线,并且有0)()(

函数图像与方程

函数图像与方程 班级：姓名： 一、选择题(每题5分) 1.函数y＝的大致图象是() 2.若y＝f(x＋3)的图象经过点P(1,4)，则函数y＝f(x)的图象必经过点() A．(－2,4) B．(1,1) C．(4,4) D．(1,7) 3.以下函数在区间(0,2)上必有零点的是() A．y＝x－3 B．y＝2x C．y＝x3 D．y＝lg x 4.函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为() A．，B．，C．，D．， 5.函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为() A．1,2,3 B．1，－1,3 C．1，－1，－3 D．无零点 6.下列函数中，在区间(0,1)内有零点且单调递增的是() A．y＝x B．y＝－x3 C．y＝2x－1 D．y＝x2－ 7.函数f(x)＝log2x－的一个零点所在区间为() A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 8.f(x)＝2x＋x3的零点所在区间为() A．(0,1) B．(－1,0) C．(1,2) D．(－2，－1) 9.函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的区间为() A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 10.下列函数中，在[1,2]上有零点的是() A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5 C．f(x)＝ln x－3x＋6 D．f(x)＝e x＋3x－6 11.函数f(x)＝x2－2x的零点个数是()

A．0 B．1 C．2 D．3 12.函数f(x)＝x＋的零点的个数为() A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题(每题5分) 13.已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若函数f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________ 14.函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点个数是________. 15.函数f(x)＝x＋－3的零点的个数为________． 16.已知函数f(x)＝x2－|x|＋3＋a有4个零点，则实数a的取值范围是________． 三、解答题 17.作出下列函数的图象． (1)y＝|x－1|＋2|x－2|； (2)y＝|x2－4x＋3|. 18.已知mx2＋x＋1＝0有且只有一根在区间(0,1)内，求m的取值范围． 19.函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．

高三数学一轮复习函数与方程

2009~2010学年度高三数学（人教版A 版）第一轮复习资料 第6讲 函数与方程 一．【课标要求】 1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系； 2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。 二．【命题走向】 函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关 预计20XX 年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力 （1）题型可为选择、填空和解答； （2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。 三．【要点精讲】 1．方程的根与函数的零点 （1）函数零点 概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数 ))((D x x f y ∈=的零点。 函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点。 二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的零点： １）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点； ２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点； ３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。 零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并

函数的图像,函数与方程

§2.7————2.8————2.9识记背诵内容 一.考纲要求： (1) 函数的图像 ①会运用函数图像理解和研究函数的性质 ②掌握指数函数，对数函数图像通过的特殊点 (2) 函数与方程 ①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断 一元二次方程根的存在性及根的个数. ②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解. (3) 函数模型及其应用 ①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. ②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在 社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用. 二. 相关概念、公式定理： §2.7 函数的图像 1．描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图像． 2．图像变换 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y ＝f (x )――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． ⑤y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图像将x 轴下方图像翻折上去y ＝|f (x )|． ⑥y ＝f (x )――――――――――――→保留y 轴右边图像，并作其关于y 轴对称的图像y ＝f (|x |)． (3)伸缩变换

15总复习：函数与方程(理)知识梳理

函数与方程 【考纲要求】 1.了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解． 3.理解函数与方程之间的关系，并能解决一些简单的数学问题。【知识网络】 函数与方程 函数的零点 二分法 函数与方程的关系 【考点梳理】 1．函数零点的理解 （1）函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x 轴交点的个数． （2）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点x 0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点．②若函数()f x 在零点x 0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点． ③若函数()f x 在区间[a ，b]上的图象是一条连续的曲线，则()()0f a f b ?<是()f x 在区间（a ，b ）内有零点的充分不必要条件． 要点诠释：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。2．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题 （1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根． （2）求曲线()y f x =与()y g x =的交点的横坐标，实际上就是求函数()()y f x g x =-的零点，即求()()0f x g x -=的根． 要点诠释：如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。3．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题 （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()()0f a f b ?<．