2019—2020年北师大版高中数学选修1-1：圆锥曲线与方程综合考点题专练及解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1

圆锥曲线与方程综合题专练

1．(2015·湖南文，20)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2

b 2

＝1(a>b>0)

的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与

C 2相交于C ，

D 两点，且AC →与BD →

同向．

(1)求C 2的方程；

(2)若|AC|＝|BD|，求直线l 的斜率．

[解析] (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1 ①；

又C 1与C 2的公共弦长为2

6，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为：x 2＝4y ，

由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为(±

6，32

)，

∴9

4a 2＋6

b 2

＝1②， 联立①②得a 2＝9，b 2＝8，故C 2的方程为 y 29＋x 2

8

＝1. (2)如图，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，

因AC →与BD →

同向，且|AC|＝|BD|，

所以AC →＝BD →

，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 3－x 4＝x 1－x 2，于是 (x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ③

设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1，由?????

y ＝kx ＋1，

x 2＝4y

得x 2－4kx －4＝0，

由x 1，x 2是这个方程的两根， ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4 ④

由?????

y ＝kx ＋1，

x 2

8＋y

2

9

＝1，

得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0， 而x 3，x 4是这个方程的两根，

x 3＋x 4＝－16k

9＋8k 2，x 3x 4＝－64

9＋8k 2

⑤

将④、⑤代入③，得16(k 2＋1)＝

162k 2

(9＋8k 2)2＋4×64

9＋8k 2

.

即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)

(9＋8k 2)2

，

所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±

64

，

即直线l 的斜率为±

64

.

2．(2015·安徽文，20)设椭圆E 的方程为x 2

a 2＋y 2

b 2

＝1(a>b>0)，点O 为坐标原点，点A

的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b)，点M 在线段AB 上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM 的

斜率为510

.

(1)求E 的离心率e ；

(2)设点C 的坐标为(0，－b)，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB. [解析] (1)∵|BM|＝2|MA|且A(a,0)，B(0，b)， ∴M(23a ，13b)．又∵OM 的斜率为510，

∴13b 23

a ＝510?

b 2a 2＝15?a 2－

c 2a 2＝15 ?c 2

a 2＝45?e ＝255

. (2)由题意可知N 点的坐标为(a 2，－b 2)，

∴k MN ＝13b ＋12b 23a －a 2＝5b

6a 6＝5b a ，k AB ＝b

－a ，

∴k MN ·k AB ＝－5b 2

a 2＝－1.∴MN ⊥AB.

3．(2015·广东文，20)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B.

(1)求圆C 1的圆心坐标；

(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；

(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k(x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．

[解析] (1)圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)． (2)设线段AB 的中点M(x 0，y 0)，由圆的性质可得C 1M 垂直于直线l.

设直线l 的方程为y ＝mx(易知直线l 的斜率存在)，所以kC 1M ·m ＝－1，y 0＝mx 0，所

以y 0

x 0－3·y 0x 0＝－1，所以x 20－3x 0＋y 20＝0，即?

????x 0－322＋y 20＝9

4.

因为动直线l 与圆C 1相交，所以

|3m|m 2＋1＜2，所以

m 2＜

45，

所以y 20＝m 2x 20＜

4

5

x 20，所以3x 0－x 20＜45

x 20

，解得x 0＞5

3

或x 0＜0，又因为0＜x 0≤3，所以

53

＜x 0≤3.

所以M(x 0，y 0)满足? ????x 0－322＋y 20＝94? ????5

3＜x 0≤3， 即M 的轨迹C 的方程为? ????x －322＋y 2＝94? ??

??5

3＜x ≤3.

(3)由题意知直线L 表示过定点T(4,0)，斜率为k 的直线．

结合图形，? ????x 0－322＋y 20＝94? ????53＜x 0≤3表示的是一段关于x 轴对称，起点为? ?????53，－

253按逆时针方向运动到? ??

???53，

253的圆弧．根据对称性，只需讨论在x 轴下方的圆弧．设

P ?

?????53

，－253，则k PT ＝25

34－

53＝257，而当直线L 与轨迹C 相切时，|3k

2－4k|

k 2＋1＝32，解得k ＝±34.在这里暂取k ＝34，因为257＜34

，所以k PT ＜k.

可得对于x 轴下方的圆弧，当0≤k ≤

257或k ＝3

4时，直线L 与x 轴下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知－

2

57≤k ≤

25

7或k ＝±4

3

. 综上所述：当－

2

57

≤k ≤

25

7或k ＝±4

3

时，直线L ：y ＝k(x －4)与曲线C 只有一交点． 4．(2015·陕西文，20)如图，椭圆E ：x 2

a 2＋y 2

b 2＝

1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率

为22

.

(1)求椭圆E 的方程；

(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q(均异于点A)，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.

[解析] (1)由题意知c

a ＝2

2，b ＝1，综合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝

2，所以，椭圆的方

程为x 2

2

＋y 2＝1.

(2)由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k(x －1)＋1(k ≠2)，代入x 2

2

＋y 2＝1，得

(1＋2k 2)x 2－4k(k －1)x ＋2k(k －2)＝0，

由已知Δ＞0，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)

1＋2k 2，

从而直线AP 与AQ 的斜率之和 k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1

x 2

＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k

x 2

＝2k ＋(2－k)(1

x 1＋1

x 2)

＝2k ＋(2－k)x 1＋x 2

x 1x 2

＝2k ＋(2－k)4k (k －1)

2k (k －2)

＝2k －2(k －1)＝2.

5．(2015·天津文，19)已知椭圆x 2

a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率

为55

.

(1)求直线BF 的斜率；

(2)设直线BF 与椭圆交于点P(P 异于点B)，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q(Q 异于点B)，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM|＝λ|MQ|.

(i)求λ的值； (ii)若|PM|sin ∠BQP ＝

7

59

，求椭圆的方程．

[解析] (1)F(－c,0)，由已知离心率c a ＝5

5

及a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝

5c ，b ＝2c ，又

因为B(0，b)，F(－c,0)

故直线BF 的斜率k ＝b －0

0－(－c )＝b

c ＝2.

(2)设点P(x P ，y P )，Q(x Q ，y Q )，M(x M ，y M )．

(i)由(1)可得椭圆方程为x 2

5c 2＋y 2

4c 2＝1，

直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c ， 两方程联立消去y ，得3x 2＋5cx ＝0， 解得x P ＝－5c

3.

因为BQ ⊥BP ，

所以直线BQ 的方程为y ＝－1

2x ＋2c ，

与椭圆方程联立，消去y ，得21x 2－40cx ＝0， 解得x Q ＝40c

21

.

又因为λ＝|PM|

|MQ|，及x M ＝0，

得λ＝|x M －x P |

|x Q －x M |＝|x P |

|x Q |＝7

8.

(ii)由(i)得|PM||MQ|＝7

8

，

所以|PM|

|PM|＋|MQ|＝7

7＋8＝7

15，

即|PQ|＝15

7|PM|，

又因为|PM|sin ∠BQP ＝

7

59

，

所以|BP|＝|PQ|sin ∠BQP ＝ 157|PM|sin ∠BQP ＝553.

又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－43

c ，

所以|BP|＝

? ????0＋5c 32＋? ??

??2c ＋4c 32＝553c ，

因此

5

53

c ＝

553

，c ＝1，

所以椭圆方程为x 25＋y 2

4

＝1.

6．(2015·新课标Ⅱ卷文，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为2

2，点(2，2)

在C 上．

(1)求C 的方程；

(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．

[解析] (1)由题意有a 2－b 2a

＝

22

，4

a 2＋2

b 2

＝1，解得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 2

4

＝1.

(2)设直线l ：y ＝kx ＋b(k ≠0，b ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x M ，y M )，把y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 2

4

＝1，

得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.

故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝kx M ＋b ＝b 2k 2＋1，于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－1

2k

，

1 2，所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．

即k OM·k＝－