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一 微分方程的概念练习题

一   微分方程的概念练习题
一   微分方程的概念练习题

一 微分方程的概念练习题

1.试说出各微分方程的阶数:

(1)y x (')2-2yy'+x=0 (2) x 2y''-xy'+y=0

(3) xy'''+2y''+x 2y=0 (4) (7x-6y)dx+(x+y)dy=0

(5) L 022=++C Q dt dQ R dt Q d (6) θρθ

ρ2sin =+d d 2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:

(1)xy'=2y,y=5x 2

(2) y''+y=0,y=3sinx-4cosx

(3) y''-2y'+y=0,y=x 2e x ;

(4) y''-)(21λλ+y'+y 21λλ'+y 21λλ=0,x x e C e C y 2

121λλ+= 3.在下列各题中,验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程 的解:

(1)(x-2y)y'=2x-y, x 2-xy+y 2=C

(2) (xy-x)y''+xy'2+yy'-2y'=0,y=ln(xy)

4.在下列各题中,确定函数关系式中所含的参数,使函数满足所给的 初始条件:

(1)y C y x ,22=-|50==x

(2)x e x C C y 221)(+=,y|0=x =0,y '|10==x

(3)y=C 1sin(x-C 2), y|1==πx , y'|0==πx

5.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:

(1)曲线在点(x ,y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;

(2) 曲线上点P (x ,y )处的法线与x 轴的交点为Q ,且线段PQ

被y轴平分。

6.用微分方程表示一物理命题:某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比,与温度的平方成反比。

微分方程习题及答案

微分方程习题及答案

微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. (1)y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 (2)?'=''=+y 0 222 t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族,求它相应的微分方程(其中21C , ,C C 均为常数) (一般方法:对曲线簇方程求导,然后消去常数,方程中常数个数决定求导次数.) (1)1) (22=++y C x ; (2)x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 (1)曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 (2)曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,,PQ 为y 轴平分。 (3)曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2,且曲线过点(2,0)。 §2可分离变量与齐次方程

1.求下列微分方程的通解 (1)2211y y x -='-; (2)0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ; (3)23xy xy dx dy =-; (4)0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2.求下列微分方程的特解 (1)0 ,02=='=-x y x y e y ; (2)21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解 (1))1(ln +='x y y y x ; (2)03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 (1)1 ,022=-==x y y x xy dx dy ; (2)1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程,并求解下列方程 (1)2)(y x y +='; (2))ln (ln y x y y y x +=+' (3)11 +-='y x y

最新一次函数的概念过关练习题资料

一次函数与正比例函数练习题 一.填空题. 1.有下列函数:① x 8 y ; ② y ; ③ y = 8x2x(1 -8x); 3 x ④ y = x 6 ; ⑤ y =3 _4x ; ⑥y —、3x2 -5 ;其中是正比例函数的有,是一次函数 的有(填代号即可). 2. ⑴把等式3y-6x=2化为y =kx ? b的形式为_________ . ⑵已知函数y=(m—2)x?5—m,如果它是一次函数,则m ; 若此函数为正比例 函数,贝U m . 3. (1)已知函数;m-3x m是一次函数,则m= . (2)若函数y =(k,2)x ? (k2-4)是正比例函数,贝U k= . 4. 一个长为120m,宽为100m的矩形场地要扩建成一个正方形的场地,设长增加x(m),宽增 加y(m),则y与x的函数关系式是___________ ,自变量的取值范围是___________ ,且y是x的________ 函数. 5. 根据图中的程序,当输入x=-3时,输出结果y = . 二.选择题? 1. 下列函数:①y「3x :②y「「刁:③y二莖」:④y J.其中一次函数有( ) 3 x A.①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 2. 一次函数y二kx,3中,当x=2时,y的值为5,则k的值为( ) 3. 已知两个变量x和y,它们之间的3组对应值如下表所示:则y与x之间的函数关系式可 精品文档 A.1 B.-1 C.5 D.-5 能是( ) A. y = x B.y = 2x 1 C. y = x2 x 1 D. 3 y 一 x 4.下列说法中不正确的是( 精品文 档 ) X-1 01 ¥113

高等数学微分方程练习题

(一)微分方程的基本概念 微分方程:含未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程、 微分方程的阶:微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数、 1、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 2、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 一阶线性微分方程:未知函数及其导数都就是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x +=称为一阶 线性微分方程、 微分方程的解:如果一个函数代入微分方程后,方程两边恒等,则称此函数为微分方程的解、通解:如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数,则此解称为微分方程的通解、 特解:在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解,称为特解、 1、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 2、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 3、就是微分方程的通解. A、正确 B、不正确 4、微分方程的通解就是( ). A、 B、 C、 D、

(二)变量可分离的微分方程:()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法就是: (1)分离变量:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =;(2)两边积分:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分,右边对x 积分,即可得微分方程通解、 1、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 2、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 3、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 4、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 5、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 6、微分方程的通解( ). A 、 B 、 C 、 D 、 7、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 8、 x y dy e dx -=就是可分离变量的微分方程. A 、正确 B 、不正确

数学必修一集合与函数概念知识点梳理

高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 〖〗集合 【】集合的含义与表示 (1) 集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 (2) 常用数集及其记法 N表示自然数集,N 或N表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表 示实数集? (3) 集合与元素间的关系 对象a与集合M的关系是a M,或者a M,两者必居其一. (4) 集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合 ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合 ③描述法:{X| x具有的性质},其中x为集合的代表元素? ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合? (5) 集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集?②含有无限个元素的集合叫做 无限集?③不含有 任何元素的集合叫做空集()? 【】集合间的基本关系

)已知集合有个元素,则它有个子集,它有个真子集,它有个 非空子集,它有2n2非空真子集. 【】集合的基本运算 (1)

(2)—元二次不等式的解法 〖〗函数及其表示 【】函数的概念 (1) 函数的概念 ① 设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合A 中任何一个数x , 在集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么这样的对应(包括集合 A ,B 以及 A 到B 的对应法则f )叫做集合 A 到B 的一个函数,记作 f : A B . ② 函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③ 只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.

(2)区间的概念及表示法 ①设a,b是两个实数,且a b,满足a x b的实数x的集合叫做闭区间,记做[a,b]; 满足a x b的实数x的集合叫做开区间,记做(a,b);满足a x b,或a x b 的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别记做[a,b) , (a,b];满足x a, x a,x b,x b 的实数x 的集合分别记做[a, ),(a, ),( , b],( , b). 注意:对于集合{x|a x b}与区间(a,b),前者a可以大于或等于b,而后者必须 a b. (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ①f(x)是整式时,定义域是全体实数. ②f(x)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等 于1. ⑤y tanx中,x k (k Z). 2 ⑥零(负)指数幕的底数不能为零. ⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各 基本初等函数的定义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 f (x)的定义域为[a,b],其复合函 数f[g(x)]的定义域应由不等式a g(x) b解出. ⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的?事实上,如果在函数的值 域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值

一次函数的定义练习题及答案

一次函数的定义 1、判断正误: (1)一次函数是正比例函数; ( ) (2)正比例函数是一次函数; ( ) (3)x +2y =5是一次函数; ( ) (4)2y -x=0是正比例函数. ( ) 2、选择题 (1)下列说法不正确的是( ) A .一次函数不一定是正比例函数。 B .不是一次函数就不一定是正比例函数。 C .正比例函数是特殊的一次函数。 D .不是正比例函数就一定不是一次函数。 (2)下列函数中一次函数的个数为( ) ①y=2x ;②y=3+4x ;③y=21 ;④y=ax (a ≠0的常数);⑤xy=3;⑥2x+3y-1=0; A .3个 B 4个 C 5个 D 6个 3、填空题 (1)若函数y=(m-2)x+5是一次函数,则m 满足的条件是____________。 (2)当m=__________时,函数y=3x 2m+1 +3 是一次函数。 (3 )关于x 的一次函数y=x+5m-5,若使其成为正比例函数,则m 应取_________。 4、已知函数y= ()()112 -++m x m 当m 取什么值时,y 是x 的一次函数?当m 取什么值是,y 是x 的正比例函数。 5、函数:①y=-2x+3;②x+y=1;③xy=1;④y=1+x ;⑤y=2 21x +1;⑥y=0.5x 中,属一 次函数的有 ,属正比例函数的有 (只填序号) (2)当m= 时,y=() ()m x m x m +-+-112 2 是一次函数。 (3)请写出一个正比例函数,且x =2时,y= -6

请写出一个一次函数,且x=-6时,y=2 (4) 我国是一个水资源缺乏的国家,大家要节约用水.据统计,拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水,每滴水约0.05毫升.李丽同学在洗手时,没有把水龙头拧紧,当李丽同学离开x小时后水龙头滴了y毫升水.则y与x之间的函数关系式是 (5)设圆的面积为s,半径为R,那么下列说法正确的是() A S是R的一次函数 B S是R的正比例函数 R的正比例函数 D 以上说法都不正确 C S是2 6、说出下面两个问题中两个量的函数关系,并指出它们是不是正比例函数,是不是一次函数。 ①汽车以40千米/小时的平均速度从A站出发,行驶了t小时,那么汽车离开A站的距离s(千米)和时间t(小时)之间的函数关系式为,它是函数②汽车离开A站4千米,再以40千米/小时的平均速度行驶了t小时,那么汽车离开A 站的距离s(千米)与时间t(小时)之间的函数关系式为,它是函数 7、曾子伟叔叔的庄园里已有50棵树,,他决定今后每年栽2棵树,则曾叔叔庄园树木的总 数y(棵)与年数x的函数关系式为它是函数 8、圆柱底面半径为5cm,则圆柱的体积V(cm3)与圆柱的高h(cm)之间的函数关系式为,它是函数 9、甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元,每件另加手续费0.2元,求总邮资y(元)与包裹重量x(千克)之间的函数解析式,并计算5千克重的包裹的邮资。 10、.在拖拉机油箱中,盛满56千克油,拖拉机工作时,每小时平均耗油6千克,求邮箱 里剩下Q(千克)与拖拉机的工作时间t(小时)之间的函数解析式。 一次函数的图象

常微分方程期末考试练习题及答案

一,常微分方程的基本概念 常微分方程: 含一个自变量x,未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为:F(x,y,y,.....y(n))=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如:f(x)(3)+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f(x)使常微分方程两端恒等,则f(x)称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数(个数等于方程的阶数)的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F(t,x(3))=0的通解的形式为:x(t)=c1x(t)+c2x(t)+c3x(t)。 4.满足初值条件的解称为它的特解(特解不唯一,亦可能不存在)。 5.常微分方程之线性及非线性:对于F(x,y,y,......y(n))=0而言,如果方程之左端是y,y,......y(n)的一次有理式,则次方程为n阶线性微分方程。(方程线性与否与自变量无关)。如:xy(2)-5y,+3xy=sinx 为2阶线性微分方程;y(2)+siny=0为非线性微分方程。 注:a.这里主要介绍几个主要的,常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解,初值条件,初值问题等概念这里予以略去。另外,有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义:形如 dx dy =f (x)φ(y)的方程,称为分离变量方程。这里f (x ),φ(x )分别是x ,y 的连续函数。 2.解法:分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. (*) 说明: a 由于(*)是建立在φ(y )≠0的基础上,故而可能漏解。需视情况补上φ(y )=0的特解。(有时候特解也可以和通解统一于一式中) b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解:由题意分离变量得:04 2=+-y dy x dx 即: 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之,得:c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为:cx y x =-4)4( (c 为任意常数),特 解y=0包含在通解中(即两者统一于一式中)。 *例2.若连续函数f (x )满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ,则f (x )是? 解:对给定的积分方程两边关于x 求导,得: )(2)('x f x f = (变上限求积分求导) 分离变量,解之得:x Ce x f 2)(= 由原方程知: f (0)=ln2, 代入上解析式得: C=ln2, B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想:即把遇到的新问题,结合已知

人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点

高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 ◆注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类: (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是注意:B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集

微分方程的基础知识及解析解

微分方程的基础知识及解析解

微分方程的基础知识与练习 (一)微分方程基本概念: 首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 (1)一条曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M (x ,y )处的切线的斜率为2x ,求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= (1) 同时还满足以下条件: 1=x 时,2=y (2) 把(1)式两端积分,得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 (3) 其中C 是任意常数。 把条件(2)代入(3)式,得 1=C , 由此解出C 并代入(3)式,得到所求曲线方程: 12+=x y (4) (2)列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶;当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意,反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足: 4.02 2-=dt s d (5) 此外,还满足条件: 0=t 时,20,0== =dt ds v s (6) (5)式两端积分一次得: 14.0C t dt ds v +-== (7) 再积分一次得

2122.0C t C t s ++-= (8) 其中21,C C 都是任意常数。 把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入(7)式和(8)式,得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入(7)及(8)式得 ,204.0+-=t v (9) t t s 202.02+-= (10) 在(9)式中令0=v ,得到列车从开始制动到完全停止所需的时间: )(504 .020s t ==。 再把5=t 代入(10)式,得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式(1)和(5),(6)都含有未知函数的导数,它们都是微分方程。 1.微分方程的概念 一般地,凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程,叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程;未知函数是多元函数的方程,叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶。 例如,方程(1)是一阶微分方程;方程(5)是二阶微分方程方程。又如,方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。 一般地,n 阶微分方程的形式是 ()(,,',...,)0,n F x y y y = (11) 其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出,在方程(11)中,)(n y 是必须出现的,而 )1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程

(完整版)一次函数专题复习考点归纳+经典例题+练习

一次函数知识点复习与考点总结 考点1:一次函数的概念. 相关知识:一次函数是形如y kx b =+(k 、b 为常数,且0k ≠)的函数,特别的当0=b 时函数为)0(≠=k kx y ,叫正比例函数. 1、已知一次函数k x k y )1(-=+3,则k = . 2、函数n m x m y n +--=+1 2)2(,当m= ,n= 时为正比例函数;当m= , n 时为一次函数. 考点2:一次函数图象与系数 相关知识:一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线,图象位置由k 、b 确定,0>k 直线要经过一、三象限,0b 直线与y 轴的交点在正半轴上, 0

是 . 8. 已知一次函数y=mx +n -2的图像如图所示,则m 、n 的取值范围是( ) A.m >0,n <2 B. m >0,n >2 C. m <0,n <2 D. m <0,n >2 9.已知关于x 的一次函数y mx n =+的图象如图所示,则2||n m m --可化简为__ __. 10. 如果一次函数y=4x +b 的图像经过第一、三、四象限,那么b 的取值范围是_ _。 考点3:一次函数的增减性 相关知识:一 次函数)0(≠+=k b kx y ,当0>k 时,y 随x 的增大而增大,当0m C. 2m 5. (2011内蒙古赤峰)已知点A (-5,a ),B (4,b)在直线y=-3x+2上,则a b 。(填“>”、“<”或“=”号) 6.当实数x 的取值使得x -2有意义时,函数y =4x +1中y 的取值范围是( ). A .y ≥-7 B .y ≥9 C .y >9 D .y ≤9 7.已知一次函数的图象经过点(0,1),且满足y 随x 增大而增大,则该一次函数的解析式可以为_________________(写出一个即可).

一 微分方程的概念练习题

一 微分方程的概念练习题 1.试说出各微分方程的阶数: (1)y x (')2-2yy'+x=0 (2) x 2y''-xy'+y=0 (3) xy'''+2y''+x 2y=0 (4) (7x-6y)dx+(x+y)dy=0 (5) L 022=++C Q dt dQ R dt Q d (6) θρθ ρ2sin =+d d 2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: (1)xy'=2y,y=5x 2 (2) y''+y=0,y=3sinx-4cosx (3) y''-2y'+y=0,y=x 2e x ; (4) y''-)(21λλ+y'+y 21λλ'+y 21λλ=0,x x e C e C y 2 121λλ+= 3.在下列各题中,验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程 的解: (1)(x-2y)y'=2x-y, x 2-xy+y 2=C (2) (xy-x)y''+xy'2+yy'-2y'=0,y=ln(xy) 4.在下列各题中,确定函数关系式中所含的参数,使函数满足所给的 初始条件: (1)y C y x ,22=-|50==x (2)x e x C C y 221)(+=,y|0=x =0,y '|10==x (3)y=C 1sin(x-C 2), y|1==πx , y'|0==πx 5.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程: (1)曲线在点(x ,y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方; (2) 曲线上点P (x ,y )处的法线与x 轴的交点为Q ,且线段PQ

被y轴平分。 6.用微分方程表示一物理命题:某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比,与温度的平方成反比。

人教版高中数学必修一《集合与函数概念》全章练习及答案

第一章集合与函数 建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分 1.集合{1,2,3}的所有真子集的个数为() A.3B.6 C.7 D.8 2.下列五个写法,其中错误 ..写法的个数为() ①{0}∈{0,2,3};②?{0};③{0,1,2}?{1,2,0};④0∈?;⑤0∩?=?. A.1 B.2 C.3 D.4 3.使根式x-1与x-2分别有意义的x的允许值集合依次为M、F,则使根式x-1+x-2有意义的x的允许值的集合可以表示为() A.M∪F B.M∩F C.?M F D.?F M 4.已知M={x|y=x2-2},N={y|y=x2-2},则M∩N等于() A.N B.M C.R D.? 5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的表达式是() A.y=x(x-2) B.y=x(|x|-1) C.y=|x|(x-2) D.y=x(|x|-2) 6.等腰三角形的周长是20,底边长y是一腰的长x的函数,则y等于() A.20-2x(0

8.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是() ①y=f(|x|); ②y=f(-x); ③y=xf(x); ④y=f(x)+x. A.①③B.②③ C.①④D.②④ 9.已知0≤x≤3 2,则函数f(x)=x 2+x+1() A.有最小值-3 4,无最大值 B.有最小值3 4,最大值1 C.有最小值1,最大值19 4 D.无最小值和最大值 10.已知函数f(x)的定义域为[a,b],函数y=f(x)的图象如图所示,则函数f(|x|)的图象是() c

一次函数的定义专项练习30题

一次函数的定义专项练习30题 1.下列五个式子,①,②,③y=﹣x+1,④,⑤y=2x2+1,其中表示y是x的一次函 数的有() A.5个B.4个C.3个D.2个 2.下列函数中,y是x的一次函数的是() A.y=﹣3x2﹣1 B.y=x﹣1+2 C. y=2(x﹣1)2D. 3.下列问题中,变量y与x成一次函数关系的是() A.路程一定时,时间y和速度x的关系 B.长10米的铁丝折成长为y,宽为x的长方形 C.圆的面积y与它的半径x D.斜边长为5的直角三角形的直角边y和x 4.下列函数:①y=﹣x+2;②y=﹣x2+2;③y=﹣3x;④;⑤,其中不是一次函数的有()A.1个B.2个C.3个D.4个 5.下列函数(1)y=2x﹣1;(2)y=πx;(3)y=;(4)y=;(5)y=x2﹣1中,是一次函数的有()A.4个B.3个C.2个D.1个 6.下列说法正确的是() A.一次函数是正比例函数B.正比例函数是一次函数 C.正比例函数不是一次函数D.一次函数不可能是正比例函数 7.已知函数y=3x+1,当自变量增加3时,相应的函数值增加() A.10 B.9C.3D.8 8.对于函数y=2x﹣1,当自变量增加m时,相应的函数值增加() A.2m B.2m﹣1 C.m D.2m+1 az 9.若+5是一次函数,则a=() A.±3 B.3C.﹣3 D. 10.若函数y=(m﹣1)x|m|+2是一次函数,则m的值为() A.m=±1 B.m=﹣1 C.m=1 D.m≠﹣1 11.函数y=(m﹣2)x n﹣1+n是一次函数,m,n应满足的条件是() A.m≠2且n=0 B.m=2且n=2 C.m≠2且n=2 D.m=2且n=0 12.下列说法正确的是()

微分方程习题及答案

微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. (1)y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 (2)?'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族,求它相应的微分方程(其中21C , ,C C 均为常数) (一般方法:对曲线簇方程求导,然后消去常数,方程中常数个数决定求导次数.) (1)1)(22=++y C x ; (2)x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 (1)曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 (2)曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,,PQ 为y 轴平分。 (3)曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2,且曲线过点(2,0)。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解 (1)2211y y x -='-; (2)0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ; (3) 23xy xy dx dy =-; (4)0)22()22 (=++-++dy dx y y x x y x . 2.求下列微分方程的特解 (1)0 ,02=='=-x y x y e y ; (2)2 1 ,12= =+'=x y y y y x

3. 求下列微分方程的通解 (1))1(ln +='x y y y x ; (2)03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 (1) 1 ,0 22=-==x y y x xy dx dy ; (2)1 ,02)3(0 22==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程,并求解下列方程 (1)2)(y x y +='; (2))ln (ln y x y y y x +=+' (3)11 +-= 'y x y (4)0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线,使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7. 设质量为m 的物体自由下落,所受空气阻力与速度成正比,并设开始下落时)0(=t 速度为0,求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. 有一种医疗手段,是把示踪染色注射到胰脏里去,以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色,现内科医生给某人注射了0.3g 染色,30分钟后剩下0.1g ,试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律,此人胰脏是否正常? 9.有一容器内有100L 的盐水,其中含盐10kg ,现以每分钟3L 的速度注入清水,同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出,问一小时后,容器内尚有多少盐?

必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结

必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P ,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ◆ 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1) 列举法:{a,b,c ……} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x ∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x 2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意:有两种可能(1)A 是B 的一部分,;(2)A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A B 或B A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 ◆ 有n 个元素的集合,含有2n 个子集,2n-1个真子集 B A ?? /?/

常微分方程基本概念习题附解答

§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1.dx dy =2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。 解:y dy =2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。 解:y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解:y=| )1(|ln 1+x c 3.dx dy =y x xy y 32 1++ 解:原方程为:dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解:原方程为: y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分:ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5.(y+x )dy+(x-y)dx=0 解:原方程为: dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有: -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解:原方程为: dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为:tgy dy =ctgx dx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解:原方程为:dx dy =y e y 2e x 3

必修一第一章集合与函数概念

第一章 集合与函数概念 一、选择题. 1. 设 A ={a },则下列各式中正确的是( ) A. 0∈A B. a ∈A C. a ∈A D. a = A 2. 设集合 A ={x |x = a 2 +1,a ∈N +},B ={y |y = b 2 - 4b + 5,b ∈N +},则下述关系中正确的是( ) A . A = B B. A B C. A ?B D. A ∩B =? 3. 如图,阴影部分可用集合 M ,P 表示为( ) A. M ∩ P B. M ∪P C.(UM )∩(UP ) D.(UM )∪(UP ) 4. 若集合 A ,B ,C 满足 A ∩B = A ,B ∪C = C ,则 A 与 C 之间的关系必定是( ) A. A C B. C A C. A ?C D. C ?A 5. 下列四组函数中,表示同一个函数的是( ) A. )(x f = |x |,2)(t t g = B. 2)(x x f =,2)()(x x g = C. 1 1)(2--=x x x f ,1)(+=x x g D. 11)(-?+=x x x f ,1)(2-=x x g 6. 若函数 )(x f 的定义域为 [1,2],则函数 )(2x f y = 的定义域为( ) A. [1,4] B. [1,2] C. [2-,2] D. [2-,-1]∪[1,2] 7. 函数 1 1 1-- =x y 的图象是( ) A B 第 3 题

C D 8. 若二次函数y = x 2 + bx + c 的图象的对称轴是 x = 2,则有( ) A. f (1)<f (2)<f (4) B. f (2)<f (1)<f (4) C. f (2)<f (4)<f (1) D. f (4)<f (2)<f (1) 9. 如果奇函数 f (x )在区间[3,7]上是增函数且最小值是 5,那么函数 f (x )在区间 [-7,-3]上( ) A. 是增函数且最小值为 -5 B. 是增函数且最大值是 -5 C. 是减函数且最小值为 -5 D. 是减函数且最大值是 -5 10. 已知函数f (x )= x 5 + ax 3 + bx - 3,且 f (2) = 2,则 f (-2) =( ) A. -6 B. -8 C. -2 D. 6 二、填空题. 1. 若B ={a ,b ,c ,d ,e },C = {a ,c ,e ,f },且集合 A 满足 A ?B ,A ?C ,则集合 A 的个数是______. 2. 设 f (x )= 2x - 1,g (x )= x + 1,则 f [g (x )] = . 3. 已知f (2x + 1)= x 2 - 2x ,则=)2(f . 4. 已知一次函数 y = f (x )中,f (8)= 16,f (2)+ f (3)= f (5),则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ ··· + f (100) = . 5. 若函数 a x bx x f ++= 2)( 为奇函数,则 a = ,b = . 6. 若函数 f (x )= x 2 + px + 3在(-∞,1]上单调递减,则 p 的取值范围是 . 三、解答题. 1. 已知非空集合 A ={x |2a + 1≤x ≤3a - 5},B ={x |3≤x ≤22},能使 A ?(A ∩B )成立的所有 a 值的集合是什么?

微分方程的基本概念

求函数关系是数学中的重要问题。然而,在实际中有时很难直接找出函数关系,我们所得到的仅是含有未知函数及其导数的关系式,称之为微分方程.我们的任务就是求解微分方程,找出未知函数。本章将介绍一些微分方程的基本概念和几种常用的微分方程的解法. 微分方程的基本概念 下面通过几个例题来说明微分方程的基本概念. 例1 一曲线通过)2,1(点,且在该曲线上任一点),(y x 处 的切线的斜率为x 2,求曲线的方程. 解 由导数的几何意义可得 x dx dy 2= ① 此外,未知函数)(x y y =还应满足条件 1=x 时,2=y (或写成21==x y ) ② 在式①两端积分,得 C x y +=2 , ③ 其中C 为任意常数.将条件②代入式③中,得1=C , 于是得所求曲线的方程为 ④ 12+=x y

我们知道式③表示一族曲线, 曲线族中的每一条曲线的函数 代入式①中都成为恒等式, 而式④仅表示是其中的一条,它是通过点()2,1的. 从以上例子中,可归纳出如下一些基本概念. (一)微分方程:含有自变量、未知函数以及未知函数导数或微分的方程叫微分方程(以下简称方程)。在方程中出现的未知函数导数的最高阶数成为微分方程的阶,n 阶微分方程的一般形式为 ()(,,,,,)0n F x y y y y '''=L ⑤ 如式①为一阶微分方程.

(二)解:一个函数代入微分方程后,使其成为恒等式,则该函数称为微分方程的解. 含有任意常数,且独立的任意常数的个数和微分方程的阶数相等的解,称为微分方程的通解或一般解.不含任意常数的解叫特解. 若I x x y ∈=),(?为方程⑤的解,则有 ()[,(),(),,()]0n F x x x x φφφ'≡L , I x ∈. 方程⑤的通解应含有n 个独立的任意常数, 其通解有时用隐函数表达式 12(,,,,,)0n x y C C C Φ=L 表示. ⑥ 例如:式③为方程①的通解.

微分方程习题及解答

第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中,不是微分方程的是( ) . (A)2xy y '=; (B)222x y C +=; (C)0y y ''+=; (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=. 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( ). (A)1; (B)2; (C)3; (D)4; 答(C). 3. 下列所给的函数,是微分方程0y y ''+=的通解的是( ). (A)1cos y C x =; (B)2sin y C x =; (C)cos sin y x C x =+; (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中,可分离变量的方程是( ). (A)x y y e +'=; (B)xy y x '+=; (C)10y xy '--=; (D)()d ()d 0x y x x y y -++=. 答(A). 5. 下列微分方程中,是齐次方程是微分方程的是( ). (A)x y y e +'=; 2(B)xy y x '+=; (C)0y xy x '--=; (D)()d ()d 0x y x x y y -++=. 答(D). 二、填空题 1.函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? . 答:是 . 2.微分方程3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 . 答:2225x y +=. 3.微分方程23550x x y '+-=的通解是. 答:3252 x x y C =++. 4.微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 . 答: Cx y e =. 5.微分方程'=的通解是 . 答:arcsin arcsin y x C =+. 6.微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是. 答:Cx y e x =. 三、解答题 1.求下列微分方程的通解. (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=; (2) 2()y xy a y y '''-=+; 解: 解: (3) d 10d x y y x +=; (4) 23d (1)0.d y y x x ++= 解: 解: 2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1) 20,0x y x y e y -='==; (2) 2 sin ln ,x y x y y y e π='==; 解: 解: (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==; (4) d 10d x y y x +=. 解: 解: 3*.设连续函数20()d ln 22x t f x f t ??=+ ????,求()f x 的非积分表达式. 答:()ln 2x f x e =?.

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