福建省“百校联考”毕业班教学摸底质量检查2020届高三年级理科数学试题 (1)
准考证号________________ 姓名________________
（在此卷上答题无效）
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福建省“百校联考”毕业班教学摸底质量检查
2020届高三年级理科数学试题
本试卷共23题，满分150分，共5页．考试用时120分钟． 2019.07 注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用5.0毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分。共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。 1．已知集合}{1A x x =<,}{
3log 0B x x =<,则A B =（ ▲ ）
A ．A
B ．?
C ．R
D ．B
2．复数1,z i z =-为z 的共轭复数，则()2z z i --=（ ▲ ） A ．2i -
B ．4i
C ．4i -
D ．22i -
3．已知数列{}n a ，那么“对于任意的*n N ∈，点(,)n n P n a 都在曲线3x y =上”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ▲ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．如右图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则
此点取自阴影部分的概率是（ ▲ ）
A
．
3
4
π
-
B
．
3
2
π
-
C
D
．
3
π-
5．函数()cos
21x
f x x x
π
=
+的图象大致是（ ▲ ） A ．B ．C ．D ．
6．如图，在下列三个正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 均为所在棱的中点，过,,E F G 作正方体的截面．在各正方体中，直线1BD 与平面EFG 的位置关系描述正确的是（ ▲ ）
A ．1BD ∥平面EFG 的有且只有①；1BD ⊥平面EFG 的有且只有②
B ．1BD ∥平面EFG 的有且只有②；1BD ⊥平面EFG 的有且只有①
C ．.1B
D ∥平面EFG 的有且只有①；1BD ⊥平面EFG 的有且只有②③
D ．1BD ∥平面EFG 的有且只有②；1BD ⊥平面EFG 的有且只有③
7．已知0a >且1a ≠，如图所示的程序框图的输出值[
)4,y ∈+∞，则实数a 的取值范围为（ ▲ ）
A ．[
)2,+∞ B ．1,12??
???
C ．()1,2
D ．(]1,2 8．八世纪中国著名数学家、天文学家张遂（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法—二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张遂晚了上千年）：函数()y f x =在0x x =，
1x x =，2x x =（012x x x <<）处的函数值分别为00()y f x =，11()y f x =，22()y f x =，则在区间[]
02,x x 上()f x 可以用二次函数来近似代替：00,100,1,201()()()()f x y y x x y x x x x ≈+-+--，其中10
0,110
y y y x x -=
-，
21
1,221y y y x x -=
-，1,20,10,1,220
y y y x x -=-．请根据上述二次插值算法，求函数()sin f x x =在区间[]0,π上的近似
二次函数，则下列最合适的是（ ▲ ） A ．22
3
3
sin x x x π
π
≈-
+ B ．22
4
4
sin x x x π
π
≈-
+ C ．222
2
sin x x x ππ
≈-
+
D ．221
1
sin x x x ππ
≈-
+
9
．若二项式6n
x ? ?
的展开式中含有常数项，则n 的值可以是（ ▲ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
10．将函数()3sin(2)f x x ?=+，
(0,)?π∈的图象沿x 轴向右平移6
π
个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 满足(||)()g x g x =，则?的值为（ ▲ ）
A ．
56
π B ．
3
π C ．
6
π D ．
23
π 11．已知等差数列{}n a 满足12332,40a a a =+=，则{}
n a 前12项之和为（ ▲ ） A ．144-
B ．80
C ．304
D ．144
12．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，,A B 是圆
222()4x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（ ▲ ）
A
B
C
D
．
34
+ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设变量x ，y 满足约束条件4502000x y x y x y -+≥??-+≥?
?≤??≥?
，则目标函数2z y x =-的最大值为 ▲ .
14．已知等差数列{}n a 满足44a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则3a 的最大值为____▲____.
15．已知三棱锥P ABC -
中，侧棱3PA PB PC ===,当侧面积最大时，三棱锥P ABC -的外接
球体积为__▲__.
16．已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为 ▲ . 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．(12分)
在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin cos cos 2c A a B b A π??
-=+
???
.
（1）求角A 的大小；
（2）若2a b c =+，且ABC ?外接圆的半径为1，求ABC ?的面积.
18．（12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=?，E 是棱1BB 的中点，
CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC =.
（1）求证：1//CB 面1A EF ；
（2）若CA CB ⊥，面CAB ⊥面11ABB A ，求二面角1F A E A --的正弦值．
19．（12分）
一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ．如果3n =，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果4n =，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为1
2
，且各件产品是否为优质品相互独立．
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望．
20．（12分）
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于,M N 两点，设直线l 的方程为(0)y kx k =>.
（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；
（2）已知直线l 与圆C 相交于,A B 两点.直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1
k ，
2
k ，
3
k ，是否存在常数a ，使得
123
k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若
不存在，说明理由.
21．（12分）
已知函数()x
f x e
ax -=-（x ∈R ）.
（1）当1a =-时，求函数()f x 的最小值；
（2）若0x ≥时，()ln(1)1f x x -++≥，求实数a 的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r ?
?=+??
=?
（0r >，?为参数），以坐标原点O 为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点6P π?
? ??
?，曲线2C 的极坐标方程为
()22cos26ρθ+=．
（1）求曲线1C 的极坐标方程；
（2）若1,6A πρα??- ???，2,3B πρα??+ ?
??是曲线2C 上两点，求2211OA OB +的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知0,0,42a b a b ab >>+=． （1）求+a b 的最小值；
（2）若2132
a b x x +≥-++对满足题中条件的,a b 恒成立，求实数x 的取值范围．
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福建省“百校联考”毕业班教学质量检查 2018~2019学年高三（理科）数学试题参考答案
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分。共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.3 14. 4 15.
32
3
π 16.2 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17．解：（1）∵2sin cos cos 2c A a B b A π??
-=+
???
， ∴2cos cos cos c A a B b A =+，
由正弦定理得，()2sin cos sin cos sin cos sin sin C A A B B A A B C =+=+=， ∴2sin cos sin C A C =，
又0C π<<，∴sin 0C ≠，∴1
cos 2
A =
， 又0A π<<，∴3
A π
=
.
（2）设ABC ?外接圆的半径为R ，则1R =
，2sin a R A ==
由余弦定理得()2
222
2cos 33
a b c bc b c bc π
=+-=+-，即3123bc =-，
∴3bc =，
∴ABC ?
的面积11sin 322S bc A =
=?=
. 18．解：（1）连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ．
因为11AGA B GE ??，所以
1112AA AG GB EB ==，又因为2AF FC
=，所以1AF AG
FC GB =，所以1//FG CB ， 又1CB ?面1A EF ，FG ?面1A EF ，所以1//CB 面1A EF .
（2）过C 作CO AB ⊥于O ，因为CA CB =，所以O 是线段AB 的中点． 因为面CAB ⊥面11ABB A ，面CAB
面11ABB A AB =，所以CO ⊥面1ABA ．连接1OA ，
因为1ABA ?是等边三角形，O 是线段AB 的中点，所以1OA AB ⊥.
如图以O 为原点，OA ，1OA ，OC 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标，
不妨设2AB =，则(1,0,0)A
，1A ，(0,0,1)C ，(1,0,0)B -，1
2(,0,)33
F ， 由11
AA BB =，
得(2,B -，1BB
的中点3(2E -
，13(,2A E =-
，1
12(,)33A F =-. 设面1A FE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则111100A E n A F n ??=???=??
，即1
111
203
330
22x z x y ?-+=????--=??，
得方程的一组解为111
1
5x y z =-??
=??=?
1(1n =-.
面1ABA 的一个法向量为2(0,0,1)n =，则121212
529
cos ,n n n n n n ?<>=
=
， 所以二面角1F A E A --的正弦值为
=???
? ??-=-=2
2292951cos 1sin θθ29
292.
19．解：（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件1A ，
第一次取出的4件产品全是优质品为事件2A ，
第二次取出的4件产品全是优质品为事件1B ，第二次取出的1件产品是优质品为事件2B ， 这批产品通过检验为事件A ，依题意有()
()1122A A B A B =，且11A B 与22A B 互斥，
所以()()()()()()()1122111222||P A P A B P A B P A P B A P A P B A =+=+
41113
161616264
=
?+?=
（2）X 可能的取值为400，500，800，并且1(800)4P X ==
，1(500)16
P X ==， 1111
(400)116416
P X ==-
-=，故X 的分布列如下：
故400500800506.2516164
EX =?
+?+?
= 20.（1）由题意，0k > ∴圆心C 到直线
l 的距离d =
直线l 与圆C 相切 1d ∴=
=， 解得：15
k =
∴直线l 方程为：y x =
（2）由题意知：()3,0M ，()5,0N
则()1:3AM l y k x =-，与圆()22:41C x y -+=联立得：()()()
22
1131350x k x k ??-+-+=??
3M x = 212
135
1A k x k +∴=+ 2112211352,11k k A k k ??+∴ ?++??
同理可得：2
222222532,11k k B k k ??+- ?++??
OA
OB k k = 12
22
12
221222
12
22113553
11k k k k k k k k -++∴=++++，整理可得：()()12121350k k k k ++=
121k k ≠- 213
5
k k ∴=-
设()00,P x y ()(
)01002035y k x y k x ?=-?∴?
=-?? 120
1212012352k k x k k k k y k k -?=?-?
∴?-?=
?-?
12121212352,k k k k P k k k k ??--∴ ?--??
，即1315,44k P ?? ??? 1
31
3141554k k k ∴== 12132
25
k k k k ∴+==
∴存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立
21．解：(1) 当1a =-时，函数的解析式为()x
f x e
x -=+，则：()'10x x f e -=-+≥，
结合导函数与原函数的关系可得函数在区间()0,∞+上单调递增，在区间(),0-∞上单调递减， 函数的最小值为：()0
011f e =+=.
（2）若0x ≥时，()()11f x ln x -++≥，即()110x
e ax ln x +++-≥（*）
令()()11x
g x e ax ln x =+++-，则()1
'1
x
g x e a x =+
++ ①若2a ≥-，由（1）知1x e x -+≥，即1x e x -≥-，故1x e x ≥+
()()
11'12011
x g x e a x a a a x x =+
+≥+++≥=+≥++
∴函数()g x 在区间[
)0,+∞上单调递增，∴()()00g x g ≥=. ∴（*）式成立.
②若2a <-，令()11x
x e a x φ=+
++，则()()
()()
2
2
2
111'011x x
x e x e x x φ+-=-=≥++
∴函数()x φ在区间[
)0,+∞上单调递增，由于()020a φ=+<， ()111
110111a a e a a a a a a
φ--=+
+≥-++=+>---. 故()00,x a ?∈-，使得()00x φ=，
则当00x x <<时，()()00x x φφ<=，即()'0g x <. ∴函数()g x 在区间()00,x 上单调递减， ∴()()000g x g <=，即（*）式不恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[
)2,-+∞.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．解：（1）将1C 的参数方程化为普通方程得：()2
222x y r -+=
由cos x ρθ=，sin y ρθ=得1C 的极坐标方程为：2
2
4cos 40r ρρθ-+-=
将点6P π?
?
??
?
代入1C
中得：212406
r π
-+-=，解得：24r =
代入1C 的极坐标方程整理可得：4cos ρθ=
1C ∴的极坐标方程为：4cos ρθ=
（2）将点1,6A πρα??
-
??
?
，2,3B πρα??
+
??
?
代入曲线2C 的极坐标方程得： 212cos 263πρα????+-= ????
??
?
，222222cos 22cos 2633ππραρα????????++=--= ? ??????
??
??
?
?
?
2222
122cos 22cos 2111123363OA OB
ππααρρ???
?+-+-- ? ?
????∴+=+== 23．解：（1）因为0,0,42a b a b ab >>+=，所以
12
12a b
+=， 所以(
)121259222222a b
a b a b a b b a
??+=++=+++≥+=
???，
故a b +的最小值为
9
2
； （2）因为132a b x x +≥-++恒成立，
所以921322
x x -++≤
， 当12x ≥
时，921322x x -++≤，∴17210
x ≤≤， 当2132x -
<<时，912322x x -++≤，∴2132
x -<<， 当23x ≤-
时，912322x x ---≤，∴112
103
x -
≤≤-， ∴实数x 的取值范围是117,1010??
-???
?．