二次函数与圆综合练习A3
1、如图，点M （4,0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A ，B.已知抛物线c bx x y ++=2
6
1过点A 和B ，与y 轴交于点C.（1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． （2）点Q （8，m ）在抛物线c bx x y ++=
2
6
1上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB 的最大值． （3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式.
2、已知抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式y=-x+2，并且线段CM 的长为22. （1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （x 1，0）、B （x 2，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长； （3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由．
3、如图，在平面直角坐标系中，以点C （0,4）为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，AB 是⊙C 的切线，动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t （秒）．
（1）当t=1时，得到P 1、Q 1两点，求经过A 、P 1、Q 1三点的抛物线解析式及对称轴l ； （2）当t 为何值时，直线PQ 与⊙C 相切并写出此时点P 和点Q 的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP+NQ 最小，求出点N 的坐标并说明理由．
4、已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A,B 两点（A 在B 的左侧），且A 点坐标为（-4，4）．平行于x 轴的直线l 过（0，-1）点． （1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；
（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位（t ＞0），二次函数的图象与x 轴交于M ，N 两点，一次函数图象交y 轴于F 点．当t 为何值时，过F ，M ，N 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？
5、如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为（5,0），顶点D 在⊙O 上运动. （1）当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时，试证明直线CD 与⊙O 相切； （2）当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式；
（3）设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．
6、已知⊙O 的半径为1，以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系.有一个正方形ABCD ，顶点B 的坐标为（13-，0）
，顶点A 在x 轴上方，顶点D 在⊙O 上运动.
（1）当点D 运动到与点A 、O 在一条直线上时，CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD 所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；
（2）设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，并求出S 的最大值和最小值．
7、如图，已知点A 从（1,0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方形运动，以O,A 为顶点作菱形OABC ，使点B ，C 在第一象限内，且∠AOC=60°；以P （0，3）为圆心，PC 为半径作圆．设点A 运动了t 秒，求： （1）点C 的坐标（用含t 的代数式表示）；
（2）当点A 在运动过程中，所有使⊙P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值．
8、已知，如图，抛物线
m x x y +-=3
3
2312与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，∠ACB=90°
. （1）求m 的值及抛物线顶点坐标；
（2）过A 、B 、C 的三点的⊙M 交y 轴于另一点D ，连接DM 并延长交⊙M 于点E ，过E 点的⊙M 的切线分别交x 轴、y 轴于点F 、G ，求直线FG 的解析式；
（3）在条件（2）下，设P 为弧CBD 上的动点（P 不与C 、D 重合），连接PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH?AP=k ？如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．
9、如图，已知点A 的坐标是（-1,0），点B 的坐标是（9,0），以AB 为直径作⊙O′，交y 轴的负半轴于点C ，连接AC 、BC ，过A 、B 、C 三点作抛物线.
（1）求点C 的坐标及抛物线的解析式；
（2）点E 是AC 延长线上一点，∠BCE 的平分线CD 交⊙O′于点D ，求点D 的坐标；并直接写出直线BC 、直线BD 的解析式； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得∠PDB=∠CBD ，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
10、已知：抛物线M ：y=x 2
+（m-1）x+（m-2）与y 轴相交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1 （Ⅲ）试判断是否存在m ，使经过点A 和点B 的圆与y 轴相切于点C （0，2）？若存在，求出M ：y=x2+（m-1）x+（m-2）的值；若不存在，试说明理由； （Ⅳ）若直线l ：y=kx+b 过点F （0，7），与（Ⅰ）中的抛物线M 相交于P ，Q 两点，且使2 1 =FQ PF ,求直线l 的解析式． 11、如图，将△AOB 置于平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，点A 的坐标为（3,0），∠ABO=60°. （1）若△AOB 的外接圆与y 轴交于点D ，求D 点坐标． （2）若点C 的坐标为（-1，0），试猜想过D ，C 的直线与△AOB 的外接圆的位置关系，并加以说明． （3）二次函数的图象经过点O 和A 且顶点在圆上，求此函数的解析式． 12、如图，直角坐标系中，已知两点O （0,0），A （2,0），点B 在第一象限且△OAB 为正三角形，△OAB 的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D. （1）求B ，C 两点的坐标； （2）求直线CD 的函数解析式； （3）设E ，F 分别是线段AB ，AD 上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长．试探究：△AEF 的最大面积． 13、在平面直角坐标系xoy 中，已知直线L 1经过点A （-2,0）和点B （0， 332），直线L 2的函数表达式为33 4 33+-=x y ，L 1与L 2相交于点P ，⊙C 是一个动圆，圆心C 在直线L 1上运动，设圆心C 的横坐标是a ，过点C 作CM ⊥x 轴，垂足为点M. （1）填空：直线L 1的函数表达式是__________，交点P 的坐标是____________，∠EPB 的度数是______； （2）当⊙C 和直线L 2相切时，请证明点P 到直线的距离CM 等于⊙C 的半径R ，并写出R=223-时a 的值； （3）当⊙C 和直线L 2不相离时，已知⊙C 的半径R=223-，记四边形NMOB 的面积为S （其中点N 是直线CM 与L 2的交点）．S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a 的值；若不存在，请说明理由． 水尾中学中考专项训练（压轴题）答案 1．（四川模拟）如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，AC ＝23，BC ＝1．以AC 为一边，在AC 的右侧作等边△ACD ，连接BD ，交⊙O 于点E ，连接AE ，求BD 和AE 的长． 解：过D 作DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F ∵△ACD 是等边三角形 ∴AD ＝CD ＝AC ＝23，∠ACD ＝60° ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝90° ∴∠DCF ＝30°，∴DF ＝ 1 2 CD ＝3，CF ＝3DF ＝3 ∴BF ＝BC ＋CF ＝1＋3＝4 ∴BD ＝ BF 2 ＋DF 2 ＝ 16＋3 ＝19 ∵AC ＝23，BC ＝1，∴AB ＝ AC 2 ＋BC 2 ＝ 13 ∵BE ＋DE ＝BD ，∴AB 2 －AE 2 ＋ AD 2 －AE 2 ＝BD 即 13－AE 2 ＋ 12－AE 2 ＝19 ∴13－AE 2 ＝19－ 12－AE 2 两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2－2 19(12－AE 2 ) 整理得：19(12－AE 2 ) ＝9，解得AE ＝ 7 19 57 2．（四川模拟）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，D 为△ABC 外接圆⊙O 上 AC ︵ 的中点． （1）如图1，P 为 ABC ︵ 的中点，求证：PA ＋PC ＝3PD ； （2）如图2，P 为 ABC ︵ 上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （1）证明：连接AD ∵D 为AC ︵ 的中点，P 为 ABC ︵ 的中点 ∴PD 为⊙O 的直径，∴∠PAD ＝90° D D P 图1 图2 二次函数与圆 1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的 速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((< 2、如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）． （1）求此抛物线的解析式 （2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明； （3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积． 3、如图，抛物线2 23y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D . （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作 PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ； ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设BCF △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式. 【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物 21 6 y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ． ⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． ⑵ 点()8Q m ，在抛物线21 6 y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求 PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式． 【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。 （2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。 （3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。 【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ， AB 是C ⊙的切线． 动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、 Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)． ⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ； ⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标； ⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由． 提示：（1）先求出t=1时，AP 和OQ 的长，即可求得P 1，Q 1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l 的解析式． （2）当直线PQ 与圆C 相切时，连接CP ，CQ 则有Rt △CMP ∽Rt △QMC （M 为PG 与圆的切点），因此可设当t=a 秒时，PQ 与圆相切，然后用a 表示出AP ，OQ 的长即PM ，QM 的长（切线长定理）．由此可求出a 的值． （3）本题的关键是确定N 的位置，先找出与P 点关于直线l 对称的点P ′的坐标，连接P ′Q ，那么P ′Q 与直线l 的交点即为所求的N 点，可先求出直线P ′Q 的解析式，进而可求出N 点的坐标． 【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与 二次函数的图象交于A B ，两点(A 在B 的左侧)，且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线 l 过()01-，点． ⑴ 求一次函数与二次函数的解析式； ⑵ 判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明； ⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x 图6 x y F E H N M P D C B A O 二次函数和圆 【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数k y x = (1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次 函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为 D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形． 【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线3 2 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标； （2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标； （3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积. 【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B． （1）求直线CB的解析式； （2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C是否在抛物线上？ （4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 △AOC相似？直接写出两组这样的点． 【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E． （1）求m的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例题5】（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、 圆与二次函数综合题 1、已知：二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点c，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A 在点B左侧）。若A、B两点的横坐标为整数。 （1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是(0,6），点P（t,0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合。设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长。再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）。 2、（1）已知：关于x、y的方程组有两个实数解，求m的取值范围； (2）在（1）的条件下，若抛物线y=-(m-1)x2+(m-5)x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积等于12，确定此抛物线及直线y=(m+1)x-2的解析式； （3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法。 3、已知：二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3，其中m为实数。 （1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；（2）设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式。 4、已知二次函数y1=x2-2x-3. (1)结合函数y1的图像，确定当x取什么值时，y1>0,y1=0,y1<0; (2)根据（1）的结论，确定函数y2= (|y1|-y1)关于x的解析式； （3）若一次函数y=kx+b(k 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件。 5、已知：如图，直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、B两点。 （1）求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程； （2）C是⊙M上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO, 写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式； （3）若延长BC到E，使DE=2,连结EA，试判断直线EA与 ⊙M的位置关系，并说明理由。（河南省） 6、如图，已知点A（tan ,0）B(tan ,0)在x轴正半轴上，点A在点B的左 边，、是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角。 （1）若二次函数y=-x2- 5/2kx+(2+2k-k2)的图像经过A、B两点，求它的解析式； （2）点C在（1）中求出的二次函数的图像上吗？请说明理由。（陕西省） 二次函数、圆综合检测题 %1. 选择题（共10小题每小题3分） 1.对于二次函数y=- （x- 1） 2+2的图象与性质，下列说法正确的是（） A.对称轴是直线x=l,最小值是2 B.对称轴是直线x=l,最大值是2 C.对称轴是直线x=-l,最小值是2 D.对称轴是直线x= - 1,最大值是2 2.己知二次函数y=ax2+bx+c （a^O）的图象如图所示，以下四个结论：①a>0；②c>0；（3）b2 - 4ac>0；④- Evo,正确的是（） 2a A.①② B.②④ C.①③ D.③④ 3.若抛物线y= - x2+bx+c经过点（-2, 3）,则2c - 4b - 9的值是（ ）/ A. 5 B. - 1 C. 4 . D. 18 4 .如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后， 痕AB 的长为（）A. 2cm B. /cm 5.如图，。。中，弦AB、CD相交于点P, 的大小是（）A. 43° B. 35° C. 34° 6.AB是。。的直径，PA切。0于点A, P0交。0于点C；连接 BC,若ZP=40°,则匕B等于（） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 7.如图，。。是ZiABC的外接圆，BC=2, ZBAC=30°,则劣弧而的 圆弧恰好经过圆心0,则折 长等于（） A尧容?斗”写 8.如图，在Rt^ABC 中，ZBCA=90°, ZBAC=30°, BC=2,将RtAABC 绕A 点顺时针旋 转90。得到RtAADE,则BC扫过的面积为（） A. — B. （2-如）n C.空邕 D. R 2 2 9.如图，抛物线y=ax2+bx+c （a乂0）的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点.坐标为 （-1, 0）,其部分图象如图所示，下列结论：①4ac 二次函数与圆综合提高（压轴题） 1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点， 且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图 形L． （1）求△ABC的面积； （2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式； （3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．解 解：（1）如图3，作AH⊥BC于H， 答： ∴∠AHB=90°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=3． ∵∠AHB=90°， ∴BH=BC= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AH=． ∴S△ABC==； （2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE． 作AG⊥DE于G， ∴∠AGD=90°，∠DAG=30°， ∴DG=x，AG=x， ∴y==x2， ∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∴x=1.5时，y 最大=， 如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G， ∵AD=x， ∴BD=DM=3﹣x， ∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3， ∴MG=（3﹣x）， ∴y=， =﹣； （3），如图4，∵y=﹣； ∴y=﹣（x2﹣4x）﹣， y=﹣（x﹣2）2+， ∵a=﹣＜0，开口向下， ∴x=2时，y最大=， ∵＞， ∴y最大时，x=2， ∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．∴DO=OE=1， ∴DM=DO． ∵∠MDO=60°， ∴△MDO是等边三角形， ∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1． ∴MO=OE，∠MOE=120°， ∴∠OME=30°， ∴∠DME=90°， ∴DE是直径， S⊙O=π×12=π． 2、（2013?压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4）， 点B的坐标为（4， 0），点C的坐标为 （﹣4，0），点P在 射线AB上运动，连 结CP与y轴交于点 D，连结BD．过P， D，B三点作⊙Q与 y轴的另一个交点 为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF． （1）求直线AB的函数解析式； （2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时． ①求证：∠BDE=∠ADP； ②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式； （3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4， 代入（4，0）得：4k+4=0， 解得：k=﹣1， 则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4； （2）①由已知得： OB=OC，∠BOD=∠COD=90°， 又∵OD=OD， ∴△BOD≌△COD， 二次函数和圆 【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数k y x = (1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二 次函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为D ， 问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形． 【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标； （2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标； （3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积. 【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B． （1）求直线CB的解析式； （2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C是否在抛物线上？ （4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 △AOC相似？直接写出两组这样的点． 【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E． （1）求m的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例题5】（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已 专题63 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题 1、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣1 3x ﹣1与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B ，以x=﹣1为对称轴的抛物线 y=x 2+bx+c 与x 轴分别交于点A 、C ，直线x=﹣1与x 轴交于点D ． （1）求抛物线的解析式； （2）在线段AB 上是否存在一点P ，使以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）若点Q 在第三象限内，且tan△AQD=2，线段CQ 是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x 2+2x ﹣3；（2）存在；点P 坐标为（﹣1，?23 ）或（-65 ，-3 5 ）； （3）存在，CQ 最小值为 √37?√5 2 . 【解析】（1）△直线y=﹣1 3x ﹣1与x 轴交于A 点， △点A 坐标为（﹣3，0）， 又△直线x=﹣1为对称轴， △点C 坐标为（1，0）， △抛物线解析式为：y=（x+3）（x ﹣1）=x 2+2x ﹣3； （2）存在； 由已知，点D 坐标为（﹣1，0），点B 坐标为（0，﹣1）， 设点P 的坐标为（a ，﹣13 a ﹣1）， △当△AOB△△ADP 时， AD AO = DP OB ，即23 = 1 3 a+11 ， 解得：a=﹣1； 点P 坐标为（﹣1，?2 3）； △当△AOB△△APD 时， 过点P 作PE△x 轴于点E ， 则△APE△△PED ， △PE 2=AE?ED ， △（﹣1 3a ﹣1）2=（a+3）（﹣a ﹣1）， 解得a 1=﹣3（舍去），a 2=﹣6 5， △点P 坐标为（﹣6 5 ，﹣3 5 ）； （3）存在，CQ 最小值为 √37?√5 2 ； 如图，取点F （﹣1，﹣1），过点ADF 作圆，则点E （﹣2，﹣1 2）为圆心， 圆与二次函数综合题 1.已知圆P 的圆心在反比例函数k y x =(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次 函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为 D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形． 2.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标； （2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标； （3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的 面积. （3） （2） 3.如图，已知抛物线y = ax 2 + bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、 C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴 交于D ，抛物线的顶点为E ． （1）求m 的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin （α－β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，点P在y轴上，半径为3的⊙P分别交x轴于A、B两点，AB=4，交y轴负半轴于点C，连接AP并延长交⊙P于点D，过D作⊙P的切线分别交x轴、y轴于点F、G； （1）求直线FG的解析式； （2）连接CD交AB于点E，求PCD ∠ tan的值； （3）设M是劣弧BC上的一个动点，连接DM交x轴于点N，问：是否存在这样的一个常数k，始终满足AN·AB+DN·DM=K，如果存在，请求出K的值，如果不存在，请说明理由； （图1） （图2） 5.已知：如图， 抛物线2 33 y x x =--x轴分别交于A B ，两点，与y轴交于C点，M经过原点O及点A C ，，点D是劣弧OA上一动点（D点与A O ，不重合）．（1）求抛物线的顶点E的坐标；（2）求M的面积； （3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使2 FG=，试探究当点D运动到何处时，直线GA与M相切，并请说明理由． 6.(0) A m，(0) m<，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆除点D以外的另一个交点，连结BE与AD相交于点F． （1）求证：BF DO =； （2）设直线l是BDO △的边BO的垂直平分线，且与BE相交于点G．若G是BDO △的 中考专题： 圆与函数综合题 1、如图，平面直角坐标系中，以点C （22为半径的圆与轴交于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）若二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此二次函数的解析式． 2、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1， 0）．若抛物线2 3 y x bx c =++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由； （3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值． 3、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为轴，且经过（0,01 16 ）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2）， (1)求a,b,c 的值； (2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交； （3）设⊙P 与轴相交于M ()1x ,0，N ()()21 2x ,0x x 两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标。 4、如图，二次函数y =x 2 +bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于 点C ，且经过点（b －2，2b 2 －5b －1）. （1）求这条抛物线的解析式； （2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标； （3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标. (完整)一元二次方程二次函数圆综合测试题 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)一元二次方程二次函数圆综合测试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)一元二次方程二次函数圆综合测试题的全部内容。 一元二次方程 二次函数 圆综合测试题(海淀西城期末） 1．二次函数()257y x =-+的最小值是 A ．7- B ．7 C ．5- D ．5 2．抛物线2(2)1y x =-+的顶点坐标是 A ．(21)--， B ．(21)-， C ．(21)-， D ．(21)， 3．如图,△ABC 内接于⊙O ，若o 100AOB ∠=,则∠ACB 的度数是 A ．40° B ．50° C ．60° D 4．如图，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中OA 相切于点P ．若∠AOB =90°，OP =6，则OC 的长为A ．12 B ．． ．5．将二次函数26 5y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是 A ．2(6)5y x =-+ B ．2(3)5y x =-+ C ．2(3)4y x =-- D ．2(3)9y x =+- 6．若一个扇形的半径是18cm,且它的弧长是12π cm ，则此扇形的圆心角等于 A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1-，2), AB ⊥x 轴于点B ．以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为 原来的2倍，得到△OA 1B 1，且点A 1在第二象限，则点A 1 的坐标为 A ．（2-，4） B ．(12 -，1) C ．（2，4-) D ．（2，4） 8．如图，A ,B ，C 三点在已知的圆上，在△ABC ∠ABC =70°，∠ACB =30°,D 是 的中点, 连接DB ，DC ，则∠DBC 的度数为 A ．30° B ．45° C ．50° D ．70° 9．某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件．市场调查反映,如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后,每星期售出 BAC 2019 初三数学中考专题复习 二次函数和圆 专题综合检测 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) ＝18x 2 ＝－x 2 －1 ＝1x 2 ＝a 4x 4 2.抛物线y ＝2x 2 ，y ＝－2x 2 ，y ＝12 x 2 的共同性质是( ) A.开口向上 B.对称轴是y 轴 C.都有最高点 随x 的增大而增大 3.若二次函数y ＝(x －m)2－1，当x≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是( ) ＝1 ＞1 ≥1 ≤1 4.如图，AB 是⊙O 的直径.若∠BAC ＝35°，那么∠ADC ＝( ) ° ° ° ° 5.在同圆中，下列四个命题：①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等.其中真命题有( ) 个 个 个 个 6.如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，连接BC 、BD.下列结论错误的是( ) ＝BE B. ＝DE D. .∠DBC ＝90° 7.如图，AD 、AE 、CB 均为⊙O 的切线，D 、E 、F 分别是切点，AD ＝8，则△ABC 的周长为( ) D.不能确定 8.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么一次函数y ＝bx ＋c 和反比例函数y ＝b x 在同一坐标系中的图象大致是( ) 9.如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上.已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B.下列说法错误的是( ) A.圆形铁片的半径是4cm B.四边形AOBC 为正方形 C.弧AB 的长度为4πcm D.扇形OAB 的面积是4πcm 2 10.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b 2－4ac ＜0；②abc ＞0；③a －b ＋c ＜0；④m ＞－2，其中正确的个数有( ) 11.如图，扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为 (结果保留π). 1.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E． （1）求m的值及抛物线的解析式；∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3 （2）设∠DBC = ，∠CBE = ，求sin（－）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说 明理由． 2.如图所示，已知在直角梯形OABC 中，AB OC BC x ∥，⊥轴于点(11)(31)C A B ，，、，．动 点P 从O 点出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P 点作PQ 垂直于直．线．OA ，垂足为Q ．设P 点移动的时间为t 秒（04t <<），OPQ △与直角梯形OABC 重叠部分的面积为S ． （1）求经过O A B 、、三点的抛物线解析式； （2）求S 与t 的函数关系式； （3）将OPQ △绕着点P 顺时针旋转90°，是否存在t ，使得OPQ △的顶点O 或Q 在抛物线上？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． ∴所求抛物线解析式为214 33 y x x =-+ 3．如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）． （1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标； （2）求证：CB是△ABE外接圆的切线； （3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围． 点B（1，4）．综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）． ∴y=-x2+2x+3． Ｄ Ａ Ｃ ＰＣＢＯＣx y 如图，点P 在y 轴上，⊙P 轴于A B ，两点，连结BP 并延长交⊙P 于C ，过点C 的直线2y x b =+交x 轴于D ，且⊙P 的半径为5，4AB =． （1）求点B P C ，，的坐标； （2）求证：CD 是⊙P 的切线； （3）若二次函数2(1)6y x a x =-+++的图象经过点B ，求这个二次函数的解析式， 并写出使二次函数值小于一次函数2y x b =+值的x 的取值范围． 如图，已知抛物线y = ax 2 + bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴交于D ，抛物线的顶点为E ． （1）求m 的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin （α－β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在， 请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线 216 y x bx c =++ 过点A 和B ，与y 轴交于点C ． （1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． （2）点Q （8，m ）在抛物线216y x bx c = ++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的最小值． （3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式． 如图，已知)212 5,31(),0,1(B A 为直角坐标系内两点，点C 在x 轴上，且OA OC 2=，以A 点为圆心，OA 为半径作⊙A 。直线CD 切⊙O 于D 点，连结OD 。 （1）求点D 的坐标； （2）求经过O 、B 、D 三点的抛物线的解析式； （3）判断在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P ，使DCP ?∽OCD ?？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。 二次函数与圆综合动 点问题 1．在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y ＝x ＋b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ． （1）求b 的值和点D 的坐标； （2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标； 2．如图，射线OA ⊥射线OB ，半径r ＝2cm 的动圆M 与OB 相切于点Q （圆M 与OA ?没有公共点），P 是OA 上的动点，且PM ＝3cm ，设OP ＝x cm ，OQ ＝y cm ． （1）求x 、y 所满足的关系式，并写出x 的取值范围． （2）当△MOP 为等腰三角形时，求相应的x 的值． C M O x y 1 3 4 1 A 1 B D y ＝x ＋b 2 O P A Q M B 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A (－1，0)，B (4，0)，C (0，－4)，⊙M 是△ABC 的外接圆，M 为圆心． （1）求抛物线的解析式； （2）求阴影部分的面积； （3）在x 轴的正半轴上有一点P ，作PQ ⊥x 轴交BC 于Q ，设PQ ＝k ，△CPQ 的面积为S ，求S 关于k 的函数关系式，并求出S 的最大值． y O x A B P M Q C 4．如图，在平面直角坐标系中，半圆M 的圆心M 在x 轴上，半圆M 交x 轴于A （－1，0）、B （4，0）两点，交y 轴于点C ，弦AC 的垂直平分线交y 轴于点D ，连接AD 并延长交半圆M 于点E ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求证：AC ＝CE ； （3）若P 为x 轴负半轴上的一点，且OP ＝ 2 1 AE ，是否存在过点P 的直线，使该直线与（1）中所得的抛物线的两个交点到y 轴的距离相等？若存在，求出这条直线的解析式；若不存在．请说明理由． M O A C B x E D y 1 九年级阶段测试一 作者说卷：本套试题是针对第34章《二次函数》、第35章《圆二》两部分内容的测试。是学生学完这两章知识之后安排的一次测试。试题涉及到两章的基础知识的理解和应用，同时考查学生应用各知识点解决问题的能力、分析、归纳推理的能力。两章内容所占的比重约为1：1.本试卷共有25小题,全部答对可获得100分，须在90分钟内完成。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题2分，满分20分） 1. 抛物线y=x 2-1的顶点坐标是( ) A ． (0，1) B. (0，-1) C. (1，0) D. (-1，0) 2. 二次函数y=x 2+10x-5的最小值为（ ） A ．-35 B ．-30 C ．-5 D ．20 3. 两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d 的取值范围是（ ） A ．d ＞8 B ．0＜d ≤2 C ．2＜d ＜8 D ．0≤d ＜2或d ＞8 4.如果0,0b c >>，那么二次函数2 y ax bx c =++的图象大致是（ ） 5.如图，AB 与⊙O 切于点B ，AO ＝6㎝，AB ＝4㎝，则⊙O 的半径为（ ） 6.已知抛物线的顶点坐标是(2,1), 且抛物线的图象经过(3,0)点, 则这条抛物线的解析式是（ ）. A. 342 ---=x x y B.342 +--=x x y C. 342 --=x x y D. 342 -+-=x x y , 7.在△ABC 中，∠A=50°，I 是△ABC 的内心，则∠BIC 的度数为（ ） A.110° B.115° C.120° D.125° B A O 5题图 2 8.已知点A （1,1y ）、B （2,2y -）、C （3,2y -）在函数()2 1 122 - +=x y 上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是( ) A.1y ＞2y ＞3y B.1y ＞3y ＞2y C.3y ＞1y ＞2y D.2y ＞1y ＞3y 9.Rt △ABC 中，∠C=90°，∠AC=3cm ，BC ＝4cm ，给出下列三个结论： ①以点C 为圆心1.3 cm 长为半径的圆与AB 相离；②以点C 为圆心，2.4cm 长为半径的圆与AB 相切；③以点C 为圆心，2.5cm 长为半径的圆与AB 相交．上述结论中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．l 个 C ．2个 D ．3个 10.根据下列表格中二次函数2 y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值， 判断方程2 0ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）的一个解x 的范围是（ ） Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x << Ｄ．6.19 6.20x << 二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分） 11.已知二次函数的图象开口向下，且经过原点。请写出一个符合条件的二次函数的解析式： . 12.如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积为 。 13. 已知二次函数32 ++=bx x y 的图象的顶点的横坐标是1，则b= . 14.已知抛物线3)4(3 1 2--=x y 部分图像如图所示，图像再次与x 轴 相交时的坐标是__ _____. 15.如图，⊙O 的直径AB =12，AM 和BN 是它的两条切线，切点分别为A 、B ，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ，设AD=x ， 12题图 15题图 圆与二次函数综合题 1. 抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B(3，0)，C(0，-3). (1)求二次函数的关系式； (2)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径. 3. 如图,已知抛物线的顶点坐标为M（1,4）,且经过点N（2,3）,与x轴交于A、B 两点（A点在B点左侧）,与y轴交于点C. （1）求抛物线的解析式及A、B、C三点的坐标 （2）若直线y=kx+b经过C、M两点,且与x轴交于点D,证明四边形CDAN是平行四边形. （3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动,请探索,在x轴上方是否存在这样的点P,使以P为圆心的圆经过A、B两点,且与直线CD相切,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. 4.已知:如图,抛物线的图象与x轴分别交于A（-3,0）,B（1,0）两点,与y轴交于点 （1）求抛物线的顶点E的坐标; （2）求⊙M的面积; （3）连CD交AO于点F,延长CD至G,使FG=2,试探究,当点D运动到何处时,直线GA与⊙M相切,并请说明理由. 5.在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、E（3，）三点（1）求此抛物线的解析式 （2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号） 6. 已知二次函数的图象如图． （1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标； （2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式； （3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由． 【1】已知：如图，△ABC接于⊙O，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，EF∥BC且交AC延长线于F，连结CE. 求证：(1)∠BAE=∠CEF； (2)CE2=BD·EF. 【2】如图，△ABC接于圆，D为BA延长线上一点，AE平分∠BAC的外角，交BC延长线于E，交圆于F.若AB=8，AC=5，EF=14.求AE、AF的长. 【3】如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°， C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接 CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD．Array (1)弦长AB等于▲（结果保留根号）； (2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数； (3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点 的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程． 【4】如图，在ABC △中90ACB ∠=，D 是AB 的中点，以DC 为直径的 O 交 ABC △的三边，交点分别是G F E ，，点．GE CD ，的交点为M ，且 46ME =， :2:5MD CO =． （1）求证：GEF A ∠=∠． （2）求O 的直径CD 的长． 【5】如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为 ⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。 (1)求证：CD 为⊙0的切线； (2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度. 【6】 E D G B F C O M 第9题图 【7】如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连结AB并延长交⊙O2于点C，连结O2C. （1）求证：O2C⊥O1O2； （2）证明：AB·BC=2O2B·BO1； （3）如果AB·BC=12，O2C=4，求AO1的长. 【8】如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF． （1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度； （2）当DE=8时，求线段EF的长； 为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此 时点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第24题图圆与二次函数难度题(含答案)
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