曲线运动核心思想及方法
第一讲
一、曲线运动 1．曲线运动的特点
(1)速度方向：质点在某点的速度，沿曲线上该点的________方向．
(2)运动性质：做曲线运动的物体，速度的________时刻改变，所以曲线运动一定是________运动，即必然具有__________． 2．曲线运动的条件
(1)从动力学角度看：物体所受的__________方向跟它的速度方向不在同一条直线上． (2)从运动学角度看：物体的________方向跟它的速度方向不在同一条直线上． 3．质点做曲线运动的轨迹在________________________之间，且弯向______的一侧．如图
3所示．
图3
思考：变速运动一定是曲线运动吗？曲线运动一定是变速运动吗？曲线运动一定不是匀变
速运动吗？请举例说明． 二、运动的合成与分解 1．基本概念
分运动 运动的合成
运动的分解合运动 2．分解原则
根据运动的____________进行分解，也可采用____________的方法． 3．遵循的规律
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循________________．
考点一 物体做曲线运动的条件及轨迹分析
1．做曲线运动的物体速度方向始终沿轨迹的切线方向，速度时刻在变化，加速度一定不为零，故曲线运动一定是变速运动．当加速度与初速度不在一条直线上，若加速度恒定，物体做匀变速曲线运动，若加速度变化，物体做非匀变速曲线运动．
2．做曲线运动的物体，所受合外力一定指向曲线的凹侧，曲线运动的轨迹不会出现急折，只能平滑变化，轨迹总在力与速度的夹角中，若已知物体的运动轨迹，可判断出合外力的大致方向；若已知合外力方向和速度方向，可知道物体运动轨迹的大致情况．
3．做曲线运动的物体其合外力可沿切线方向与垂直切线方向分解，其中沿切线方向的分力
只改变速度的大小，而垂直切线方向的分力只改变速度的方向．
例1一质点以水平向右的恒定速度通过P点时受到一个恒力F的
作用，则此后该质点的运动轨迹不可能是图5中的()
A．a B．b
C．c D．d 图6 训练1如图6所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，
且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则
质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是()
A．质点经过C点的速率比D点的大
B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°图6
C．质点经过D点时的加速度比B点的大
D．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小
考点二合运动的性质和轨迹
1．力与运动的关系
物体运动的形式，按速度分有匀速运动和变速运动；按轨迹分有直线运动和曲线运动．运动的形式取决于物体的初速度v0和合外力F，具体分类如下：
(1)F＝0：静止或匀速运动．
(2)F≠0：变速运动．
①F为恒量时：匀变速运动．
②F为变量时：非匀变速运动．
(3)F和v0的方向在同一直线上时：直线运动．
(4)F和v0的方向不在同一直线上时：曲线运动．
2．合运动的性质和轨迹两个互成角度的直线运动的合运动是
直线运动还是曲线运动取决于它们的合速度和合加速度方向
是否共线(如图7所示)．
常见的类型有：
(1)a＝0：匀速直线运动或静止．图7
(2)a恒定：性质为匀变速运动，分为：
①v、a同向，匀加速直线运动；
②v、a反向，匀减速直线运动；
③v、a互成角度，匀变速曲线运动(轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到)．
(3)a变化：性质为变加速运动．如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化．
例2在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点O(0,0)开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图象如图8甲、乙所示，下列说法中正
确的是()
图8
A ．前2 s 内物体沿x 轴做匀速直线运动
B ．后2 s 内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y 轴方向
C ．4 s 末物体坐标为(4 m,4 m)
D ．4 s 末物体坐标为(6 m,2 m)
跟踪训练2 如图9所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的
小车A ，小车下装有吊着物体B 的吊钩．在小车A 与物体B 以 相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B 向上吊起，A 、B 之间的距离以h ＝H －2t 2规律变化(H 为塔吊 高)，则物体B 做
( )
图9
A ．速度大小不变的曲线运动
B ．速度大小增加的直线运动
C ．加速度大小、方向均不变的曲线运动
D ．加速度大小、方向均变化的曲线运动 考点三 合运动与分运动的两个实例分析 1．小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水的流速)、v (船的实际速度)． (3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d
v 1(d 为河宽)．
②过河路径最短(v 2
图10
切线方向航程最短．
由图可知：sin θ＝v 1v 2，最短航程：x 短＝d
sin θ＝v 2v 1
d .
特别提醒 船的划行方向与船头指向一致(v 1的方向)，是分速度方向，而船的航行方向是实际运动的方向，也就是合速度的方向．
2．绳拉物体问题分析
例3 一条船要在最短时间内渡过宽为100 m 的河，已知河水的流速v 1与船离河岸的距离x
变化的关系如图12甲所示，船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是
()
图12
A．船渡河的最短时间25 s
B．船运动的轨迹可能是直线
C．船在河水中航行的加速度大小为a＝0.4 m/s2
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
例4如图13所示，
在离水面高为H的岸边有人以大小为v0的速度匀速收绳使船靠
岸，当岸上的定滑轮与船的水平距离为s时，船速多大？
图13
跟踪训练3一条河宽度为200 m，河水水流速度是v1＝2 m/s，船在静水中航行速度为v2＝4 m/s，现使船渡河．
(1)如果要求船划到对岸航程最短，则船头应指向什么方向？最短航程是多少？所用时间多长？
(2)如果要求船划到对岸时间最短，则船头应指向什么方向？最短时间是多少？航程是多少？
跟踪训练4如图14所示，一辆汽车沿水平地面匀速行驶，通过跨
过定滑轮的轻绳将一物体A竖直向上提起，在此过程中，物体A的
运动情况是()
A．加速上升，且加速度不断增大
B．加速上升，且加速度不断减小
C．减速上升，且加速度不断减小图14
D．匀速上升
物理方法：运动的合成与分解：利用运动分解实现曲线化直
例5用一根细线拴住一块橡皮(可视为质点)，把细线的另一
端用图钉固定在竖直图板上，按如图15所示的方式，用铅
笔尖靠在线的左侧，沿水平放置的固定直尺向右匀速滑动．
当铅笔尖匀速滑动的速度取不同的值时，在橡皮运动过程
中的任一时刻，设橡皮的速度方向与水平直尺的夹角为θ.关
于θ，下列说法符合事实的是() 图15
A．铅笔尖的滑动速度越大，θ越小
B．铅笔尖的滑动速度越大，θ越大
C．与铅笔尖的滑动速度无关，θ不变
D．与铅笔尖的滑动速度无关，θ时刻变化
跟踪训练5如图16所示，直角坐标系位于光滑水平面内，质量为
m的质点从坐标原点以初速度v0开始运动，v0的方向沿y轴正方向，
并且受到水平恒力F的作用，F与x轴成θ角，已知m＝2 kg，F＝
10 N，θ＝37°，v0＝2 m/s.试求2 s内质点的位移及2 s时质点的速度．
图16
步步为赢
1．(2010·广东四校联考)下列关于运动和力的叙述中，正确的是() A．做曲线运动的物体，其加速度方向一定是变化的
B．物体做圆周运动，所受的合力一定指向圆心
C．物体所受合力方向与运动方向相反，该物体一定做直线运动
D．物体运动的速率在增加，所受合力方向一定与运动方向相同
2．关于曲线运动的性质，以下说法正确的是() A．曲线运动一定是匀速运动
B．曲线运动一定是变加速运动
C．变速运动不一定是曲线运动
D．运动物体的速度大小、加速度大小都不变的运动一定是直线运动
3．如图17所示，当小车A以恒定的速度v向左运动时，对于B物
体来说，下列说法正确的是()
A．匀加速上升
B．B物体受到的拉力大于B物体受到的重力
C．匀速上升
D．B物体受到的拉力等于B物体受到的重力图17 4．一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽150 m、水流速度为4 m/s的河流中渡河，则该小船() A．能到达正对岸
B．渡河的时间可能少于50 s
C．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 m
D．以最短位移渡河时，位移大小为150 m
曲线运动运动的合成与分解
一、选择题
1.手持滑轮把悬挂重物的细线拉至如图1所示的实线位置，然后滑
轮水平向右匀速移动，运动中始终保持悬挂重物的细线竖直，则
重物运动的速度()
A．大小和方向均不变
B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变图1 D．大小和方向均改变
2．有关运动的合成，以下说法正确的是() A．两个直线运动的合运动一定是直线运动
B．两个不在一条直线上的匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C．两个初速度为零的匀加速(加速度大小不相等)直线运动的合运动一定是匀变速曲线运动
D．匀加速直线运动和匀速直线运动的合运动一定是直线运动
3.红蜡块可以在竖直玻璃管内的水中匀速上升，速度为v.
若在红蜡块从A点开始匀速上升的同时，玻璃管从AB
位置由静止开始水平向右做匀加速直线运动，加速
度大小为a，则红蜡块的实际运动轨迹可能是图2中的()
A．直线P B．曲线Q 图2 C．曲线R D．无法确定
4．一质量为2 kg的物体在如图3甲所示的xOy平面上运动，在x轴方向上的v－t图象和在y轴方向上的x－t图象分别如图乙、丙所示，下列说法正确的是()
图3
A．前2 s内物体做匀变速曲线运动
B．物体的初速度为8 m/s
C．2 s末物体的速度大小为8 m/s
D．前2 s内物体所受的合外力为16 N
5．民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上，弯弓放箭射击侧向的固定目标．若运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭的速度为v2，直线跑道离固定目标的最近距离为d，要想在最短的时间内射中目标，则运动员放箭处离目标的距离应该为()
A.
d v2
v22－v21
B.
d v22＋v21
v2
C.d v 1
v 2
D.d v 2v 1
6．一轮船的船头指向始终垂直于河岸的方向，并以一定的速度向对岸行驶，水匀速流动，则关于轮船通过的路程、渡河经历的时间与水流速度的关系，下列说法正确的是
( )
A ．水流速度越大，路程越长，时间越长
B ．水流速度越大，路程越短，时间越短
C ．渡河时间与水流速度无关
D ．路程和时间都与水流速度无关
7．一物体由静止开始自由下落，一小段时间后突然受一恒定水平向右的风力的影响，但着地前一段时间内风力突然停止，则其运动的轨迹可能是
( )
8.小钢球m 以初速度v 0在光滑水平面上运动后，受到磁极的侧向 作用力而做如图4所示的曲线运动到D 点，从图可知磁极的位 置及极性可能是
( ) A ．磁极在A 位置，极性一定是N 极 B ．磁极在B 位置，极性一定是S 极
图4
C ．磁极在C 位置，极性一定是N 极
D ．磁极在B 位置，极性无法确定
9．一个物体在F 1、F 2、F 3、…、F n 共同作用下做匀速直线运动，若突然撤去外力F 2，则该物体
( )
A ．可能做曲线运动
B ．不可能继续做直线运动
C ．一定沿F 2的方向做直线运动
D ．一定沿F 2的反方向做匀减速直线运动
10．一快艇要从岸边某处到达河中离岸100 m 远的浮标处，已知快艇在静水中的速度图象如图5甲所示，流水的速度图象如图乙所示，假设行驶中快艇在静水中航行的分速度方向选定后就不再改变，则
( )
甲 乙
图5
A．快艇的运动轨迹可能是直线
B．快艇的运动轨迹只可能是曲线
C．最快到达浮标处通过的位移为100 m
D．最快到达浮标处所用时间为123s
二、非选择题
11．若“运12”飞机在航空测量时，它的航线要严格地从东到西，如果飞机的速度是80 km/h，风从南面吹来，风的速度为40 km/h，那么：
(1)飞机应朝哪个方向飞行？
(2)如果所测地区长达80 3 km，所需时间为多少？
12．虚线MN为足够大的光滑水平面上的一条界线，界线的右侧是
力的作用区．OP为力的作用区内一条直线，OP与界线MN夹
角为α.可视为质点的不同小球，沿光滑水平面从界线的O点不
断地射入力的作用区内，小球一进入力的作用区就受到水平恒力
作用，水平恒力方向平行于MN且由M指向N，恒力大小与小球
的质量成正比，比例系数为k.试求：图6
(1)当小球速度为v0，射入方向与界线NM的夹角为β时，小球在力的作用区内运动时
的最小速度的大小；
(2)当小球以速度v0垂直界线MN射入时，小球从开始射入到(未越过OP直线)距离OP
直线最远处所经历的时间；
(3)当小球以大小不同的速度垂直界线MN射入且都能经过OP直线时，试证明：所有小
球经过OP直线时的速度方向都相同．
13. 如图甲所示，在一端封闭、长约lm的玻璃管内注满清水，水中放一个蜡烛做的蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧．然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动．假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1s上升的距离都是10cm，玻璃管向右匀加速平移，每1s通过的水平位移依次是2.5cm、7.5cm、12.5cm、17.5cm．图
乙中，y 表示蜡块竖直方向的位移，x 表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t =0时蜡块位于坐标原点．取重力加速度g =10m/s 2 （1）请在图乙中画出蜡块4s 内的轨迹； （2）求出玻璃管向右平移的加速度； （3）求t =2s 时蜡块的速度v ．
甲
蜡块
乙
4
312