二次根式(1)
学习目标:
1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式,掌握二次根式有意义的条件。
2、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a
· ·预 习 案
(一)复习回顾:
(1)已知a x =2,那么a 是x 的_ ____;x 是a 的___ _, 记为_ ___,a 一定是__ __数。 (2)4的算术平方根为2
,用式子表示为 =______;正数a 的算术平方根为_____, 0的算术平方根为____;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 思考:16 ,
π
s
,3-b 等式子.说一说他们的共同特征.
`
定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做______。“
”称为 。
1、判断下列各式,哪些是二次根式在后面“√”,哪些不是在后面“×”为什么
3( ),16-( ),34( ) ),)0(3
≥a a ( ),12+x ( )
2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 :
(1) 2)4( = (2) = (3)2)5.0( = (4)2)3
1(=
根据计算结果,你能得出结论: (0≥a )
4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数
写成一个数的平方的形式。如(5)2=5或5=(5)2.
练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式:6= =
合 作 探 究
________)(2
=a 42
)3(
练习1:x 取何值时,下列各二次根式有意义
②
③ 2
例2:在式子x
x
+-121中,x 的取值范围是什么
。
练习2:x 取何值时,下列各二次根式有意义
① ②
③ ④
训练案
1、计算: 2)3(= 2)5.0(= 2
= 2
=
2、二次根式1-a 中,字母a 的取值范围是( )
A 、 a <l
B 、a ≤1
C 、a ≥1
D 、a >1 3、已知03=+x 则x 的值为( )
…
A 、 x >-3
B 、x <-3
C 、x =-3
D 、 x 的值不能确定
4、有意义,则a 的值为_______.若x
x
+-121有意义,
x 的取值范围是________. 5、当x = 时,代数式有最小值,其最小值是 。 x --21
(1)-=-229x x ( )2=(x + )(y - )(2)-=-223x x ( )2=(x + )(y - )
二次根式的性质
学习目标 :
。
1、掌握二次根式的基本性质:a a =2 ,能利用上述性质对二次根式进行化简.
预习案
一、复习引入:
1、定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫 ,a 叫做______。“”称为 。
2、二次根式
5
2
-x 有意义,则x = 。 3、在实数范围内因式分解:-=-226x x ( )2=(x + )(y — ) (二)自主学习 1、计算:
=24
= =220
观察其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到:当=>2,0a a 时 2、计算:
-
2)4(=
#
观察其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到:当=<
2,0a a 时
3、计算:
=20 当==2,0a a 时
归纳总结0000a a a a a >??
==??-
练习1、化简下列各式:
()2
4、讨论二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系。
练习2:化简:(1= (2)
0)x =
(3)2)4(-π= (4))3()3(2≥-a a =
注:利用a a =2可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来,达到化简的目的,进行化简的关键是准确确定“a ”的取值。
<
探究案
例1:化简:
(1)()232+x (x <-2) (2)若0<x <1,化简:
4)1
(2+-x
x -4)1(2-+x x
(3)(2
2x >0,y >0) (4)a 、b 、c 为三角形的边,b a c --
练习3:2)12(-x -2)32(-x )2(≥x 练习4:若2<x <3,化简:3)2(2-+-x x
:
例2:5、已知42-x +y x +2=0,求x y -的值
练习5:40y -=,求 3
212xy ??
? ???的值。
训练案
|
1、把()
2
1
2--x x 的根号外的()x -2适当变形后移入根号内,得( )
A 、x -2
B 、2-x
C 、x --2
D 、2--x 2、已知实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,化简:
二次根式的乘法
]
学习目标:
a b ab a ≥0,b ≥0)ab a b a ≥0,b ≥0),并利用其进行计算化简
预习案
(一)复习引入
(149=__ __49?=____; 49_ _49?
(21625=____1625?;
1625_ _1625?(二)、探索新知
交流总结规律:一般地,对二次根式的乘法规定为 乘法法则:
a ·
b =ab .(a ≥0,b ≥0 积的算术平方根:
ab =a ·b (a ≥0,b ≥0)
练习1:(157 = (2)
1
3
9= (3x y
z = (4274
43
= &
(5916?= (61681?= (781100?= (8)9×27=
探 究 案
例1、计算(应用a ·b =ab .(a ≥0,b ≥0
b 0 a
(1)× (2 (322()y y x
-
练习1:计算: ①55×215 3
z
y x
③312a ·231ay
(
例2、化简(逆用乘法法则
(1= (2 = (3) =
练习2:化简: = = = =
=
总结:1、当二次根式前面有系数时,可类比单项式乘以单项式法则进行计算:即系数之积作
为积的系数,被开方数之积为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求:
(1)被开方数进行因数或因式分解。 (2)分解后把能开尽方的开出来。
例3、 判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:
(1=
(2=4$
训 练 案
1、等式1112-=-?+x x x 成立的条件是( )
A .x ≥1
B .x ≥-1
C .-1≤x ≤1
D .x ≥1或x ≤-1
2、二次根式6)2(2?-的计算结果是( ) A .26 B .-26 C .6 D .12
3、若04
1
44222=+
-++++-c c b b a ,则c a b ??2=( ) A .4 B .2 C .-2 D .1 2、化简:
"
(1)360= (2= (3= (4= (5)4
32x =
3、计算:
(1)3018?; (2)75
2
3?; (3)68×(-26); (4;
4、不改变式子的值,把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。 (1) -3
32 (2) a
a 212-
二次根式的除法
<
学习目标:
掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
预习案
(一)复习回顾
1二次根式的乘法法则: 积的算术平方根的性质: 2、计算: (1)38×(-46) (2)3612ab ab ?
3、填空: (1=____; 规律:
(2;
一般地,对二次根式的除法规定
,
练习1、计算:(1
= (2= (3= (4=
探究案
问题:对于二次根式运算的结果有什么要求 最简二次根式(化简二次根式的要求):
1.被开方数中不含能 因数或因式(如:== ,== )
2. 分母中不含有根式(由
2
a a a ==与
(0)b b c bc
c
a a c ac ==≠,则
==
)
(注:分子分母同时乘以 的
= = )
3.根号内不能是 数或 式(如:= = = =
= = = = ) |
练习2:化简:(1) = (2) = (3)
= (4)
20
8=
例1:化简:(1 (2
30,0)m n (4
练习3:化简 (1)2 (2)
x
x 823 (3 (4
例2:计算(1 (2) (3
.
练习4:计算(1 (2) ( (3)5
21312321?÷
(4)2147431?÷ (5) 2
1
54
1
)741
8
1(2133÷-
?
"
(6)a
b b a ab b 3)23(235
÷-?(a >0,b >0)
总结:1、灵活变形,大小根号可以互换. 2、除法变成 (除数变成 )
3、带分数要变成 (注意带分数与分数与根式乘法的区别)
4、注意结果符号(同号得 ,异号得 。)
二次根式的加减学案
学习目标:
理解同类二次根式,并能判定哪些是同类二次根式,理解和掌握二次根式加减的方法.
预习案
(一)、复习引入
1、计算.(1)x x 32+;(2)222532x x x +-;(3)y x x 32++;(4)22223a a a +-
(二)计算下列各式.
(1) = (2) = (3 =
二次根式的被开方数相同也是可以合并,如但它们也可以合并(与同类项类似把33与32-, a 2-与a 4称为同类二次根式(化简之后,被开方数 )
练习1.以下二次根式:是同类二次根式的是( ). A .①和② B .②和③ C .①和④ D .③和④
)
练习2.若最简二次根式123+x 与13-x 是同类二次根式,则x =______.
+ = 3+ =
所以,二次根式加减时,先将二次根式化成 ,?再将同类二次根式进行 .
探究案
例1.计算 (1 (2) (3))+
归纳: 将不是最简二次根式的项化为 二次根式;将 的最简二次根式进行 . 练习3:计算(1)
)27
131(
12-- (2) )512()2048(-++
;
(3) y
y
x y x x 1
241+-+ (4))461(9322x x x x x x --
例2.已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0,求(2
3+y -(x
练习4.先化简,再求值.)364()36(3xy y
x x xy y x y x
+-+,其中x =3
2,y =27.
《
训练案
1.下列:①;②
1
7
=1;;,其中错误有( ) A .3个 B .2个 C .1个 D .0个
2.在下列各组根式中,是同类二次根式的是( )
(A)3和18
(B)3和
3
1 (C)b a 2和2ab (D)1+a 和1-a
3.下列各式的计算中,成立的是( )
A .5252=+ B.15354=- C.y x y x +=+22 D.52045=-
4.计算二次根式的最后结果是________.
5.若最简二次根式b a +3与b a b 2+是同类二次根式,则a =____,b =____.
^
6.计算:(1)a a
a a a a a 1084
333273123-+-
二次根式的混合运算
学习目标:
熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。 预习案
(一)复习回顾
(1)整式混合运算的顺序是: 。 (2)二次根式的乘除法法则是: 。
,
(3)二次根式的加减法法则是: 。
(4)写出已经学过的乘法公式:① ② 5、计算: (1)6·a 3·b 31 (2)16141÷ (3)505
1
1221832++-
探究案
例1、计算:
(1)(38+)×6 (2)22)6324(÷- (3))52)(32(++ (4)
2)232(-
:
练习1:计算: (1)12)3
2
3242731(
?-- (2))32)(532(+-
注:整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。
例2:计算(1)2(71)+-- (2)
(
(3) (4) ()0
1(1 3.14π-+-
总结:1、先确定运算顺序,再逐步计算
2、分母带跟号: ,若分母能构成平方直接
3、整体平方开根号等于整体的 ,1=
练习2:(1)2(71)+-- (2)
;
(3) (4) ()0
1(1 3.14(5π-+---+
例3:观察:
~
2221)211213=-?=-=- 反之,23211)-=-=
∴ 231)-= ∴ 223-=2-1
仿上求:(1);324+= (2)124-= 训 练 案
1、计算:
(1)5)9080(÷+(2)326324?-÷(3))()3(33ab ab ab b a ÷+-(a >0,b >0)
《二次根式》复习
'
学习目标:1、了解二次根式的定义,掌握二次根式有意义的条件和性质。
2、熟练进行二次根式的乘除法运算,熟练进行二次根式的加减法运算和化简。
自主复习
1.若a >0,a 的平方根可表示为________,a 的算术平方根可表示________
2.当a ______有意义,当a ______没有意义。
3________
=______=
4.________1872_______;4814=÷=? 5._______20125_______;2712=-=+
6、计算: (1) 25341122÷? (3) 2
(-
'
7、精讲点拨:在二次根式的计算、化简及求值等问题中,常运用以下几个式子: (1
)二次根式性质:22(0)(0)a a a a =≥=≥与
(2)二次根式性质:??
?
??<-=>==00002a a a a a a a (3
0,0)0,0)a b a b =≥≥=≥≥ (4
0,0)0,0)a b a b =≥>=≥>
(5)完全平方公式与平方差公式:22222()2()()a b a ab b a b a b a b ±=±++-=-与
探 究 案(两类式子简算)
例1:(1
169++
(2)
20092010
(?
练习1
:(1
121+++
(2
)20092009
(3(3+
总结:第一类:先将分母 ,再消掉 部分,最后检查可否简化。
第二类:先观察底数能否相乘是否为 ,再根据乘方的性质把指数转变成 , 底数先相乘,最后检查是否可简化。
训练案
1、化简
()25-的结果是( )
A 5
B -5
C 士5
D 25
2、代数式
2
4-+x x 中,x 的取值范围是( )
A 4-≥x
B 2>x
C 24≠-≥x x 且
D 24≠->x x 且 3、化简
27
23-的结果是( )
3
3
A B C D -
-
4、计算.
(1)453227+- (2) (3)2)+
5、已知223,2
2
3+=-=
b a 求b
a 1
1-的值
二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 。 三、学习过程 (一)复习回顾: (1)已知a x =2 ,那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)自主学习 (1)16的平方根是 ; (2)一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度h (单位:米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ,则t = ; (3)圆的面积为S ,则圆的半径是 ; (4)正方形的面积为3-b ,则边长为 。 思考:16, 5 h ,πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做_____________ 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,34)0(3 ≥a a ,12 +x 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2 )4( (2) (3)2)5.0( (4)2 )3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2 )(a ,利用此公式可以把任意一个非负 数写成一个数的平方的形式。 如(5)2 =5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=(5)2 . 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式: 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 (三)合作探究 例:当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义? 解:由02≥-x ,得 2≥x 当2≥x 时,2-x 在实数范围内有意义。 练习:1、x 取何值时,下列各二次根式有意义? ①43-x ③ 2、(1有意义,则a 的值为___________. (2)若 x 为( )。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x +-121中,x 的取值范围是____________. (2)已知42 -x +y x +2=0,则=-y x _____________. (3)已知233--+-= x x y ,则x y = _____________。 (四)达标测试 (一)填空题: 1、=??? ? ??2 53 2、若0112=-+-y x ,那么x = ,y = 。 3、当x = 时,代数式有最小值,其最小值是 。 ________ )(2=a x --2142 )3(
二次根式(1) 学习目标: 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式,掌握二次根式有意义的条件。 2、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a · ·预 习 案 (一)复习回顾: (1)已知a x =2,那么a 是x 的_ ____;x 是a 的___ _, 记为_ ___,a 一定是__ __数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =______;正数a 的算术平方根为_____, 0的算术平方根为____;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 思考:16 , π s ,3-b 等式子.说一说他们的共同特征. ` 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做______。“ ”称为 。 1、判断下列各式,哪些是二次根式在后面“√”,哪些不是在后面“×”为什么 3( ),16-( ),34( ) ),)0(3 ≥a a ( ),12+x ( ) 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2)4( = (2) = (3)2)5.0( = (4)2)3 1(= 根据计算结果,你能得出结论: (0≥a ) 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数 写成一个数的平方的形式。如(5)2=5或5=(5)2. 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式:6= = 合 作 探 究 ________)(2 =a 42 )3(
二次根式的概念(第1课时) 【学习目标】 1、了解二次根式的意义; 2、会判断二次根式,能求简单的二次根式中字母的取值范围。 【学习重点】二次根式的概念及意义。 【学习难点】二次根式的判断与字母取值范围的确定。 【学习过程】 一、自学指导 【思考】用带根号的式子填空,看看写出的结 果有什么特点? (1)如图,要做一个两条直角边的长分别是 7cm 和4cm 的三角尺,斜边的长应为 cm ; (2)面积为S 的正方形的边长为 ; (3)要修建一个面积为6.28m 2的圆形喷水池, 它的半径为 m(π取3.14); (4)一个物体从高处自由下落,落到地面所用的时间为t ,(单位:s )与开始下落的高度h (单位:米)满足关系h=5t 2。如果用含有h 的式子表示t, 则t= . 在上面的问题中,结果分别是 ,它们都是 分别表示65,S ,2,5 h 的 . 我们知道:一个正数有两个平方根,它们 ;0的平方根是 ;在实数范围内, 数没有平方根。因此,开平方时,被开方数只能是 。 【归纳】一般地,我们把形如a (a ≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 【注意】二次根式应满足两个条件:1、形式上必须是a 的形式;2、被开方数必须是 。 教师“复备”栏或学生笔记栏 7cm 4cm
二、剖析展示 【例题自学】当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义? 【自主展示】当a 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义? (1) 1a - (2) 32+a (3) a - 【拓展提升】 (1)当x 是怎样的实数时,2x 在实数范围内有意义?3x 呢? (2)当x 是怎样的实数时,23x ++1 1x +在实数范围内有意义? 三、归纳点拨 1、二次根式的特点: 、 。 2、判断二次根式是否在实数范围内有意义的方法是 四、检测达标 1、下列各式中,-222+a ,, a -(a<0),π,31+a 是二次根式的 是 . 2、当x 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义? (1)x 35- (2)123-- x (3)12+x (4)13 -x (5)2)2(-x (6)48-+x x
1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 【学习重点】二次根式有意义的条件. 【学习过程】 【活动一】知识(5分钟) 这些知识你还记得吗?(先独立完成1分钟,后同桌互查1分钟。) 1、如果对于任意数x ,有x 2 = a ,那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 是x 的______;所以a 一定是_______数。 2、如果对于一个正数x ,有x 2 = a ,那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 仍是x 的______;所以a 一定是_______数。 3、正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______; 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。4的算术平方根为2,用式子表 示为 =__________; 【活动二】自主交流 探究新知( 25分钟) 1、二次根式定义的学习:(12分钟) 完成 P2—思考中的容,阅读例1以上的容,尝试完成下面的问题: 1) 思考:如何判定一个式子是否是二次根式? 2 3,16-,34,12+x 3)已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是 。 4)下列各式一定是二次根式的是( ) A 、12+x B 、12-x C 、1--x D 、x 总结:二次根式应满足的条件: 。 2、 二次根式有意义的条件的学习:(13分钟) 自学课本P--2页例1后,模仿例题的解答过程合作完成练习 : 1)x 取何值时,下列各二次根式有意义? ①43-x ③x --21 (2)若在实数围有意义,则x 为( )。 B.负数 C.非负数 D.非正数 总结:二次根式有意义的条件是: 【活动三】课小结 (学生归纳总结) (3分钟) 1.非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点:一是从形式上看,应含有二次根号;二是被开方数的取值围有限制:被开方数a 必须是非负数。 20 a ≥??≥。 【活动四】拓展延伸(独立完成3分钟,班级展示2分钟) 1、在式子 x x +-121中,x 的取值围是____________. 2、已知42 -x +y x +2=0,则x-y = _____________. 3、已知y =x -3+23--x ,则x y = _____________。 【活动五】快乐达标(学生先独立完成5分钟,后组互查2分钟。) 1、下列式子中,哪些是二次根式?哪些不是二次根式? 2,33, x 1 ,x (x >0),0,42,y x +1,y x +(x ≥0,y ≥0) 2、当x 是怎样的实数时,13-x 在实数围有意义? 3、若20a -+=,则 2 a b -= 。 【补充练习】1、式子 1 1 2-+x x 有意义的x 的取值围是 。 2、已知:y x x x y 求,522+-+-=的值。 4 0)a ≥
第十六章《二次根式》导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:7a > 0(a > 0)(7^)2 = a(a > 0) 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质扃2 0(。2 0)和(扃尸=。怎20)。 三、学习过程 (―)复习回顾: C 1)己知/HO,那么。是X的__________ ;工是。的,记为________________ , Qi定是________ 数。(2)4的算术平方根为2,用式子表示为捐="正数。的算术平方根为,0的 算术平方根为;式子程> 0(。> 0)的意义是o (-)自主学习 (1)V16的平方根是; ⑵一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是*(单位:秒)与开始下落时的高度力(单位:米)满足关系 式h = 5t\如果用含力的式子表示Z,则Z=; (3)圆的面积为S,则圆的半径是; (4)正方形的面积为b-3,则边长为o 思考:V16, 底^等式子的实际意义说一说他们的共同特征. 定义:一般地我们把形如占(。20)叫做二次根式,。叫做。7~。 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 0 -V16, V4,后,知20), + l 2、当。为正数时石指。的,而0的算术平方根是—,负数,只有非
负数。才有算术平方根。所以,在二次根式插中,字母。必须满足,万才有意义。3、根据算术平方根意义计算: (1)(V4)2⑵峦尸(3)(而尸(4) (&)2 根据计算结果,你能得出结论:(扃)2= ,其中。20, 4、由公式(7危2=。(。20),我们可以得到公式a = g ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的 形式。 如(V5)M;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=(75)2. 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式: 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 2 r 9 工一7 4a~Tl (%1)合作探究 例:当x是怎样的实数口寸,后I在实数范围内有意义? 解:由x-2>0,得 x>2 当VT互在实数范围内有意义。 练习:1、尤取何值时,下列各二次根式有意义? ① J3--4 ②」2+争(3)^-—L 2、(1)若A AK-右二有意义,则a的值为. (2)若 C 在实数范围内有意义,则]为( )。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 J1 — 2工
二次根式复习(第9课时) 1. 下列计算正确的是 ( ) A . B . C . D . 2.下列二次根式中,x 的取值范围是x ≥2的是( ) A 、2-x B 、x+2 C 、x -2 D 、 1x -2 3.下列运算正确的是( ) A 、4.06.1= B 、()5.15.12-=- C 、39=- D 、 3294= 4.如图,数轴上 两点表示的数分别为1和,点关于点的对称点为点,则点所表示的数是( ) A . B . C . D . 5.下列根式中属最简二次根式的是( ) A.21a + B.12 C.8 D.27 6.若式子5x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( ) A.x >-5 B.x <-5 C.x ≠-5 D.x ≥-5 7.下列根式中不是最简二次根式的是( ) A .10 B .8 C .6 D .2 8.计算28-的结果是( ) A 、6 B 、6 C 、2 D 、2 9.若b a y b a x +=-=,,则xy 的值为( ) A .a 2 B .b 2 C .b a + D .b a - 10.若 ,则的取值范围是( ) A . B . C . D . 11. 比较大小:3 10。 12.3的倒数是 。
13.代数式中,自变量的取值范围是 . 14.若230a b -+-=,则2a b -= . 15.已知等边三角形ABC 的边长为33+ ,则ΔABC 的周长是____________; 16.使2x -有意义的x 的取值范围是 . 17.计算: (1) (2) (3) . (4). 18.先将 22 x x --322x x x -x 值,代入化简后的式子求值。 19.如图,实数a 、b 在数轴上的位置, 化简 222()a b a b -
第十六章 二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 (一)复习回顾: (1)已知a x =2,那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)自主学习 (1)16的平方根是 ; (2)一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度h (单位:米)满 足关系式25t h =。如果用含h 的式子表示t ,则t = ; (3)圆的面积为S ,则圆的半径是 ; (4)正方形的面积为3-b ,则边长为 。 思考:16, 5 h ,πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做_____________ 4
1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,34)0(3 ≥a a ,12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2)4( (2) (3)2)5.0( (4)2)3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成 一个数的平方的形式。 如(5)2=5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=(5)2. 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式: 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 (三)合作探究 例:当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义? 解:由02≥-x ,得 2≥x 当2≥x 时,2-x 在实数范围内有意义。 练习:1、x 取何值时,下列各二次根式有意义? ________ )(2=a 2)3(
二次根式(1)导学案 (一)复习回顾: (1)已知a x =2 ,那么a 是x 的_____;x 是a 的______, 记为____,a 一定是_____数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)自主学习 (1)16的平方根是 ; (2)一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度h (单位:米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ,则t = ; (3)圆的面积为S ,则圆的半径是 ; (4)正方形的面积为3-b ,则边长为 。 思考:16, 5 h ,πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做_____。称为 。 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,3 4)0(3 ≥a a ,12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2)4( (2) (3)2)5.0( (4)2 )3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 如(5)2 =5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=(5)2 . 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式: 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解:72-x 4a 2 -11 (三)合作探究 例:当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义? 解:由02≥-x ,得 2≥x 当2≥x 时,2-x 在实数范围内有意义。 练习:1、x 取何值时,下列各二次根式有意义? ①43-x ③ 2、(1a 的值为___________. (2)若 在实数范围内有意义,则x 为( )。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x +-121中,x 的取值范围__________. (2)已知42 -x +y x +2=0,则=-y x _____________. (3)已知233--+ -=x x y ,则x y = _____________。 (四)达标测试 1、=??? ? ??2 53 2、若0112=-+-y x ,那么x = ,y = 。 3、当x = 时,代数式有最小值,其最小值是 。 4、在实数范围内因式分解: (1)-=-229x x ( )2 =(x + )(y - )(2)-=-2 23x x ( )2 =(x + )(y - ) 5、一个数的算术平方根是a ,比这个数大3的数为 6、二次根式1-a 中,字母a 的取值范围是 ________)(2=a x --2142)3(
16.1 二次根式导学案(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 (一)复习引入: (1)已知x 2 = a ,那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =__________; 正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______; 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)提出问题 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式? 3、如何确定一个二次根式有无意义? (三)自主学习 自学课本第2页例前的内容,完成下面的问题: 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,34,5-,)0(3≥a a ,12+x 2、计算 : (1) 2)4( (2) 2)5.0( (3) (4)2)3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。 3、当a 为正数时指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负 数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式 中,字母a 必须满足 , 才有意义。 (三)合作探究 2)3(________ )(2=a 4
1、学生自学课本第2页例题后,模仿例题的解答过程合作完成练习 : x 取何值时,下列各二次根式有意义? ①43-x ②223x + ③ 2、(1)若33a a ---有意义,则a 的值为___________. (2)若 在实数范围内有意义,则x 为( )。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 (四)拓展延伸 1、(1)在式子x x +-121中,x 的取值范围是____________. (2)已知42-x +y x +2=0,则x-y = _____________. (3)已知y =x -3+23--x ,则x y = _____________。 2、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a=2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 (1)把下列非负数写成一个数的平方的形式:5 0.35 (2)在实数范围内因式分解 ①72-x ② 4a 2-11 (五)达标测试 A 组 (一)填空题: 1、 =________; 2、 在实数范围内因式分解: (1)x 2-9= x 2 - ( )2= (x+ ____)(x-____) (2) x 2 - 3 = x 2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____) (二)选择题: 1、计算 ( ) A. 169 B.-13 C±13 D.13 2、已知 A. x>-3 B. x<-3 C.x=-3 D x 的值不能确定 3、下列计算中,不正确的是 ( )。 x --21x -2 53???? ??的值为2)13(-30,x x +=则为( )
页脚内容1 16.1二次根式(1) 学习目标: 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式,掌握二次根式有意义的条件。 2、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a · ·预 习 案 (一)复习回顾: (1)已知a x =2,那么a 是x 的_ ____;x 是a 的___ _, 记为_ ___,a 一定是__ __数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =______;正数a 的算术平方根为_____, 0的算术平方根为____;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 思考:16 , π s ,3-b 等式子.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做______。“”称为 。 1、判断下列各式,哪些是二次根式在后面“√”,哪些不是在后面“×”?为什么? 3( ),16-( ),34( ) ),)0(3 ≥a a ( ), 12+x ( ) 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 4
页脚内容2 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2)4( = (2) (3)2)5.0( = (4)2)3 1(= 根据计算结果,你能得出结论: (0≥a ) 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。如(5)2=5或5=(5)2. 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式:6= 0.35= 合 作 探 究 例1:当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义? 练习1:x 取何值时,下列各二次根式有意义? ② ③ 2 例2:在式子x x +-121中,x 的取值范围是什么? ________)(2=a
二次根式导学案人教版 二次根式导学案人教版 一.学习目标: 1.了解并熟记二次根式的概念,理解二次根式的意义并能确定被开方数中字母的取值范围; 2.理解公式(a)2=a(a≥0),并能利用公式进行一般的二次根式的化简. 二.学习重点:二次根式的定义. 学习难点:二次根式的性质. 三.教学过程 想一想: 1.平方根的定义:. 2.一个正数有个平方根,它们;0的平方根是;负数. 3.算术平方根的定义:. 算一算: 1.圆的面积为S,则圆的半径是. 2.正方形的面积为b-3,则边长为. 3.在Rt△ABC中,∠B=90°.若AB=50m,BC=m,则AC=m 对上面各题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗? 定义:一般地,式子_____(a≥0)叫做二次根式,a叫做 ___________,“”称为二次根号. 二次根式应满足两个条件:①;②.
试一试: 1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式? 2、、1x、x(x>0)、-12、0、a2+5、-5、1x+y、x+y(x≥0,y≥0)、xy. 2.a取何值时,下列二次根式有意义. (1)a+1(2)1-10a(3)1a-3(4)a2+1(5)-(3-a)2(6)x-1+1-x 议一议: ①-1有算术平方根吗?②0的算术平方根是多少? ③当a<0时,a有意义吗?为什么? ④当a≥0,a可能为负数吗?为什么? 所以,你得出的结论是:a.(a). 动一动: 1.已知1+x+5-y=0,则x+y的值为. 2.(10广安)若x-2y+y+2=0,则xy的值为. 3.(11内蒙古),则xy=. 4.(11日照)已知x,y为实数,且满足=0,那么x2011-y2011=. 二次根式性质的探索: 22=4,即(4)2=4;32=9,即(9)2=9,同样地,(2)2=2, (5)2=5,…… 你能用一般式来表示这样的规律吗? . Ⅰ.计算. (-5)2=_______;(2a)2=_______;(32)2=_______;(ab)2=_______;
人教版九年级数学下册导学案 第十六章 二次根式 16.1 二次根式(第二课时) 【学习目标】 1.理解并掌握二次根式的性质.理解a (a ≥0)是一个非负数,正确区分2)(a =a (a ≥0)与()02≥=a a a 2.掌握利用上述性质对二次根式进行化简. 【课前预习】 1.在0 111,,22 2????---- ? ????? 这四个数中,最大的数是( ) A .12??-- ??? B .12 - C .0 12??- ??? D 2.下列式子中无意义的是( ) A . B . C . D . 3.下列计算正确的是( ) A 2=± B .22423x x x += C .() 3 26328a b a b -=- D .()235 x x x -=÷ 4.若0 10.计算-23的结果是( ) A .-3 B .3 C .-9 D .9 【学习探究】 自主学习 阅读课本,完成下列问题 1、当a 时,5-a 有意义. 2、形如a (a________0)的式子叫做二次根式; ⑴当a >0时,a 表示___________________,因此a _____0;当a=0时,a 表示_____________,因此a ______0. 结论:a (a ≥0)是 数,即a _______0. 用简洁的语言概括这个结论:___________________________________ 3、计算: ()=2 4____ ; ( ) =2 0.01_____ ;=??? ? ??2 31________ ; ()=2 0_____ . 结论: () 2a = (a ≥0); 用简洁的语言概括这个结论:___________________________________ 4、计算:=2 2____ ,=2____;=20.1_____ ,=1.0____; () =-2 5_____,=-5____ ;=?? ? ??-2 32_____ ,=-32____ ;=20_____ ,=0____ . 思考:比较上面的各组式子,想一想⑴a a 与2 有什么关系? ⑵当0≥a 时,2 a =______;当0≤a 时,2 a =______. 总结:? ??==_____2a 5、代数式:用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、和开方)把_________和______连接起来的式子,我们称这样的 式子为代数式. ?? ? ?????无理式有理式代数式______________ 互学探究 1、计算 (1) 2)4(= (2) () =2 3 (3)2 )5.0( = (4)2)3 1( = 根据计算结果,能得出结论: (0≥a ) 2.计算: §16.1.1《二次根式》导学案 【学习目标】 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 【学习重点】二次根式有意义的条件. 【学习过程】 【活动一】知识链接(5分钟) 这些知识你还记得吗(先独立完成1分钟,后同桌互查1分 钟。) 1、如果对于任意数x ,有x 2 = a ,那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 是x 的______;所以a 一定是_______数。 2、如果对于一个正数x ,有x 2 = a ,那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 仍是x 的______;所以a 一定是_______数。 3、正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______; 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。4的算术平方 根为2,用式子表示为 =__________; 【活动二】自主交流 探究新知(25分钟) 1、二次根式定义的学习:(12分钟) 完成P2—思考中的内容,阅读例1以上的内容,尝试完成下 面的问题: 1) 思考:如何判定一个式子是否是二次根式 2 3,16-,34 ,12+x 3)已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是 。 4)下列各式一定是二次根式的是( ) A 、12+x B 、12-x C 、1--x D 、x 总结:二次根式应满足的条 件: 。 2、 二次根式有意义的条件的学习:(13 分钟) 自学课本P--2页例1后,模仿例题的解答过程合作完成练习 : 1)x 取何值时,下列各二次根式有意义 ①43-x ③x -- 21 40) a ≥ 二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:...a 0(a 0)和仁a)2 a(a 0) 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质,a 0(a 0)和G.a)2 a(a 0)。 三、学习过程 (一)复习回顾: (1)已知x2 a,那么a是x的_________ ;x是a的_______ ,记为_______ , a 一定是 ________ 数。 (2)___________________________________________ 4的算术平方根为2,用式子表示为据;正数a的算术平方根为________________________________________________ , 0的算术平方根为 _______ ;式子石0(a 0)的意义是 __________________ 。 (二)自主学习 (1) . 16的平方根是______________ ; (2) 一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t(单位:秒)与开始下落时的高度h(单位:米)满足关系式 h 5t2。如果用含h的式子表示t,贝U t= ___________ ; (3) 圆的面积为S,则圆的半径是_____________ ; (4) 正方形的面积为b 3,则边长为____________ 。 思考:16 , 、、h, 、、S,、b 3等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. \ 5 \ 定义:一般地我们把形如j a ( a 0 )叫做二次根式,a叫做 ______________________ 。___________________ 。 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3 , 16 , 3 4 , ■ 5 , a (a 0) , x 1 ' '' '3 ' ,而0的算术平方根是 _,负数____ ,只有非负数a才有 2、当a为正数时..a指a的 算术平方根。所以,在二次根式a中,字母a必须满足, ..a才有意义。 3、根据算术平方根意义计算: (1)(⑷2(2) (、.3)2(3) C 0.5)2(4) (、;)2 根据计算结果,你能得出结论:(、咕)2 ________ ,其中a 0, 4、由公式C、a)2a(a 0),我们可以得到公式a=0 a)2,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的 平方的形式。 二次根式导学案人教版全 章 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 (一)复习回顾: (1)已知a x =2,那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)自主学习 (1)16的平方根是 ; (2)一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度 h (单位:米)满足关系式25t h =。如果用含h 的式子表示t ,则t = ; (3)圆的面积为S ,则圆的半径是 ; (4)正方形的面积为3-b ,则边长为 。 思考:16, 5 h ,πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做_____________。 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式哪些不是为什么 3,16-,34)0(3 ≥a a ,12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负 数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : 416.1.1二次根式全章导学案
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2015年春最新人教版八年级数学下册二次根式全章导学案