当前位置：文档库 › 数学错题集

数学错题集

1．(本小题满分12分)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到

y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；

(2)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点，与曲线C 相交于A 、B 两点的直线，且|OP →|＝1.问：是否存在上述直线l 使AP →·PB →

＝1成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

解 (1)设M (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点M (x ，y )满足(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0) 化简得y 2＝4x (x >0)．

(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，假设使AP →·PB →

＝1成立的直线l 存在，

①当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，由l 与n 垂直相交于P 点且|OP →

|＝1，得

|m |

k 2

＋1

＝1，即m 2＝k 2＋1. ①

∵AP →·PB →＝1，|OP →

|＝1

∴OA →·OB →＝(OP →＋P A →)·(OP →＋PB →

) ＝OP →

2＋OP →·PB →＋P A →·OP →＋P A →·PB →

＝1＋0＋0－1＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.

将y ＝kx ＋m 代入方程y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. ∵l 与C 有两个交点，∴k ≠0，

x 1＋x 2＝4－2km k 2，x 1x 2＝m 2k 2.

②

∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )

＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. ③

将②代入③得

(1＋k 2

)·m 2

k 2＋km ·4－2km k

2＋m 2＝0，

化简，得m 2＋4km ＝0.

∵|OP →

|＝1，∴m ≠0 ④ ∴m ＋4k ＝0.

⑤

由④，⑤得??

k ＝

115

，m ＝－

415

或???

k ＝－

115

，m ＝

415

得存在两条直线l 满足条件，其方程为y ＝1515x －41515，y ＝－1515x ＋41515

. ②当l 垂直于x 轴时，

则n 为x 轴，P 点坐标为(1,0)，A (1,2)，B (1，－2)，

∴AP →＝(0，－2)，PB →＝(0，－2)，则AP →·PB →

＝4≠1，不符合题意．综上，符合题意的直线l 有两条：y ＝1515x －41515，y ＝－1515x ＋41515

2．（本题12分）已知抛物线2

2:2(0)C x py p =>的通径长为4，椭圆22

122:1(0)

x y C a b a b

+=>>的离心率为

，且过抛物线2C 的焦点. （1）求抛物线2C 和椭圆1C 的方程；

（2）过定点3

(1,)2

M -引直线l 交抛物线2C 于,A B 两点（点A 在点B 的左侧）,分别过,A B 作

抛物线2C 的切线12,l l ,且1l 与椭圆1C 相交于,P Q 两点.记此时两切线12,l l 的交点为点C . ①求点C 的轨迹方程；

②设点1

(0,)4

D ,求DPQ ?的面积的最大值,并求出此时点C 的坐标.

【答案】（1）C 1:1422=+y x ，2C :24.x y =（2）①125230()1845

x y x +++=>-+.②DPQ ?的面积的最大值为52;点122102

(,)77

C +---. 【解析】

试题分析：（1）由抛物线22:2(0)C x py p =>的通径长为4，得p=2，由此能求出抛物线C 2

的方程．由题意C 2焦点坐标为（0，1），e=2

3122=-=a b a c ，由此能求出椭圆C 1的方程．

（2）①设直线l ：y=kx+（k+23）．联立??

???

=++=y x k kx y 4)23(2，得x 2

-4kx-4k-6=0．由已知条

件求出l 1：y=422s x s -，l 2：4

t x t y -=,由此能求出点C 的轨迹方程．

②设l 1：y=kx+b ，代入C 1:14

22=+y x ，得：（1+4k 2）x 2+8kbx+4b 2

-4=0，由此利用韦达定理和根的判别式结合已和条件能求出△DPQ 的面积的最大值和此时点C 的坐标．试题解析：（1）根据抛物线的通径长2p=4,得抛物线2C 的方程为24.x y =

由题意2C 焦点坐标为(0,1)，所以2231,122

c b b e a a a ===-=?=，

所以椭圆1C 的方程为2

2=1.4

x y +.

（2）①设直线l 的斜率为k ,则直线3:(1)2l y k x -

=+,即3()2

y kx k =++. 2

23()446024

y kx k x kx k x y ?

=++??---=?

?=?.设22(,),(,),.44s t A s B t s t <则4,4 6.s t k st k +==-- 抛物线2.4x y =.2x

y '=则21:(),42s s l y x s -=-即21:,24s s l y x =-,同理22:,24

t t l y x =-

222

3242,.

2242244224s s y x s t s s s s t s st x k y x k t t

y x ?=-?++??===-=?-==--??=-??

所以230x y ++=. 因为1l 与椭圆1C 相交于,P Q 两点,

242232

224(1)4041

s s y x s s x s x x y ?=-???+-+-=??+=??,432

()4(1)(4)04s s s ?=--+->,

即2416160s s -+>,所以20845s ≤<+.845125252

1845230

y x x x y ?++?=---?=?-+?++=?

. 点C 的轨迹方程为125230()1845

x y x +++=>

-+.

②法1：设1:l y kx b =+，带入2

21:=14

x C y +中得：222(14)8440k x kbx b +++-=，

设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212122

844

,,0.1414kb b x x x x k k

-+=-=?>++ 设1l 与y 轴交于点E ，则121||(||||)2DPQ EPD EDQ S S S ED x x =-=- 1211()||24

b x x =--

2121211

()()424

b x x x x =

-+- 222

1141

()

2414k b b k -+=-+ （*）由1:l y kx b =+与抛物线2

2:4C x y =相切得：2440x kx b --=，故216160k b ?=+=，所以2k b =-,带入（*）得： DPQ S 2211

41(2)522

b b b =

--+=-++ 故2b =-时，此时10?>成立，DPQ ?的面积的最大值为

. 此时直线1:22,l y x =--12210222,

,.77230

y x x y x y ?+-=--??=-=-?++=??

所以此时点122102

(,).77

C +--

- 法2： 2

42232224(1)40

s s y x s s x s x x y ?=-???+-+-=??+=??,

设1122(,),(,)P x y Q x y .则4

31212224

4,11

s s x x x x s s -+==++. 则24222

21212122

1616||1()||1()()41()2221

s s s s s PQ x x x x x x s -+=+-=++-=++

点1(0,)4D 到直线21:24s s l y x =-的距离2

141()2

s d s

+=+.

22242422

1(8)8011161616164||1()222

1881()2

DPQ s s s s s s s S PQ d s s

?+--+-+-+=

=?+?==++注意到20845s ≤<+,所以当28s =时,DPQ ?的面积的最大值为52

. 又点A 在点B 的左侧,所以22,s =-直线1:22,l y x =--

12210222,

,.77230

y x x y x y ?+-=--??=-=-?

++=??所以此时点122102(,)77C +---. 考点：直线与圆锥曲线的综合问题.

3． (2010·江西高考

)

图2

设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)，抛物线C 2：x 2＋by ＝b 2.

(1)若C 2经过C 1的两个焦点，求C 1的离心率；

(2)设A (0，b )，Q (33，5

4b )，又M ，N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，若△AMN

的垂心为B (0，3

b )，且△QMN 的重心在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程．

解：(1)因为抛物线C 2经过椭圆C 1的两个焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，可得c 2＝b 2.

由a 2

＝b 2

＋c 2

＝2c 2

，有c 2a 2＝1

，

所以椭圆C 1的离心率e ＝

. (2)由题设可知M ，N 关于y 轴对称，

设M (－x 1，y 1)，N (x 1，y 1)，(x 1>0)，则由△AMN 的垂心为B ，有BM →·AN →

＝0，所以－x 2

1＋(y 1－34

b )(y 1－b )＝0①

由于点N (x 1，y 1)在C 2上，故有x 21＋by 1＝b 2

②

由①②得y 1＝－b

4，或y 1＝b (舍去)，

所以x 1＝

52b ，故M (－52b ，－b 4)，N (52b ，－b 4

)，所以△QMN 的重心为(3，b

4)，

由重心在C 2上得：3＋b 2

＝b 2，

所以b ＝2，M (－5，－12)，N (5，－1

)，

又因为M ，N 在C 1上，所以 ±5 2a 2

＋－12

4＝1，得a 2＝16

3.所以椭圆C 1的方程为：x 2163

＋y 2

4＝1，

抛物线C 2的方程为：x 2＋2y ＝4.

4． (2011·江西高考)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，

N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为1

(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，

C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →

，求λ的值．

解：(1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20

2＝1.

由题意又有

y 0x 0－a ·

y 0

x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝30

(2)联立??

x 2－5y 2＝5b

2y ＝x －c

得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则

?????

x 1

＋x 2

＝5c

2，x 1

x 2

＝35b 2

.①

设OC →

＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →

，即??

x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.

又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2

，

有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，

化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ·(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②

又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2

，x 22－5y 22＝5b 2

由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )·(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2

＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.

5.（本题5分）直线错误！未找到引用源。经过抛物线y 2

=4x 的焦点，且与抛物线交于A,B 两点，若AB 的中点横坐标为3，则线段AB 的长为（）

A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．7

D ．8 【答案】D 【解析】

试题分析：设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为0l ，C 是AB 的中点，分别过点,A B 作直线0

l 的垂线，垂足分别为

,M N ，由抛物线定义，得

A B A F B F

A M

B N =+=+=22

A B p

x x ++

+A B x x p =++． 28C x p =+=．

考点：抛物线的弦长．

6．（本题5分）椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上的一点，

:a l x c

=-，且PQ l ⊥,垂足为Q ,若四边形12PQF F 为平行四边形，则椭圆的离心率的取

值范围是（）

（A ） 1

(,1)2 （B ）1(0)2，（C ）2(0)2，（D ）2(1)2

，【答案】A 【解析】

试题分析：因为12PQF F 为平行四边形，对边相等．所以，PQ=F 1F 2，即PQ=2C ．

设P （x 1，y 1）． P 在X 负半轴，

－x 1=2a c

－2c ＜a ，所以2c 2+ac －a 2

＞0，

即2e 2

+e －1＞0，解得e ＞

，又椭圆e 取值范围是（0，1），所以，

点评：简单题，注意从平行四边形入手，得到线段长度之间的关系，从而进一步确定得到a,c 的不等式，得到e 的范围。

7．已知中心在原点的双曲线C 的离心率等于23,其中一条准线方程3

-=x ，则双曲线C 的方程是（）

A . 22145x y -=

B ．22145x y -=

C ．221

25x y -=- D ．22125x y -=-

【解析】

试题分析：依题意可得23

243

c a a c ?=????=??,解得3,2c a ==,从而2222

4,5a b c a ==-=,

所以所求双曲线方程为

145

x y -=.故B 正确. 8.如图，已知椭圆111:2

21=+y x C ，双曲线)0,0(1:22222>>=-b a b

y a x C ，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率为（）

A ．5

B ．5

C ．17

D ．7

2 11．A

【解析】

试题分析：设椭圆与双曲线的渐近线相交于1122(

,),(,)M x y N x y 两点

（设M

在x 轴上方）以及

33(,)A x y ，则由题意知，3OA OM =，即313x x =．于是

联立方程组2211x y b y x a ?+=??=??可得，223

2211a x a b =+；联立方程组22

111

x y b y x a ?+=????=??可得，

21111a x a b =+；即2222119()a b a b +=+，所以224b a =，即225c a =，所以5e =．故

应选A ．

考点：1、椭圆的标准方程；2、双曲线的简单几何性质．【思路点睛】本题考查了椭圆的标准方程和双曲线的简单几何性质，考查学生综合运用知识的能力和分析解决问题的能力，属中档题．其解题的一般思路为：首先设出椭圆与双曲线的渐近线的交点

1122(,),(,)M x y N x y ，然后由题意可得3OA OM =，再联立方程渐近线方程

与圆、与椭圆的方程分别计算出1x ，3x ，最后代入即可得出所求的结果．

9．已知椭圆2222:1x y C a b

+=（a>b>0）的两个焦点分别为12,F F ，离心率为1

2，过1F 的直线

l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且2MNF ?的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A,B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值．

21．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）2217

. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）由2MNF ?的周长为8，得4a=8，由12e =得22

2222314

a c e a

b a --＝＝＝，

从而可求得b ；（Ⅱ）分情况进行讨论：由题意，当直线AB 的斜率不存在，此时可设0000A x x B x x -（，），（，），再由A 、B 在椭圆上可求0x ，此时易求点O 到直线AB 的距离；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m ，代入椭圆方程消掉y 得x 的二次方程，知0?＞，由OA ⊥OB ，得12120x x y y +=，即12120x x kx m kx m +++=（）（），整理后代入韦达定理即可得m ，k 关系式，由点到直线的距离公式可求得点O 到直线AB 的距离，综合两种情况可得结论，注意检验0?＞．

试题解析：（Ⅰ）由题意知，4a=8，所以a=2，因为12e =，所以22

2222314

a c e a

b a --＝＝＝，

3b ∴=．所以椭圆C 的方程

143

x y +=；（Ⅱ）由题意，当直线AB 的斜率不存在，此时可设0000A x x B x x -（，），（，）．

又A ，B 两点在椭圆C 上，222000121437x x x ∴+＝，＝所以点O 到直线AB 的距离12221

d ＝＝，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m ．

3x y kx m

y ??

?+=?+? ＝，消去y 得2223484120k x kmx m +++-=（）．由已知0?＞，设1122A x y B x y （，），（，）．2121222

84343412

km m x x x x k k

-+-++ ＝，＝， ()()221212121212120010OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⊥∴+=∴+++=∴++++ ，．（）（），＝．

()222

222

84123431071142m k k

k m k m m k -∴+++-+∴=+＝．（），满足0?＞．所以点O 到直线AB 的距离212221

m d k +＝

＝

为定值. 考点：椭圆标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系 10．已知椭圆的中心为原点，焦点在x 轴上，离心率为

，且经过点(4,1)M ，直线:l y x m =+交椭圆于异于M 的不同两点,A B ．直线MA MB x 、与轴分别交于点E F 、．

（1）求椭圆标准方程；（2）求m 的取值范围；

（3）证明MEF ?是等腰三角形．

22．（1）22

1205

x y +=；

（2）(5,3)(3,5)--- ；（3）详见解析．【解析】

试题分析：（1）确定椭圆方程需要两个独立条件，由离心率

，得224a b = ，由经过点(4,1)M ，得

161

1a b +=，联立求,a b 即可；

（2）本题考查直线和椭圆位置关系，要注意判别式的隐含条件，联立椭圆方程和直线方程，利用0?>和直线不经过点(4,1)M ，得关于m 的不等式，解不等式得m 的取值范围；（3）由数形结合可知，要证明MEF ?是等腰三角形，只需证明120k k +=，表示两条直线的斜率，利用韦达定理设而不求，可证明120k k +=．

D A O B

D A

O B

试题解析：（1）设椭圆的方程为22

221,x y a b

+=因为32e =，所以224a b =，

又因为椭圆过点(4,1)M ，所以

1611a b

+=，解得22

5,20b a ==，故椭圆标准方程为22

1205

x y +=4分

（2）将y x m =+代入221205

x y +=并整理得22

584200,x mx m ++-=

令2(8)m ?=220(420)0m -->，解得55m -<<．又由题设知直线不过M （4,1），所以41m +≠，3m ≠-，所以m 的取值范围是(5,3)(3,5)--- ．8分

（3）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，要证明MEF ?是等腰三角形，只要证明

120k k +=即可．

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由（2）知1285m

x x +=-，2124205

m x x -=．则12121211

y y k k x x --+=

-- 122112(1)(4)(1)(4)

(4)(4)

y x y x x x --+--=

--．1221(1)(4)(1)(4)y x y x --+--

1221(1)(4)(1)(4)x m x x m x =+--++--=122x x +12(5)()8(1)m x x m -+-- 22(420)8(5)8(1)55

m m m m --=--- =0，120k k ∴+=，

所以M EF ?是等腰三角形．14分

考点：1、椭圆标准方程；2、直线和椭圆位置关系；3、韦达定理.

11．如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，则梯形面积y 和腰长x 间的函数的大致图象是 A ． B ．

C ．

D ．

6.A

由图可知，腰AD 的长的范围是(0,2)，故排除D 。

O x

y 1

O x

y 1

x y 21

再考虑特殊位置，当AD =1即x =1时，此时∠DAB =60°，面积y =33

＞1。故选A 。

12．曲线x 2+y 2=|x |+|y |围成的图形的面积是 A ．π+2 B ．π+1 C ．

2π+2 D ．2

π+1 7.A

曲线x 2+y 2=|x |+|y |关于x 轴、y 轴对称，图形如图所示。即四个半圆和一个正方形构成，

所以面积为4×12×π×(22

+(2)2 =π+2。

13．函数f (x ) = (12)x +log 12x ，g (x ) =(1

2)x +log 2x ，h (x ) = 2x +log 2x 的零点分别为a ，

b ，

c ，则 A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a

C ．b ＜a ＜c

D ．c ＜a ＜b

8.B

(12)x +log 12x =0可变成log 12x =-(12)x ，(12)x +log 2x =0可变成log 2x =-(1

2)x ，2x +log 2x =0可变成log 2x =-2x ，在同一坐标系中做出这些函数的图象如图所示。

因此f (x )、g (x )、h (x )的零点分别为图中A 、B 、C 点的横坐标。因此c ＜b ＜a 。

14. 在抛物线)0(52≠-+=a ax x y 上取横坐标为2,421=-=x x 的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆365522=+y x 相切，则抛物线顶点的坐标为

y x

B C O

D C

B A

C 1

D 1

A 1

B 1

P A ．)9,2(--

B ．)5,0(-

C ．)9,2(-

D ．)6,1(-

11. A

两点坐标为(4,114),(2,21)a a ---，两点连线的斜率k=

对于)0(52≠-+=a ax x y ，'2y x a =+， ∴2x+a=a ﹣2解得x=﹣1

在抛物线上的切点为(1,4)a ---，切线方程为(2)6=0a x y --- 直线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，即

解得a=4或0（0舍去），所以抛物线方程为2

45y x x =+-顶点坐标为)9,2(--，故选A ．

15.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是线段AC ，B 1D 1上的动点．现有如下命题：（1）?P ，Q ，使得AQ ∥C 1P ；（2）?P ，Q ，使得AQ ⊥C 1P ；（3）?P ，Q ，使得AQ ∥BP ；（4）?P ，Q ，使得AQ ⊥BP ．

其中的真命题有．（写出所有真命题的序号） 16. ①④

当Q 为B 1D 1中点，P 为AC 中点时，此时AQ ∥C 1P ，故①正确；此时AQ ⊥BP ，故④正确；

因为Q ?平面ABC ，所以A ，B ，P ，Q 四点不共面，因此不存在P ，Q ，使得AQ ∥BP ，故③错误。

以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴建立坐标系。

则P (a ,a ,0)，Q (b ,1-b ,1)，C 1(1,1,0)所以AQ uuu r =(b ,1-b ,1)，1C P uuu r

=(a -1, a -1, -1)，

所以cos=11||||AQ C P AQ C P ??uuu r uuu r

uuu r uuuu r =

1(1)(1)(1)1||||b a b a AQ C P -+---?uuu r uuuu r =12

||||

a b AQ C P --?uuu r uuuu r ，因为a ，b ∈[0,1]，所以a -b -2不可能为0，所以不存在P ，Q ，使得AQ ⊥C 1P ，故②错误。

16.（本小题满分12分）已知AD 是△ABC 的角平分线，且△ABD 的面积与△ACD 的面积比为3:2．

(Ⅰ)求

sin sin B

的值； (Ⅱ)若AD =32，∠C =2∠B ，求BC 的长．

20.解:(Ⅰ)由S △ABD :S △ADC =3:2，得

12AB ?AD ?sin ∠BAD :1

AC ?AD ?sin ∠CAD =3:2，因为∠BAD =∠CAD ，所以AB :AC =3:2，

所以sin sin B C =AC AB =23

．

(Ⅱ)由∠C =2∠B 得sin C =sin2B =2sin B cos B ，

由(Ⅰ)知sin sin B C =23，所以cos B =sin 2sin C B =34，sin B =7

，

所以cos C =cos2B =2cos 2B -1=18，sin C =37

3，

设BD =3m ，AB =3n ，则CD =2m ，AC =2n ．

在△ABD 中，由余弦定理有AB 2+BD 2-2AB ?BD ?cos B =AD 2，

即9m 2+9n 2-27

mn =18，①

同理，在△ACD 中，有4m 2+4n 2-mn =18，②

所以9m 2+9n 2-27

mn =4m 2+4n 2-mn ，

所以m =2n （由AB +AC ＞BC 知n ＞m ，故舍去），或n =2m ．代入②得，m =1．所以BC =5m =5．

17.（本小题满分12分）如图，椭圆C :22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0)经过点P (2,3)，离心率e =12，

直线l 的方程为y =4． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)AB 是经过(0,3)的任一弦（不经过点P ）．设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，

PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得11k +21k =3

k λ

？若存在，求λ的值．

22.解:(Ⅰ)由已知得222224

91,1,2a b a b c c a ?+=???-=???=??

，

解得a =4，b =23，c =2．

所以椭圆C 的方程为216x +2

12y =1． (Ⅱ)当直线AB 不存在斜率时，A (0, 23)，B (0,-23)，M (0,4)，

l y x

P M A

O B

此时k 1=

23302--=3232-，k 2=23302

---=323

2+，k 3=4302--=-12，

11k +2

k =-4，可得λ=2．当直线AB 存在斜率时，可设为k (k ≠0)，则直线AB 的方程为y =kx +3．设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立直线AB 与椭圆的方程，得

1,1612

3,x y y kx ?+

=???=+?

消去y ，化简整理得，(4k 2+3)x 2+24kx -12=0，所以x 1+x 2=22443k k -+，x 1x 2=212

k -+，

而11k +21k =1123x y --+2223x y --=112x kx -+222x kx -=121212

22()x x x x kx x -+

=24k k

-．

又M 点坐标为(1k ,4)，所以31k =1243k --=12k

k -．

故可得λ=2．

因此，存在常数λ=2，使得11k +21k =3

k λ

恒成立． 18．已知函数()

()21x

a x ax a f x e --+=

在区间[0,)+∞上的最大值为a ，则实数a 的取值范围是（） A ．24,5e ?

?-∞- ?+?? B ．24,5e ??-∞ ?+?? C ．24+5e ??

-∞??+??

， D ．2

4+5e ??

∞??

+??

，【命题意图】本题考查函数的最值与导数的关系、函数的单调性等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．【答案】D

【解析】()0f a = ，∴当0x ≥时()f x 的最大值为a ，等价于()f x a ≤对于0x >恒成立

，

可

化

为

x a e x x ≥++-对于

x >恒成立．令

()()()()()

22221,11x x x x x e x g x g x e x x e x x --'==++-++-则，于是由()0g x '>与()0g x '<，知函数()g x 在(0,2]上单调递增，在[)2+∞，上单调递减，∴()()2

max 4

g x g e ==

+，所以

a e ≥

+，故选D ．

19.已知点112221(,),(,),(,0),(,0)A x y B x y C x D x ，其中210,0x x >>，且

21111

0y x x y -

+=， 222220y x x y -+=，若四边形ABCD 是矩形，则此矩形绕x 轴旋转一周得到的圆柱的体积

的最大值为[来源:https://www.wendangku.net/doc/1516330429.html,]

________．【答案】

考点：1、圆柱体的体积；2、基本不等式．

20.（本小题满分12分）在以直角坐标原点O 为极点，x 的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C ．（1）求曲线2C 的极坐标方程；

（2）若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ，切点为T ．求T M T N 的取值范围．

【答案】（1）2sin ρθ=；（2）[0,1]．【解析】

试题分析：（1）先求得曲线1C 的直角坐标方程，然后由平移的性质求得曲线2C 的直角坐标方程，从而求得曲线2C 的极坐标方程；（2）令00(,)T x y ，切线倾斜角为θ，从而得到切线的参数方程，并联立2C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义求解．试题解析：（1）由222x y ρ=+，得1C 的直角坐标方程为221x y +=，所以曲线2C 的直角坐标方程为22(1)1x y +-=．又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=，即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．

（2）由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，则切线MN 的参数方程为00cos sin x x t y y t θ

=+??

=+?（t 为参数），

联立2C 的直角坐标方程，得20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-=，则由直线参数方程中t 的几何意义可知0|12|TM TN y =- ．因为012[1,1)y -∈-，所以[0,1]TM TN ∈ ．学科网

考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、直角坐标方程与极坐标方程的互化；3、参数的几何意义．

21.（本小题满分12分）已知平面上的动点(,)P x y 及两定点(2,0)M -、(2,0)N ，

直线PM 、PN 的斜率

之积为定值3

，设动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设000

(,)(0)Qx y y

是曲线C 上一动点，过Q 作两条直线12,l l 分别交曲线C 于,A B

两点，直线1l 与2l 的斜率互为相反数．试问：直线AB 的斜率与曲线C 在Q 点处的切线的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）22

1(0)43

x y y +=≠；（2）定值为0．

（2）设1l 的斜率为2,k l 的斜率为k -，设100:()l y y k x x -=-，代入22

143

x y +=得2220000(34)8()4()120k x k y kx x kx y ++-+--=，

由韦达定理有200024()1234A kx y x x k --=+，得2002

4()12

(34)A kx y x k x --=+，同理可得2002

04()12(34)B kx y x k x +-=+，又22

003412x y +=， []0000()2()()()2A B A B A B A B AB A B A B A B A B

k x x x k x x k x x k x x x k y y k x x x x x x x x +--+-+--=

===---- 220000022

002200002

2002222

0000020000220000

4()124()122(34)(34)4()124()12

(34)(34)4()124()122(34)4()124()12

41238kx y kx y k x k x k x kx y kx y k x k x k kx y kx y x k kx y kx y k y x k kx y ??--+-+-??++?

?=--+--++??--++--+??

=---++??--??

-22

000

33384x x x kx y y ??--??

由22143x y +=，取0y >，这样2

334

x y =-，曲线C 在00(,)Q x y 处切线的斜率00

33244332334

x x x x x x x k y y x x ==--'==

==---切，综上，0AB k k +=切，即直线AB 的斜率与曲线C 在Q 点处的切线的斜率之和为定值0．考点：1、直线的斜率；2、直线与椭圆的位置关系；3、导数的几何意义．

【思路点睛】求解定值问题的基本思路：(1)首先求出这个几何量或代数表达式；(2)对表达式进行化简，整理成()y f m n k ＝，，的最简形式；(3)根据已知条件列出必要的方程(或不等式)，消去参数，最后求出定值，一般是根据已知条件列出方程()k g m n ＝，，代入

()y f m n k ＝，，，得到()y h m n c ＝，＋ (c 为常数)的形式．

22.（本小题满分12分）已知函数2

()ln ()2

a f x x x x x a a R =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求a 的取值范围；

（2）记两个极值点分别为12,x x ，且12x x <．已知0λ>，若不等式211e x x λλ

+< 恒成立，

求λ的范围．【答案】（1）1

0a e

<<；（2）1λ≥．[来源:学科网ZXXK]

【解析】

试题分析：（1）求导，将问题转化为导函数在(0,)+∞上有两个不同根，进而将问题转化为两个函数的交点问题，通过作图求解；（2）原不等式等价于121ln ln x x λλ+<+，即等价于121a x x λ

λ+>

+，进一步将问题转化为112212

(1)()ln x x x x x x λλ+-<+，令12x t x =，

(1)(1)

()ln t h t t t λλ

+-=-

+，从而求导，通过研究()h t 的单调性求得λ的范围．

（2）因为2

11e

x x λ

+< 等价于121ln ln x x λλ+<+．由（1）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即1222ln ,ln x ax x ax ==，

所以原式等价于12121()ax ax a x x λλλ+<+=+，因为120,0x x λ><<，所以原式等价于12

1a x x λλ+>+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分又由1122ln ,ln x ax x ax ==作差得，1

122ln ()x a x x x =-，即1

212

ln x x a x x =-．所以原式等价于

21212ln

1x x x x x x λλ+>-+，因为12

0x x <<，原式恒成立，即112212(1)()ln x x x x x x λλ+-<+恒成立．