共面向量定理教案

1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；

2. 理解共线向量定理和共面向量定理

1：什么叫空间向量共线？空间两个向量,a b ， 若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件是 2：直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若1233

OP OA OB =+ ，试判断A,B,P 三点是否共线？

二、新课导学（预习教材P 74~ P 76，找出疑惑之处）

※探究指引

探究任务一：空间向量的共面

新知：如何理解共面向量 ？

问题：空间任意两个向量不共线的两个向量,a b 有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样

的位置关系？

2. 空间共面向量定理： 定理：对空间两个不共线向量,a b ，向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在 ， 使得 .

试试：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式111236

OP OA OB OC =++ ,则点P 与 A,B,C 共面吗？

反思：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式OP xOA yOB zOC =++ ,且点P

与 A,B,C 共面，则x y z ++= .

※ 动手试试

下列等式中，使M ,A ,B ,C 四点共面的个数是

①;OM OA OB OC =-- ②111;532OM OA OB OC =++ ③0;MA MB MC ++= ④0OM OA OB OC +++= .

※ 典型例题

例1已知矩形ABCD 和ADEF 所在的平面互相垂直，点M 、N 分别在BD ，AE 上， 且分别是距B 点、A 点较近的三等分点，求证：MN //平面CDE

例2 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC 外一点O 作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线

上分别取点E,,F ,G ,H,并且使,OE OF OG OH k OA OB OC OD

==== 求证：E,F ,G,H 四点共面.

巩固练习 已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D 不共面，E,F ,G,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F ,G ,H 四点共面.

三、总结提升

※ 学习小结

共面向量定理 A

B D

E F

M

N A B

C D F E G H

数学中如何证明向量共面

数学中如何证明向量共面 共面向量定理是数学学科的基本定理之一，那它该怎么被证明呢?证明的过程是怎样的呢?下面就是给大家的证明向量共面内容，希望大家喜欢。 已知O是空间任意一点,A.B.C.D四点满足任意三点均不共线 但四点共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,则2x+3y+4z=? 写详细点怎么做谢谢了~明白后加分!!! 我假定你的O-A表示向量OA。 由O的任意性，取一个不在ABCD所在平面的O，这时若 OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。 (证明：设O在该平面上的投影为P，那么对平面上任何一点X，OX=OP+PX，然后取X=A、B、C、D代你给的关系式并比较OP分量即可。) 你给的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。 充分不必要条件。 如果有三点共线，则第四点一定与这三点共面，因为线和直线 外一点可以确定一个平面，如果第四点在这条线上，则四点共线，也一定是共面的。 而有四点共面，不一定就其中三点共线，比如四边形的四个顶 点共面，但这四个顶点中没有三个是共线的。 “三点共线”可以推出“四点共面”，但“四点共面”不能推 出“三点共线”。因此是充分不必要条件

任取3个点，如果这三点共线，那么四点共面;如果这三点不共线，那么它们确定一个平面，考虑第四点到这个平面的距离。方法二A、B、C、D四点共面的充要条件为向量AB、AC、AD的混合积 (AB,AC,AD)=0。方法三A、B、C、D四点不共面的充要条件为向量AB、AC、AD线性无关。 已知O是空间任意一点,A.B.C.D四点满足任意三点均不共线 ,但四点共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,则2x+3y+4z=? 写详细点怎么做谢谢了我假定你的O-A表示向量OA。 由O的任意性，取一个不在ABCD所在平面的O，这时若 OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。 (证明：设O在该平面上的投影为P，那么对平面上任何一点X，OX=OP+PX，然后取X=A、B、C、D代你给的关系式并比较OP分量即可。) 你给的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。 4Xa-Yb+Yb-Zc+Zc-Xa=0 ∴Xa-Yb=-(Yb-Zc)-(Zc-Xa) 由共面判定定理知它们共面。 简单的说一个向量能够用另外两个向量表示，它们就共面。 1.若向量e1、e2、e3共面， (i)其中至少有两个不共线，不妨设e1,e2不共线，则e1,e2线性无关，e3可用e1,e2线性表示，即存在实数λ，μ，使得e3=λe1+μe2,于是 λe1+μe2-e3=0.

《共面向量定理》教案设计

（1） B C （2） 课 题：共面向量定理 江苏省泰州中学 宋健 教学目标： 知识与技能：了解共面向量的含义，理解共面向量定理； 利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题； 过程与方法：运用类比的方法，自主探究向量共面的条件,并能灵活运用； 情感态度与价值观：体会类比，化归的思想方法；领悟数学研究方法的模式化特点，感受理 性思维的力量。 教学重点：共面向量的含义，理解共面向量定理 教学难点：利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题 教学过程： 一。问题情景 1、关于空间向量线性运算的理解 问题：如图（1），MN 可以由哪些向量相加得到？图（2）中呢？ 平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量，只要图形封闭，其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。 从平面到空间，类比是常用的推理方法。 二、建构数学 师生共同活动 如图：在长方体中，由相等向量的定义可知a AB,b AD,p AC ===，而AB AC AD 、、在同一平面内，此时我们称a b p 、、是共面向量。 1.共面向量的定义 一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量（coplanar vector ）； 类比1：共面向量与共线向量的定义在形式上有何相同之处? 都是将向量问题转化为直线与直线或直线与平面之间的位置关系来研究. 探究1：(1)我们已经知道空间中任意两个向量一定可以共面，那么空间中任意三个向量一定 是共面向量吗？请举例说明． a b p

结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量． 例如：对于四面体ABCD ，AB 、AC 、AD 这三个向量就不是共面向量． (2)空间三个向量p ,b a ,具备怎样的条件时才是共面向量呢？ 2.共面向量的判定 联想：在平面向量中，向量与非零向量共线的充要条件是 λ=，类比到空间向量，探究得到 共面向量定理 如果两个向量,不共线，那么向量与向量,共面的充要条件是存在有 序实数组),(y x ，使得p xa yb =+ 这就是说，向量可以由不共线的两个向量b a , 分析定理 类比2:空间共线向量定理和平面共线定理是相同的,那么,空间共面向量定理是否和平面向量的某个定理相联系呢? 空间向量中的共面定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的,而且在本质上也是一致的.这是因为任意两个空间向量b a ,都可以平移到同一个平面,当b a ,不共线时,可以作为基向量,向量与它们共面,也就是向量可以平移到这个平面,所以就能用b a ,线性表示. 三、数学运用 问题:如图，已知两堵矩形墙壁ABCD 和ADEF 所在平面垂直于地面，有两只蚂蚁分别从D 、E 两点沿对角线BD,AE 向上爬，当它们都爬到对角线的1 3 处时，它们惊奇的发现它们距离地面CDE 的高度一样，你能告诉它们这是为什么吗？ 分析：即要证MN//平面CDE ，只要证明向量MN 可以用平面CDE 内的两个不共线的向量CD 和DE 线性表示. 证明：因为M 在BD 上，且BM= 13 BD 所以111MB DB DA AB 333 ==+ 同理11AN AD DE 33 = + N N F E D A M C B

《共面向量定理》教学反思

《共面向量定理》教学反思 《共面向量定理》教学反思范文 11月29日，我在学校大型教研活动《我与课改共成长》中上了一节公开课，并有幸得到中国教育学会专家毛老师的指导，获益匪浅。 这节课能圆满成功，离不开集体的智慧。为了帮我上好这节课，我们数学组从组长到普通老师都给了我很大的帮助。在准备这节课的过程中，刘主任、几个组长和高二备课组的几个老师从设计教案开始，每个细节，每个环节帮我出主意、提了很多中肯的建议，并为我提供各种方便，章老师更亲自帮我修改教案和课件。在试上时，蒋校长、季校长都到场听课，提出了许多宝贵意见。 本节教学中，我主要注意了以下几个问题： 1.培养学生的数学思维能力是数学教学的核心问题，让学生经历思想方法的形成过程，这是基本而重要的。在这节课的教学中，我注意引导学生学会运用类比、归纳等方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，体验数学在结构上的和谐性。领悟数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量。 2.新课改关注教学理念，关注教师是否满足学生的需要。新课程标准明确指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。新课程标准最大的特点是突出学生的主体地位。在教学中我注重尊重、关心、理解、信任学生，努力创设平等、民主、和谐的气氛，给学生以学习轻松自由乐趣无限的“数学环境”；注重

让班级中的全体学生都积极投入到学习中去，并能主动思考问题；注意采取各种有效的手段和方法，调动学生的积极性，激发起学生浓厚的学习兴趣，让学生广泛参与到自主学习、合作交流探究中。 3.运用有效教学理念关注学生的进步和发展。确立学生的主体地位，“一切为了学生的发展”。加强师生互动，生生交流。既注重人的智慧获得，又注重人的情感发展。在这节课的教学中，我注意从学生出发，给学生更多的自由，让他们真正参与，注重学习的过程，注重学生的自我完善，自我发展，教会学生学会学习，尤其是有意义的接受学习和发现学习。注重培养学生的自信，自重，自尊，使他们充满希望和成功，促进其健康人格的.形成。 4.重视学生个性的和谐发展，并通过教学唤起学生的求知欲和对个人全面发展的追求。同时，引导学生独立思考，主动获取信息，实现知识、能力和人格的协同发展。 5．新课程理念倡导教师，学生在课堂上一起生成发展的教学模式，体现“用教材教而不是教教材”的先进思想，注重师生间的互动。因此，用教材而不是教教材，要求教师能利用教材进行重新组合。这节课的教学过程中，我挖掘教材中所蕴涵的思想方法，领会编者的意图，通过改变例题形式，改变问题方式等手段，用活教材，很好的达到了教学目标。 6.以多媒体为主的现代教育手段，可以有效的突破课堂教学时空的局限，弥补教材内容的单调、抽象等不足。本节课我利用多媒体从准备上课开始，就给学生营造一个轻松而有趣的学习环境，大大激发

空间向量基本定理汇总

1 装 订 线 庆云第一中学课堂导学案 （设计者：于长田 审核者：刘晓莉） 年级 高二 学科 数学 编号 x （2-1）44日期 2015-12-02 班级 姓名 3.1.2空间向量基本定理 一．学习目标：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向 量基本定理的证明。 二．自学指导：阅读课本P82—P84页注意下面问题。 1.共线向量定理： 2.共面向量： 3.共面向量定理： 4.空间向量分解定理： 三．知识应用 例1在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = a ，AD =b ，1AA =c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ：QA 1=4：1， 用基底{a 、b 、c }表示以下向量： （1）AP ，（2）AN ，（3）AQ 练习：1.已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，设，AB = a ，AD =b ，1AA =c 用基底{} ,,a b c 表示如下向量 ： (1) 111,,,AC AB A D DC (2)AG (G 是侧面CC 1D 1D 的中心) 2.已知空间四边形OABC 中，M,N 分别是对边OA,BC 的中点，点G 在MN 上，且MG=2GN.设OA=,a ,OB b = ,OC c =试用基底{} ,,a b c 表示OG 例2.已知向量a =1e －22e +33e ，=21e +2e ，=61e －22e +63e ， 判断a +b 与c 能否共面或共线？c －3b 与b －2a 能否共面或共线？

3 . 已知2,a i j k =-+ 32,b i j k =-++ -37c i j =+ 证明这三个向量共面。 4.已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p a b c =+-，235q a b c =--，71822r a b c =-++，向量p ，q ，r 是否共面？ 例 3.已知矩形ABCD,P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD,M,N 分别为PC,PD 上的点，且 PM=2MC,PN=ND 求满足MN=x AB y AD z AP ++的实数x,y,z 的值。 5 已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1 （1）化简112 23 AA BC AB ++并在图上标出其结果。（2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧 面BCC 1B 1对角线BC 1上的 3 4 分点，设1MN AB AD AA αβλ=++试求,,αβλ的值。 练习巩固： 1．“a ＝x b ”是“向量a 、b 共线”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是 ( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC → C.AB →＝BC → D ．|AB →|＝|BC →| 3．已知{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是 A ．a B ．b C ．a ＋2b D ．a ＋2c 4．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 ( ) A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 5．在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是 ( ) A.OM →＝25OA →－15OB →－15OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC → 确定的一点P 与A ， B ， C 三点共面，则λ＝________. 7．在以下3个命题中，真命题的个数是________． ①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面． ②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线． ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底． 8．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD → ＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共

空间向量的基本定理

§9.5.4 空间向量的基本定理 教学目标： ⒈了解空间向量基本定理及其推论； ⒉理解空间向量的基底、基向量的概念 教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）． 教学难点：空间作图． 教学方法：讲授法． 教学过程设计： 一、复习引入 1．复习向量与平面平行、共面向量的概念． 区别：（1）向量与平面平行时，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的． （2）平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内． 2．空间共面向量定理及其推论． （1）共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x ，y ，使得 p = x a+y b ． （2）共面向量定理的推论：空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使得MB y MA x MP +=，或对于空间任意一定点O ，有 y x OM ++=．② OB y OA x OM y x OP ++--=)1( ③ 今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的三个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理． 二、新课讲授 问题1：右图中的向量、、AA 是不共面的三个向量，请问向量'AC 与它们是什 么关系？由此可以得出什么结论？AA AC ++=． 由此可知，始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向 量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量． 问题2：如果向量、AD 、'AA 分别和向量a 、b 、c 共线，能否 用向量a 、b 、c 表示向量AC ？'AC ＝x a +y b +z c 事实上，对空间任一向量AC ，我们都可以构造出上述平行六 面体，由此我们得到了空间向量基本定理：

高一数学教案---平面向量基本定理

第六教时 教材：平面向量基本定理 目的：要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量； 或一个向量分解为两个向量。 过程：一、复习：1．向量的加法运算（平行四边形法则）。 2．实数与向量的积 3．向量共线定理 二、由平行四边形想到： 1．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ 2．对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ ——提出课题：平面向量基本定理 三、新授：1．(P105-106)1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量 =1e OM =λ11e =a =OM +ON =λ11e +λ22e =2e ON =λ22e 得平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对 于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e 注意几个问题：1 1e 、2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底 2 这个定理也叫共面向量定理 3 λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 2．例一( P106例三)已知向量1e ，2e 求作向量 2.51e +32e 。 作法：1 取点O ，作= 2.51e =32e 2 作 OACB ，即为所求+ 例二、(P106例4) ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ， 1e 2e a O N B C 1 e 2e O

用a ，b 表示，，和 解：在 ∵ AC = =a b ∴ = 21= 21(a +b )= 21a 21b =21=21(a b )=21a 21b =21=21a +2 1b = = 21= 21a +2 1b 例三、已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点， 求证：+++=4OE 证：∵E 是对角线AC 和BD 的交点 ∴== == 在△OAE 中 += 同理：OB +BE =OE OC +CE =OE OD +DE =OE 以上各式相加，得：OA +OB +OC +OD =4OE 例四、(P107 例五)如图，OA ，OB 不共线，AP =t AB (t R)用OA ,OB 表示OP 解：∵AP =t AB ∴ OP =OA +AP =OA + t AB =OA + t(OB OA ) P B A O

共面向量定理

共面向量定理 共面定理的定义为能平移到一个平面上的三个向量称为共面向量。共面向量定理是数学学科的基本定理之一。属于高中数学立体几何的教学范畴。主要用于证明两个向量共面，进而证明面面垂直等一系列复杂定理。 内容 如果两个向量a.b不共线，则向量p与向量a.b共面的充要条件是存在有序实数对(x.y),使p=x a+y b 定义为：能平移到同一平面上的三个向量叫做共面向量 推论 推论1 设OABC是不共面的四点则对空间任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x,y,z) 使得OP=xOA+yOB+zOC {OP,OA,OB,OC均表示向量} 说明：若x+y+z=1 则PABC四点共面（但PABC 四点共面的时候，若O在平面ABP内，则x+y+z不一定等于1，即x+y+z=1 是P.A.B.C四点共面的充分不必要条件） 证明： 1）唯一性： 设另有一组实数x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC 则有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC ∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0 ∵OA、OB、OC不共面 ∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z' 故实数x,y,z是唯一的 2）若x+y+z=1 则PABC四点共面： 假设OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1 且PABC不共面 那么z=1-x-y 则OP=xOA+yOB+OC-xOC-yOC OP=OC+xCA+yCB(CP=xCA+yCB) 点P位于平面ABC内与假设中的条件矛盾故原命题成立 推论2 空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x.y,使MP=xMA+yMB {MP MA MB 都表示向量}或对空间任一定点O，有OP=OM+xMA+yMB {OP,OM,MA,MB表示向量}