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《线性代数》教学大纲

《线性代数》教学大纲

Linear Algebra

课程编码:09A00120学分:2.5课程类别:专业基础课(必修课)

计划学时:40 其中讲课:40 实验或实践:0 上机:0

适用专业:材料科学与工程学院、化学化工学院、商学院等各专业

推荐教材:张苏梅,杨殿武主编. 线性代数. 北京:科学出版社,2013.

参考书目:1、同济大学应用数学系编. 线性代数(第五版). 北京:高等教育出版社,2009.

2、上海交通大学数学系线性代数课程组编. 线性代数(第二版). 北京:高等教育出版社,2012.

3、赵树嫄主编. 线性代数(经管类.第四版). 北京:中国人民大学出版社,2013.

4、吴赣昌主编. 线性代数(理工类.第四版). 北京:中国人民大学出版社,2011.

5、杨刚、吴惠彬主编. 线性代数. 北京:高等教育出版社,2008.

课程的教学目的与任务

线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程,它具有较强的抽象性与逻辑性,是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。

通过本课程的教学,使得学生在系统地获取线性代数的基本知识、基本理论与基本方法的基础上,初步熟悉和了解抽象的、严格的代数证明方法,理解具体与抽象、特殊与一般的辩证关系,提高抽象思维、逻辑推理的能力,并具有较熟练的运算能力。学会理性的数学思维技术和模式,培养学生的创新意识和能力,能运用所获取的知识去分析和解决问题,并为后继课程的学习和进一步深造打下良好的基础。

课程的基本要求

通过本课程的学习,要求学生熟练掌握行列式及矩阵的运算,借助矩阵的初等行变换熟练掌握各类线性问题解的刻画及求解方法步骤。理解矩阵的秩及向量组的秩的定义及两者的关系,理解向量组的线性相关性,线性方程组解的有关理论,利用正交变换化对称矩阵为对角形矩阵、化二次型标准形等有关基础知识、基本理论与基本方法。具有较熟练的运算能力,一定的逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力。

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议(含课内实验)

本课程的内容按教学要求的不同,分为两个层次. 其中,概念、理论用“理解”一词表述的,方法、运算用“掌握”一词表述的,属较高要求,必须使学生深入理解,牢固掌握,熟练应用;概念、理论用“了解”一词表述的,方法、运算用“会”或“了解”表述的,也是教学中必不可少的,只是在要求上低于前者。

第1章:行列式建议学时:6 [教学目的与要求]

1、知道n阶行列式的定义。

2、了解行列式的性质,掌握行列式的计算。

3、了解克拉默(Cramer)法则。

[教学重点与难点] 行列式的性质,行列式的计算。

[授课方法] 以课堂多媒体讲授为主,课堂讨论和课堂练习为辅。

[授课内容]

1.1 二阶与三阶行列式

1.1.1 二阶行列式

1.1.2 三阶行列式

1.2 n阶行列式的定义

1.2.1 排列与逆序数

1.2.2 n阶行列式的定义

1.3 行列式的性质与计算

1.3.1 行列式的性质

1.3.2 行列式按行(列)展开

1.4 克拉默法则

第2章:矩阵建议学时:10 [教学目的与要求]

1.理解矩阵的概念,掌握某些特殊矩阵的定义及性质。

2.熟练掌握矩阵的线性运算,乘法运算,转置及相关运算性质。

3.理解伴随阵概念及性质,理解逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆充要条件。

4.理解矩阵秩的概念,知道满秩矩阵及其性质。

5.理解矩阵的初等变换,熟练地用初等行变换求逆矩阵、求矩阵的秩、解矩阵方程。

6.了解分块矩阵的运算,掌握准对角矩阵的运算性质。

[教学重点与难点]

重点:矩阵、逆矩阵、矩阵的秩及矩阵的初等变换的概念。矩阵的各类运算及运算性质。矩阵可逆的充要条件。初等矩阵与初等变换的关系性质,用初等变换求逆矩阵、矩阵的秩、矩阵方程的解的方法。

难点:矩阵秩的概念,有关矩阵秩的性质的应用问题。

[授课方法] 以课堂多媒体讲授为主,课堂讨论和课堂练习为辅。

[授课内容]

2.1 矩阵的概念

2.2 矩阵的运算

2.2.1 矩阵的加法

2.2.2 矩阵与数的乘法

2.2.3 矩阵的乘法

2.2.4 矩阵的转置

2.2.5 方阵的行列式

2.3逆矩阵

2.3.1 逆矩阵的概念

2.3.2 方阵可逆的充要条件

2.3.3 逆矩阵的运算性质

2.4 分块矩阵及其运算

2.4.1 分块矩阵的概念

2.4.2 分块矩阵的运算

2.4.3 几类特殊的分块矩阵

2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵

2.5.1 矩阵的初等变换

2.5.2 初等矩阵

2.6 矩阵的秩

2.6.1 矩阵的秩的概念

2.6.2 矩阵的秩的性质

习题课

第3章:n维向量建议学时:8 [教学目的与要求]

1. 理解n维向量的概念、理解线性相关性概念及相关性质定理。会判别向量组的线性相关性。

2.理解向量组的最大无关组、秩的概念,理解三秩相等定理。掌握用矩阵的初等变换求向量组的

最大无关组及秩的方法。

3.理解n维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念,会求向量空间的基、维数。

4. 理解内积、正交矩阵的概念。

[教学重点与难点]

重点:向量组的线性相关性的概念及性质,向量组的线性相关性的矩阵判别法及其推论以及上述结论的应用;向量组的最大无关组与秩的概念与求法;三秩相等定理及应用;向量空间、基底及维数的概念。

难点:向量组的线性相关性、向量组的最大无关组与秩及相关证明题。

[授课方法] 以课堂多媒体讲授为主,课堂讨论和课堂练习为辅。

[授课内容]

3.1 n维向量及其线性运算

3.2 向量组的线性相关性

3.2.1 向量组及其线性组合

3.2.2 线性相关与线性无关的概念

3.2.3 线性相关性的判定

3.3 向量组的秩

3.3.1 向量组的最大线性无关组和秩

3.3.2 矩阵的秩与向量组的秩的关系

3.4 向量空间

3.4.1 向量空间

3.4.2 坐标及坐标变换

3.5 向量的内积

3.5.1 n维向量的内积

3.5.2 标准正交基

3.5.3 正交矩阵

习题课

第4章:线性方程组建议学时:6

[教学目的与要求]

1.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件。

2.理解齐次线性方程组的基础解系,线性方程组的通解的概念及解的结构。

3.熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。

4.掌握线性方程组解的理论在向量组的线性相关性和在几何上的应用。

5. 线性方程组的应用可根据所教授专业酌情处理。

[教学重点与难点] 齐次线性方程组有非零解的判断及基础解系的概念;非齐次线性方程组有解的判断及通解结构;用矩阵的初等行变换求解线性方程组;线性方程组解的理论在几何上的应用。

[授课方法] 以课堂多媒体讲授为主,课堂讨论和课堂练习为辅。

[授课内容]

4.1 一般概念

4.2 线性方程组解的存在性

4.3 齐次线性方程组解的结构及其解法

4.3.1 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件

4.3.2 齐次线性方程组解的结构

4.3.3 求解齐次线性方程组

4.4非齐次线性方程组解的结构及其解法

4.5 线性方程组的应用

4.5.1 在向量组线性关系中的应用

4.5.2 线性方程组在几何中的应用

4.5.3在投入产出问题中的应用

4.5.4在复杂化学反应的计量中的应用

习题课

第5章:特征值、特征向量建议学时:5 [教学目的与要求]

1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念并掌握其求法。

2.理解相似矩阵的概念与性质,理解矩阵可相似对角化的充要条件。

[教学重点与难点]

重点:矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法;实对称矩阵的相似对角化。

难点:矩阵可相似对角化的条件及相关问题。

[授课方法] 以课堂多媒体讲授为主,课堂讨论和课堂练习为辅。

[授课内容]

5.1 特征值与特征向量

5.1.1 特征值与特征向量的概念

5.1.2 特征值与特征向量的性质

5.2相似矩阵

5.2.1 相似矩阵的概念及性质

5.2.2 方阵的相似对角化问题

5.3对称矩阵及其对角化

5.3.1 对称矩阵的特征值与特征向量

5.3.2 对称矩阵的正交相似对角化

习题课

第6章:二次型建议学时:5 [教学目的与要求]

1.了解二次型及其矩阵表示、二次型的秩及二次型的标准形等概念。

2.掌握用正交变换将二次型化为标准形的方法。

3.了解正定二次型的概念及意义。

[教学重点与难点] 用正交变换化二次型为标准型。

[授课方法] 以课堂多媒体讲授为主,课堂讨论和课堂练习为辅。

[授课内容]

6.1 二次型

6.1.1 二次型

6.1.2 矩阵的合同

6.2 化二次型为标准形

6.2.1 用正交变换化二次型为标准形

6.2.2 用配方法化二次型为标准形

6.3 正定二次型

6.3.1 二次型的惯性定理

6.3.2 正定二次型

习题课

撰稿人:张苏梅审核人:杨殿武