LST Homework 5
1、系统状态方程
111111()020(),020004004t t --????
????=-=-????
????--????
x x A & 由线性系统理论知识可知，该系统一致指数稳定。
2、特征值的实部均为负
用Matlab 求得特征值为：
{}{}1
24i =---λ
三个特征值的实部均为负。
3、矩阵指数的极限lim t n n t e ?→∞
=A 0
用Matlab 求得矩阵指数为
exp()exp(4)exp()exp()exp(2)33
0exp(2)
000exp(4)
t t t t t t e t t --?
?
-----????
=-????-???
?
A
由上述矩阵可知，33lim t t e ?→∞
=Α0。其中不为零分量的时间曲线为：
图 1 t
e A 不为零分量的时间曲线
由图 1可知，矩阵指数的不为零分量均随时间衰减到0，因此可以推断
33lim t t e ?→∞
=Α0。
4、矩阵指数的范数的无穷积分0
t e dt ∞
?A 有界
t e A 随时间变化的曲线为：（Δ0.001s t =）
1234
5678910
00.20.40.6
0.81t
φ(t,0)
φ(t ,0)
图 2 t
e A 随时间变化的曲线
由图 2可知，t e A 随时间变化，趋于0
t
u e du ?
A （用求和近似积分，Δ0.001s t =）随时间变化的曲线为：
图 3
t
u e du ?
A 随时间变化的曲线
由图 3可知，0
t
u e du ?A 随时间趋于一个接近于1.2的稳定值，因此可以推断
t e dt ∞
?
A 有界。
5、源程序
%Matlab 验证LTI 系统关于稳定性的三条性质（推论）
01234
5678910
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
||φ(t ,0)||
||φ(t,0)||
0123
4
5678910
0.20.40.60.81
1.2
1.4t
∫(||φ(t ,0)||)d t
∫(||φ(t,0)||)dt
clc;
clear all;
close all;
syms s t
delta_t=0.001;%时间间隔
T=10;%时间长度
%--------求特征值------------------------%
A=[-1 1 1;0 -2 0;0 0 -4];
eig_A=eig(A);
%--------求矩阵指数极限-------------------%
%Laplace方法求矩阵指数
rA=size(A);
r=rA(1);
I=eye(r);
B=s*I-A;
C=inv(B);
eAt=ilaplace(C,s,t);%exp(At)
%矩阵指数不为零分量随时间变化曲线
figure(1);
h=ezplot(eAt(1,1),[0 T]);
set(h,'Color','b'); hold on;
h=ezplot(eAt(1,2),[0 T]);
set(h,'Color','r');hold on;
h=ezplot(eAt(1,3),[0 T]);
set(h,'Color','g'); hold on;
h=ezplot(eAt(2,2),[0 T]);
set(h,'Color','k');hold on;
h=ezplot(eAt(3,3),[0 T]);
set(h,'Color','m'); hold on;
title('φ(t,0)');axis([0 T 0 1]);
legend('φ(1,1)','φ(1,2)','φ(1,3)','φ(2,2)','φ(3,3)'); ylabel('φ(t,0)');
%--------求矩阵指数范数积分---------------%
n=1;
N=length(0:delta_t:T);
norm_eAt=zeros(1,N);%矩阵指数的范数intnorm_eAt=zeros(1,N);%矩阵指数的范数的积分
for tt=0:delta_t:T
%eig_eAt=eig(eAt'*eAt);
eAt_num=subs(eAt,t,tt);%sym转化为数值
eig_eAt=eig(eAt_num'*eAt_num);
norm_eAt(n)=max(sqrt(eig_eAt));%矩阵指数的范数
if n intnorm_eAt(n+1)=intnorm_eAt(n)+norm_eAt(n)*delta_t;%用求和近似积分 end n=n+1; end tt=0:delta_t:T; figure(2); plot(tt,norm_eAt); xlabel('t');ylabel('||φ(t,0)||');title('||φ(t,0)||'); %矩阵指数的范数的积分 figure(3); plot(tt,intnorm_eAt); xlabel('t');ylabel('∫(||φ(t,0)||)dt');title('∫(||φ(t,0)||)dt');