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考研专业课郑君里版《信号与系统》第一章补充习题——附带答案详解

第一章绪论

1．正弦脉冲()f t 如题图1(a)所示，求

()d f t d t

和

()d f t dt

，并画出相应的波形图。

解：()sin()[()()]f t t u t u t π=--

()cos()[()()]

d f t t u t u t dt

π=--22

()sin()[()()]cos()[()()]

sin()[()()]()()

d f t t u t u t t t t dt

t u t u t t t πδδππδδπ=---+--=---++-

两点讨论：（1）观察本题由

()d f t d t

求

()[

()]d d

f t f t dt

dt dt

的结果我们看到：

对于具有不连续点的函数，其在不连续点处的导数将出现冲激函数，其冲激强度为函数在不连续点处函数值的跳变量。这与在高等数学中认为函数在不连续点处不存在导数不同，原因在于我们定义了冲激函数()t δ，并且认为

()()d u t t dt

δ=。

（2）观察本题求解结果，有

()()()()d f t f t t t dt

δδπ=-++-，即

()d f t dt

是()K f t ?与冲激

函数之和，这一点将为求解系统响应和信号的傅里叶变换带来很大的方便。

()()()()d f t f t t t dt

δδπ=-++-

2()()()1j j F F e

πω

ωωω-=-++ 2

1()1j e

F πωωω

-+?=

2．某连续时间系统的激励()e t 和响应()r t 的关系通过题图2所示的方框图来表示，求联系()e t 和()r t 之间关系的微分方程。

题图1(a)

)(t f

(1) 题图1(b)

()d

f t d t

0 -1

-1

()d

f t dt

(1)

)(t e

题图2

)(t r

Σ ∫ -12 -6

-9

∫ -8

解：本题给出的方框图不是标准形式，无法直接写出微分方程。除可用引入辅助函数()q t 的方法外，还可用以下方法求解。

()e t 到()r t 之间有一个直通环节，故1()()()r t r t e t =+，而1()r t 满足微分方程

2111

()6

()8()9()

12()

d d

r t r t r t e t e t d t

d t

++=-- 消去中间变量1()r t ，可得

222

()6

()8()()3

()4()d d d d r t r t r t e t e t e t dt

++=

3．判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的？（1）

)()()(00t e b t r a t r dt

d =+ （2）

100)()()(b t e b t r a t r dt

d +=+

（3）()2()()r t e t u t = （4）()cos[()]()r t e t u t = （5）)()(t e t r -= （6）)3()(t e t r = （7）τd τe t r t

∞-=)()( （8）τd τe t r t

∞

5)()(

（9）()()()n r t e t t nT δ∞

=-∞

-∑

解：（1）这是一个线性常系数微分方程，系统是线性的、时不变的、因果的。

（2）由于方程右端有一常数项1b ，系统对外加激励不再满足齐次性和叠加性，但仍满足时不变性和因果性（由激励引发的响应出现在激励之后），故是个非线性的、时不变的、因果的系统。

该系统是一个典型的增量线性系统，对任意两个激励的响应之差是两个激励之差的线性函数。（3）是线性的、时变的、因果的，对时变性分析如下：激励)(t e 产生的响应()2()r t e t u t =

，则激励)()(01t t e t e -=产生的响应为

110()2()()

2()()r t e t u t e t t u t =

=-，而)(t r 延时0t 的结果为000()2()()r t t e t t u t t -=--，显然

)()(01t t r t r -≠，故为时变的。

或从另一个角度看，()2()()r t e t u t =是个由()u t 起始的函数，无论激励在0

（4）是非线性的、时变的、因果的。

（5）是线性的、时变的、非因果的，对时变性分析如下：

激励)(t e 产生的响应)()(t e t r -=，则激励)()(01t t e t e -=产生的响应)()()(011t t e t e t r --=-=，而)()]([)(000t t e t t e t t r +-=--=-，显然)()(01t t r t r -≠，故为时变的。

或者从以下角度分析，响应)(t r 是将激励)(t e 反褶后得到的，当)(t e 右移（延时）0t 得)(0t t e -时，响应)()(01t t e t r --=则较)()(t e t r -=出现左移（超前0t ），故为时变的。由此也可看到响应)(t r 出现在激励)(t e 之前，所以是非因果的。举例如题图3(a)所示（其中10=t ）。

（6）是线性的、时变的、非因果的。举例如题图3(b)所示，从图中可以清楚地看到：当激励右移1时，响应只右移3

1，响应出现在激励之前，故为非因果的；)(0t t e -产生的响应不等于)(0t t r -，故为

时变的。

题图3(a)

0 1 )(

t e

-1 ()r t

)1()(1-=t e t e

0 1 1

-2 0

-1 1

1()r t

题图3(b)

0 3 )(t e

0 1

()r t

)1()(1-=t e t e

0 1 1

)(1t r

（7）是线性的、时不变的、因果的。

（8）是线性的、时变的、非因果的。对时变性分析如下：激励)(t e 产生的响应τ

d τ

e t r t

∞

-=5)()(，则激励)()(01t t e t e -=产生的响应为

511()()t r t e d ττ-∞

50()t e t d ττ-∞

05()t t e d ττ--∞

，

而05()0()()t t r t t e d ττ--∞

-=?

，

显然)()(01t t r t r -≠，故为时变的。

另外，当0>t 时，由积分上限可以看到，t 时刻的响应的一部分来自于对激励在t t 5~时段上的积分，即响应出现在激励之前，故为非因果的。

（9）这是个对连续时间信号)(t e 进行冲激抽样的理想抽样系统，系统是线性的、时变的、因果的。对时变性分析如下：

激励)(t e 产生的响应()()()n r t e t t

n T δ∞

=-∞

-∑

，则激励)()(01t t e t e -=产生的响应为

10()()()n r t e t t t nT δ∞=-∞

--∑

，而000()()()n r t t e t

t t t nT δ∞

=-∞

---∑，显然)()(01t t r t r -≠，故为时

变的。

4．已知线性时不变系统，当激励信号为()sin()()e t t u t =时，其零状态响应()zs r t 的波形如题图4(a)所示，试求该系统的单位冲激响应()h t ，并画出()h t 的波形。

解：系统在单位冲激信号()t δ激励下产生的零状态响应称为单位冲激响应，记为()h t 。

解法一：利用22

()d e t dt

为K ()e t ?和冲激函数之和

()()sin()()()()d e t t t u t t e t dt

δδ=-=-

即 22

()()()

d t

e t e t dt δ=

+ 故 22

()()

()z s

z s

d h t r t r t dt

=+()2(1)(

2)(

zs t t t r t δδδ=--+-+ ()h t 波形如题图4(b)所示。

0 ()zs r t

题图4 (a)

()h t

题图4 (b)

1 2

1 (1)

(1)

(-2)

0 1()f t

-1 1

解法二：拉氏变换法

1()[()]1

E s e t s ==

()()2(1)(1)(2)(2)zs r t tu t t u t t u t =---+--

12e

()[()]s

zs R s r t s

---+==

系统函数 ()()()

R s H s E s =

1(12e

s s

--+=

-+2(12e

)()s

R s --=-++

故 1()[()]h t H s -=L ()2(1)(

2)(

zs t t t r t δδδ=--+-+ 5．判断以下系统是否线性的？时不变的？（1）2()()r t e t =；（2）2()()r t e t =。解：（1）非线性、时不变。（2）线性、时变。

6．三角形脉冲()f t 如图2所示。

（1）求()f t 的傅里叶变换()F ω，并画出频谱图；

（2）求()f t 的拉氏变换()F s ，并注明收敛域。

解：（1）设1()f t 如图所示，则2

1()(

F Sa ω

ω=

∵ 1

()(1)

f t f t =

- ∴ 2

1()()()2

j j F F e Sa

e ω

ωω

--==

()(

F Sa ω

ω=

0 ()f t

图2

（2）()()2(1)(1)(2)(2)f t tu t t u t t u t =---+--

12()s

F s s

---+=

，收敛域为整个s 平面。

或按定义0

()()st

F s f t e

dt ∞

-=?

直接计算也得相同结果。

()F ω

2π

2π-

()?ω

郑君里信号与系统习题答案

第三章傅里叶变换一.周期信号的傅里叶级数二.傅里叶变换例题 ?例题1：傅里叶级数——频谱图 ?例题2：傅里叶变换的性质 ?例题3：傅里叶变换的定义 ?例题4：傅里叶变换的性质 ?例题5：傅里叶变换的性质 ?例题6：傅里叶变换的性质 ?例题7：傅里叶变换的性质、频响特性 ?例题8：傅里叶变换的性质 ?例题9：抽样定理 –例题10：周期信号的傅里叶变换例3-1 周期信号 1. 画出单边幅度谱和相位谱； ()? ? ? ?? --??? ??++=328cos 265sin cos 3ππt t t t f 形式频谱：离散性、谐波性、收敛性周期矩形脉冲信号的频谱特点定义及傅里叶变换存在的条件典型非周期信号的频谱冲激函数和阶跃信号的傅里叶变换性质→应用：调制和解调→频分复用周期信号的傅里叶变换：由一些冲激函数组成抽样信号的傅里叶变换→抽样定理→应用：时分复用

2. 画出双边幅度谱和相位谱。单边幅度谱和相位谱双边幅度谱和相位谱例3-2 分析：f (t )不满足绝对可积条件，故无法用定义求其傅里叶变换，只能利用已知典型信号的傅里叶变换和性质求解。下面用三种方法求解此题。方法一：利用傅里叶变换的微分性质方法二：利用傅里叶变换的积分性质方法三：线性性质方法一：利用傅里叶变换的微分性质要注意直流，设f A(t )为交流分量，f D(t )为直流分量，则其中 ()? ?? ??+-+??? ??-++=ππππ328cos 2265cos cos 3t t t t f ? ?? ?? ++??? ??-+=38cos 2315cos cos 3ππt t t ()。的傅里叶变换求信号 )(ωF t f ()()()t f t f t f D A +=()()() ωωωD A F F F +=()()()[]2321=∞+∞-=f f t f D ()()ωπδω3=D F ()()t f t f A '='()??? ??-=' 211t G t f A ()ω ωωωj A e F j -?? ? ??=∴2Sa

信号与系统(郑君里)复习要点(良心出品必属精品)

例： 3.2序列δ(k)和ε(k) f(k)δ(k) = f(0)δ(k) f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0) 4、系统的分类与性质 4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [af (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性） ②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统： y (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x(0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}] T[{f 1(t) + f 2(t) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性) ) 0(d )()(f t t t f =? ∞ ∞ -δ) (d )()(a f t a t t f =-? ∞ ∞ -δ?d )()4sin(9 1=-?-t t t δπ )0('d )()('f t t f t -=?∞ ∞-δ) 0()1(d )()() () (n n n f t t f t -=? ∞ ∞ -δ 4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞∞-?t t t t t t t t δ)(1||1)() ()(t a a at n n n δδ?=)(| |1 )(t a at δδ= )(||1 )(00a t t a t at -= -δδ) 0()()(f k k f k = ∑∞ -∞ =δ

信号与系统(郑君里)复习要点

信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。第一章信号与系统 1、信号的分类 ①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号连续周期信号f (t )满足 f (t ) = f (t + m T )，离散周期信号f(k )满足 f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,… 两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。 ③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号 2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷） 2.2信号的时间变换运算（反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号 3.1 单位冲激函数的性质 f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a) 例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质 4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性） ②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统： )0(d )()(f t t t f =?∞∞ -δ) (d )()(a f t a t t f =-? ∞ ∞-δ?d )()4 sin(9 1=-? -t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=?∞∞ -δ) 0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=? ∞ ∞ -δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞ ∞-? t t t t t t t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ?=)(||1)(t a at δδ=)(||1 )(00a t t a t at -=-δδ) 0()()(f k k f k =∑ ∞-∞ =δ

郑君里的信号与系统的第一章答案

第一章家庭作业 1，判刑下列信号的类型解：()sin[()];y t A x t = 连续、模拟、周期、功率型信号。 ()()t t y t x e d τττ--∞ =? 连续、模拟、非周期、功率型信号。 ()(2y n x n =）离散、模拟、非周期、功率型信号。 ()()y n n x n = 离散、模拟、非周期、功率型信号。 1－6，示意画出下列各信号的波形，并判断其类型。 (1) 0()sin()x t A t ωθ=+ 连续、模拟、周期、功率型 (2) ()t x t Ae -= 连续、模拟、非周期、只是一个函数，不是物理量。 (3) ()c o s 0 t x t e t t -=≥ 连续、模拟、非周期、能量型 (4) ()2112,x t t t =+-≤≤ 连续、模拟、非周期、能量型 (5) 4()(),0.5 k x k k =≥ 离散、模拟、非周期、能量型 (6) 0().j k x k e Ω= 离散、模拟、周期、功率型 1－6题，1－4图。 ()sin[()];()()()(2); ()() t t y t A x t y t x e d y n x n y n nx n τ ττ --∞ == ==?

t=-pi:1/200:pi; y1=1.5*sin(2*t+pi/6); subplot(4,1,1),plot(t,y1),title('1.5sin(2*t+pi/6)'),grid y2=2*exp(-t); subplot(4,1,2),plot(t,y2),title('2exp(-t)'),grid t1=0:1/200:2*pi; y3=10*exp(-t1).*cos(2*pi*t1); subplot(4,1,3),plot(t1,y3),title('10exp(-t1)cos(2*pi*t1)'),grid t2=-1:1/200:2; y4=2*t2+1; subplot(4,1,4),plot(t2,y4),title('2x+1'),grid 习题1－6 5－6题

信号与系统作业答案郑君里版

《信号与系统》习题与答案第一章 1.1 画出信号[]) ()(sin )(00t t a t t a t f --= 的波形。 1.2 已知信号[])2()1()1()(--++=t u t u t t f ，画出)32(+-t f 的波形。 1.3 已知信号[])2()1()1()(--++=t u t u t t f ，试求它的直流分量。答案：0 1.4 已知信号[])2()1()1()(--++=t u t u t t f ，试求它的奇分量和偶分量。答案：偶分量：[][][])2()1()1(5.0)1()1()1()2()1(5.0---++--+++-+-t u t u t t u t u t u t u t 奇分量：[][][])2()1()1(5.0)1()1()1()2()1(5.0---++--+++-+-t u t u t t u t u t t u t u t 1.5 信号?? ?=20 )(t t f ≥t 时为1；当00t 时为0 （5） ? ∞ ∞--++dt t t e t )2()(δ；答案：2e 2- （6） ? ∞ ∞--+dt t t t )6()sin (πδ；答案：2/16/+π （7） []? ∞ ∞ ----dt t t t e t j )()2(0δδω；答案：0e 2/1t j ω-- 1.11 判断下列系统是否线性、时不变和因果

信号与系统-郑君里试题

《信号与系统》 A 卷一、选择题（每题2分，共10分） 1、连续线性时不变系统的单位冲激响应()t h 为系统的( ) A. 零输入响应 B. 零状态响应 C. 自由响应 D. 强迫响应 2、如图所示的周期信号()t f 的傅立叶级数中所含的频率分量是（） A ．余弦项的偶次谐波，含直流分量 B ．余弦项的奇次谐波，无直流分量 C ．正弦项的奇次谐波，无直流分量 D ．正弦项的偶次谐波，含直流分量 3A. 零输入响应的全部 B. 零状态响应的全部 C. 全部的零输入响应和部分的零状态响应 D. 全部的零输入响应和全部的零状态响应 4、如果两个信号分别通过系统函数为()s H 的系统后，得到相同的响应，那么这两个信号( ) A ．一定相同 B ．一定不同 C ．只能为零 D ．可以不同 5、已知系统微分方程为 ()()()t e t r dt t dr =+2，若()10=+r ，()()()t u t t e ?=2sin ，解得全响应为()??? ??-+= -22sin 42452πt e t r t ，0≥t 。全响应中??? ? ?-22sin 42πt 为( ) A ．零输入响应分量 B ．自由响应分量 C ．零状态响应分量 D ．稳态响应分量二、填空题（每题3分，共30分） 1、()()=?∞ ∞-dt t f t δ________________。 2、某一LTI 离散系统，其输入()n x 和输出()n y 满足如下线性常系数差分方程， )1n (x 3 1 )n (x )1n (y 21)n (y -+=-- ，则系统函数()z H 是________________。 3、()()=-'?∞ ∞ -dt t f t t 0δ________________。 4、已知()t f )(ωF ?,则()t f 2-的傅里叶变换为________________。 5、已知信号()t f 的傅立叶变换为()ωF ，则信号()0t at f -的傅立叶变换为________________。 6、已知信号()t f 的拉普拉斯变换为()s F ，则信号()t f '的拉普拉斯变换为________________。 7、若信号()()()t u t e t e at ?=-ωsin ，则其拉普拉斯变换()s E = 。

《信号与系统引论》郑君里版第一章课后答案

第一章 1-1 分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？图1-1 图1-2

解信号分类如下： ??? ?? ? ????--???--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21图1-1所示信号分别为（a ）连续信号（模拟信号）；（b ）连续（量化）信号；（c ）离散信号，数字信号；（d ）离散信号；（e ）离散信号，数字信号；（f ）离散信号，数字信号。 1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所示问）（1）)sin(t e at ω-；（2）nT e -；（3）)cos(πn ；（4）为任意值）（00)sin(ωωn ；（5）2 21??? ??。解由1-1题的分析可知：（1）连续信号；（2）离散信号；（3）离散信号，数字信号；（4）离散信号；（5）离散信号。 1-3 分别求下列各周期信号的周期T ：（1）)30t (cos )10t (cos -；（2）j10t e ；（3）2)]8t (5sin [；（4）[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0 n n ∑∞ =-----。解判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。

（1）对于分量cos (10t )其周期5 T 1π = ；对于分量cos (30t )，其周期15 T 2π = 。由于 5π为21T T 、的最小公倍数，所以此信号的周期5T π=。（2）由欧拉公式)t (jsin )t (cos e t j ωωω+= 即)10t (jsin )10t (cos e j10t += 得周期5 102T ππ== 。（3）因为[])16t (cos 2 252252)16t (cos 125)8t (5sin 2 -=-? = 所以周期8 162T ππ== 。（4）由于原函数???+<≤+-+<≤=2)T (2n t T )12n (,11)T (2n t 1,2nT n 为正整数其图形如图1-3所示，所以周期为2T 。图1-3 1-4对于教材例1-1所示信号，由f (t )求f (-3t-2)，但改变运算顺序，先求f (3t )或先求f (-t )，讨论所得结果是否与原例之结果一致。解原信号参见例1-1，下面分别用两种不同于例中所示的运算顺序，由f (t )的波形求得f (-3t-2)的波形。两种方法分别示于图1-4和图1-5中。

《信号与系统》考研郑君里版2021考研名校考研真题

《信号与系统》考研郑君里版2021考研名校考研真题第一部分考研真题精选一、选择题 1下列信号属于功率信号的是（）。[中国传媒大学2017研] A．e－tε（t） B．cos（2t）ε（t） C．te－tε（t） D．Sa（t）【答案】B查看答案【解析】如果信号f（t）的能量有界（0＜E＜∞，P＝0），称f（t）为能量有限信号，简称为能量信号。如果信号f（t）的功率有界（0＜P＜∞，E＝∞），称f（t）为功率有限信号，简称为功率信号。ACD三项的能量均为有限值，因此为能量信号。B项，cos（2t）ε（t）是单边周期信号，因此能量无界，但是功率为有限值，因此B为功率信号。 2下列信号中，选项（）不是周期信号，其中m，n是整数。[山东大学2019研] A．f（t）＝cos2t＋sin5t B．f（t）＝f（t＋mT） C．x（n）＝x（n＋mN） D．x（n）＝sin7n＋e iπn 【答案】D查看答案

【解析】A项，cos2t的周期为T1＝2π/2＝π，sin5t的周期为T2＝2π/5，由于T1/T2＝5/2，是有理数，因此为周期信号，且周期为T＝2T1＝5T2＝2π。 BC两项，一个连续信号满足f（t）＝f（t＋mT），m＝0，±1，±2，…，则称f （t）为连续周期信号，满足上式条件的最小的T值称为f（t）的周期。一个离散信号f（k），若对所有的k均满足f（k）＝f（k＋mN），m＝0，±1，±2，…，则称f（k）为连续周期信号，满足上式条件的最小的N值称为f（k）的周期。 D项，sin7n的周期N1＝2π/7，e iπn的周期为N2＝2π/π＝2，N1/N2＝π/7为无理数，因此为非周期信号。 3下列关于单位冲激函数或单位样本函数的表达式，选项（）不正确。[山东大学2019研] A． B．δ（t）*f（t）＝f（t） C． D．【答案】D查看答案【解析】冲激函数的极限形式的定义式应该为 4下列叙述正确的有（）。[国防科技大学研] A．各种数字信号都是离散信号 B．各种离散信号都是数字信号

郑君里信号系统考研《信号与系统》考研真题与考研笔记

郑君里信号系统考研《信号与系统》考研真题与考研笔记第一部分考研真题精选一、选择题 1下列信号属于功率信号的是（）。[中国传媒大学2017研] A．e－tε（t） B．cos（2t）ε（t） C．te－tε（t） D．Sa（t）【答案】B查看答案【解析】如果信号f（t）的能量有界（0＜E＜∞，P＝0），称f（t）为能量有限信号，简称为能量信号。如果信号f（t）的功率有界（0＜P＜∞，E＝∞），称f（t）为功率有限信号，简称为功率信号。ACD三项的能量均为有限值，因此为能量信号。B项，cos（2t）ε（t）是单边周期信号，因此能量无界，但是功率为有限值，因此B为功率信号。 2下列信号中，选项（）不是周期信号，其中m，n是整数。[山东大学2019研] A．f（t）＝cos2t＋sin5t B．f（t）＝f（t＋mT） C．x（n）＝x（n＋mN） D．x（n）＝sin7n＋e iπn 【答案】D查看答案