射电望远镜指向误差的广义延拓插值修正方法

拉格朗日插值多项式与泰勒多项式的误差分析详全文

i. 拉格朗日插值多項 ii. 式與泰勒多項式的誤差分析 iii. 朱亮儒★ 曾政清☆ 陳昭地★ iv. ★國立臺灣師範大學數學系教授 v. ☆臺北市立建國高級中學數學教師 vi. vii. 摘要：本文旨於提供拉格朗日插值多項式與泰勒多項式誤差項估計值的初 等簡易證明，並探討其應用價值。 viii. 關鍵字：拉格朗日插值多項式、泰勒多項式、誤差項 ix. 一 引言 x. 有鑑於教育部99普通高級中學數學課綱在第一冊多項式的運算為迴避解三元一次方程組，首次出現插值多項式及其應用(以不超過三次插值多項式為限)（[1][2][3]），99數學課綱包含插值多項式部分如下： xi. 求 xii. 32()2563f x x x x =-++ xiii. (1)(1)(2)(1)(2)(3)a b x c x x d x x x =+-+--+--- xiv. 中的, , , a b c d . xv. ()f x 除以()()x a x b --的餘式為通過()(),(),,()a f a b f b 的插值多項 式。 xvi. 若f 有,a b 兩實根，則f 可寫成()()()()f x q x x a x b =--的型式。

xvii. 透過因式定理證明插值多項式的唯一性。 xviii. 設通過(1,1),(2,3),(3,7)的多項式為 ()(1)(1)(2)f x a b x c x x =+-+--，求,,a b c 及12f ?? ??? . xix. 插值多項式：通過(11,3),(12,5),(13,8)的多項式可表示為 xx. (12)(13)(11)(13)(11)(12)()358(1112)(1113)(1211)(1213)(1311)(1312) x x x x x x f x ------=? +?+?------， xxi. 求(11.5)f 的值。 xxii. 此處暫不處理下面的題型：「設通過(1, 1), (2, 3), (3, 7)的多項式為 2()f x a bx cx =++,求,,a b c 。」此類題型將在數學的IV 的聯立方程組章節中處理。 xxiii. 此處自然而然讓人想到拉格朗日(Lagrange, J. L., 1736-1816)其人奇事，羅 列如下： xxiv. 他出生於義大利西北部的杜林(Turin)，從小就極有數學天分，於18歲開始 撰寫數學論文，在數論上曾提出一個著名的定理：「任意正整數都可以表成四個平方數的和」。 xxv. 他是第一位證明均值定理(The Mean Value Theorem)的大數學家。(均值定理 在高三選修甲微分的單元中會學到（[4]），它是僅次於微積分基本定理的極重要的存在定理) xxvi. 他在30歲時，應腓特烈二世的邀請到柏林作為其宮廷數學大師長達20年 之久。

正交小波变换中边界延拓方法分析

《现代信号处理》之报告 正交小波变换中边界延拓方法分析 唐良瑞 (北京邮电大学B991班) 1、引言 小波分析是八十年代中后期发展起来的一个新的数学分支，同时也被广泛运用于信号处理学科中。利用小波变换作图象压缩，由于它的高压缩比和好的恢复图象质量而引起了大家的注意，而且出现了许多基于小波变换的图象压缩方法；特别是在某些特殊的应用方面，它有着其它压缩方法不可代替的位置。 尽管如此，基于小波变换的图象压缩技术还有待于改进，还有许多问题值得探讨，其中之一就是边界处理问题。我们知道，小波变换是针对无限信号来进行的，但实际信号却是有限长度的。另外，二次镜像滤波器是非因果的，需要将来和过去的信号值。这在有限长度的信号首端和结束端的小波系数的计算中会引起麻烦，因为在这些地方的滤波器卷积运算中需要用到一些实际中并不知道的数据值。这就需要进行边界处理，一般常采用的方法就是边界延拓，其中包括零延拓、对称性延拓和周期性延拓。下面主要对此进行探讨。 2、信号小波分解和重建的Mallat 算法 设正交小波由低通滤波{k h }唯一确定，其对应的高通滤波为{k g }，它们满足以下条件： m n k m k n k h h ,22δ=∑-- （1） n n n h g --=1)1( （2） 022=∑--k m k n k g h （3） 21122==∑∑+k k k k h h （4） φ和ψ分别是相应的尺度函数和小波函数，{j V }和{j W }是它们生成的空间。φ和ψ满足： ?? ???-=-=∑∑k k k k k x g x k x h x )2(2)()2(2)(φψφφ （5） 小波分解步骤为：

拉格朗日插值法理论及误差分析

浅析拉格朗日插值法 目录： 一、 引言 二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验 四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献 一、引言 插值在数学发展史上是个古老问题。插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。 二、插值及多项式插值 1、插值问题的描述 设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值： 插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠= 的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数值。 x 0x 0 y y 1 y 1 n y -n y 1 x 1 n x -n x

2、插值的几何意义 插值的几何意义如图1所示： 图1 3、多项式插值 3.1 基本概念 假设()y f x =是定义在区间,a b ????上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<<<≤ 处的函数值01,,n y y y 。找一个简单的函数，例如函数 ()P x ，使之满足条件 (),0,1,2,, i P x y i n == （3.1） 通常把上述01n x x x <<< 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项式，条件（3.1）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。 3.2 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式： 1 011()m m m m m P x a x a x a x a --=+++ 那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数 011,,,m m a a a a - 。由于插值条件包含n+1独立式，只要m=n 就可证明插值函数多项式是唯一存在。 实际上，由n+1个插值条件可得

线性插值法计算公式解析

线性插值法计算公式解析 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020

线性插值法计算公式解析 2011年招标师考试实务真题第16题：某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定，产能指标评标总分值为10分，产能在100吨/日以上的为10分，80吨/日的为5分，60吨/日以下的为0分，中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日，应得（）分。A． B．8.75 C． D． 分析：该题的考点属线性插值法又称为直线内插法，是评标办法的一种，很多学员无法理解公式含义，只能靠死记硬背，造成的结果是很快会遗忘，无法应对考试和工作中遇到的问题，对此本人从理论上进行推导，希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2

图一：适用于某项指标越低得分越高的项目 评分计算，如投标报价得分的计算 图二：适用于某项投标因素指标越高，得分越高的 情形，如生产效率等 二、公式推导 对于这个插值法，如何计算和运用呢，我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图，只有图出来了，根据三角函数定义，tana=角的对边比上邻边，从图上可以看出，∠A是始终保持不变的，因此，根据三角函数tana，我们可以得出这样的公式

图一：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)＝（F1-F）/(D-D1)，通过这个公式，我们可以进行多种推算，得出最终公式如下 F=F2+（F1-F2）*(D2-D)/ (D2-D1) 或者F= F1-（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 图二：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)＝(F-F2)/ (D-D1)＝（F1-F） /(D2-D) 通过这个公式我们不难得出公式： F= F2+（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 或者F=F1-（F1-F2）*(D2-D)/(D2-D1) 三：例题解析 例题一：某招标文件规定有效投标报价最高的得30分，有效投标报价最低的得60分，投标人的报价得分用线性插值法计算，在评审中，评委发现有效的最高报价为300万元，有效最低的报价为240万元，某A企业的有效投标报价为280万元，问他的价格得分为多少 分析，该题属于图一的适用情形，套用公式 计算步骤：F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40 例题二：某招标文件规定，水泵工作效率85%的3分，95%的8分，某投标人的水泵工作效率为92%，问工作效率指标得多少分

插值及其误差

（1）用tan x 表格直接计算tan 1.569 5。 （2）用sin 1.569 5和cos 1.569 5来计算tan 1.569 5。并讨论这两个结果中误差变化的原因。 插值：求过已知有限个数据点的近似函数。 1 插值方法 下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插 值、Hermite 插值和三次样条插值。 1.1 拉格朗日多项式插值 1.1.1 插值多项式 用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。其基本问题是：已知函数 ()f x 在区间[],a b 上1n +个不同点01,,,n x x x 处的函数值 ()()0,1, ,i i y f x i n ==，求一个至多n 次多项式 ()01n n n x a a x a x ?=++ +（1） 使其在给定点处与()f x 同值，即满足插值条件 ()()n i i i x f x y ?==（2） ()n i x ?称为插值多项式，()0,1,,i x i n =称为插值节点，简称节点，[],a b 称为插 值区间。从几何上看，n 次多项式插值就是过1n +个点()()(),0,1,,i i x f x i n =， 作一条多项式曲线()n y x ?=近似曲线()y f x =。 n 次多项式（1）有1n +个待定系数，由插值条件（2）恰好给出1n +个方程 01000 01111 01n n n n n n n n n a a x a x y a a x a x y a a x a x y ?+++=? +++=??? ?+++=?（3） 记此方程组的系数矩阵为A ，则

()0 11 11det 1n n n n n x x x x A x x = 是范德蒙特(Vandermonde)行列式。当01,,,n x x x 互不相同时，此行列式值不为 零。因此方程组（3）有唯一解。这表明，只要1n +个节点互不相同，满足插值要求（2）的插值多项式（1）是唯一的。 插值多项式与被插函数之间的差 ()()()n n R x f x x ?=- 称为截断误差，又称为插值余项。当()f x 充分光滑时， ()()()()() ()()()11,,1! n n n n f R x f x L x x a b n ξωξ++=-=∈+ 其中()()10 n n j j x x x ω+==∏-。 1.1.2 拉格朗日插值多项式 实际上比较方便的作法不是解方程（3）求待定系数，而是先构造一组基函数 ()()()()()()()()() () 0110110,0,1,,i i n i i i i i i i n n j j i j j i x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x i n x x -+-+=≠----= -----=∏ =- ()i l x 是n 次多项式，满足 ()0 1i j j i l x j i ≠?=? =? 令 ()()000 n n n j n i i i j i i i j j i x x L x y l x y x x ===≠?? - ?==∏ ?-?? ∑∑（4） 上式称为n 次 Lagrange 插值多项式，由方程（3）解的唯一性，1n +个节点的n 次Lagrange 插值多项式存在唯一。 1.1.3 用Matlab 作Lagrange 插值 Matlab 中没有现成的Lagrange 插值函数，必须编写一个M 文件实现Lagrange 插值。 设n 个节点数据以数组0,0x y 输入，m 个插值点以数组x 输入， 输出数组y 为

拉格朗日插值法理论及误差分析

拉格朗日插值法理论及误差分析 浅析拉格朗日插值法目录：一、引言二、插值及多项式插值的介绍三、拉格朗日插值的理论及实验四、拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式五、 1、截断误差在[a,b]区间上用Ln(x)近似未知或复杂函数f(x)，其截断误差是指Rn?x??f?x??Ln?x?通常称Rn?x?为拉格朗日插值余额。注意到利用公式估计截断误差实际上非常困难。一是因为它要计算函数f(x)的高阶导数，当f(x)很复杂时，计算量很大，而当f(x)没有可用来计算的表达式时，导数无法准确计算；二是因为即使能得到高阶导数的解析式，但于?的具体位置不知道，所以要估计高阶导数在插值区间上的界一般是非常困难的事情。因此，公式并不实用。 2、截断误差的实用

估计式既然公式估计误差时不实用，那么实际中如何估计截断误差呢？假设插值条件中包含n+2组数据?,n,n?, 1f(xi)?yi , i?0,1那么利用n+1组数据我们可以构造一个n 次拉格朗日插值多项式Ln(x)，利用后n+1组数据我们可以构造另一个n次拉格朗日插值多项式L*n(x)。利用公式知，他们各自的插值余项为f(x)?Ln(x)?1f(n?1)(?)(x?x0)(x?x1)?(x?xn), (n?1)!1f(n?1)(?*)(x?x1)(x?x2)?(x?xn?1), (n?1)!f(x)?L*n(x)?两式相减得L*n(x)?Ln(x)?并可写成1fn?1(?)(x?x1)?(x?xn)(xn?1?x0), (n?1)!L*(x)?Ln(x)1(n?1) f(?)(x?x1)?(x?xn)?n. (n?1)!xn?1?x0注意到上式中利用fn?1(?)?fn?1(?*).该条件在很多情况下是成立的。利用式可得?Ln(x)?L*n(x)R(x)?f(x)?L(x)?,n? nx0?xn?1? ? *?R*(x)?f(x)?L*(x)?Ln(x)?Ln(x),nn?xn?1

拉格朗日多项式插值

拉格朗日多项式插值法浅析 摘要 拉格朗日插值多项式是一种最常见的多项式插值法，也是一种最常用的逼近工具。“学以致用 ”是每一门学科都致力追求的境界，数学自然也不例外。下面，探讨拉格朗日插值法的基本原理、如何构造拉格朗日多项式、拉格朗日多项式的误差界，并用 MATLAB 程序来实现这一数学算法的自动化，为复杂的分析研究提供了一条数学算法的捷径。 【关键词】：拉格朗日多项式 算法实现 MATLAB 在科学研究和实际的工程设计中，几乎所有的问题都可以用)(x f y =来表示其某种内在规律的数量关系。但理想化的函数关系在实际工程应用中是很难寻找 的，对于那些没有明显解析式的函数关系表达式则只能通过实验观察的数据，利用多项式对某一函数的进行逼近，使得这个逼近函数能够反映)(x f 的特性，而且利用多项式就可以简便的计算相应的函数值。例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系，但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值，并假定此气温随日期变化的函数满足某一多项式。这样，利用已经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项式函数f （x ）。应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越 准确。当然，构造组合多项式方法比较多，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的分段差分和系数表等等，这里只对拉格朗日多项式插值法进行深入探讨。 一、拉格朗日多项式插值算法基本原理 函数)(x f y =在区间[a,b]上有定义,在是[ a,b]上取定的 N + 1个互异节点, 且在这些点处的函数值)(0x f , )(1x f ,…,)(n x f 为已知, 即 yi =f (xi ) , (N i ...1,0=)，若存在一个和)(x f 近似的函数)(x P N ，满足 )()(i i N x f x P = (N i ...1,0=) （1） 则称 φ(x) 为 f (x) 的一个插值函数, 点i x 为插值节点，（1）称为插值条件, 区间[a,b]称为插值区间, 而误差函数)()(x P x f E N N -=称为插值余项。即是求一个不超过N 次多项式0111...)(a x a x a x a x P N N N N N ++++=-- (N i ...1,0=) 满足 )()(i i N x f x P = (N i ...1,0=)

计算方法实验报告 插值

实验名称：插值计算 1引言 在生产和科研中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数f（x）在区间[a,b]上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值。用这张函数表来直接求出其他点的函数值是非常困难的，在有些情况下，虽然可以写出f(x)的解析表达式，但由于结构十分复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，构造函数P(x)作为f(x)的近似，插值法是解决此类问题比较古老却目前常用的方法，不仅直接广泛地应用与生产实际和科学研究中，而且是进一步学习数值计算方法的基础。 设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的点a≤x0,x1……,xn≤b上分别取值y0,y1……,yn. 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数φ中，求一简单函数P(x),使P(xi)=yi(i=0,1…,n)而在其他点x≠xi上，作为f(x)的近似。 通常，称区间[a,b]为插值区间，称点x0,x1,…,xn为插值节点，上式为插值条件，称函数类φ为插值函数类，称P(x)为函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的插值函数，求插值函数P(x)的方法称为插值法。 2实验目的和要求 用matlab定义分段线性插值函数、分段二次插值函数、拉格朗日插值函数，输入所给函 数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点，计算f(0.15),f(0.31),f(0.47)的近似值。

3算法描述 1.分段线性插值流程图

2.分段二次插值流程图

3.拉格朗日插值流程图

4程序代码及注释 1.分段线性插值

拉格朗日插值法理论及误差分析

目录： 一、 引言 二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验 四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献 一、引言 插值在数学发展史上是个古老问题。插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。 二、插值及多项式插值 1、插值问题的描述 设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值： 插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数 值。 2、插值的几何意义 x x 0 y y 1 y 1 n y -n y 1 x 1 n x -n x

插值的几何意义如图1所示： 图1 3、多项式插值 基本概念 假设()y f x =是定义在区间,a b ????上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<< <≤处的函数值01,,n y y y 。找一个简单的函数，例如函数 ()P x ，使之满足条件 (),0,1,2, ,,i P x y i n == （） 通常把上述01n x x x << < 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项 式，条件（）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式： 1011()m m m m m P x a x a x a x a --=++ + 那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数 011,, ,m m a a a a -。由于插值条件包含n+1独立式，只要m=n 就可证明插值函数多 项式是唯一存在。 实际上，由n+1个插值条件可得

第6章 实验五插值多项式的误差

第6章 实验五插值多项式的误差 实验目的：明确插值多项式逼近函数是有误差的，了解误差的分布，哪些地方误差大些，哪些地方误差小些。我们应该如何控制这些误差。 6.1 插值误差余项多项式 举例说明多项式插值误差情况，用ππ≤≤-x 上的5个等距点对函数 )cos(x y =进行插值估计，插值多项式是通过以下给定的数据点的四次多项式： ????? ? --=ππππ,2,0,2,x [])sin(),2/sin(),0sin(),2/sin(),sin(ππππ--=y 误差定义为： )()cos()(4x L x x e -= ),())(cos(! 5) )(2/)(0)(2/)(() 5(ππξξππππ-∈---++= x x x x x 其中)(x e 是插值余项，)(4x L 是5个数据点的拉格朗日插值多项式。图6.1是函数和误差的图形，可以观察到误差曲线是震荡的，它的值在接近端点的区间上最大，这种误差特性在等距多项式插值中十分典型，误差分布形状上的变化还取决于被插函数的性质及插值区间的大小a b -。 -0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8x c o s (x ) e (x ) 图6.1 函数和误差曲线的图形

清单6.1 （是作图6.1的程序） clear clc x=[-pi,-pi/2,0,pi/2,pi]; % 插值节点横坐标 y=[cos(-pi),cos(pi/2),cos(0),cos(pi/2),cos(pi)]; % 插值节点纵坐标 x1=-pi:0.001:pi; % 绘图点的横坐标 y1=Lagran_(x,y,x1); % 绘图点的纵坐标 e=cos(x1)-y1; % 插值误差 y2=e; plot(x,cos(x),'.',x1,cos(x1),'b',x1,y2,'r') % 绘出两个函数曲线图形 xlabel('x');ylabel('cos(x) e(x)') text(1.2,0.6,'cos(x)','fontsize',18) text(-1.1,-0.1,'e(x)=cos(x)-y','fontsize',18) 一般分析插值的误差： ),() ()! 1()())(()(11) 1(121+++∈+---= n n n x x f n x x x x x x x R ξξ )(m a x )! 1() ())(()()1(),(12111ξξ+∈+++---≤ n x x n f n x x x x x x x R n 如果当被插值)(x f 是一个n 阶或更低阶多项式，则)(x R =0，即误差为零。否则，右端给出了对任意x 的误差上界估计，右端的分布完全由)(x g 决定， )! 1()())(()(121+---= +n x x x x x x x g n 多项式函数)(x g 分布曲线由程序清单6.2给出，分布图形由图6.2（a ）、（b ）、（c ）、（d ）分别给出。 清单6.2 clear,clf,hold on x=-pi:pi/2:pi;

各种插值法的对比研究

各种插值法的对比研究

目录 1.引言 (1) 2.插值法的历史背景 (1) 3.五种插值法的基本思想 (2) 3.1拉格朗日插值 (2) 3.2牛顿插值 (3) 3.3埃尔米特插值 (3) 3.4分段线性插值 (4) 3.5三次样条插值 (5) 4.五种插值法的对比研究 (5) 4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较 (5) 4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较 (6) 4.3多项式插值法与分段线性插值的比较 (6) 4.4 分段线性插值与样条插值的比较 (6) 5.插值法在实际生活中的应用 (6) 6.结束语 (6) 致谢 (7) 参考文献 (7)

各种插值法的对比研究 摘要：插值法是一种古老的数学方法,也是数值计算中的一个算法.插值法不仅是微分方程、数值积分、数值微分等计算方法的基础,而且在医学、通讯、精密机械加工等领域都涉及到了它.本文首先介绍了插值的背景以及常用的五种插值法的基本思想,然后通过拉格朗日插值与牛顿插值、多项式插值与埃尔米特插值、多项式插值与分段线性插值、分段线性插值和样条函数插值给出相应的算法与MATLAB 程序,根据已学的知识对五种插值方法与被插函数的逼近程度进行对比研究,找出不同方法间的联系与区别,分析出它们的优缺点,最后在此基础上进一步研究插值法的实际应用,以提高插值法的实用性,从而能让我们在以后的应用中看到一个问题,就知道哪种方法更适合于它,然后大大地快速的提高效率. 关键词：多项式插值;样条函数插值;MATLAB 程序;应用 1.引言 在很多解题以及应用生活中,常常需要用数量关系来反映问题,但是有时没有办法通过数学语言准确地表达出来.已知有些变量之间存在一种函数关系,但没法用函数的表达式表示出来.比如,)(x f 在某个区间上[]b a ,是存在某种数量关系的,但是根据观察和测量或者实验只能得到有限个函数值,我们可以利用这几点来确定函数表达式.或者有一些函数表达式是已经知道的,但是它们的计算是十分繁琐复杂的,不容易发现它的本质,而且它的使用方法也比较局限.函数是表达数与数之间的联系,为了能很好地用数学语言表达出函数的关系,一般通过给定的数据构造一个函数)(x P ,这样既能反映函数)(x f 的特点,又方便计算,用)(x P 近似)(x f .通常选一个简单的函数)(x P ,而且=)(i x P )(i x f ()n i ,...,2,1,0=成立,这个时候的)(x P ,从要表达的函数规律来看,就是我们需要的插值函数[1] .所用方法就是插值法,由于所选用的)(x P 的多样化,得到不同的插值法. 2.插值法的历史背景 插值法的历史源远流长,在很早的时候就涉及到了它.它是数值计算中一个古老的分支,它来源于生产实践. 因为牛顿力学的物理理论知识在一千年前没有出现,所以我们的祖先没有办法用很准确的数学解析式来表达日月五星的运行规律.后来,古代的人们有着聪慧的头脑,想出了插值方法,然后发现了日月五星的运行规律.例如唐朝数学家张遂提出了插值法的概念以及不等距

三角Bézier曲线插值及其误差分析1

２∞７年工程图学学报２∞７ 第２期ＪｏＵＲＮＡＬＯＦＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧＧＲＡＰＨＩＣＳＮｏ．２三角Ｂ６ｚｉｅｒ曲线插值及其误差分析 邱泽阳，方永锋 （兰州交通大学工业设计研究所，甘肃兰州７３００７０） 摘要：Ｂ６ｚｉｅｒ曲线是计算机辅助几何设计中的一类重要曲线，以三次三角Ｂ６ｚｉｅｒ曲线为例，对三角Ｂ６ｚｉｅｒ曲线的性质进行了分析，并由此推出三次三角Ｂ６ｚｉｅｒ曲线比三次 Ｂ６ｚｉｅｒ曲线更光滑。然后，由连续函数，在给定区间【日，６］上的分割么：口＝乇＜‘＜…＜０＜乞＝６ 和函数值．厂（ｔ），导出了三次三角Ｂ６ｚｉｅｒ曲线插值算法，并对插值的整体误差和节点区间 ∽ｔ＋。】内的误差进行了分析估计；最后给出的应用实例验证了上述结论。 关键词：计算机应用；曲线插值；三角多项式；Ｂ６ｚｉｅｒ曲线 中图分类号：ＴＰ３９１．７２；Ｏ２４１．３ 文献标识码：Ａ文章编号：１００３—０１５８（２００７）０２一０１０４—０５ ＴｒＩｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃＰｏ崎ｎｏＩｌｌｉａｌＢ６ｚｉｅｒＣｕｒＶｅＩｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎａｎｄＩｔｓＥｒｒｏｒＡｎａｌｙｓｉｓ ＱＩＵｚｅ—ｙａＩｌｇ，ＦＡＮＧＹｂｎｇ—ｆｅｎｇ （ＩｎｓｔｉｔＩｌｔｅｏｆＩｎｄｕｓｍａｌＤｅｓｉｇｎ，ＬａｎｚｈｏｕＪｉａｏｔｏｎｇＵｌｌｉＶｅｒｓｉｔｙ＇Ｌ蛆ｚｌｌｏｕＧａｎｓｕ７３００３０，ｃｌｌｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂ６ｚｉｅｒｃｌｌｌⅣｅｉｓａＩｌｉｍｐｏｒｔａｎｔｏｎｅｉｎＣＡＧＤ．ＡｓａｎｅｘａｍｐｌｅｔｏｃｕｂｉｃｔｒｉｇｏｎｏｍｅｍｃｐｏｌｙｎｏＩＩｌｉａｌＢ６ｚｉｅｒ，ｔｌｌｅｃｈａｆａｃｔｅｒｓｏｆｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｐｏｌｙｎｏＩｌｌｉａｌＢ６ｚｉｅｒｃｕｒｖｅｉｓａＩｌａｌｙｚｅｄ，ａｎｄ ｄｅｄｕｃｅｄｍａｔｃｕｂｉｃｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｐｏｌｙｎｏＩＩｌｉａｌＢ６ｚｉｅｒｃｕｒｖｅｉｓｍｏｒｅｓｍｏｏｍｍａＩｌｃｕｂｉｃｐｏｌｙｎｏＩＩｌｉａｌ Ｂ６ｚｉｅｒｃ哪ｅ．ｒＩ＇ＩｌｅｎｍｅａｌｇｏｒｉｍｍｆｏｒｃｕｂｉｃＴｄｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃＢ６ｚｉｅｒｃｕｎ，ｅｉｎｔｅ印ｏｌａｔｉｏｎｉｓｄｅｄｕｃｅｄｆｂｍｃｏｎ石ｎｕｏｕｓｆｕｎｃ廿ｏｎ，ｄｅｆｉｎｅｄｉｎａｒｅａ［ａ，ｂ】ｗｉｍｐａｒｄｎｏｎｓ么：口＝毛＜ｒ。＜…＜ｆ．一。＜ｆ＾＝６ａｎｄ ｔｌｌｅｉｒｖａｌｕｅｓ，（ｆ；）（江０，１，…，，１）．Ｍｅａｎｗｌｌｉｌｅｍｅｈ０１ｉｓｔｉｃｅｒｒｏｒｆｏｒｍｅｉｎｔｅ叩ｏｌａｔｉｏｎａＪｌｄｍｅｅｒｒｏｒｉｎ ｐａｎｉｔｉｏｎ［ｔ，ｔ＋ｌ】ａｒｅａｌｌａｌｙｚｅｄ．Ａｔｌａｓｔ，ｍｅｅｘ锄ｐｌｅｓｉｓｇｉＶｅｎｔｏＶｅｒｉｔ），ｍｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓａｒｅｃｏｒｒｅｃｔ． ＫｅｙｗＯｒｄｓ：ｃｏＩｎｐｕｔｅｒａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ；ｃｕｒｖｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ；ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｐｏｌｙｎｏＩＩｌｉａｌ；Ｂ６ｚｉｅｒＣＵｒ、，ｅ Ｂ６ｚｉｅｒ曲线是计算机辅助几何设计中的一类重要曲线，文献【１】介绍了三次Ｂ６ｚｉｅｒ曲线插值，文献［２］介绍了三次Ｂ６ｚｉｅｒ曲线的保凸插值，但难以解决一端曲率为０，另一端曲率比较大的插值问题。文献【３】给出了Ｂ６ｚｉｅｒ曲线的三角多项式形式，在此基础上，该文给出三次三角Ｂ６ｚｉｅｒ曲线的插值算法及其误差分析（注：文中三次三角Ｂ６ｚｉｅｒ，记作３Ｔ－Ｂ６ｚｉｅｒ）。 收稿日期：２００６一１２—２２ 基金项目：甘肃省自然科学基金资助项目（ｚＳ０３１．Ａ２５．００８－ｚ）；兰州交通大学首批“青蓝”人才工程资助项目 作者简介：邱泽阳（１９６６一），男，江苏沭阳人，教授，博士，主要研究方向为计算机图形学、计算机辅助设计和逆向工程。

插值及其误差

用表中的数据和任一插值公式求： （1）用tan x 表格直接计算tan 5。 （2）用sin 5和cos 5来计算tan 5。并讨论这两个结果中误差变化的原因。 插值：求过已知有限个数据点的近似函数。 1 插值方法 下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插 值、Hermite 插值和三次样条插值。 拉格朗日多项式插值 1.1.1 插值多项式 用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。其基本问题是：已知函数 ()f x 在区间[],a b 上1n +个不同点01,,,n x x x L 处的函数值()()0,1,,i i y f x i n ==L ，求一个至多n 次多项式 ()01n n n x a a x a x ?=+++L （1） 使其在给定点处与()f x 同值，即满足插值条件 ()()n i i i x f x y ?==（2） ()n i x ?称为插值多项式，()0,1,,i x i n =L 称为插值节点，简称节点，[],a b 称为插 值区间。从几何上看，n 次多项式插值就是过1n +个点()()(),0,1,,i i x f x i n =L ，作一条多项式曲线()n y x ?=近似曲线()y f x =。

n 次多项式（1）有1n +个待定系数，由插值条件（2）恰好给出1n +个方程 010******* 01n n n n n n n n n a a x a x y a a x a x y a a x a x y ?+++=?+++=?? ??+++=?L L L L L L L L L L L L （3） 记此方程组的系数矩阵为A ，则 ()00 1111det 1n n n n n x x x x A x x = L L L L L L L L L 是范德蒙特(Vandermonde)行列式。当01,,,n x x x L 互不相同时，此行列式值不为零。因此方程组（3）有唯一解。这表明，只要1n +个节点互不相同，满足插值要求（2）的插值多项式（1）是唯一的。 插值多项式与被插函数之间的差 ()()()n n R x f x x ?=- 称为截断误差，又称为插值余项。当()f x 充分光滑时， ()()()()() ()()()11,,1! n n n n f R x f x L x x a b n ξωξ++=-= ∈+ 其中()()10 n n j j x x x ω+==∏-。 1.1.2 拉格朗日插值多项式 实际上比较方便的作法不是解方程（3）求待定系数，而是先构造一组基函数 ()()()()()()()()() () 0110110,0,1,,i i n i i i i i i i n n j j i j j i x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x i n x x -+-+=≠----= -----=∏ =-L L L L L ()i l x 是n 次多项式，满足

插值及其误差

（1）用tan x 表格直接计算tan 5。 （2）用sin 5和cos 5来计算tan 5。并讨论这两个结果中误差变化的原因。 插值：求过已知有限个数据点的近似函数。 1 插值方法 下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插 值、Hermite 插值和三次样条插值。 拉格朗日多项式插值 1.1.1 插值多项式 用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。其基本问题是：已知函数 ()f x 在区间[],a b 上1n +个不同点01,,,n x x x 处的函数值 ()()0,1, ,i i y f x i n ==，求一个至多n 次多项式 ()01n n n x a a x a x ?=++ +（1） 使其在给定点处与()f x 同值，即满足插值条件 ()()n i i i x f x y ?==（2） ()n i x ?称为插值多项式，()0,1,,i x i n =称为插值节点，简称节点，[],a b 称为插 值区间。从几何上看，n 次多项式插值就是过1n +个点()()(),0,1,,i i x f x i n =， 作一条多项式曲线()n y x ?=近似曲线()y f x =。 n 次多项式（1）有1n +个待定系数，由插值条件（2）恰好给出1n +个方程 01000 01111 01n n n n n n n n n a a x a x y a a x a x y a a x a x y ?+++=? +++=??? ?+++=?（3） 记此方程组的系数矩阵为A ，则

()0 1111det 1n n n n n x x x x A x x = 是范德蒙特(Vandermonde)行列式。当01,,,n x x x 互不相同时，此行列式值不为 零。因此方程组（3）有唯一解。这表明，只要1n +个节点互不相同，满足插值要求（2）的插值多项式（1）是唯一的。 插值多项式与被插函数之间的差 ()()()n n R x f x x ?=- 称为截断误差，又称为插值余项。当()f x 充分光滑时， ()()()()() ()()()11,,1! n n n n f R x f x L x x a b n ξωξ++=-= ∈+ 其中()()10 n n j j x x x ω+==∏-。 1.1.2 拉格朗日插值多项式 实际上比较方便的作法不是解方程（3）求待定系数，而是先构造一组基函数 ()()()()()()()()() () 0110110,0,1,,i i n i i i i i i i n n j j i j j i x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x i n x x -+-+=≠----= -----=∏ =- ()i l x 是n 次多项式，满足 ()0 1i j j i l x j i ≠?=? =? 令 ()()000 n n n j n i i i j i i i j j i x x L x y l x y x x ===≠?? - ?==∏ ?-?? ∑∑（4） 上式称为n 次 Lagrange 插值多项式，由方程（3）解的唯一性，1n +个节点的n 次Lagrange 插值多项式存在唯一。 1.1.3 用Matlab 作Lagrange 插值 Matlab 中没有现成的Lagrange 插值函数，必须编写一个M 文件实现Lagrange 插值。 设n 个节点数据以数组0,0x y 输入，m 个插值点以数组x 输入，输出数组y 为

计算方法——插值法综述

计算方法——插值法 11223510 李晓东 在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是一些离散数值。有时即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，使用不便，且不易于计算与分析。解决这类问题我们往往使用插值法：用一个“简单函数”)(x ?逼近被计算函数)(x f ，然后用)(x ?的函数值近似替代)(x f 的函数值。插值法要求给出)(x f 的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定)(x ?作为)(x f 的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。 一、 理论与算法 （一）拉格朗日插值法 在求满足插值条件n 次插值多项式)(x P n 之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点),,1,0(n i x i =中任一点)0(n k x k ≤≤，作一n 次多项式)(x l k ，使它在该点上取值为1，而在其余点),,1,1,1,0(n k k i x i +-=上取值为零，即 ? ? ?≠==k i k i x l i k 01)( （1.1） 上式表明n 个点n k k x x x x x ,,,,,,1110 +-都是n 次多项式)(x l k 的零点，故可设 )())(())(()(1110n k k k k x x x x x x x x x x A x l -----=+- 其中，k A 为待定系数。由条件1)(=k k x l 立即可得 )())(()(1 110n k k k k k k k x x x x x x x x A ----= +- （1.2） 故 ) ())(()() ())(()()(110110n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------= +-+- （1.3） 由上式可以写出1+n 个n 次插值多项式)(,),(),(10x l x l x l n 。我们称它们为在1+n 个节点n x x x ,,,10 上的n 次基本插值多项式或n 次插值基函数。 利用插值基函数立即可以写出满足插值条件的n 次插值多项式 )()()(1100x l y x l y x l y n n +++ （1.4）

多项式插值的震荡现象

数值分析课程设计多项式插值的震荡现象 指导教师 学院名称 专业名称 提交日期

一、问题的提出 在一个固定区间上用插值逼近一个函数。显然，拉格朗日插值中使用的节点越多， (x)是否也更加靠近被逼近插值多项式的次数就越高。而插值多项式增加时，L n 的函数。下面就这个问题展开实验。 二、实验容 1.设区间[-1,1]上的函数，对其等距划分，写出其拉格朗日插值 多项式为。通过不断增加分点数n=2,3,…。 并：I.画出原函数f(x)及插值多项式函数L (x)在[-1,1]上的图像； n II.给出每一次逼近的最大误差； III.比较并分析实验结果。 2.选择其他函数，如定义在区间[-5,5]上的函数和， 重复上述I、II、III三个步骤看其结果如何。 3.区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 ,k=1,2,…,n+1。以,,…,为插值节点构造上述各函数的Lagrange插值多项式，比较其结果。 三、实验结果及分析 1.I.画出函数f(x)及其插值多项式函数L (x)在[-1,1]上的图像，如下图， n （程序代码1.1.1）

II.由于fminbnd函数的不可靠性，先通过编程绘出每次逼近在定义区间上的误差如下图，（程序代码1.1.2） 观察图像可知每次逼近的最大误差在哪个区间，再通过编程缩小区间，得到其每次逼近最大误差为（截图如下，程序代码1.1.3）， III.比较并分析实验结果： （1）在同一个坐标系中绘制f(x)及5次、7次等多次插值后的图像。从图中可以很清楚的看出，在[-0.4,0.4]的区间，随着插值次数的增加插值图像越来越逼近f(x)，然而当|x|>0.8以后，插值曲线围绕原函数曲线发生剧烈震荡现象，尤其是插值次数越多时震荡越强烈。 （2）在同一个坐标系中绘制每次插值后的误差图像。从图中可以看出较大误差主要出现在中心及两段，而就每次逼近的最大误差分析。可以观察到：1.当插值次数在一定区间上增多时，其最大误差变小，即吻合度增高（5次插值最大误差是0.437，7次插值最大误差是0.2474）；2.而超过一定区间，随着插值次数增加其最大误差越大，而且其最大误差x的取值越趋向于两端，于是发生了震荡现象。

第二章 插值法

第二章插值法 一、内容分析与教学建议 本章内容统称为插值法，包括Lagrange插值、逐步线性插值、Newton 插值、Hermite 插值、分段多项式插值、有理函数插值等内容，既是教学的重点。 在教学上，注意由浅入深，由直观到抽象，多用实例和图形作解释，建立插值概念，注意讲解上述插值是如何根据实际问题要求的提高而先后发展起来的。培养学生分析问题和解决问题的能力。 （一）L agrange插值 1、回顾《高等数学》的Taylor公式，讲解Taylor公式是根据某一点的多个信息得到近似多项式的插值思想。 2、将上述思想应用到多点的信息，即根据所给的多点的数据，建立插值多项式。 3、讲解过程中，沿着“发现问题→提出解决方法→方法的存在性和惟一性→建立Lagrange插值公式→误差公式”这样一个思路去讲解Lagrange插值的思想和方法。 （二）逐步线性插值 1、讲解为什么要建立逐步线性插值？这是由于Lagrange插值没有承袭性，当需要增加一个插值节点时，以前所做的工作要全部重做。 2、逐步线性插值是一个将高次插值转化成逐步线性插值的迭代过程，正是这一点使得逐步线性插值具有了承袭性。 3、强调逐步线性插值是求一点处近似值的快速方法，不太适合建立插值解析式。 （三）N ewton插值 1、Newton 插值克服了上述两类插值的缺点，继承了它们的优点：即具有承袭性，又是一个完整的解吸式，便于理论研究和分析。 2、首先掌握差分和差商的概念以及它们的性质，在此基础上建立Newton 插值公式和误差公式。 3、Newton 插值公式实际上是Lagrange插值公式的另外一种表现形式，这揭示了一种