高中数学 1-2-2-1 函数的表示方法能力强化提升 新人教A版必修1
高中数学 1-2-2-1 函数的表示方法能力强化提升 新人教A 版
必修1
一、选择题
1．下列图形中，不能表示以x 为自变量的函数图象的是( )
[答案] B
2．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是( ) A ．g (x )＝2x ＋1 B ．g (x )＝2x －1 C ．g (x )＝2x －3 D ．g (x )＝2x ＋7 [答案] B
[解析]g (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，∴g (x )＝2x －1，选B.
3．(2012～2013河南扶沟高中高一月考试题)函数f (x )＝x ＋|x |
x
的图象是( )
[答案] C
[解析] 对于y ＝x ＋|x |
x
，
当x ＞0时，y ＝x ＋1； 当x ＜0时，y ＝x －1.
即y ＝?
??
??
x ＋1，x ＞0，x －1，x ＜0.故其图象应为C.
4．(2012～2013鱼台一中月考试题)已知f (1x )＝1x ＋1则f (x )的解析式为( )
A ．f (x )＝11＋x
B ．f (x )＝1＋x
x
C ．f (x )＝x
1＋x D ．f (x )＝1＋x [答案] C
[解析]∵f (1x )＝1
x ＋1＝1
x 1＋
1
x
.
∴f (x )＝x
1＋x
故选C.
5．(2012～2013武安中学周测题)若f (x )满足关系式f (x )＋2f (1
x
)＝3x ，则f (2)的值为
( )
A ．1
B ．－1
C ．－32D.32
[答案] B
[解析]???
??
f 2＋2f
1
2
＝6 ①
f
12＋2f 2＝32
②
①－②×2得－3f (2)＝3， ∴f (2)＝－1，选B.
6．已知f (x )是一次函数，若2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )的解析式为( )
A ．f (x )＝3x ＋2
B ．f (x )＝3x －2
C ．f (x )＝2x ＋3
D ．f (x )＝2x －3 [答案] B
[解析] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由已知得
????
?
22a ＋b －3a ＋b ＝5
2b －－a ＋b ＝1
即???
?
?
a －
b ＝5a ＋b ＝1
解得???
?
?
a ＝3
b ＝－2
，故选B.
7．某同学离家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，图中
d轴表示该学生离学校的距离，t轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是( )
[答案] D
[解析]t＝0时，学生在家，离学校的距离d≠0，因此排除A、C；学生先跑后走，因此d随t的变化是先快后慢，故选D.
8.
某工厂八年来产品累积产量C(即前t年年产量之和)与时间t(年)的函数图象如图，下列四种说法：
①前三年中，产量增长的速度越来越快；
②前三年中，产量增长的速度越来越慢；
③第三年后，这种产品停止生产；
④第三年后，年产量保持不变．
其中说法正确的是( )
A．②与③ B．②与④
C．①与③ D．①与④
[答案] A
[解析]由于纵坐标表示八年来前t年产品总产量，故②③正确，其余错误．
二、填空题
9．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 12 3
f(x)13 1
x 12 3
则f (g [答案] 1 2 [解析]∵g (1)＝3， ∴f (g (1))＝f (3)＝1.
∴f (g (x ))＞g (f (x ))的解为x ＝2.
10.(，N ＝
{0,1,2,3,4}，下面给出四个对应法则，①y ＝x 2；②y ＝x ＋1；③y ＝x ＋32x －1
；④y ＝(x －1)2
，
其中能构成从M 到N 的函数的序号是________．
[答案]②④
[解析] 对于①当x ＝3时，y ＝9，集合N 中不存在，对于③当x ＝－1时y ＝－2
3集合N
中不存在，而②④符合函数定义．
11．已知f ?
??
??x －1x ＝x 2＋1
x
2，则f (x )的解析式为________．
[答案]f (x )＝x 2
＋2
[解析]f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x
)2＋2，∴f (x )＝x 2
＋2.
12．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F (1
3
)＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________．
[答案]F (x )＝3x ＋5
x
[解析] 设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m x (m ≠0)，则F (x )＝kx ＋m x .由F (1
3
)＝16，F (1)＝8，
得?????
13k ＋3m ＝16
k ＋m ＝8
，解得???
??
k ＝3m ＝5
，所以F (x )＝3x ＋5
x
.
三、解答题 13．求解析式：
(1)已知f (x )为二次函数，且f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝16x 2
－4x ＋6，求f (x )． (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．
(3)如果函数f (x )满足方程f (x )＋2f (－x )＝x ，x ∈R ，求f (x )． [分析] (1)待定系数法．
(2)这是含未知数f (x )的等式，比较抽象，在函数的定义域和对应法则不变的条件下，自变量变换为其他字母的代数式，对函数本身并无影响．
(3)因为当x ∈R 时，都有f (x )＋2f (－x )＝x ，所以利用方程思想解得f (x )． [解析] (1)待定系数法：设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2
＋b (2x ＋1)＋c
f (2x －1)＝a (2x －1)2＋b (2x －1)＋c ，
f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝8ax 2＋4bx ＋2a ＋2c ＝16x 2－4x ＋6，
∴????
?
8a ＝164b ＝－42a ＋2c ＝6
，∴????
?
a ＝2
b ＝－1
c ＝1
，
∴f (x )＝2x 2
－x ＋1. (2)方法一：配凑法
∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2
－1(x ＋1≥1)， ∴f (x )＝x 2
－1(x ≥1)． 方法二：换元法
令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2
(t ≥1)， ∴f (t )＝(t －1)2
＋2
t －1
2
＝t 2
－1，
∴f (x )＝x 2
－1(x ≥1)．
(3)∵f (x )＋2f (－x )＝x ，当x ∈R 时成立， 用－x 替换x 得，f (－x )＋2f (x )＝－x .
得到方程组???
??
f
x ＋2f －x ＝x ， ①
f
－x ＋2f x ＝－x . ②
②×2－①，得3f (x )＝－3x ，∴f (x )＝－x .
[方法点拨] (2)配凑法简便易行，但对变形能力、观察能力要求较高，换元法易掌握，但利用这种方法时要注意自变量取值范围的变化情况，否则得不到正确的解析式．
(3)本题是利用方程思想，采用解方程的方法消去不需要的函数式子，而得到f (x )的表达式，此种方法称为消去法，也称为解方程法．
14．已知函数f (x )的图象如图，其中y 轴左侧为一条线段，右侧为一段抛物线，求f (x )的解析式．
[解析] 当－2≤x ≤0，设y ＝kx ＋b (k ≠0)，代入(－2,0)与(0,2)，得???
??
0＝－2k ＋b ，
2＝b ，解得?
??
??
k ＝1，
b ＝2.故y ＝x ＋2，
当0＜x ≤3时，设y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，
代入(0,2)，(2，－2)，(3，－1)得????
?
c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝－2，
9a ＋3b ＋c ＝－1，
解得?????
a ＝1，
b ＝－4，∴y ＝x 2
－4x ＋2.
c ＝2.
综上可知，
f (x )＝?????
x ＋2，－2≤x ≤0，x 2
－4x ＋2，0＜x ≤3.
15．作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝?????
1x
0 ； (2)y ＝－x 2 ＋2x ，x ∈[－2,2]； (3)y ＝|x ＋1|. [分析] 列表→描点→用平滑的曲线连成图象→观察图象求值域 [解析] (1)y ＝????? 1x 0 ， 列表： x … 14 12 1 2 3 … y … 4 2 1 2 3 … 当0 的一部分； 当x ≥1时，函数图象为直线y ＝x 的一部分，所以函数图象如图(1)所示， 由图(1)，可得函数的值域是[1，＋∞)． (2)y ＝－x 2 ＋2x ＝1－(x －1)2 ，x ∈[－2,2]． 列表： x －2 －1 0 1 2 y －8 －3 1 画图象，图象是抛物线y ＝－x 2 ＋2x 在－2≤x ≤2之间的部分如图(2)所示． 由图(2)，可得函数的值域是[－8,1]． (3)当x ＋1≥0， 即x ≥－1时，y ＝x ＋1； 当x ＋1<0，即x <－1时，y ＝－x －1. ∴y ＝? ?? ?? x ＋1，x ≥－1，－x －1，x <－1. 作该分段函数图象如图(3)． 由图(2)，可得函数的值域是[0，＋∞)． 16．(2012～2013孟村回中月考题)某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间适合关系式：y ＝ax ＋b x .且当x ＝2时，y ＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过20件． (1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数． [分析] 由已知数据→求出a ，b →写出解析式→列表法表示函数 [解析] (1)将??? ?? x ＝2 y ＝100 ，????? x ＝7 y ＝35 代入 y ＝ax ＋b x ，得????? 2a ＋b 2＝1007a ＋b 7＝35 ? ???? ? 4a ＋b ＝20049a ＋b ＝245 ???? ? ? a ＝1 b ＝196 . ∴所求函数解析式为y ＝x ＋ 196x (x ∈N *, 0 (2)当x ∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表： [点评] 在表示函数时，要根据函数的具体特点，在解析法、列表法、图象法中选择恰当的表现形式． 第1页共4页第4讲 函数及其表示基础梳理1．函数的基本概念 (1)函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数 f (x)和它对应，那么称f ：A →B 为从集合A 到 集合B 的一个函数，记作： y ＝f(x)，x ∈A. (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围 A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫 函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫值域．值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据． 2．函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 3．映射的概念 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 两个防范 (1)解决函数问题，必须树立优先考虑函数的定义域的良好习惯． (2)用换元法解题时，应注意换元后变量的范围． 考向一 相等函数的判断【例1】下列函数中哪个与函数)0(x x y 是同一个函数（）A y =( x )2 B y=x x 2 C 33x y D y=2 x 【例2】x x y 2与).0,(,);,0(,)(t t t t x f 是相同的函数吗? 考向二 求函数的定义域高中阶段所有基本初等函数求定义域应注意： （1）分式函数中分母不为 0；（2）开偶次方时，被开方数大于等于0；（3）对数函数的真数大于 0（如果底数含自变量，则底数大于0且不为1）； （4）0次幂的底数不为0。 幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 （1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 3．幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义 对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质 对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ； 过点（1，0），即当x =1，y =0； 在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点， 在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数， 在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1．已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =- （4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2．比较大小： （1）1122 ,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.5 30.5,3,log 0.5 例3．已知幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 解：∵幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2 230m m --≤，∴13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2 (23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =． 例4、设函数f （x ）＝x 3， （1）求它的反函数； （2）分别求出f － 1（x ）＝f （x ），f － 1（x ）＞f （x ），f － 1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围． 解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f － 1（x ）＝x 3 1 ． （2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1 （x ）＝x 3 1 的图象都经过点（0，0）和（1，1）． 3. 函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型 如： ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 常针对根号，举例： 令 ，原式转化为： ，再利用配方法。 ⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： )0(>+ =k x k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 第一章 函数及其表示课后练习题 一、选择题 1．下列四种说法中，不正确的是 ( ) A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应 B ．函数的定义域和值域一定是无限集合 C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了 D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 2．f (x )＝1＋x ＋x 1－x 的定义域是 ( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．R D ．[－1,1)∪(1，＋∞) 3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是 ( ) 4．(2016·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是 ( ) A ．f ︰x →y ＝12 x B ．f ︰x →y ＝13x C ．f ︰x →y ＝23 x D ．f ︰x →y ＝x 5．下列各组函数表示相等函数的是 ( ) A ．y ＝x 2－9x －3 与y ＝x ＋3 B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝x ＋1，x ∈Z 与y ＝x －1，x ∈Z 6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 的交点个数为 ( ) A ．可能有无数个 B ．只有一个 C ．至多一个 D ．至少一个 二、填空题 7．已知函数f (x )＝11＋x ，又知f (t )＝6，则t ＝________. 三、解答题 9．求下列函数的定义域，并用区间表示： (1)y ＝?x ＋1?2x ＋1－1－x ； (2)y ＝5－x |x |－3 . (3)y ＝31－1－x ； (4)y ＝?x ＋1?0|x |－x ； (5y ＝2x ＋3－12－x ＋1x . 10．求下列函数的值域： (1) 1,[1,2]y x x = ∈ (2) x 3y -=. 高中数学必修基本初等 函数常考题型幂函数 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 幂函数 【知识梳理】 1．幂函数的概念 一般地，函数y ＝x 叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质 解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1 x y＝ 1 2 x 图象 定义域R R R{x|x≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y|y≠0}[0，＋∞) 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函 数 单调性在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0]上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0)上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递减 在[0，＋ ∞)上单调 递增 定点(1,1) (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数：①y＝x 3 ；②y＝12x ?? ? ?? ；③y＝4x 2；④y＝x 5 ＋1；⑤y＝(x －1)2；⑥y＝x ；⑦y＝a x (a>1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝()2 2231m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y＝()2 2231m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法 函数的表示方法 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数； 2、 了解简单的分段函数，并能简单应用； 一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法 如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。 例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2)y x = ≥等等都是用解析式表示函数关系的。 特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。 解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。 2、列表法： 通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。 例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒： 列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常应用到实际生产和生活中。 列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。 3、图象法： 用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。 例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。 特别提醒： 图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。 图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。 高中函数大题专练 ２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。 高中数学必修1《函数的应用》知识点(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数： 非连续函数： 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理： ()[]()()()(),::,. 0.y f x a b p q y f x a b f a f b ????? ()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤： ()()()()()()( )1 2121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ? 人教版高中数学必修一 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 指数函数、对数函数、幂函数综合 【学习目标】 1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算． 2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质． 4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理． 5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质． 6．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a≠1）． 【知识框图】 【要点梳理】 要点一：指数及指数幂的运算 1．根式的概念 a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈ 当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n 为偶数时，正数 的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0． n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 2．n 次方根的性质： （1）当n a =；当n ,0, ,0;a a a a a ≥?==? - )0,,,1m n a a m n N n =>∈>；()10,,,1m n m n a a m n N n a - = >∈> 要点诠释： 0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质： ()0,0,,a b r s Q >>∈ （1）r s r s a a a += （2）()r s rs a a = （3）()r r r ab a b = 要点二：指数函数及其性质 1．指数函数概念 一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 1．已知R 是实数集，21x x ?? M =.则满足(21)f x -＜1 ()3 f 的x 取值范围是( ) 6．已知 上恒成立，则实数a 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 7．函数2 5 ---= a x x y 在（－1，＋∞）上单调递增，则a 的取值范围是 A ．3-=a B ．3f （2x ）的x 的取值 范围是________. 必修一第一章 集合与函数概念 二、函数 知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域 ②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域. 2》区间和无穷大 ①设a 、b 是两个实数，且a=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. 典例分析 题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ） A 、x y x f 21)(= → B 、x y x f 31 )(=→ C 、 x y x f 32 )(=→ D 、x y x f =→)( 例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数： ① }{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方； ③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。 是函数的是_________________。 题型2：区间的表示 例1：用区间表示下列集合 （1） }{1≥x x =_____________。 （2）}{42≤ 2.3 幂函数 整体设计 教学分析 幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究 y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x -1 ,y ＝x 2 1 等函数的性质和图象,让学生认识到 幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习. 将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x 2,y=x -1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径. 学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析. 三维目标 1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣. 2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望. 3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力. 重点难点 教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1 1.如果张红购买了每千克1元的水果w 千克,那么她需要付的钱数p （元）和购买的水果量w （千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p 是w 的函数. 2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a 2,这里S 是a 的函数. 3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a 3,这里V 是a 的函数. 函数的概念和函数的表示法 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设 A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f （x ）和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。 例 1. 下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中，能确定 y 是 x 的函数的是（ ） x ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈ Z} ，对应法则 f ：x →y= ; 3 ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈ R} ，对应法则 f ：x → y 2 =3x; A=R,B=R, 对应法则 f ：x →y= x 2; A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③ D ．② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例 2. 下列哪个函数与 y=x 相同（ ） 变式 1. 列图像中，是函数图像的是（ ② 变式 2. 已知函数 y=f （ x ），则对于直线 x=a （a 为常数） A. y=f （ x ）图像与直线 x=a 必有一个交点 C.y=f （ x ）图像与直线 x=a 最少有一个交点 变式 4. 对于函数 y ＝f （x ） ，以下说法正确的有? （ ①y 是 x 的函数 ②对于不同的 x ，y 的值也不同 ③f （a ） 表示当 x ＝ a 时函数 f （x ） 的值，是一个常量 A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D 变式 5．设集合 M ＝{x|0 ≤x ≤ 2} ，N ＝ {y|0 ≤y ≤2}，那么下面的 4 个图形中，能表示集合 M 到集合 N 的函 ，以下说法正确的是（ B.y=f （ x ）图像与直线 x=a 没有交点 D.y=f （ x ）图像与直线 x=a 最多有一个交点 ④ f （x ） 一定可以用一个具体的式子表示出来 ． 4 个 y 2x 1，x ∈ Z 与 y 2x 1， x ∈Z 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高考数学知识点：必修一函数知识点总结_知识点总结 1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 注意：2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。 3.函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象. C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A} 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2)画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法(请参考必修4三角函数) 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用： 1、直观的看出函数的性质; 2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。 发现解题中的错误 4.快去了解区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示. 第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数： 非连续函数： 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理： ()[]()()()(),::,.0.y f x a b p q y f x a b f a f b ????? ()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤： ()()()()()()()12121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ? 函数及其表示同步练习 36分） 1. 设集合，，则在下面四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③ D．② 2.已知函数()1 1f x x =+，则函数()()f f x 的定义域是（ ） A. }1|{-≠x x B. }2|{-≠x x C. }21|{-≠-≠x x x 且 D. }21|{-≠-≠x x x 或 3.定义域为R 的函数的值域为[]，则函数) 的值域为 （ ） A.[2, B.[0, C.[ D.[ 4.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．2|,|x y x y == B ． C ．33 ,1x x y y == D ．2)(|,|x y x y == 5.已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以 60千米/时的速度从地到达地，在地停留 1 小时后再以50千米/时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离（千米）表示为时间(时)的函数表达式是（ ） A ． B ． C ． D ． 6. 下列对应关系： 4 , 2 2 2 - = + - = x y x x y ? ? ? ? ? > - ≤ ≤ = ) 5 . 3 ( 50 150 ) 5 . 2 0 ( 60 t t t t x ? ? ? ? ? ≤ < - ≤ < ≤ ≤ = ) 5 . 6 5 . 3 ( 50 325 ) 5 . 3 5 . 2 ( 150 ) 5 . 2 0 ( 60 t t t t t x ①{1，4，9}，{-3，-2，-1，1，2，3}，→的算术平方根; ②，，的倒数; ③，，. 其中是A 到B 的函数的是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．①② D ．①②③ 二、填空题(本大题共3小 题，每小题6分，共 18分) 7.设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x . 8.已知函数则((6))f f 9．已知且＝4，则的值 为 ． 三、解答题（本大题共3小题，共46分） 10．（14分）求下列函数的定义域： （1）x x x y -+=||)1(0 ； （2）x x x y 1 21 32+--+=． 11.（16分）作出下列各函数的图象： (1)∈Z ； (20)． §2.3幂函数 教学目标： 知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性． 教学重点： 重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质． 难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 教学程序与环节设计： 问题引入． 幂函数的图象和性质． 教学过程与操作设计： 环节教学内容设计师生双边互动 创设情境 阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列 问题： 1．它们的对应法则分别是什么？ 2．以上问题中的函数有什么共同特征？ （答案） 1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4） 开方；（5）取倒数（或求－1次方）． 2．上述问题中涉及到的函数，都是形如αx y= 的函数，其中x是自变量，是α常数． 生：独立思考完成引 例． 师：引导学生分析归纳 概括得出结论． 师生：共同辨析这种新 函数与指数函数的异 同． 组织探究 材料一：幂函数定义及其图象． 一般地，形如 α x y=) (R a∈ 的函数称为幂函数，其中α为常数． 下面我们举例学习这类函数的一些性质． 作出下列函数的图象： （1）x y=；（2）2 1 x y=；（3）2x y=； （4）1- =x y；（5）3x y=． [解] ○1列表（略） ○2图象 师：说明： 幂函数的定义来 自于实践，它同指数函 数、对数函数一样，也 是基本初等函数，同样 也是一种“形式定义” 的函数，引导学生注意 辨析． 生：利用所学知识和方 法尝试作出五个具体 幂函数的图象，观察所 图象，体会幂函数的变 化规律． 师：引导学生应用画函 数的性质画图象，如： 定义域、奇偶性． 师生共同分析，强调画 图象易犯的错误． 环节教学内容设计师生双边互动高中数学必修一第1讲函数及其表示
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