高中数学竞赛定理
重 心
定义：重心是三角形三边中线的交点，
可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。
已知：△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AC 中点，AD 与BE 交于O ，CO 延长线交AB 于F 。求证：F 为AB 中点。
证明：根据燕尾定理，
S △AOB=S △AOC ，
又S △AOB=S △BOC ，
∴S △AOC=S △BOC ，
再应用燕尾定理即得AF=BF ，命题得证。
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、三角形到三边距离之积最大的点。
5、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((321x x x ++)/3,(321y y y ++)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(321x x x ++)/3 纵坐标：(321y y y ++)/3 竖坐标：（321z z z ++）/3
外 心
定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。
外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。
设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积
1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c
重心坐标：( (32c c +）/2c ，(31c c +)/2c ，(21c c +)/2c )
垂 心
定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
性质：
锐角三角形垂心在三角形部
直角三角形垂心在三角形直角顶点
钝角三角形垂心在三角形外部
设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积。
1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c
垂心坐标：( 1c /c ，2c /c ，3c /c )
九点圆
三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆，这个圆为九点圆 〔 或欧拉圆 或 费尔巴哈圆. ）
九点圆性质：
1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; 即九点圆r ：外接圆r =2：1
2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;
3.三角形的九点圆与三角形的切圆,三个旁切圆均相切
设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积
1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c
垂心坐标：：( (3212c c c ++)/4c ，(3212c c c ++)/4c ，(3212c c c ++)/4c )
欧拉线
定义：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
欧拉线定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。
欧拉线的性质：
1、在任意三角形中，以上四点共线。
2、欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
欧拉线的证法1
如图 作△ABC 的外接圆，连结并延长BO ，交外接圆于点D 。连结AD 、CD 、AH 、CH 、OH 。作中线AM ，设AM 交OH 于点G’
∵ BD 是直径
∴ ∠BAD 、∠BCD 是直角
∴ AD ⊥AB ，DC ⊥BC
∵ CH ⊥AB ，AH ⊥BC
∴ DA//CH ，DC//AH
∴ 四边形ADCH 是平行四边形
∴ AH=DC
∵ M 是BC 的中点，O 是BD 的中点
∴ OM=
2
1DC ∴ OM= 21AH ∵ OM//AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’ ∴
GM AG =1
2 ∴ G’是△ABC 的重心
∴ G 与G’重合
∴ O 、G 、H 三点在同一条直线上
欧拉线的证法2
如图 设H,G,O,分别为△ABC 的垂心、重心、外心。连接AG 并延长交BC 于D, 则可知D 为BC 中点。
连接OD
O 为外心
∴OD ⊥BC
连接AH 并延长交BC 于E
H 为垂心
∴ AE ⊥BC
∴OD//AE ，有∠ODA=∠EAD 。由于G 为重心，则GA:GD=2:1。
连接CG 并延长交BA 于F 则可知F 为AB 中点
同理，OF//CM
∴∠OFC=∠MCF
连接FD FD//AC,DF:AC=1:2
∴∠DFC=∠FCA ，∠FDA=∠CAD
又∠OFC=∠MCF ，∠ODA=∠EAD
相减可得
∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC
∴△OFD∽△HCA
∴OD:HA=DF:AC=1:2
又GA:GD=2:1
∴OD:HA=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD
∴△OGD∽△HGA
∴∠OGD=∠AGH
又连接AG并延长
∴∠AGH+∠DGH=180°
∴∠OGD+∠DGH=180°
即O、G、H三点共线
欧拉线的证法3
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.
则OH=OA+OB+OC
OG=（OA+OB+OC）/3，
3 ×OG=OH
∴O、G、H三点共线(注：OH, OA, OB , OC ,OG 均为向量）
费马点
定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
费马点的判定
（1）对于任意三角形△ABC，若三角形或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。
（2）如果三角形有一个角大于或等于120°，这个角的顶点就是费马点；如果3个角均小于120°，则在三角形部对3边角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点性质：
（1）平面一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。
（2）.特殊三角形中，三角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(3).特殊三角形中，若三角形有一角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是费马点
(4)特殊三角形中，当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
证明
(1)费马点对边的角为120度
在B CC 1?和B AA 1?中
BC=1BA ,BA=1BC ,1CBC ∠=∠B+?60=1ABA ∠,
∴B CC 1?和B AA 1?是全等三角形
∴∠PCB=B PA 1∠
同理可得∠CBP=P CA 1∠
由B PA 1∠+P CA 1∠=?60，得∠PCB+∠CBP=?60,
∴∠CPB=?120
同理,∠APB=?120，∠APC=?120
(2)PA+PB+PC=1AA
将△BPC 以点B 为旋转中心旋转?60与1BDA ?重合，连结PD ，则△PDB 为等边三角形 ∴∠BPD=?60
又∠BP A=?120
因此A 、P 、D 三点在同一直线上
又∠CPB=DB A 1∠=?120，∠PDB=?60，PDA ∠=?180
∴A 、P 、D 、1A 四点在同一直线上
故PA+PB+PC=1AA
(3)PA+PB+PC 最短
在△ABC 任意取一点M （不与点P 重合），连结AM 、BM 、CM ，将△BMC 以点B 为旋转中心旋转?60与1BGA ∠重合，连结AM 、GM 、G A 1(同上)，则1AA 梅涅劳斯定理 容：如果一条直线与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么FB AF ×DC BD ×EA CE =1。 或 设X 、Y 、Z 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 所在直线上，则X 、Y 、Z 共线的充要条件是ZB AZ ×XC BX ×YA CY =1 证明一： 如图 过点A 作AG ∥BC 交DF 的延长线于G, 则FB AF =BD AG ,DC BD =DC BD , EA CE =AG DC 。 三式相乘得： FB AF ×DC BD ×EA CE =BD AG ×DC BD ×AG DC =1 证明二： 过点C 作CP ∥DF 交AB 于P ，则 DC BD =PF FB ，EA CE =AF PF ∴FB AF ×DC BD ×EA CE =FB AF ×PF FB ×AF PF =1 它的逆定理也成立：若有三点F 、D 、E 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 或其延长线上，且满足 FB AF ×DC BD ×EA CE =1，则F 、D 、E 三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 证明三： 过ABC 三点向三边引垂线AA'BB'CC'， ∴AD ：DB=AA'：BB'， BE ：EC=BB'：CC'， CF ：FA=CC'：AA' ∴ FB AF ×DC BD ×EA CE =1