清华大学算法分析与设计课件第10讲_NP完全性理论
Lecture 10. NP完全性理论
清华大学软件学院
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内容提要
?计算模型与计算复杂度关系
?问题分类：【P】与【NP】类
?NP－难【hard】问题，NP完全集
?第一个NPC问题和NPC问题集
?如何证明一个问题是NPC问题
涉及到的算法理论基础
?原则上是否存在一般数学问题的解题步骤的判决问题【希尔波特第十问题】
?图灵机的停机问题：是否存在一个图灵机，他可以回答其它图灵机是否停机【既算法是有界的】
?图灵公理：凡是可计算的函数都可以用一台图灵机来计算
?P－NP－NPC问题定义及其猜想：NPC是一类不可以在多项式时间内计算的问题。
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明代数学家程大位著《算法统宗》中关于珠算的插图
机械式手动计算机
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机械计算机
?法国数学家、哲学家帕斯卡在1642年发明了一种机械计算机，并与1649年取得专利。帕斯卡的计算机采用一种齿轮系统，其中一小轮转十个数字，下一个小轮便转动一个数字，通过齿轮系的联动，可以进行加法和减法的运算.
图灵
?大半个世纪以来，数学家、计算机
科学家提出了各种各样的计算模型
都被证明是同图灵机器等价的。这
一理论已被当成公理，它不仅是计
算机科学的基础，也是数学的基础
之一。为纪念英国数学家Turing
(1912-1954) 而设立的图灵奖成为计
算机界的诺贝尔奖.
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图灵机模型
图灵机定义
?一个图灵机是一个7元组(Q,∑,Γ,δ,q0,q1,q2), 其中Q,∑,Γ都是有穷集合,并且
?1) ?2) ?3) 集. ?4) ?5) ?6) ?7) Q 是状态集.
∑是输入字母表,不包括特殊空白符号︺. Γ是带字母表,其中: ︺∈Γ,∑是Γ的子δ: Q×Γ→Q×Γ×{L,R}是转移函数. q0∈Q是起始状态.
q1∈Q是接受状态.
q2∈Q是拒绝状态,且q2≠q1
图灵机模型
?图灵机模型用一个无限长的带子作为无限存储, 它还有一个读写头,这个读写头能在带子上读, 写和移动: 开始时,带子上只有输入串,其它地方都是空的.当它需要保存信息时,读写头就把信息写在带子上.为了读某个输入或写下的信息,带子可能将读写头往回移动到这个信息所
在的地方.这样读,写和移动,机器不停的计算, 直到产生输出为止.机器实现设置了两种状态: 接受或拒绝
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多带图灵机,
?和普通图
灵机相似,
只是有多
个带子,每
个带子都
有自己的
读写头,用
于读和写.
如图
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非确定性的图灵机
?非常容易理解,在计算的任何时刻,机器可以在多种可能性中选择一种继续进行.它的计算是一课树,不同的分枝对应着机器不同的可能性.如果某个计算分枝导致接受状态,则接受该输入.与多带图灵机相同的是,它的计算能力与普通图灵机也是一样的.当然他的计算能力就不一样了。
现代计算机模型
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随机存取机RAM
?类似现代计算机，有一个只读输入带、只写输出带、指令计数器、内存储器、其零号寄存器用作累加器，内存不能写，每个内存可以存放任意大的整数。有12条指令：load、store、add、sub、mult、div、read、write、jump、jgtz、jzero、halt。
练习
?利用RAM设计一个计算多项式函数求值的程序：其中多项式为
?考虑问题：程序是什么？输入是什么？复杂度是多少？
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随机存取存储程序机RASP ?除了程序可以存储在存储器中并可以修改，其它与RAM都一样。
RAM、RASP复杂度耗费标准?均匀耗费：不论计数器内整数多长，其读写、运算耗费均相等
?对数耗费：耗费与其二进制表示的位数成正比：既与数字大小的对数成正比
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图灵机模型与RAM模型计算能力
和复杂性关系
?定理一、上述计算模型的计算能力等价：既能够用图灵机计算的问题一定能够用RAM计算，反之亦然。
?定理二、在对数耗费标准下、图灵机与RAM的计算复杂度可在多项式时间内相互归约。
问题变换与复杂性归约
?利用变换和归约可以把一个问题的复杂性归结到另一个问题的复杂性
?问题A变换到问题B是指：
–将问题A的输入变换为问题B的适当输入
–求解问题B
–把问题B的输出变换为问题A的正确解
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说明
A∝τ ( n ) B：是指在完成问题A 到B
的转换过程中的转换过程需要O(τ(n))
时间。
通常n 表示问题A 的规模，如果
τ(n) 是多项式，则称问题A 可在多项
式时间内变换为问题B
P 、NP 类定义
? P ＝{L|L 是一个能够在多项式时间内被一台确定性图灵机所接受的语言}
? NP ＝{L|L 是一个能够在多项式时间内被一台非确定性图灵机所接受的语言} ? 遗留概念说明：
– 语言
– 语言与图灵机【算法与图灵机】 – 为什么选择多项式
变换与归约的关系
命题一：若问题 A 的计算时间下界为 T （n ），且 A ∝τ ( n ) B ：则 T(n)-τ (n ) 问题 B 的一个计算时间下界
命题二：若问题 B 的计算时间上界为 T （n ），且 A ∝τ ( n ) B ：则 T(n)-τ (n ) 问题 A 的一 个计算时间上界
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A Formal-language framework ?形式化语言框架的一些概念简介：–Alphabet ∑:is a finite set of symbols
–A language L over ∑ is any set of string made up
of symbols from ∑. If ∑ = {0,1}, then
L={10,11,101,111,1011,…} is the language of
binary representations of prime numbers,
?ε is the empty string.
?∑*={ε,0,1,00,01,11,…} is the set of all strings
– Every language is an element of ∑*.
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多项式时间内可求解问题
·多项式时间内可求解的问题的特点–多项式时间可求解的问题被认为是易处理的，有三条理由：
理由1：尽管 ( n100 ) 算法被认为是不
易处理的，但事实上还没有什么实际问题有
如此之高的多项式算法。
经验证明一但一个问题有多项式解，那么常常会有更加有效的解决方案。
清华大学25 理由2：在某一种计算模型下有多项式算法则
在另一种计算模型下亦有多项式算法。
例如：一个问题在串行随机存取机上有多项式算法，则在图林机上亦有多项式算法，在并行机上亦如此。
理由3：多项式算法时间问题集合有非常好的封闭性质，它在加、乘、复合运算下都是封闭的
【本课程研究的算法都是多项式的，研究的问题也是在多项式时间内可解的，对于不能在多项式时间内求解的问题该如何处
判决问题
· Dec i s i on 问题：如果I ＝｛0，1｝或 ｛yes, no ｝，则称问题是判决【决策】问题，下面我们只关心判决问题。
优化问题一般都可以转换成判决 问题。
2.抽象问题：（What a problem is)
抽象问题Q 是集合I 和S 上的二元关系。其中 I 是问题实例集合，S 是问题解集合。 ? 例如：①最短路径问题：问题实例（G ， u 、v) : 一个圆和其上两个顶点；问题解是（u ～v)一个从u 到v 的由边相连的顶点集。
②查找最小值问题：问题实例： ＜a 1 , ?, a n ＞一个数组，问题解: 数m 。
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3.编码：抽象对象集合S的编码是：抽象对象集合S的编码是：
E：S→∑＊即把S中的对象e转化成一个二进
制（可以是多进制）的串。
如果一个问题的实例是由二进制串集构成，称其为具体问题。我们称一个算法在O（T（n)）时间内解决了一个具体问题，如果此问题i 的长度| i |是n，此算法可在O（T（n)）时间内求解此问题。
一个抽象问题可以编码成具体问题。
清华大学29
Problem vs. language
?A decision problem Q can be regarded as a
language L:
– L={x∈∑*: Q(x)=1}
?A language accepted by an algorithm A is – L={x∈{0,1}*: A(x)=1}
?A language decided by an algorithm A if it
accepts all string x with A(x)=1 and rejected all string x with A(x)=0
Polynomial time
?We say that a language is accepted in polynomial time by an algorithm A if A accepts every binary string in L in polynomial time
?We say that a language is decided in polynomial time by an algorithm A if A accepts every binary string in L in polynomial time, and rejects in polynomial time the string not in L
清华大学31 Definition of the complexity
class P
?P={L {0,1}*: there exists an algorithm A that decides L in polynomial time} ?Theorem 34.2
?P={L: L is accepted by a polynomial time
algorithm}
Polynomial time verifications ?Verification algorithm A is a two arguments algorithm where one argument is an ordinary input string x and the other is a binary string y called a certificate.
?A two arguments algorithm A verify an input x if there exists a certificate y such that A(x,y)=1.
清华大学33
Language defined by verification ?L={x in {0,1}*: there exists y in {0,1}* such that A(x,y)=1}
The complexity class NP
?A language L belongs to NP if and only if there exists a two-input polynomial-time algorithm A and a constant c such that
?L={x in {0,1}*: there exists y in {0,1}* with |y|=O(|x|c) such that A(x,y)=1}
?We say that algorithm A verifies language L in polynomial time.
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NP两种定义的等价性
?用非确定性图灵机和验证算法给NP类的定义是等价的
关于团问题属于NP的两种表述?团：给定无向图和整数k，确定是否存在一个
包含k顶点的完全子图【团】【Clique】。?非确定图灵机算法：一个转移函数：给定k，可以不确定地转移到任意一个包含k个顶点的子图，然后确认该子图是否是团。其复杂度为多项式。
?验证算法：给定一个k阶子图，验证它是否为团。
清华大学37
co-NP
?Complexity Class co-NP={L: complement of L in NP}
?余集
The most possible cases C o
-N P N
P ?c o -N P P N P
P is a subset of NP
P =N P =c o -N P N P =c o -N P P C o -N P N P ?c o -N P
=P
N P 清华大学 39
李庆扬数值分析第五版习题复习资料清华大学出版社
第一章 绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=Q , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?Q 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,* 57 1.0.x =? 解：* 1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中**** 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：
*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ===g g (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g 又(*)1r V ε=Q
2015年算法分析与设计期末考试试卷B卷
西南交通大学2015 — 2016学年第(一)学期考试试卷 课程代码 3244152课程名称 算法分析与设计 考试时间 120分钟 阅卷教师签字： __________________________________ 填空题(每空1分，共15分) 1、 程序是 (1) 用某种程序设计语言的具体实现。 2、 矩阵连乘问题的算法可由 (2) 设计实现。 3、 从分治法的一般设计模式可以看出，用它设计出的程序一般是 (3) 4、 大整数乘积算法是用 (4) 来设计的。 5、 贪心算法总是做出在当前看来 (5) 的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优 考虑，它所做出的选择只是在某种意义上的 (6) o 6、 回溯法是一种既带有 (7) 又带有 (8) 的搜索算法。 7、 平衡二叉树对于查找算法而言是一种变治策略，属于变治思想中的 (9) 类型 8、 在忽略常数因子的情况下，0、门和0三个符号中， (10) 提供了算法运行时 间的一个上界。 9、 算法的“确定性”指的是组成算法的每条 (11) 是清晰的，无歧义的。 10、 冋题的(12) 是该冋题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。 11、 算法就是一组有穷 (13)，它们规定了解决某一特定类型问题的 (14) o 12、 变治思想有三种主要的类型：实例化简，改变表现， (15) o 、 ___________________________________________________________________________________ L 线订装封密 线订装封密 、 __________________ 二 线订装封密 级班 选择题(每题2分，共20 分)
清华大学高等数值计算(李津)实践题目一(共轭梯度CG法,Lanczos算法与MINRES算法)
高等数值计算实践题目一 1. 实践目的 本次计算实践主要是在掌握共轭梯度法，Lanczos 算法与MINRES 算法的基础上，进一步探讨这3种算法的数值性质，主要研究特征值特征向量对算法收敛性的影响。 2. 实践过程 （一）生成矩阵 （1）作5个100阶对角阵i D 如下： 1D 对角元：1,1,...,20,1+0.1(-20),21,...,100j j d j d j j ==== 2D 对角元：1,1,...,20,1+(-20),21,...,100j j d j d j j ==== 3D 对角元：,1,...,80,81,81,...,100j j d j j d j ==== 4D 对角元：,1,...,40,41,41,...,60,41+(60),61,...,100j j j d j j d j d j j =====-= 5D 对角元：,1,...,100j d j j == 记i D 的最大模特征值和最小模特征值分别为1i λ和i n λ，则i D 特征值分布有如下特点： 1D 的特征值有较多接近于i n λ，并且1/i i n λλ较小， 2D 的特征值有较多接近于i n λ，并且1/i i n λλ较大， 3D 的特征值有较多接近于1i λ，并且1/i i n λλ较大， 4D 的特征值有较多接近于中间模特征值，并且1/i i n λλ较大， 5D 的特征值均匀分布，并且1/i i n λλ较大 （2）随机生成10个100阶矩阵j M ： (100(100))j M fix rand = 并作它们的QR 分解，得j Q 和j R ，这样可得50个对称的矩阵T ij j i j A Q DQ =，其中i D 的对角元就是ij A 的特征值，若它们都大于0，则ij A 正定，j Q 的列就是相应的特征向量。结合（1）可知，ij A 都是对称正定阵。
《算法分析与设计》期末复习题[1]
一、选择题 1．一个.java文件中可以有（）个public类。 A．一个B．两个C．多个D．零个 2．一个算法应该是（） A．程序B．问题求解步骤的描述 C．要满足五个基本特性D．A和C 3．用计算机无法解决“打印所有素数”的问题，其原因是解决该问题的算法违背了算法特征中的（）A．唯一性B．有穷性C．有0个或多个输入D．有输出 4．某校有6位学生参加学生会主席竞选，得票数依次为130，20，98，15，67，3。若采用冒泡排序算法对其进行排序，则完成第二遍时的结果是（） A．3，15，130，20，98，67B．3，15，20，130，98，67 C．3，15，20，67，130，98 D．3，15，20，67，98，130 5．下列关于算法的描述，正确的是（） A．一个算法的执行步骤可以是无限的B．一个完整的算法必须有输出 C．算法只能用流程图表示D．一个完整的算法至少有一个输入 6．Java Application源程序的主类是指包含有（）方法的类。 A、main方法 B、toString方法 C、init方法 D、actionPerfromed方法 7．找出满足各位数字之和等于5的所有三位数可采用的算法思路是（） A．分治法B．减治法C．蛮力法D．变治法 8．在编写Java Application程序时，若需要使用到标准输入输出语句，必须在程序的开头写上( )语句。 A、import java.awt.* ; B、import java.applet.Applet ; C、import java.io.* ; D、import java.awt.Graphics ; 9．计算某球队平均年龄的部分算法流程图如图所示，其中：c用来记录已输入球员的人数，sum用来计算有效数据之和，d用来存储从键盘输入的球员年龄值，输入0时表示输入结束。
清华大学的建筑学课程表
清华大学 一年级 秋季学期 性质名称学分周学时考试/考查说明 必修集中军训 2 3 考查排在上课前3周 必修体育（1） 1 1+1* 考查*为课外环节 必修思想道德修养 2 2 考查 必修英语（1） 4 4 考试参加学校分级考试 必修高等数学（1） 5 5 考试建筑学院开课 必修素描（1） 4 4 考查 必修计算机文化基础 2 2 考查 必修建筑设计（1.1） 6 6+2* 考查必修其一*为课外环节必修建筑设计（1.2） 6 6+2* 考查 必修建筑设计（1.3） 6 6+2* 考查 必修画法几何与阴影透视 2 2 考试 必修可持续发展与环境保护概论 1 1 考查 29 26 未含集中军训学时 春季学期 性质名称学分周学时考试/考查说明及主要先修课 必修毛泽东思想概论 3 2+1* 考试*为课外环节 必修体育（2） 1 1+1* 考查*为课外环节 必修英语（2） 4 4 考试参加学校水平考试 必修高等数学（2） 5 5 考试建筑学院开课 必修素描（2） 4 4 考查 必修建筑技术概论 1 1 考试 必修建筑设计（2.1） 6 6+2* 考查必修其一*为课外环节必修建筑设计（2.2） 6 6+2* 考查 必修建筑设计（2.3） 6 6+2* 考查 选修 2 2 选修课 26 25 夏季学期 性质名称学分周学时考试/考查说明及主要先修课 必修渲染实习1+1* 2周*为课外环节 必修素描实习 1 1 2 3 第一学年学分总计：29+26+2=57 二年级 秋季学期
性质名称学分周学时考试/考查说明及主要先修课 必修马克思主义政治经济学原理 3 2+1* 考试*为课外环节 必修体育（3） 1 1+1* 考查*为课外环节 必修英语（3） 4 4 考试参加学校水平考试 必修水彩（1） 4 4 考查 必修建筑构造（1） 2 2 考试 必修中国古代建筑史 3 3 考试 必修建筑设计基本原理（1） 1 1 考查 必修建筑设计（3.1） 6 6+2* 考查必修其一*为课外环节 必修建筑设计（3.2） 6 6+2* 考查 必修建筑设计（3.3） 6 6+2* 考查 选修 3 3 选修课 27 26 春季学期 性质名称学分周学时考试/考查说明及主要先修课 必修邓小平理论概论 3 2+1* 考试*为课外环节 必修体育（4） 1 1+1* 考查*为课外环节 必修水彩（2） 4 4 考查 必修建筑力学 4 4 考试 必修外国建筑史 3 3 考试 必修建筑设计基本原理（2） 1 1 考查 必修建筑设计（4.1） 6 6+2* 考查必修其一*属课外环节 必修建筑设计（4.2） 6 6+2* 考查 必修建筑设计（4.3） 6 6+2* 考查 选修 3 3 选修课 25 24 夏季学期 性质名称学分周学时考试/考查说明及主要先修课 必修水彩实习 2 2周教师辅导2周，自己画1周，交暑假作业必修测量实习 1 1周新开课 3 3 第二学年学分总计：27+23+5=55 三年级 秋季学期 性质名称学分周学时考试/考查说明及主要先修课 限选体育专项（1） 1 必修CAAD方法 2 2+1* 考试*属课外环节
算法设计与分析课程期末试卷-A卷(自测 )
华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2008学年第一学期考试科目：算法分析与设计 考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟 学号姓名年级专业 一、选择题（20分，每题2分） 1.下述表达不正确的是。 A．n2/2 + 2n的渐进表达式上界函数是O(2n) B．n2/2 + 2n的渐进表达式下界函数是Ω(2n) C．logn3的渐进表达式上界函数是O(logn) D．logn3的渐进表达式下界函数是Ω(n3) 2.当输入规模为n时，算法增长率最大的是。 A．5n B．20log2n C．2n2D．3nlog3n 3.T（n）表示当输入规模为n时的算法效率，以下算法效率最优的是。A．T（n）= T（n – 1）+1，T（1）=1 B．T（n）= 2n2 C．T（n）= T（n/2）+1，T（1）=1 D．T（n）= 3nlog2n 4.在棋盘覆盖问题中，对于2k×2k的特殊棋盘（有一个特殊方块），所需的L型骨 牌的个数是。 A．（4k– 1）/3 B．2k /3 C．4k D．2k 5.在寻找n个元素中第k小元素问题中，若使用快速排序算法思想，运用分治算法 对n个元素进行划分，应如何选择划分基准？下面答案解释最合理。A．随机选择一个元素作为划分基准 B．取子序列的第一个元素作为划分基准 C．用中位数的中位数方法寻找划分基准 D．以上皆可行。但不同方法，算法复杂度上界可能不同
6. 现在要盖一所邮局为这9个村庄服务，请问邮局应该盖在 才能使到邮局到这9个村庄的总距离和最短。 A ．（4.5，0） B ．（4.5，4.5） C ．（5，5） D ．（5，0） 7. n 个人拎着水桶在一个水龙头前面排队打水，水桶有大有小，水桶必须打满水， 水流恒定。如下 说法不正确？ A ．让水桶大的人先打水，可以使得每个人排队时间之和最小 B ．让水桶小的人先打水，可以使得每个人排队时间之和最小 C ．让水桶小的人先打水，在某个确定的时间t 内，可以让尽可能多的人打上水 D ．若要在尽可能短的时间内，n 个人都打完水，按照什么顺序其实都一样 8. 分治法的设计思想是将一个难以直接解决的大问题分割成规模较小的子问题，分 别解决子问题，最后将子问题的解组合起来形成原问题的解。这要求原问题和子问题 。 A ．问题规模相同，问题性质相同 B ．问题规模相同，问题性质不同 C ．问题规模不同，问题性质相同 D ．问题规模不同，问题性质不同 9. 对布线问题，以下 是不正确描述。 A ．布线问题的解空间是一个图 B ．可以对方格阵列四周设置围墙，即增设标记的附加方格的预处理，使得算法简化对边界的判定 C ．采用广度优先的标号法找到从起点到终点的布线方案（这个方案如果存在的话）不一定是最短的 D ．采用先入先出的队列作为活结点表，以终点b 为扩展结点或活结点队列为空作为算法结束条件 10. 对于含有n 个元素的子集树问题，最坏情况下其解空间的叶结点数目为 。 A ．n! B ．2n C ．2n+1-1 D ． ∑=n i i n 1 !/! 答案：DACAD CACCB
清华大学建筑课程
一,建筑系的所有课程 画法几何与阴影透视，建筑设计初步，素描，色彩，建筑设计，建筑材料，建筑力学，理论力学，材料力学，建筑构造，公共建筑设计原理，建筑物理，CAD，3dmax，专业外语，土木工程施工，建筑工程经济，建筑设备，园林设计原理，外国建筑史，中国古代建筑史，建筑防火设计，建筑节能，城市规划原理，城市空间设计，居住区规划与住宅设计。其中建筑设计是主课. 二,建筑学专业课程简介 课程编号：TJ030010 课程名称：素描 课程学分：4 学时：64 开课学期： 1 考核方式：考查 课程目标：通过本课程的学习，为学生学习建筑设计打下扎实的美术基本功。 主要内容：本课程通过对不同的静物有针对性地进行写生，学习形体透视、基本构图、比例的协调、体积感的把握、表达空间感、质感、量感，用不同的形式来进行表达，为建筑设计的学习培养良好的审美情趣。 使用教材：《素描》，周若兰编，建筑工业出版社。 参考书目：《素描基础》，周度其编，广西美术出版社。 课程编号：TJ030020 课程名称：色彩 课程学分：4 学时：64 开课学期： 2 考核方式：考查 课程目标：通过本课程的学习，为学生学习建筑设计打下扎实的美术基本功。 主要内容：本课程通过对不同的静物有针对性地进行写生，掌握色调变化规律，增强色彩感觉，提高色彩搭配能力，表达色彩的空间感、质感、量感，用不同的形式来进行练习，为建筑设计的学习培养良好的审美情趣。 使用教材：《水粉》，漆得琰编，建筑工业出版社。 参考书目：《色彩静物写生》，周度其编，广西美术出版社。
课程编号：TJ030060 课程名称：平面构成 课程学分：1 学时：16 开课学期： 1 考核方式：考查 课程目标：学生通过理论教学和实验掌握平面构成的构成要素、形式要素、材料要素、技术要素。通过训练可以充分启迪学者的思维力、想象力和组织形态，获得新的感性知识和创作领域的开拓，从而提高创造能力，为后面学习室内设计、建筑设计等专业课程打下良好的基础。 主要内容：构成的概述；平面构成的基本要素；点、线、面、的构成及形式法则；材料的要素；技术要素；练习的程序；场地、设备和工具的使用方法。 使用教材：《平面构成》，中国美术学院出版社，2003年9月。 参考书目：1.《平面构成设计》，李槐清，河北美术出版社。 2.《平面构成》，夏镜湖，西南师范大学出版社。 课程编号：TJ030070 课程名称：色彩构成与立体构成 课程学分：2.5 学时：40 开课学期： 2 考核方式：考查 课程目标：通过本课程的学习,培养学生在二维构成的基础上提升为三维空间的立体造型，培养他们对立体形态的设计，空间构成和立体构成的构成形式，对立体材料的学习，线材、面材、块材的加工方法和设计技巧、设计思路及设计创意。 主要内容：色彩构成部分是探讨利用色彩要素的搭配交变获得色彩审美价值的原理、规律、法则、技法的学说。立体构成是研究立体造型和形态的学科。色彩构成主要内容包括色彩构成、色彩三属性、色彩补性特性、色彩混合、色彩心理、结构色彩、色彩的节奏和色彩的调和；立体构成主要内容包括立体构成观、构成要素、形式要素、材料要素、技术要素和练习程序（点五维构成、线立体构成、面立体构成、块立体构成和线、面、块综合构成）。 使用教材：1．《色彩构成》，钟蜀珩编，中国美术学院出版社。 2．《立体构成》卢少夫编，中国美术学院出版社。 参考书目：1．《色彩构成》，赵国志编，辽宁美术出版社。
计算机算法设计与分析期末考试复习题
1、二分搜索算法是利用（ A ）实现的算法。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 2、下列不是动态规划算法基本步骤的是（ A ）。 A、找出最优解的性质 B、构造最优解 C、算出最优解 D、定义最优解 3、最大效益优先是（ A ）的一搜索方式。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 4、最长公共子序列算法利用的算法是（ B ）。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 5. 回溯法解TSP问题时的解空间树是（ A ）。 A、子集树 B、排列树 C、深度优先生成树 D、广度优先生成树6．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（ B ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 7、衡量一个算法好坏的标准是（C ）。 A 运行速度快 B 占用空间少 C 时间复杂度低 D 代码短 8、以下不可以使用分治法求解的是（D ）。 A 棋盘覆盖问题 B 选择问题 C 归并排序 D 0/1背包问题 9. 实现循环赛日程表利用的算法是（ A ）。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 10、实现最长公共子序列利用的算法是（ B ）。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法11．下面不是分支界限法搜索方式的是（ D ）。 A、广度优先 B、最小耗费优先 C、最大效益优先 D、深度优先 12．下列算法中通常以深度优先方式系统搜索问题解的是（ D ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 13. 一个问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征是问题的（ B ）。 A、重叠子问题 B、最优子结构性质 C、贪心选择性质 D、定义最优解14．广度优先是（ A ）的一搜索方式。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 15．背包问题的贪心算法所需的计算时间为（ B ）。
清华大学贾仲孝老师高等数值分析报告第二次实验
高等数值分析第二次实验作业
T1.构造例子特征值全部在右半平面时, 观察基本的Arnoldi 方法和GMRES 方法的数值性态, 和相应重新启动算法的收敛性. Answer: （1） 构造特征值均在右半平面的矩阵A ： 根据实Schur 分解，构造对角矩阵D 由n 个块形成，每个对角块具有如下形式，对应一对特 征值i i i αβ± i i i i i S αββα-?? = ??? 这样D=diag(S 1,S 2,S 3……S n )矩阵的特征值均分布在右半平面。生成矩阵A=U T AU ，其中U 为 正交阵，则A 矩阵的特征值也均在右半平面。不妨构造A 如下所示： 2211112222 /2/2/2/2N N A n n n n ?-?? ? ? ?- ? = ? ? ? - ? ?? ? 由于选择初值与右端项：x0=zeros(2*N,1);b=ones(2*N,1); 则生成矩阵A 的过程代码如下所示： N=500 %生成A 为2N 阶 A=zeros(2*N); for a=1:N A(2*a-1,2*a-1)=a; A(2*a-1,2*a)=-a; A(2*a,2*a-1)=a; A(2*a,2*a)=a; end U = orth(rand(2*N,2*N)); A1 = U'*A*U; （2） 观察基本的Arnoldi 和GMRES 方法 编写基本的Arnoldi 函数与基本GMRES 函数，具体代码见附录。 function [x,rm,flag]=Arnoldi(A,b,x0,tol,m) function [x,rm,flag]=GMRES(A,b,x0,tol,m) 输入:A 为方程组系数矩阵，b 为右端项，x0为初值，tol 为停机准则，m 为人为限制的最大步数。 输出:x 为方程的解，rm 为残差向量，flag 为解是否收敛的标志。 外程序如下所示： e=1e-6; m=700;
清华大学建筑设计研究院办公楼
清华大学建筑设计研究院办公楼设计楼从1997年开始进行策划，按照设计意图可归纳成缓冲层策略，利用自然能源策略，健康无害策略和整体设计策略。 针对绿色化目标，设计小组在建筑设计和设备采用了多层次的设计策略，在遮阳、防晒、隔热、通风、节电、节水、利用太阳能、楼宇自动化、绿化引入室内采取大量具体措施。 总体设计介绍： 设计楼建筑平面基本呈长方形，设计紧凑、完整减少了冬季建筑
的热损失。长轴为东西方向，楼、电梯间与门庭、会议室等非主要工作室，布置在建筑的东西两侧，缓解了东西日照对主要工作区域的影响。工作空间划分为大开间开敞式设计工作室区域与小开间办公室，其可以根据不同功能需要加以安排，使工作室的布置具有一定的灵活性。建筑南向是一个3层高的绿化中庭，不但能为员工提供一个生机勃勃的良好景观与休息活动空间，而且可以有效地缓解外部环境对办公空间的影响。 缓冲层策略：热缓冲中庭(边庭) 在的设计中比较明显的算是在南向的一个体积较大的绿化中庭。虽然那只是一个位于建筑南部的边庭，但是其物理功能内涵较之传统的位于建筑内心的中庭要丰富。其基本概念如图所示：在冬季，该中庭是一个全封闭的大暖房。在“温室作用”下，成为大开间办公环境的热缓冲层，有效地改善了办公室热环境并节省供暖的能耗。在过渡季节，它是一个开敞空间，室内和室外保持良好的空气流通，有效的改善了工作室的小气候。在夏天，中庭南窗的百页遮阳板系统能有效的遮蔽直射阳光，使中庭成为了一个巨大的凉棚。中庭南侧为全玻璃外墙，上部开设了天窗，从而利用中庭顶部的反射装饰板，保证开敞办公室的天然光利用。设计小组还认为中间的“光廊”采用了一部分天空光线，帮助提高设计室的天光照度。
清华建筑设计基础教材及参考书目
清华建筑设计基础教材及参考书目： （一）指定教材 1．《建筑初步》田学哲主编中国建筑工业出版社1999； 2．《清华大学建筑设计系列课教案及学生作业选*一年级建筑设计》郭逊、俞靖芝、卢向东、刘念雄著清华大学出版社2006。 （二）参考书目 1．《人体工程学图解》阿尔文?R?蒂利著中国建筑工业出版社1998； 2．《建筑艺术与室内设计》；维托里奥?马尼亚戈?兰普尼主编中国建筑工业出版社1993； 3．《家具设计图集》劳智权编著中国建筑工业出版社1980 ； 4．《商店设计》Arian Mostaedi著山东科学技术出版社2001； 5．《商店设计》奥托?瑞伍德特著中国轻工业出版社2001； 6．《室内设计资料集》张绮曼等编著中国建筑工业出版社1991； 7．《建筑空间论》（意）赛尔维著中国建筑工业出版社1985； 8．《外部空间设计》（日）芦原义信著尹培桐译中国建筑工业出版社1985； 9．《建筑空间组合论》彭一刚著中国建筑工业出版社1998； 10．《形态构成解析》田学哲、俞靖芝、郭逊、卢向东著中国建筑工业出版社2005； 11．《形态构成学》辛华泉主编中国美术学院出版社2004； 12．《平面设计基础》陈菊盛著工业美术协会1981； 13．《设计基础》（日）辛华泉译中国工业设计协会1981； 14．《美术设计的基础》（日）王秀雄译（台湾）大陆书店1984； 15．《图案设计构成研究》（日）青木正夫著郑丽译人民美术出版社1985； 16．《构成艺术》赵殿泽编译辽宁美术出版社1987； 17．《立体构成原理》王无邪著陕西人民美术出版社1989； 18．《立体构成》辛华泉著湖北美术出版社2000； 19．《纸品立体艺术造型》冯啸著（香港）万里书店1976； 20．《色彩构成》赵国志编译辽宁美术出版社1989； 21．《构图原理》清华大学民用建筑教研组编； 22．《建筑构图概论》苏联建筑科学院编著顾孟湖译中国建筑工业出版社1983； 23．《建筑形式美的原则》（美）托伯特·哈姆著邹德侬译中国建筑工业出版社1982； 24．《色彩艺术》（瑞）约翰内斯·伊顿著赵定宇译世界图书出版公司1999； 25．《色彩技法》（日）深泽孝哉著白鸽译北京工艺美术出版社1990； 26．《绘画色彩论析》冯健亲著上海人民美术出版社1990； 27．《建筑画环境表现与技法》钟训正著中国建筑工业出版社1985； 28．《国外钢笔画技法: 建筑配景》柴海利、高祥生编著江苏美术出版社 1991； 29．《建筑钢笔画》王时刚著中国水利水电出版社2001； 30．《建筑与树木铅笔写生教程》周宏智著清华大学出版社2004； 31．《工程字的书写方法》于国平著科学普及出版社1986； 32．《钢笔仿宋字书法》马子民著新时代出版社1984；
《算法分析与设计》期末试题及参考答案
《算法分析与设计》期末试题及参考答案 一、简要回答下列问题： 1.算法重要特性是什么？ 1.确定性、可行性、输入、输出、有穷性 2. 2.算法分析的目的是什么？ 2.分析算法占用计算机资源的情况，对算法做出比较和评价，设计出额更好的算法。 3. 3.算法的时间复杂性与问题的什么因素相关？ 3. 算法的时间复杂性与问题的规模相关，是问题大小n的函数。 4.算法的渐进时间复杂性的含义？ 4．当问题的规模n趋向无穷大时，影响算法效率的重要因素是T(n)的数量级，而其他因素仅是使时间复杂度相差常数倍，因此可以用T(n)的数量级(阶)评价算法。时间复杂度T(n)的数量级(阶)称为渐进时间复杂性。 5.最坏情况下的时间复杂性和平均时间复杂性有什么不同？ 5. 最坏情况下的时间复杂性和平均时间复杂性考察的是n固定时，不同输入实例下的 算法所耗时间。最坏情况下的时间复杂性取的输入实例中最大的时间复杂度： W(n) = max{ T(n，I) } , I∈Dn 平均时间复杂性是所有输入实例的处理时间与各自概率的乘积和： A(n) =∑P(I)T(n，I) I∈Dn 6.简述二分检索（折半查找）算法的基本过程。 6. 设输入是一个按非降次序排列的元素表A[i：j] 和x，选取A[(i+j)/2]与x比较， 如果A[(i+j)/2]=x，则返回(i+j)/2，如果A[(i+j)/2] 《算法分析与设计》期末复习题 一、选择题 1.算法必须具备输入、输出和（ D ）等4个特性。 A．可行性和安全性 B．确定性和易读性 C．有穷性和安全性 D．有穷性和确定性 2.算法分析中，记号O表示（ B ），记号Ω表示（ A ） A.渐进下界 B.渐进上界 C.非紧上界 D.紧渐进界 3.假设某算法在输入规模为n时的计算时间为T(n)=3*2^n。在某台计算机上实现并 完成概算法的时间为t秒。现有另一台计算机，其运行速度为第一台的64倍，那么在这台新机器上用同一算法在t秒内能解输入规模为多大的问题（ B ）解题方法：3*2^n*64=3*2^x A．n+8 B．n+6 C．n+7 D．n+5 4.设问题规模为N时，某递归算法的时间复杂度记为T(N)，已知T(1)=1， T(N)=2T(N/2)+N/2，用O表示的时间复杂度为（ C ）。 A．O(logN) B．O(N) C．O(NlogN) D．O(N2logN) 5.直接或间接调用自身的算法称为（ B ）。 A．贪心算法 B．递归算法 C．迭代算法 D．回溯法 6.Fibonacci数列中，第4个和第11个数分别是（ D ）。 A．5，89 B．3，89 C．5，144 D．3，144 7.在有8个顶点的凸多边形的三角剖分中，恰有（ B ）。 A．6条弦和7个三角形 B．5条弦和6个三角形 C．6条弦和6个三角形 D．5条弦和5个三角形 8.一个问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征是问题的（ B ）。 A．重叠子问题 B．最优子结构性质 C．贪心选择性质 D．定义最优解 9.下列哪个问题不用贪心法求解（ C ）。 A．哈夫曼编码问题 B．单源最短路径问题 C．最大团问题 D．最小生成树问题 10.下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（ B ）。 A．备忘录法 B．动态规划法 C．贪心法 D．回溯法 11.下列算法中不能解决0/1背包问题的是（ A ）。 A．贪心法 B．动态规划 C．回溯法 D．分支限界法 12.下列哪个问题可以用贪心算法求解（ D ）。 A．LCS问题 B．批处理作业问题 C．0-1背包问题 D．哈夫曼编码问题 13.用回溯法求解最优装载问题时，若待选物品为m种，则该问题的解空间树的结点 个数为（）。 A．m! B．2m+1 C．2m+1-1 D．2m 14.二分搜索算法是利用（ A ）实现的算法。 A．分治策略 B．动态规划法 C．贪心法 D．回溯法 15.下列不是动态规划算法基本步骤的是（ B ）。P44 A．找出最优解的性质 B．构造最优解 C．算出最优解(应该是最优值) D．定义最优解 Analysis and Design of Algorithms Analysis and Design of Algorithms Transform Coding Chapter 3: Recursive Algorithm School of Software Engineering ?Yanling Xu Recursive Algorithm Recursive Algorithm Recursion : a procedure or subroutine, whose implementation references itself E l 1R i l ti f ! Example 1: Recursive evaluation of n ! ?n initial condition 0 0)!1(1 !>=?? ?=n n n n recurrence relation C(n)=C(n 1)+1 Times of Basic operation for n ! C()C(n-1)+1 =[C(n-2)+1]+1 = C(n-2)+2=[C(n-3)+1]+2 = C(n-3)+3 Iterative Definition C(n)= n …… =[C(n-n)+1]+n-1 = n 2 n n n ×××××=）－（1...321! Recursive Algorithm Recursive Algorithm Example 4: The Tower of Hanoi Puzzle void hanoi(int n, int a, int b, int c) { if (n > 0) if(0) { hanoi(n-1, a, c, b); move(a,b); (b) hanoi(n-1, c, b, a); } } C(n) ∈Θ (2n) C(n) = 2C(n –1) + 1 =2n-1 for every n > 0 5 第1部分 方法介绍 奇异值分解（SVD ）定理： 设m n A R ?∈，则存在正交矩阵m m V R ?∈和n n U R ?∈，使得 T O A V U O O ∑??=?? ?? 其中12(,, ,)r diag σσσ∑=，而且120r σσσ≥≥≥>，(1,2, ,)i i r σ=称为A 的 奇异值，V 的第i 列称为A 的左奇异向量，U 的第i 列称为A 的右奇异向量。 注：不失一般性，可以假设m n ≥，（对于m n <的情况，可以先对A 转置，然后进行SVD 分解，最后对所得的SVD 分解式进行转置，就可以得到原来的SVD 分解式） 方法1：传统的SVD 算法 主要思想： 设()m n A R m n ?∈≥，先将A 二对角化，即构造正交矩阵1U 和1V 使得 110T B n U AV m n ?? =?? -?? 其中1200n n B δγγδ??? ???=?????? 然后，对三角矩阵T T B B =进行带Wilkinson 位移的对称QR 迭代得到:T B P BQ =。 当某个0i γ=时，B 具有形状12B O B O B ?? =? ??? ，此时可以将B 的奇异值问题分解为两个低阶二对角阵的奇异值分解问题；而当某个0i δ=时，可以适当选取'Given s 变换，使得第i 行元素全为零的二对角阵，因此，此时也可以将B 约化为两个低 阶二对角阵的奇异值分解问题。 在实际计算时，当i B δε∞≤或者() 1j j j γεδδ-≤+（这里ε是一个略大于机器精度的正数）时，就将i δ或者i γ视作零，就可以将B 分解为两个低阶二对角阵的奇异值分解问题。 《算法设计与分析》历年期末试题整理(含答案) （1）用计算机求解问题的步骤： 1、问题分析 2、数学模型建立 3、算法设计与选择 4、算法指标 5、算法分析 6、算法实 现7、程序调试8、结果整理文档编制 （2）算法定义：算法是指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程 （3）算法的三要素 1、操作 2、控制结构 3、数据结构算法具有以 下5 个属性： 有穷性：一个算法必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间内完成。 确定性：算法中每一条指令必须有确切的含义。不存在二义性。只有一个入口和一个出口可行性：一个算法是可行的就是算法描述的操作是可以通过已经实现的基本运算执行有限 次来实现的。 输入：一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定对象的集合。 输出：一个算法有一个或多个输出，这些输出同输入有着某些特定关系的量。 算法设计的质量指标：正确性：算法应满足具体问题的需求；可读性：算法应该好读，以有利于读者对程序的理解；健壮性：算法应具有容错处理，当输入为非法数据时，算 法应对其作出反应，而不是产生莫名其妙的输出结果。 效率与存储量需求：效率指的是算法执行的时间；存储量需求指算法执行过程中所需要 的最大存储空间。一般这两者与问题的规模有关。 经常采用的算法主要有迭代法、分而治之法、贪婪法、动态规划法、回溯法、分支限界法 迭代法也称“辗转法”，是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法。利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代模型。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。 二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。 三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。 编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n 项函数fib（n）。 斐波那契数列为：0、1、1、2、3、……，即： 20130917题目 求证：在矩阵的LU 分解中，1 11n n T n ij i j j i j L I e e α-==+??=- ??? ∑∑ 证明： 在高斯消去过程中，假设0jj a ≠ ，若a=0，可以通过列变换使得前面的条件成立，这里不考虑这种情况。 对矩阵A 进行LU 分解，()() () ()()1 11 1111L M n M M M n ---=-=??-………… ， 其中()1n T n ij i j i j M j I e e α=+??=+ ??? ∑ ，i e 、j e 为n 维线性空间的自然基。 ()M j 是通过对单位阵进行初等变换得到， 通过逆向的变换则可以得到单位阵，由此很容易得到()M j 的逆矩阵为1n T n ij i j i j I e e α=+??- ???∑。故111n n T n ij i j n j i j L I e e I α-==+?? ??=- ? ? ????? ∏∑ 上式中的每一项均是初等变换，从右向左乘，则每乘一次相当于对右边的矩阵进行一次 向下乘法叠加的初等变换。由于最初的矩阵为单位阵，变换从右向左展开，因而每一次变换不改变已经更新的数据，既该变换是从右向左一列一列更新数据，故 11n n T n ij i j j i j L I e e α==+??=- ??? ∑∑。 数学证明：1n T ij i j i j e e α=+?? ???∑具有 ,0 00n j j A -?? ??? 和1,1000n j n j B -+-+?? ?? ? 的形式，且有 +1,-11,10000=000n j j n j n j A B --+-+???? ?????? ? 而1 1n n T ij i j j k i j e e α-==+?? ??? ∑∑具有1,1000n k n k B -+-+?? ???的形式，因此： 1 311111211121==n n n n n n T T T n ij i j n ij i j n ik i k j i j j i j k n i k n n T n i i n ik i i i k L I e e I e e I e e I e e I e ααααα---==+==+=-=+==+??????????????=---?? ? ? ? ? ? ? ? ???????????????????????=-- ? ? ?????∏∑∏∑∑∑∑∑……11211n n n T T k n ik i k k k i k e I e e α--===+????=- ?? ?????? ∑∑∑# 清华大学设计 2017第四代住房新模式开启摘要：由清华大学建筑研究院设计的第四代住房将郊区别墅和胡同街巷以及四合院结合起来，建在城市中心，并搬到空中，形成一个空中庭院房，又称空中城市森林花园。简单来说，第四代住房的主要特征是——每层都有公共院落，每户都有私人小院及一块几十平米的土地，可种花种菜、遛狗养鸟，可将车开到每层楼上的住户门口，建筑外墙长满植物，人与自然和谐共生。 住房走到今天，笼统的讲，已经历了三个时代。 第一代：茅草房 第二代：砖瓦房 第三代：电梯房 第三代电梯房，就是我们现在大多数家庭的住房模式，又称“鸟笼式”住房，居住环境与自然环境分离，人们只能透过窗户才能看到外面的世界，呼吸新鲜空气，并不能成为人们理想中的住宅。 那么，怎样的住宅才是理想住宅呢？ 别墅占地面积大，又大多建在郊区，交通不够便利，受众极少，即便是富人，也不会长久居住。 胡同街巷和四合院生活气息浓重，方便居住，但占地面积太大，容积率低，在城市人口过多的今天，无法再造和普及。 2017年，第四代住房新模式开启！ 由清华大学建筑研究院设计的第四代住房将郊区别墅和胡同街巷以及四合院结合起来，建在城市中心，并搬到空中，形成一个空中庭院房，又称空中城市森林花园。 简单来说，第四代住房的主要特征是—— 每层都有公共院落，每户都有私人小院及一块几十平米的土地，可种花种菜、遛狗养鸟，可将车开到每层楼上的住户门口，建筑外墙长满植物，人与自然和谐共生。 很多人担心树木绿植多了，平日护养是个大问题， 而对于第四代住宅，专家们已经想好了相应的对策—— 第四代住房所涉及的花草树木的养护浇灌，是采用自动滴灌系统（这是一个很成熟的技术）进行自动浇灌，住户只需要每两三个月修剪一次枝叶即可，每家每户绿化院子的成本大概是每平方米500元左右。 在设计方案中，所有院子的混凝板都是下沉板上翻梁，就像卫生间的结构一样。下沉板有60cm左右深度，也就是说可以回填土60cm厚，在靠墙栽种大树的地方还可做一个向上50cm的树池，这样，在靠墙的地方便有1米多深的覆土，即可以栽种4-5米高的树，并将树干固定在墙上，以防大风将树刮倒或使其摇晃，在其它不靠墙的地方才栽种1-2米的低矮植物、果树或灌木！这样，整个庭院的花草树木便显得错落有致，任何大风也没问题。《算法分析与设计》期末考试复习题纲(完整版)
算法设计与分析教学课件3
清华大学高等数值计算(李津)实践题目二(SVD计算及图像压缩)(包含matlab代码)
《算法设计与分析》历年期末试题整理_含答案_
清华大学高等数值分析作业李津1——矩阵基础
清华大学设计 2017第四代住房新模式开启