初中数学 配方法解一元二次方程
配方法解一元二次方程
教学目标
1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
【课前预习】
导学过程
阅读教材部分，完成以下问题
解下列方程
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
填空：
（1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2
（3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2
问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？
思考？
1、以上解法中，为什么在方程x 2+6x=16两边加9？加其他数行吗？
2、什么叫配方法？
3、配方法的目的是什么？ 这也是配方法的基本
4、配方法的关键是什么？ 用配方法解下列关于x 的方程
（1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0 （3）x 2-21x-1=0 （4）2x 2+2=5
总结：用配方法解一元二次方程的步骤：
【课堂活动】
活动1、预习反馈
活动2、例习题分析 例1用配方法解下列关于x 的方程：
（1）x 2-8x+1=0 （2）2x 2+1=3x （3）3x 2-6x+4=0
【课堂练习】：
活动3、知识运用
1. 填空：
（1）x 2+10x+______=（x+______）2；（2）x 2-12x+_____=（x-_____）2
（3）x 2+5x+_____=（x+______）2．（4）x 2-3
2x+_____=（x-_____）2 2．用配方法解下列关于x 的方程
（1） x 2-36x+70=0． （2）x 2+2x-35=0 （3）2x 2-4x-1=0
（4）x 2-8x+7=0 （5）x 2+4x+1=0 （6）x 2+6x+5=0
（7）2x 2+6x-2=0 （8）9y 2-18y-4=0 （9）x 2x
归纳小结：用配方法解一元二次方程的步骤：
【课后巩固】
一、选择题
1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．
A ．（x-2）2+3
B ．（x-2）2-3
C ．（x+2）2+3
D ．（x+2）2-3
2．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．
A ．x 2-8x+（-4）2=31
B ．x 2-8x+（-4）2=1
C ．x 2+8x+42=1
D ．x 2-4x+4=-11
3．如果m x 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，
则m 等于（ ）．
A ．1
B ．-1
C ．1或9
D ．-1或9
二、填空题
1．（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2
（3）x 2+px+_____=（x+______）2．
2、方程x 2+4x-5=0的解是________． 3．代数式2
221x x x ---的值为0，则x 的值为________． 三、计算：
（1）x 2+10x+16=0 （2）x 2-x-4
3=0
（3）3x 2+6x-5=0 （4）4x 2-x-9=0
四、综合提高题
1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
2．如果x 2-4x+y 2+13=0，求（xy ）z 的值．
解一元二次方程(直接开方法-配方法)练习题100+道
解一元二次方程练习题(配方法) 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 2．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 4．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ．6．用配方法解下列方程： （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2 -x-4=0 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662 =--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 4、01322=-+x x 5、07232=-+x x 6、01842 =+--x x 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 2 2 2
初中数学一元二次方程知识点总结与练习
知识点总结：一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程； (4)将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a ≠0）； 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。一个一元二次方程经过整理化成ax 2 +bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是 b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配 方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有 222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。5.一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的 判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x - =+21，a c x x =21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 8.分式方程的一般解法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。 知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 例题： 1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由. (1)2x 2-x-3=0. (2) 4 y -y 2 =0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21 x -3=0.
(完整版)解一元二次方程配方法练习题
- 1 - 解一元二次方程练习题(配方法) 步骤：（1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 1．用适当的数填空： ①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x － ）2； ③x 2 + x+ =（x+ ）2 ；④ x 2 －9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若 x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则 m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ． 9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程： （1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2-x-4=0 （5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=52 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。 12．将二次三项式4x 2－4x+1配方后得（ ） A ．（2x －2）2+3 B ．（2x －2）2－3 C ．（2x+2）2 D ．（x+2）2－3 13．已知x 2－8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式， 其中正确的是（ ） A ．x 2－8x+（－4）2=31 B ．x 2－8x+（－4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2－4x+4=－11 14．已知一元二次方程x 2－4x+1+m=5请你选取一个适当的m 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程。 （1）你选的m 的值是 ；（2）解这个方程． 15．如果x 2－4x+y 2 ，求（xy ）z 的值
配方法解一元二次方程的教案
配方法解一元二次方程的教案 教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第22章第2节第1课时。 一、教学目标 （一）知识目标 1、理解求解一元二次方程的实质。 2、掌握解一元二次方程的配方法。 （二）能力目标 1、体会数学的转化思想。 2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。 （三）情感态度及价值观 通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。 二、教学重点 配方法解一元二次方程的一般步骤 三、教学难点 具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。 四、知识考点 运用配方法解一元二次方程。 五、教学过程 （一）复习引入 1、复习：
解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。 2、引入： 二次根式的意义：若x2=a (a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a 。实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。 （二）新课探究 通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。通过问题吸引学生的注意力，引发学生思考。 问题1： 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来， 具体解题步骤： 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2 列出方程：60x2=1500 x2=25 x=±5 因为x为棱长不能为负值，所以x=5 即：正方体的棱长为5dm。 1、用直接开平方法解一元二次方程
初中数学一元二次方程的解法
解一元二次方程: 例1 x 2 -4-(2x+4)=0 （因式分解法）解：（x+2)(x-2)-2(x+2)=0 (x+2)[(x-2)-2]=0 (x+2)(x-4)=0 所以 x 1=-2 ， x 2=4. （配方法）解：x 2 -2x-8=0 X 2-2x=8 X 2 -2x+(-1)2 =8+(-1)2 即(x-1)2=9 X-1=±3 所以 x 1=4 , x 2=-2. （公式法）解：x 2 -2x-8=0 →Δ=(-2)2 -4×1×(-8) =36>0 所以 x 1,2=1 236)2--?±（ 即x 1=4 , x 2=-2. （“x 2 +(a+b)x+ab=0→(x+a)(x+b)=0”法） 解：x 2-2x+(-4)2?=0 (X-4)(x+2)=0 所以 x 1=4 , x 2=-2. 1
例2 用配方法解下列一元二次方程： (1) x 2 -6x+5=0; (2) 2x 2 +4x-3=0; (3) 9x 2 +6x-1=0; (4) 4x 2-12x+m=0 (m 为任意实数）. 解：(1) x 2-6x=-5 X 2 -6x+(-3)2 =-5+(-3)2 即(x-3)2 =4 X-3=±2 所以 x 1=5 , x 2=1. (2) x 2 +2x=2 3 X 2 +2x+12 =2 3+12 (X+1)2 =2 5 X+1=± 210 所以 x 1=-1+ 2 10 , x 2=-1- 2 10 (3) (3x)2 +2×3x=1 (3x)2 +2×3x ×1+12 =1+12 (3x+1)2=2 3x+1=2± 所以x 1=32 1-+ ,x 2=-3 2 1+ . 2
解一元二次方程配方法练习题
! 解一元二次方程配方法练习题 1．用适当的数填空： ①、x2+6x+ =（x+ ）2； ②、x2－5x+ =（x－）2； ③、x2+ x+ =（x+ ）2； ④、x2－9x+ =（x－）2 2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______． ! 4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（） A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（） A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x配方，得（） A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（） 【 A．2．-2．． 9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（） A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数 10．用配方法解下列方程： （1）3x2-5x=2．（2）x2+8x=9 #
（3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2 -x-4=0 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ； ? （2）求-3x2+5x+1的最大值。 12. 用配方法证明： （1）21a a -+的值恒为正； （2）2982x x -+-的值恒小于0． | 13. 某企业的年产值在两年内从1000万元增加到1210万元，求平均每年增长百分率． \
初中数学 配方法解一元二次方程
配方法解一元二次方程 教学目标 1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题． 2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤． 重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 【课前预习】 导学过程 阅读教材部分，完成以下问题 解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 填空： （1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2 （3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2 问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？
思考？ 1、以上解法中，为什么在方程x 2+6x=16两边加9？加其他数行吗？ 2、什么叫配方法？ 3、配方法的目的是什么？ 这也是配方法的基本 4、配方法的关键是什么？ 用配方法解下列关于x 的方程 （1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0 （3）x 2-21x-1=0 （4）2x 2+2=5 总结：用配方法解一元二次方程的步骤： 【课堂活动】 活动1、预习反馈 活动2、例习题分析 例1用配方法解下列关于x 的方程： （1）x 2-8x+1=0 （2）2x 2+1=3x （3）3x 2-6x+4=0
一元二次方程的解法(二)配方法(基础)
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能 力. 【要点梳理】 知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： . (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 【典型例题】
用配方法解一元二次方程教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
2.1.2用配方法解一元二次方程 教学目标 【知识目标】 使学生会用配方法解一元二次方程。 【技能目标】 经历列方程解决实际问题的过程，熟练地运用配方法解一元二次方程，使学生理解转化变形思想，掌握一些转化的技能。 【情感目标】 通过配方法的探索活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性。 教学重点难点 【重点】用配方法解一元二次方程 【难点】配方的过程 教法：引导、观察、归纳、探究 教具：多媒体、课件 教学过程： 一、复习回顾 上一节我们学习了配方法，首先我们回顾上一节学习的内容： 1、配方法的具体步骤是什么？ 对二次三项式ax 2+bx+c 配方的一般步骤是： (1)把ax 2+bx+c 变形为a （x 2+a b x ）+c (2)配方为：a[x 2 +a b x+(a b 2)2-224a b ]+c
(3)整理成a(x+a b 2)2+a b a c 442 的形式 议一议：配方的关键是什么？ 点拨：配方的关键是把x 2+a b x 加上一次项系数一半的平方（a b 2）2。 2、将下列各式配成完全平方式。 （1）a 2+12a+ 62 =(a+ 6 )2； （2）x 2 - x +41=(x- 2 1 )2 二、讲授新课 这一节我们就来学习一下用配方法解一元二次方程 （一） 提出问题 归纳定义 1、 提出问题 如图 现有长方形的纸片一张，长20cm ，宽14cm ，在其四个角上各剪去一个边长相等的小正方形，然后把四边折起，如果恰好能将其做成底面积是72cm 2的无盖长方体纸盒，求剪去的小正方形边长是多少？ 分析： 设剪去的小正方形的边长是xcm ，则盒子底面长方形的长是（20-2x ）cm,宽是（14-2x ）cm 。根据题意，列出方程
中考数学一元二次方程知识点总结
中考数学一元二次方程知识点总结 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行 整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±?=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2 )(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2 2 2 )(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方 程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：
解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)
? 解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）2 1440y -=． 2. 解下列方程： （1）2 (1)9x -=； （2）2(21)3x +=； ( （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2） 21(31)644 x +=； 【 （3）26(2)1x +=； （4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ … 4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2 ． （2）223 x x - +（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；
2x px -+ ＝(x - 2) % 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02 x x ---+= ' 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= ? 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 （1）210x x --=； （2）23920x x -+=． （ 12. 用适当的方法解方程 （1）23(1)12x +=； （2）2 410y y ++=；
配方法解一元二次方程知识点及练习
配方法解一元二次方程 知识点一、配方法解一元二次方程 利用完全平方公式222 ()2a b a ab b ±=±+ 将一元二次方程一般式20ax bx c ++= 转换成2x p = 或2()x m n += 的形式。 知识点二、配方法解一元二次方程的一般步骤： ① 移项（常数项右移） ② 等式两边同除以二次项系数a (或等式两边同乘 1a ) ③ 等式两边同加2 ()2b ④ 合并成2x p = 或2()x m n += ⑤ 直接开平方法 例1：2210x x +-=（配方法） 解： 222222212210 21 1122 1111()()2424 19()416 1344 1,12x x x x x x x x x x x x +-=+=+ =++=++=+=±==-
配方法巩固练习 1. 配方 22_____(__)x x x ++=+ 228_____(__)x x x ++=+ 223-_____(-__)2x x x += 227_____(__)3 x x x ++=+ 2248_____(__)x x x ++=+ 229-18_____(__)x x x +=+ 2. 最值 已知代数式223x x ++ ，配方可得________________，代数式有_____值，最值为____ 3. 非负性 证明：2246130x y x y ++++≥ 课堂练习 一、选择题 1.用配方法解方程2 680x x --=时，配方结果正确的是（ ） A.2(3)17x -= B. 2(3)14x -= C.2(6)44x -= D. 2(3)1x -= 2.已知方程22160x x m -+= 可配方成2 (8)0x -=的形式，则m 的值为（ ） A.8 B.-8 C.±8 D.16 3.用配方法解2+410x x =的根是（ ） A.222- D,2-4.把2-1x x =配方得（ ） A.21 3()24x -= B. 2(1)2x -= C. 215()24x += D. 25(1)4 x -= 5. 已知方程240x x m -+= 可配方成2(2)0x -=的形式，则m 的值为（ ） A.2 B.4 C.±2 D.±4
最新中考数学一元二次方程试题及答案
中考数学一元二次方程试题 一、选择题 1、一元二次方程2 210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 2、若关于z 的一元二次方程02. 2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m
一元二次方程解法配方法教学设计
八年级数学教学设计 课题：一元二次方程的解法（配方法）第1课时设计人审核人执教人教学预设时间 一、学习目标 1．正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q＝0方程 变形为（x＋m）2＝n（n≥0）类型． 2.会用配方法解形如ax2＋bx＋c=0（a≠0）一元二次方程． 3．了解新、旧知识的内在联系及彼此的作用． 二、学习“三点”： 重点：用配方法解一元二次方程． 难点：正确理解把x2＋ax型的代数式配成完全平方式 易错点：忽视了二次项的系数 三、教学准备：多媒体课件 四、教学注意事项： 1、温故的针对性要强，梯度不能过大 2、重难点把握准确：二次项系数不能忽视 五、课堂流程： 第一环：温故导新 (一) 温故 1、直接开平方： 2、完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2．课前修订或操作注意事项 () 20 x a a =≥ x a =±
3、填空： 1）x2-2x+（）＝[x＋（）]2 2）x2＋6x＋（）＝[x-（）]2 （二）导新 怎样解方程， 方程如何解呢？ 第二环：自主合作新知初探 （三）指导自学 自学教材23-24页的内容（8-10分） 1、对于配方法的探索先由自主学习、小组合作、分析、 交流、总结。 2、学生自主学习例1完成解题过程 第三环：师生对话探究新知 （四）点拨拓展 1、将方程x2-2x-3=0化为（x-m）2=n的形式，指出m，n 分别是多少？ 练习：把下列方程化为（x＋m）2＝n的形式 概念点拨：通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。课前修订或操作注意事项 ()2 215 x-= 2692 x x ++=
2、例题板演，生纠错。 3、引导学生观察例题的求解过程，总结出配方法解一元二次方程的一般步骤： 1、 化二次项系数为1； 2、 移项； 3、 配方；（构建完全平方） 4、 开方。 配方的关键-----方程两边都加上一次项系数一半的平方。 4、对于x 2+ax 型的代数式，只需再加上一次项系数一半的 平方即可完成上述转化工作． （五）强化训练 教材p25练习1、2题； 归一总结： 1．本节课学习用配方法解一元二次方程，其步骤如下： （1）化二次项系数为1． （2）移项，使方程左边为二次项，一次项，右边为常数项． （3）配方．依据等式的基本性质和完全平方公式，在方程的左 右两边同时加上一次项系数一半的平方． （4）用直接开平方法求解． 配方法的关键步骤是配方．配方法是解一元二次方程的通法． 2．配方法的理论依据是完全平方公式： a 2±2a b ＋b 2＝（a ±b ）2，配方法以直接开平方法为基础 课前修订或操作 注意事项
(完整版)初中数学一元二次方程单元试题及答案
一元二次方程单元测试题 一、选择题（共30分） 1、若关于x 的方程（a －1）x 21a +＝1是一元二次方程，则a 的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、 ±1 D 、1 2、下列方程: ①x 2=0, ② 21 x -2=0, ③22x +3x=(1+2x)(2+x), ④32x =0,⑤3 2x x -8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、把方程（））+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( ) A 、5x 2-4x-4=0 B 、x 2-5=0 C 、5x 2-2x+1=0 D 、5x 2-4x+6=0 4、方程x 2=6x 的根是( ) A 、x 1=0,x 2=-6 B 、x 1=0,x 2=6 C 、x=6 D 、x=0 5、不解方程判断下列方程中无实数根的是( ) A 、-x 2=2x-1 B 、4x 2+4x+54 =0 C 20x -= D 、(x+2)(x-3)==-5 6、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A 、200(1+x)2=1000 B 、200+200×2x=1000 C 、200+200×3x=1000 D、200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 7、关于x 的二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、0.5 8、关于x 的方程x 2+2(k+2)x+k 2=0的两实根之和大于-4,则k 的取值范围是( ) A 、k>-1 B 、k<0 C 、-1 21.2 解一元二次方程 教学目标 1. 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤和过程． 2. 了解一元二次方程求根公式的推导过程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等． 3. 了解一元二次方程的根与系数的关系． 4. 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理． 教学重点 1. 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤和过程，明确各种解法的来源和特点． 2. 一元二次方程求根公式的推导过程． 教学难点 1. 在具体问题时，如何根据方程的特点恰当选择解方程的基本方法． 2. 一元二次方程求根公式的推导过程． 课时安排 7课时． 第1课时 教学内容 21.2.1 配方法（1）． 教学目标 1．能运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 2．通过实例，合作探讨，建立数学模型，掌握直接开平方法的的基本步骤． 3．在经历用直接开平方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想． 教学重点 运用开平方法解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程，领会降次—转化的数学思想． 教学难点 通过根据平方根的意义解形如x2＝p的方程，然后知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程． 教学过程 一、导入新课 问题：一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 通过问题，导入新课的教学． 二、新课教学 1．解决问题． 学生思考、讨论，教师引导，汇报解题过程和步骤． 设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 解一元二次方程配方法练习题 1．用适当的数填空： ①、x2+6x+ =（x+ ）2； ②、x2－5x+ =（x－）2； ③、x2+ x+ =（x+ ）2； ④、x2－9x+ =（x－）2 2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（） A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（） A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x配方，得（） A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（） A．2±10B．-2±14C．-2+10D．2-10 9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（） A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数D．可能为负数10．用配方法解下列方程： （1）3x2-5x=2．（2）x2+8x=9 （3）x2+12x-15=0 （4） 4 1 x2-x-4=0 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x2-7x+2的最小值； （2）求-3x2+5x+1的最大值。 - 1 - 用配方法解一元二次方程练习题答案: 1．①9，3 ②2.52，2.5 ③0.52，0.5 ④4.52，4.5 2．2（x-3 4）2-49 8 3．4 4．（x-1）2=5，1±55．C 6．A 7．?C 8．B 9．A 10．（1）方程两边同时除以3，得x2-5 3x=2 3 ， 配方，得x2-5 3x+（5 6 ）2=2 3 +（5 6 ）2， 即（x-5 6）2=49 36 ，x-5 6 =±7 6 ，x=5 6 ±7 6 ． 所以x1=5 6+7 6 =2，x2=5 6 -7 6 =-1 3 ． 所以x1=2，x2=-1 3 ． （2）x1=1，x2=-9 （3）x1=-6+51，x2=-6-51； 11．（1）∵2x2-7x+2=2（x2-7 2x）+2=2（x-7 4 ）2-33 8 ≥-33 8 ， ∴最小值为-33 8 ， （2）-3x2+5x+1=-3（x-5 6）2+37 12 ≤37 12 ，? ∴最大值为37 12 ． - 2 - 初中数学知识点归纳：一元二次方程 一元二次方程是初中数学的重要内容，是中考的热点，它是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程。应该说，一元二次方程是本书的重点内容。 一、目标与要求 1.了解一元二次方程及有关概念，一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单题目。 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程，掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法，应用熟练掌握以上知识解决问题。 二、重点 1.一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。 2.判定一个数是否是方程的根; 3.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。 4.运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，领会降次──转化的数学思想。 5.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题. 三、难点 1.一元二次方程配方法解题。 2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。 3.用公式法解一元二次方程时的讨论。 4.通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。 5.建立一元二次方程实际问题的数学模型，方程解与实际问题解的区别。 6.由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。 7.知识框架 四、知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数; (2)且未知数次数最高次数是2; (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 (4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足(a≠0) 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)。 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项。 第二章 一元二次方程 ２．用配方法求解一元二次方程 教学设计 一、教学目标 知识与技能： 会用开方法解形如n m x =+2)()0(≥n 的方程，理解配方法，会用配方法解一元二次方程； 过程与方法 经历用配方法解一元二次方程的过程 体会转化的数学思想方法； 情感态度与价值观： 提高解题能力，获得成功乐趣 二、教学重点 用配方法解一元二次方程 三、教学难点 理解并掌握配方法解一元二次方程 四、教学过程 活动内容1：做一做：（填空配成完全平方式，体会如何配方） 填上适当的数，使下列等式成立。 22)6(_____12+=++x x x 22)3(____6-=+-x x x 22___)(____8+=++x x x 22___)(____4-=+-x x x 问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如ax x +2的式子如何配成完全平方式？（小组合作交流） 活动目的：配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征，在此通过几个填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”，进一步复 习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。 活动内容2：解决例题 （1）解方程：x 2+8x-9=0. 解:可以把常数项移到方程的右边，得 x 2+8x ＝9 两边都加上（一次项系数8的一半的平方），得 x 2+8x ＋42=9＋42. （x+4）2=25 开平方，得 x+4=±5, 即 x+4=5,或x+4=-5. 所以 x1=1, x2=-9. 活动目的：学生经过前一环节对配方法的特点有了初步的认识，本题是对配方法基本思路的把握，是对配方法的学习由探求迈向实际应用的第一步。 （2） 解方程：3x 2+8x-3=0 解：方程两边都除以3，得 移项，得 配方，得 开平方，得 活动目的：通过对例2的讲解，继续拓展规范配方法解一元二次方程的过程.让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路,关键是将方程转 化成)0()(2≥=+n n m x 形式，特别强调当一次项系数为分数时，所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方，理解这样做的原理，树立解题的信心。01382=-+x x 13 82=+x x 2 223413438??? ??+=??? ??++x x 925342=??? ??+x 3,3 1,353421-==±=+x x x一元二次方程(配方法)
用配方法解一元二次方程练习题
初中数学知识点归纳：一元二次方程
微课用配方法解一元二次方程
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- 配方法解一元二次方程的教案
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- 一元二次方程的解法(配方法)
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