福建省福州市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题及参考答案

福建省福州市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

2．下列事件中，是确定性事件的是（ ） A ．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B ．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯

C ．投掷一枚骰子（六个面分别刻有1到6的点数），向上一面的点数大于3

D ．任意画一个三角形，其外角和是360?

3．将点(3,1)绕原点顺时针旋转90?得到的点的坐标是（ ） A ．(3,1)--

B ．(1,3)-

C ．(3,1)-

D ．(1,3)-

4．已知正六边形ABCDEF 内接于O ，若O 的直径为2，则该正六边形的周长是

（ ） A ．12

B ．63

C ．6

D ．33

5．已知甲，乙两地相距s （单位：km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （单位：h ）关于行驶速度v （单位：km/h ）的函数图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．已知二次函数223y x x =--+，下列叙述中正确的是（ ） A ．图象的开口向上

B ．图象的对称轴为直线1x =

C ．函数有最小值

D ．当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而减小

7．若关于x 的方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．1m <- B ．1m >-且0m ≠ C ．1m >-

D ．1m ≥-且0m ≠

8．如图，////AB CD EF ，AF 与BE 相交于点G ，若3BG =，2CG =，6CE =，则

EF

AB

的值是（ ）

A ．

65

B ．

85

C ．

83

D ．4

9．某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x 元，则符合题意的方程是（ ）

A ．(1612)(36040)1680x x +--=

B ．(12)(36040)1680x x --=

C ．(12)[36040(16)]1680x x ---=

D ．

(1612)[36040(16)]1680x x +---=

10．已知抛物线()()()12121y x x x x x x =--+<，抛物线与x 轴交于(,0)m ，(,0)n 两点()m n <，则m ，n ，1x ，2x 的大小关系是（ ）

A ．12x m n x <<<

B ．12m x x n <<<

C ．12

m x n x <<<

D ．12x m x n <<<

二、填空题 11．若

O 的半径为2，则270?的圆心角所对的弧长是__________．

12．若2x =是关于x 的方程220x x m +-=的一个解，则m 的值是__________． 13．已知反比例函数y ＝

4

x

，当－3＜x ＜－1时，y 的取值范围是__________． 14．如图，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点P 放在以AB 为直径的半圆O 上，P ∠的两边分别交半圆O 于B ，Q 两点，若2AB =，则BQ 的长是__________．

15．《易经》是中华民族聪明智慧的结晶．如图是《易经》中的一种卦图，每一卦由三根线组成（线形为“”或“━”），如正北方向的卦为“”．从图中任选一卦，这一卦

中恰有1根“━”和2根“

”的概率是__________．

16．如图，在平行四边形ABCD 中，23AB =，6BC =，120ADC =∠?，点E ，F 分别在边AD ，AB 上运动，且满足3BF DE =，连接BE ，CF ，则3CF BE +的

最小值是__________．

三、解答题

17．解方程：2210x x --=． 18．如图，AB 是

O 的直径，C 为半圆O 上一点，直线l 经过点C ，过点A 作AD l

⊥

于点D ，连接AC ，当AC 平分DAB ∠时，求证：直线l 是

O 的切线．

19．一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的函数关系是21

(4)312

y x =-

-+．如图，A ，B 是该函数图象上的两点．

（1）画出该函数的大致图象；

（2）请判断铅球推出的距离能否达到11m ，并说明理由．

20．为发展学生多元能力，某校九年级开设A ，B ，C ，D 四门校本选修课程，要求九年级每个学生必须选报且只能选报其中一门．图1，图2是九年（1）班学生A ，B ，C ，D 四门校本选修课程选课情况的不完整统计图．请根据图中信息，解答下列问题．

（1）求九年（1）班学生的总人数及该班选报A 课程的学生人数；

（2）在统计的信息中，我们发现九年（1）班的甲同学和乙同学选报了A 课程，若从该班选报A 课程的同学中随机抽取2名进行选修学习效果的测评，求甲，乙同时被抽中的概率．

21．如图，点D 是等边三角形ABC 内一点，连接DA ，DC ，将DAC △绕点A 顺时针旋转60?，点D 的对应点为E ．

（1）画出旋转后的图形；

（2）当C ，D ，E 三点共线时，求BEC ∠的度数．

22．如图，一次函数y x b =+的图象与y 轴正半轴交于点C ，与反比例函数k y x

=的图象交于A ，B 两点，若2OC =，点B 的纵坐标为3．

（1）求反比例函数的解析式； （2）求AOB 的面积．

23．如图，AB AC =，作ADC ，使得点B ，D 在AC 异侧，且AD CD =，

ADC BAC ∠=∠，E 是BC 延长线上一点，连接AE 交CD 于点F ．

（1）求证：ABC DAC △∽△；

（2）若22AB CF AD =?，试判断ACF 的形状，并说明理由． 24．如图，四边形ABCD 内接于

O ，90BAD ∠=?，AB AD =，点E 是AB 上一

点，连接DE 交AB 于点F ，连接AE ，BE ．

（1）若52AD =，6BE =，求DE 的长； （2）若CE DE =，且8DE =，9.6CD =，求

AF

BF

的值． 25．如图，A ，B 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的点，已知点B 的坐标是(0,6)，

45BAO ∠=?．过A ，B 两点的抛物线2

12

y x bx c =

++与x 轴的另一个交点落在线段OA 上．该抛物线与直线(0)y kx m k =+>在第一象限交于C ，D 两点，且点C 的横

坐标为1．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若直线CD 与线段AB 的交点记为E ，当

1

2

BE AE =时，求点D 的坐标； （3）P 是x 轴上一点，连接PC ，PD ，当90CPD ∠=?时，若满足条件的点P 有两个，且这两点间的距离为1，求直线CD 的解析式．

参考答案

1．B

【分析】

根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2．D

【分析】

根据事件的分类，对每个选项逐个进行分类，判断每个选项是否为确定性事件．

【详解】

解：A、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，是不确定事件；

B、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，是不确定事件；

C、投掷一枚骰子（六个面分别刻有1到6的点数），向上一面的点数大于3，是随机事件，是不确定事件；

D、任意画一个三角形，其外角和是360 ，是必然事件，是确定性事件．

故选：D．

【点睛】

本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3．B

【分析】

根据旋转的性质即可确定点坐标．

【详解】

解：点绕原点旋转90度的坐标变换规律：横、纵坐标互换位置，且纵坐标变为相反数，则点（3，1）绕原点O顺时针旋转90°得到的点的坐标为（1，-3），如图，

故选：B．

【点睛】

本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．

4．C

【分析】

如图，连接OA、OB，由正六边形ABCDEF内接于O可得∠AOB=60°，即可证明△AOB 是等边三角形，根据O直径可得OA的长，进而可得正六边形的周长．

【详解】

如图，连接OA、OB，

∵O的直径为2，

∴OA=1，

∵正六边形ABCDEF内接于O，

∴∠AOB=60°，

∵OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB=OA=1，

∴该正六边形的周长是1×6=6，

故选：C ． 【点睛】

本题考查正多边形和圆，正确得出∠AOB=60°是解题关键． 5．B 【分析】

根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】

解：根据题意有：v?t=s ， ∴t ＝

s

v

（v ＞0）， 故t 与v 之间是反比例函数，且根据实际意义v ＞0、t ＞0， 所以，图象在第一象限． 故选：B ． 【点睛】

本题考查函数的图象，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 6．D 【分析】

将函数图形变成顶点式，依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论． 【详解】

解：A. 22

23=(1)4y x x x =--+-++

∵a=-1<0，

∴图象的开口向下，故选项A 错误； B.2223=(1)4y x x x =--+-++

∴图象的对称轴为直线1x =-，故选项B 错误； C.2223=(1)4y x x x =--+-++ ∵a=-1<0，

∴图象的开口向下，函数有最大值，故选项C 错误； D. 2223=(1)4y x x x =--+-++

∴当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而减小，故选项D 正确； 故选：D ． 【点睛】

本题考查二次函数的性质，解题的关键是将二次函数关系式变为顶点式，联立二次函数性质对比四个选项即可． 7．B 【分析】

利用判别式大于零和二次项系数不为零求解即可． 【详解】

∵方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根， ∴m≠0，且△＞0， ∴m≠0，且224m +＞0， ∴1m >-且0m ≠， 故选B ． 【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练运用判别式并保证二次项系数不能为零是解题的关键． 8．C 【分析】

先求出GE=8，再根据相似三角形判定的预备定理得出GE=8，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】

解：∵2CG =，6CE =，

∵AB ∥EF ， ∴△ABG ∽△FEG ， ∴

8

=3

EF EG AB BG =． 故选：C 【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，更根据题意判断出△ABG ∽△FEG 是解题关键． 9．A 【分析】

根据总利润=每盒的利润×销售量，而每盒的利润=售价-进价，再结合“每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份”即可得出答案． 【详解】

解：每份盒饭涨价x 元后，利润为(16+x-12)元， 销售量为(360-40x)盒，

∴可得方程为(1612)(36040)1680x x +--=， 故选A ． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的实际应用．正确理解题意，根据题意找到等量关系是解题的关键． 10．A 【分析】

根据题意画出草图，结合图象解答即可． 【详解】

解：当x=x 1时，y=1； 当x=x 2时，y=1；

又∵m

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，根据题意画出函数的大致图象是解答本题的关键． 11．3π 【分析】

直接根据弧长公式求解即可； 【详解】 解：

2702

3180

ππ?=．

故答案为：3π． 【点睛】

本题考查了弧长的计算公式，熟记弧长计算公式是解答本题的关键，如果扇形的圆心角是n o，扇形的半径是R ，则扇形的弧长l 的计算公式为：180

n R

l π=． 12．3 【分析】

将2x =代入方程220x x m +-=中，解关于字母m 的一元一次方程即可解题． 【详解】

将2x =代入方程220x x m +-=中得，

20222m +-=，

解得：3m =，

故答案为：3．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解、解一元一次方程等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

13．－4＜y＜－4 3

【分析】

根据反比例函数的增减性可求得答案．【详解】

解：

在反比例函数y=4

x

中，k=4＞0，

∴函数图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，当-3＜x＜-1时，函数图象在第三象限，

当x=-3时，y=-4

3

，当x=-1时，y=-4，

∴-4＜y＜-4

3

，

故答案为-4＜y＜-4

3

．

【点睛】

本题主要考查反比例函数的增减性，掌握反比例函数的增减性是解题的关键，即在y=k x

（k≠0）中，当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，在每个象限内y 随x的增大而增大．

14

【分析】

连接AQ，根据圆周角定理可得∠QAB=∠QPB=45°，∠AQB=90°，所以△ABQ是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．

【详解】

解：连接AQ，

∵∠QPB=45°，

∴∠QAB=∠QPB=45°，

∵AB为直径

∴∠AQB=90°，

∴△ABQ是等腰直角三角形，

即AQ=BQ，

∵AB=2，AQ2+BQ2=AB2，

∴2BQ2=4，

∴BQ=2．

故答案为2．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，勾股定理．根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．

15．3 8

【分析】

从八卦中任取一挂，基本事件总数n=8，这一卦中恰有1根“━”和2根“”的基本事件个数m=3，由概率公式即可得出答案．

【详解】

解：从八卦中任取一挂，基本事件总数n=8，这一卦中恰有1根“━”和2根“”的基本事件个数m=3，

∴这一卦中恰有1根“━”和2根“”的概率是

3

8

m

n

，

故答案为3

8

．

【点睛】

本题考查了概率公式．熟练掌握概率公式是解题的关键．

16．66 【分析】 连接CE ，可得

BF BC

DE CD

=且∠120FBC EDC =∠=?，证明△FBC EDC ?∽，得出结论3CF CE =，从而可得求(3)CF BE +的最小值，即求()CE BE +的最小值CB '=，求

出()CE BE +的最小值62=即可． 【详解】

解：∵四边形ABCD 是平行四边形，且∠120ADC =? ∴∠120,23ABC AB CD =?==，6BC AD == 连接CE ，如图，

∵3BF DE =

∴

3,323

BF BC DE CD ===∴

BF BC

DE CD

=且∠120FBC EDC =∠=? ∴△FBC EDC ?∽ ∴

3CF BF BC

CE DE CD

===∴3CF CE =

∴3333()CF BE CE BE CE BE +=+=+ ∴求(3)CF BE +的最小值，即求()CE BE +的最小值，

∴作B 关于AD 的对称点B '，连接B C '，BB '交AD 于M ，此时B C '与AD 的交点为点E ，

这时CE BE +最小

∴()CE BE +的最小值CB '= ∵∠120ADC =?

∴∠60A =?，∠30ABM =?

∴1

2

AM AB =

= ∴3BM = ∴26BB BM '==

∴B C '=

==

∴()CE BE +的最小值=

即()CF 的最小值==

故答案为： 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称把问题转化为垂线段最短．

17．11x =21x =【分析】

利用配方法解一元二次方程． 【详解】

解：2210x x --= 移项，得221x x -=， 配方得22+11+1x x -=

()

2

12x -=，

直接开平方，得1x -=

解得11x =21x =【点睛】

本题考查解一元一次方程，掌握配方法解方程的步骤正确计算是解题关键．

18．见解析

【分析】

∠=∠，再由半径OA=OC，利用等边对等角得到

由AC为角平分线得到DAC CAB

OC AD，由平行线的性质可得出OC与CD垂直，则CD为圆O ∠=∠，可证//

OCA CAB

的切线；

【详解】

证明：连接OC．

AC平分DAB

∠，

DAC CAB

∴∠=∠．

=，

OA OC

∴∠=∠，

OCA CAB

∴，

∠=∠

OCA DAC

∴，

//

OC AD

⊥，

AD l

∴⊥．

OC CD

点C为半径OC的外端点，

∴直线l是O的切线．

【点睛】

此题考查了切线的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．

19．（1）见解析；（2）不能，理由见解析

【分析】

（1）根据函数关系式可得到顶点坐标，再求出图象与x轴，y轴的交点，在坐标系中描点连线即可画出大致图象；

（2）该男生所推铅球最远的距离应该是与x 轴交点横坐标的正值，结合图象即可得出答案． 【详解】 解：（1）∵21

(4)312

y x =-

-+, ∴顶点坐标为(4，3)， 当y=0时，21

(4)3012

x -

-+=， 解得122,10x x =-=

即与x 轴的交点坐标为(-2,0)，(10,0)， 当x=0时，()2

104312

y =--+， 解得y=

53

， 即与y 轴的交点坐标为(0，

53

)，

该函数的大致图象如图所示． （2）铅球推出的距离不能达到11m ． 理由如下：当10x =时，21

(104)3012

y =-

?-+=， ∴该男生此次推球最远距离为10m ，

而1011<，

∴铅球推出的距离不能达到11m ．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的画法，以及利用函数图象解决二次函数实际问题．熟练掌握描点法作图是解题的关键．

20．（1）总人数40人，选报A 课程的学生人数为4人；（2）1

6

． 【分析】

（1）利用B 的频数和所占百分比计算即可；利用公式计算即可； （2）选用列表法或画树状图法计算即可．

【详解】

解：（1）九年（1）班学生的总人数是1640%40÷=（人）， 该班选报A 课程的学生人数是4010%4?=（人）．

（2）由（1）得，九年（1）班选报A 课程的人数是4，将甲，乙以外的两人记为丙，丁．根据题意，可以列出如下表格：

甲 乙 丙 丁

甲 (甲，乙)

(甲,丙) (甲，丁) 乙 (乙，甲)

(乙,丙) (乙，丁) 丙 (丙，甲) (丙，乙)

(丙，J)

丁

(丁，甲) (丁，乙) (丁，丙)

由表可知，所有可能出现的结果共有12种，且这些结果出现的可能性相等， 其中他们“甲，乙同时被抽中”的结果有2种．

P ∴（甲，乙同时被抽中）21

126=

=． ∴甲，乙同时被抽中的概率是1

6

．

【点睛】

本题考查了统计图的计算，列表法或画树状图法求概率，熟练掌握统计图的意义，灵活选择概率的计算方法是解题的关键． 21．（1）见解析；（2）60° 【分析】

（1）根据旋转的性质作图即可；

（2）由旋转可得∠AEB=∠ADC ，再证明△ADE 为等边三角形得∠AED=∠ADE=60゜，进一步可得答案； 【详解】

解：（1）如图，EAB ?是所求作的DAC △绕点A 顺时针旋转60?后得到的三角形．

（2）连接DE．

∵△ABC为等边三角形

∴AB=AC，∠BAC=60゜

由旋转可得，△ABE≌△ACD

∴∠AEB=∠ADC，∠CAD=∠BAE，AD=AE

∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=60゜

∴∠BAE+∠BAD=∠DAE=60゜

∴△ADE为等边三角形

∴∠AED=∠ADE=60゜

∴∠ADC=180゜-60゜=120゜

∴∠AEB=120゜

∴∠BEC=∠AEB-∠AED=120゜-60゜=60゜

【点睛】

此题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握上述知识解答此题的关键．

22．（1）

3

y

x

；（2）4

【分析】