甘肃省天水市甘谷县第四中学2021届高三上学期第二次检测数学(文)试题含答案
甘谷四中2020—2021学年第一学期高三第二次检测
数学试题（文科）
考试时间：120分钟 满分：150分
一．选择题（本题共12小题，共60分）
1．已知集合{}
230A x x x =-<，(){}ln 2B x y x ==-，则A
B =（ ）
A ．()2,+∞
B ．()2,3
C ．()3,+∞
D ．(),2-∞
2．已知命题p ：?x 1，x 2∈R ，（f （x 1）﹣f （x 2））（x 1﹣x 2）≥0，则?p 是（ ） A ．?x 1，x 2∈R ，（f （x 1）﹣f （x 2））（x 1﹣x 2）≤0 B ．?x 1，x 2∈R ，（f （x 1）﹣f （x 2））（x 1﹣x 2）≤0 C ．?x 1，x 2∈R ，（f （x 1）﹣f （x 2））（x 1﹣x 2）＜0 D ．?x 1，x 2∈R ，（f （x 1）﹣f （x 2））（x 1﹣x 2）＜0
3．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．函数f (x )＝ax －1的零点个数为( )
A ．1
B ．2
C ．0
D ．0或1
5.已知函数f (x )＝x 3
－px 2
－qx 的图象与x 轴切于点(1，0)，则f (x )的( )
A ．极大值为427，极小值为0
B ．极大值为0，极小值为4
27
C ．极小值为－427，极大值为0
D ．极小值为0，极大值为－4
27
6.已知函数??
?
??<+-≥=1,2)24(1,)(x x a
x a x f x ，若对任意的x 1，x 2，且x 1≠x 2都有()()2121x x x f x f -->0成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．[1,8)
C ．(4,8)
D ．[4,8)
7．定义在R 上的可导函数f (x )＝x 2
＋2xf ′(2)＋15， 在闭区间[0，m ]上有最大值15，最小值－1，
则m 的取值范围是( )
A ．m ≥2
B ．2≤m ≤4
C ．m ≥4
D ．4≤m ≤8
8．若αtan ＝2，则ααα2sin 2sin 32cos 2-+的值为( )
A.25 B ．－2
5
C ．5
D ．－ 5 9．已知f ′(x )是函数f (x )在R 上的导函数，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )
10．若x 1＝π4，x 2＝3π
4
是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A ．2
B ．32
C ．1
D ．1
2
11．若定义在R 上的偶函数y ＝f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，函数g （x ）＝，则?x ∈[﹣4，4]，方程f （x ）＝g （x ）不同解的个数为（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
12．设函数()f x '是偶函数()f x 的导函数，当),0(+∞∈x 时()f x 有唯一零点为2，并且满足
()()0xf x f x +<'，则使得0)
( x f 成立的x 的取值范围是（ ） A ．()22-， B ．()()22-∞-+∞， ， C ．()11-， D ．()()2002-， ， 二．填空题（本题共4小题，共20分） 13．若角α的终边经过点() 1,23-，则an 3πt α? ? + = ?? ? ． 14．如右图，定义在[﹣1，+∞）上的函数f （x ）的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f （x ）的解析式为 ． 15．函数f (x )＝ax 3－3x 在区间(－1，1)上为单调减函数，则a 的取值范围是________． 16．关于函数)6 2cos()32cos()(π π++-=x x x f ，有下列说法： ①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间? ?? ?? π24，13π24上单调递减； ④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π 24个单位后，将与已知函数的图象重合． 其中正确说法的序号是 ．(把你认为正确的说法的序号都填上) 三．解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知p ：－x 2＋6x ＋16≥0，q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0(m >0)． (1)若p 为真命题，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 18. (本题满分12分)已知A(cosα，sin α)，B(cosβ，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB|＝ 105 . (1)求cos(α－β)的值； (2)若cosα＝3 5 ，求cosβ的值． 19．(本题满分12分)已知函数())32(log 2 4++=x ax x f (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)是否存在实数a ，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝)6 (sin sin 22π - -x x ，x ∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间????－π3，π 4上的最大值和最小值． 21．(本题满分12分)已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx ﹣1为偶函数，且f （﹣1）＝0． （1）求函数f （x ）的解析式； （2）若对?x ∈（0，1），不等式f （x ﹣2）≥（2+k ）x 恒成立，求实数k 的取值范围． 22．(本题满分12分)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2. (1)讨论f (x )的单调性； (2)当0 甘谷四中2020—2021学年第一学期高三第二次检测 数学参考答案（文） 一．选择题 1．B 2．C 3．A ． 4． D 5A 6.D ．7 D 8．A 9．C ． 10．A ．11．C ．12．B 二．填空题（本题共4小题，共20分） 13．73- 14．??? ??>-≤≤-+=0,4101,1)(2x x x x x x f 15．a ≤1． 16．①②③ 三．解答题 17．(本题满分10分) [解析] (1)由－x 2＋6x ＋16≥0，解得－2≤x ≤8， 所以当p 为真命题时，实数x 的取值范围为－2≤x ≤8. (2)若q 为真，可由x 2－4x ＋4－m 2≤0(m >0)，解得2－m ≤x ≤2＋m (m >0)， 若p 是q 成立的充分不必要条件，则[－2,8]是[2－m,2＋m ]的真子集， 所以???? ? m >0， 2－m ≤－2 2＋m ≥8 ，(两等号不同时成立)，得m ≥6. 所以实数m 的取值范围是m ≥6. 18．(本题满分12分) [解析](1)由|AB |＝ 10 5 ， 得(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝ 105 ， ∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝25，∴cos(α－β)＝4 5 . (2)∵cos α＝35，cos(α－β)＝45，α，β为锐角， ∴sin α＝45，sin(α－β)＝±3 5. 当sin(α－β)＝35时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝24 25 . 当sin(α－β)＝－3 5时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0. ∵β为锐角，∴cos β＝24 25. 19．(本题满分12分) [解析](1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，函数f (x )的定义域为(－1,3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3， 则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有??? a ＞0， 3a －1 a ＝1， 解得a ＝12. 故存在实数a ＝1 2 使f (x )的最小值为0. 20．(本题满分12分) [解析](1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ????2x －π32 ＝12????12cos2x ＋3 2sin 2x －12cos2x ＝34sin 2x －14cos2x ＝12sin ????2x －π6. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π 2 ＝π. (2) 因为f (x )在区间????－π3，－π6上是减函数，在区间????－π6，π4上是增函数，且f ????－π3＝－14，f ??? ?－π6＝－12，f ????π4＝34，所以f (x )在区间????－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 21．(本题满分12分) [解析]解：（1）∵二次函数f （x ）＝ax 2+bx ﹣1为偶函数， ∴f （﹣x ）＝f （x ），即ax 2﹣bx ﹣1＝ax 2+bx ﹣1，解得b ＝0； 又f （﹣1）＝a ﹣1＝0，∴a ＝1，∴f （x ）＝x 2﹣1． （2）∵对?x ∈（0，1），不等式f （x ﹣2）≥（2+k ）x 恒成立， ∴（x ﹣2）2﹣1≥（2+k ）x 在x ∈（0，1）时恒成立，∴k ≤x +﹣6恒成立，x ∈（0，1）． ∵y ＝x +﹣6在（0，1）上单调递减，∴x →1时，y ＝x +﹣6→﹣2，∴k ≤﹣2． 22．(本题满分12分) [解析] (1)解：f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3. 若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪????a 3，＋∞时，f ′(x )>0， 当x ∈????0，a 3时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－∞，0)，????a 3，＋∞单调递增，在????0，a 3单调递减； 若a ＝0，f (x )在(－∞，＋∞)单调递增； 若a <0，则当x ∈????－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 当x ∈????a 3，0时，f ′(x )<0， 故f (x )在????－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在??? ?a 3，0单调递减． (2)解：当0 3，1单调递增，所以f (x )在[0,1]的最小值为f ????a 3＝－a 3 27 ＋2，最大值为f (0)＝2或f (1)＝4－a . ∵f (1)>f (0) 所以m ＝－a 3 27＋2，M ＝a -4 所以M －m ＝27 23 a a +-