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苏教版高中数学选修2-1知识讲解_《空间向量与立体几何》全章复习与巩固_提高

《空间向量与立体几何》全章复习与巩固

：：

【学习目标】

1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示；

2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量；

3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题；

4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：空间向量的有关概念

空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；

空间向量的表示：一种是用有向线段AB 表示，A 叫作起点，B 叫作终点；

一种是用小写字母a （印刷体）表示，也可以用a （而手写体）表示．

向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a ．

向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a b ,的相等向量OA 和OB ，则∠AOB 叫作向量a b ,的夹角，记作??，a b ，规定0π≤??≤，a b ．如图：

零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =．相等向量：方向相同且模相等的向量．相反向量：方向相反但模相等的向量．

共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．

a 平行于

b 记作b a

//，此时．a b ??，

=0或a b ??，=π．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．要点诠释：

（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关．只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；

（2）当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b

的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可

能是平行直线．

（3）对于任意一个非零向量a

，我们把

a a

叫作向量a 的单位向量，记作0a ．0a 与a

同向．

（4）当a b ??，

=0或π时，向量a 平行于b ，记作b a //；当 a b ??，=2

时，向量a b ，垂直，记作a b ⊥．要点二：空间向量的基本运算空间向量的基本运算：

AB BC=AC + 0AB BA=+

a 与a 异向；

a λ=0

)a a a μλμ+=+

∥b a b λ?=

b 是一个数：||||cos(b a b =．0a =，0b=或a b ⊥ ?b a ?=0．

a b b a =

()()a b a b λλ==2

2||a a =

||||||a b a b ≤

要点三：空间向量基本定理

共线定理：两个空间向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使b a

λ=．

共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，则向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在唯一的一对实数

,x y ，使p xa yb =+．

要点诠释：

（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线．（2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面．空间向量分解定理：

如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使

p x a y b z c

=++. 要点诠释：

（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；

（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．

（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．要点四：空间向量的直角坐标运算空间两点的距离公式

若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则

①222111212121(,,)(,,)(,,)AB OB OA x y z x y z x x y y z z =-=-=---； ②2

||(AB AB =

=；

③ AB 的中点坐标为1212122

22x +x y +y z +z ??

???，，．

空间向量运算的的坐标运算

设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则 ① 121212(,,)a b x x y y z z +=+++； ② 121212(,,)a b x x y y z z -=---； ③ 111(,,)()a x y z R λλλλλ=∈； ④ 121212a b x x y y z z ?=++；

⑤ 222111a a a x y z ==++，222

222

b b b x y z ==++； ⑥ ()2

2221

22cos 00a b a b a b a b

x x y =

≠≠+++，，．

空间向量平行和垂直的条件

若111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则

①12//a b a b x x λλ?=?=，12y y λ=，12()z z R λλ=∈?111

222

x y z x y z ==

222(0)x y z ≠； ②12121200a b a b x x y y z z ⊥??=?++=．要点诠释：

（1）空间任一点P 的坐标的确定：

过P 作面xOy 的垂线，垂足为'P ，在面xOy 中，过'P 分别作x 轴、y 轴的垂

线，垂足分别为A C 、，则|'|||||x P C y AP z PP ===，，＇＇．如图：（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：

a b

a b |a ||b|cos a b cos a b |a ||b|

??=?=

?，其中θ的范围是[0,]π．

（３）0与任意空间向量平行或垂直．要点五：用向量方法讨论垂直与平行

0=u v

，β的法向量）要点诠释：

（１）直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．

（２）平面的法向量：已知平面α，直线l α⊥，取l 的方向向量a ，有α⊥a ，则称为a 为平面α的法向量．一个平面的法向量不是唯一的．

要点六：用向量方法求角

||||AC BD ?上不同的两点，上不同的两点）

要点诠释：

①当法向量1n 与2n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n 的夹角12,??n n 的大小。

②当法向量1n ，2n 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n 的夹角的补角

12,π-??n n 的大小。

要点七：用向量方法求距离

PA n

的法向量）

PA n

的公共法向量）

PA n

的一个公共法向量）

要点诠释：（1）在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择．

（2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点面距还有一种重要的求法为等积转化法．

（3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离．而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法．

要点八：立体几何中的向量方法

用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

1．建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

2．通过向量运算研究点、线、面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题；（进行向量运算）3．把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．（回到图形问题）

用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤

1．建立适当的空间直角坐标系；

2．写出相关点的坐标及向量的坐标；

3．进行相关的计算；

4．写出几何意义下的结论．【典型例题】

类型一：空间向量的概念及运算

例1．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（）

A ． 11

22a b c -++ B ．

22a b c ++ C ． 1122a b c --+ D ． 11

a b c -+ 【思路点拨】本题以向量的加减法为前提，考查了向量相等的概念：（1）相等向量指的是方向相同且模相等的向量；

（2）注意向量加法的三角形法则和平行四边形法则、减法的三角形法则的正确运用；注意公式AB BC=AC +，AB AC=CB 的灵活应用．

【答案】A 【解析】

法一：

1111()2BM BB B M AD AB AA =+=-+=11

a b c -++．

法二：

()

11111111111

=++=++=D+=+=222222a b c AB AD AA BA AD AA B AA B M BB BM -++-； ()

11111111111

=++=++=+=+=222222a b c AB AD AA AB AD AA AC AA A M AA AM ++； ()

11111111=++=+==2222a b c AB AD AA AC AA C M CC CM ++； ()

11111111

=+==+2222

a b c AB AD AA DB AA D M DD DM -+-=+=．故选A ．

【总结升华】类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途．用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等与向量的加减法，考查学生的空间想象能力．举一反三：

【变式1】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 的中点，

化简下列各

式：

（1）1CB BA +；（2）11

AC CB AA ++

；（3）1AA AC CB --．【答案】（1）11CB BA CA +=；

（2）11

AC CB AA AM ++

=；（3）11AA AC CB BA --=．

【变式2】在四边形ABCD 中，?→

?AB ＝?→

?DC ，且?→

?AC ·?→

?BD ＝0，则四边形ABCD 是（） A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形【答案】B

类型二：空间向量的直角坐标运算

例2．已知空间三点()202A －，，，()112B －，，，()304C －，，．设a =AB ，b=AC ．（1）求3-2a b ；

（2）求a 和b 的夹角θ的余弦值；

（2）若向量ka +与ka －2b 互相垂直，求k 的值．【思路点拨】根据空间向量直角坐标的相关公式进行运算．

【解析】∵()202A －，，

，()112B －，，，()304C －，，， ∴a =AB =(1，1，0)，b=AC =（－1，0，2）．（1）()3330a=，，，()2204b=－，，， ∴()3-2534a b =，，

．

（2）cos θ=

|||b a =

∴和的夹角的余弦值为

(2)ka +=（k ，k ，0）+（－1，0，2）＝（k －1，k ，2），

ka －2b =（k +2，k ，－4）， ∵(ka +)⊥（ka －2），

∴(ka +b )?（ka －2b ）=（k －1，k ，2）·（k +2，k ，－4）

()22(1)282100

=k k k k k ++=+=－－－

∴5

k =－或2k =．

举一反三：

【变式1】已知A B C 、、三点坐标分别为()()()212451223---，，，，，，，

，，求点P 的坐标使得=()

AB AC ．【答案】1502P ??

???

，，【变式2】已知向量()=24a x ，，

，()=22b y ，，，若=6a ，a ⊥b ，则x y +的值是（） A ．3－或1 B ．3或1－ C ． 3－ D ．1 【答案】A

由题意可知2416364420.x y x ?++=?++=?

，解得43x y =??

=?，或41.x y =??=?，

【变式3】设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC =，0AC AD =，0AB AD =，

则△BCD 是( )

A ．钝角三角形

B ．锐角三角形

C ．直角三角形

D ．不确定【答案】B

由题意知，过点A 的棱两两垂直，设AB =a ，AC =b ，AD =c ，则2()()||0BC

BD =--=>b a c a a ，

故∠CBD 为锐角．

同理，∠BCD 、∠CDB 均为锐角．所以△BCD 为锐角三角形．类型三：共线和共面向量定理的应用

例3．已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量OE k OA =，OF kOB =，OG kOC =，

OH kOD =．求证：

（1）四点E F G H 、、、共面；（2）平面AC //平面EG ．

【思路点拨】（1）利用共面向量定理证明四点E F G H 、、、共面；（2）由向量共线得到线线平行，利用平面平行的判定定理证明．【证明】

（1）()()()

===OE kOA k OB BA k OB CD k OB OD OC kOB kOD kOC OF OH OG =+=+=+++，

∵1111+-=，

由共线向量定理可知，点E F G H 、、、共面．（2）()

EF OF OE kOB kOA k OB OA k AB ====，

∴EF AB ?，

又∵EF ?平面AC ，AB ?平面AC ， ∴EF ∥平面AC ．同理FG ∥平面AC ， ∵=EF

FG F ，

∴平面AC //平面EG ．

【总结升华】在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解．若要证明两直线平行，只需判断两直线所在的向量是否满足线性关系a b λ=即可．在本题第（1）题的解析中运用了共面向量定理的推论，其实利用共面向量定理也可以给予证明，同学们试一试．举一反三：

【变式1】已知3240a m n p =--≠，(1)82b x m n yp =+++，且,,m n p 不共面．若a b ?，求y x ,的值．【答案】13,8x y =-=

由题意列等式：

182324

x y

+==

--，解得13,8x y =-=．【变式2】下列各组向量共面的是（）

A ． =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)

B ． =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)

C ． =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)

D ． a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1)

【答案】D

类型四：空间向量在立体几何中的应用

例4．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N ．

（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；

（2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值；（3）求点N 到平面ACM 的距离．

【思路点拨】建立适当的空间直角坐标系，将立体几何问题转化为空间向量问题，再通过向量运算判断向量的平行、垂直及计算向量的夹角，最后再翻译成图形语言．

（1）将证明平面ABM ⊥平面PCD 转化为证明平面ABM 的法向量与平面PCD 的法向量垂直；

（2）直线CD 与平面ACM 的夹角的正弦值就是直线CD 的方向向量与平面ACM 的法向量的夹角的余弦值的绝对值；

（3）由于N 点坐标不确定，故将求点N 到平面ACM 的距离，转化为求求点P 到平面ACM 的距离．【解析】

（1）方法一：

∵AC 是所作球面的直径， ∴AM MC ⊥。又∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA CD ⊥， ∵CD AD ⊥， ∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥AM ， ∴AM ⊥平面PAD ， ∴平面ABM ⊥平面PCD ．

方法二：

如图所示，建立空间直角坐标系，则

(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，(2,0,0)B ， (2,4,0)C ，(0,4,0)D ，(0,2,2)M ．

∴()=200AB ，

，，()=022AM ，，，设平面ABM 的法向量为()1x y z =，，n ，则

()()()()11=200=2=0=022=220.AB x y z x AM x y z y z ???

+=??，，，

，，，，，

，n n 即=0.x y z ??=?，取=1z ，则=01x y =，， ∴平面ABM 的一个法向量()1011=，

，n ，同理可得平面PCD 的一个法向量()2011=，，n ． ∵1101+1=0=n n ，即11⊥n n ， ∴平面ABM ⊥平面PCD ．

（2）设平面ACM 的一个法向量(,,)n x y z =，

由,n AC n AM ⊥⊥可得：240

220

x y y z +=??+=?，

令1z =，则(2,1,1)n =-。

设所求角为α，则6sin CD n CD n

α?=

，（3）由题意可得，AN NC ⊥．

在Rt PAC ?中，2

PA PN PC =?,

∴83PN =

,则103NC PC PN =-=, 59

NC PC =， ∴所求距离等于点P 到平面C A M 距离的5

，

设点P 到平面C A M 距离为h ，则26

AP n h n

， ∴所求距离为59h ．

【总结升华】在空间图形中，如果线段较多，关系较为复杂（如平行、垂直、角和距离等均有涉及），常常需要多种方法灵活使用，合理结合，才能达到较为理想的效果，在建立坐标后，应根据条件确定相应点的坐标，然后通过向量的坐标计算解决相应问题．举一反三：

【变式1】正三角形ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿

翻折成直二面角A -DC -B (如图②所示)．在图②中求平面ABD 与平面EFD 的夹角的余弦值．

【答案】由已知CD ⊥AD ，CD ⊥BD ，

∴ ∠ADB 就是直二面角A -CD -B 的平面角， ∴ AD ⊥BD ．

以D 为原点建立空间直角坐标系，如图，则D (0，0，0)、A (0，0，2)、B (

2，0，0)、C (0，0)， E 、F 分别是AC

、BC 的中点， ∴ E (0

1)，

F (10)．

设=m (x ，y ，z )是平面DEF 的一个法向量．

由0

0DE DF ?=??=?

m ，得00z x +=+=??

，

，令y

＝1．

得1x y z ?=?

=??

=?，

∴ (13)=，m ．

同理可求得平面ABD 的一个法向量n ＝(0，1，0)，

∴ cos

||||7??=

，m n m n m n ．

∴ 平面ABD 与平面EFD 夹角的余弦值为

．【变式2】如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且=1PD ，E F ，分别是AB BC ，的中点．

(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离．

【答案】（1；（2. 例5．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，CP=m 。

（Ⅰ）试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为

（Ⅱ）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ，并证明你的结论．

【思路点拨】建立适当的空间直角坐标系，写出各个已知点的坐标：

（Ⅰ）设出点P 的坐标，可以确定向量AP 与平面11BDD B 的法向量，可以确定它们夹角的余弦值，从而可得直线AP 与平面11BDD B 所成角的正弦值，由同角三角函数可得关于m 的方程，解方程即可．

（Ⅱ）假设存在点Q ，并设出其坐标，要使“对任意的m ，1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ”，只要1D Q AP ⊥即可．由1=0DQ AP 可以得到点Q 的坐标．【解析】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则

()()()()()()111,0,0,1,1,0,(0,1,)0,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,1.A B P m C D B D ，

所以1(1,1,0),(0,0,1),BD BB =--=

(1,1,),(1,1,0).AP m AC =-=-

由110,0AC BD AC BB AC D D ?=?=1知为平面BB 的一个

法向量．

设AP 与11BDD B 面　所成的角为θ，则||sin cos(

||||2AP AC AP AC π

θθ?=-==

m =

．

故当1

m =

时，直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为（Ⅱ）若在11A C 上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，则(),11Q x x -，

，()1=,1,0D Q x x -，依题意，对任意的m ，要使1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ，等价于

()111

=010=

D Q AP D Q AP x x x ⊥??+=?．即Q 为11A C 的中点时，满足题设要求。

【总结升华】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。举一反三：

【变式】如图，在四棱锥P ABCD -中，则面PAD ⊥底面 ABCD

，侧棱PA PD =，底面ABCD 为直角梯形，其中,,222,BC AD AB AD AD AB BC O ⊥===?为AD 中点. 那么线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD

？若存在，求出AQ QD 的值；若不存在，请说明理由

【答案】存在，

AQ QD 【解析】假设存在点Q ，使得它到平面PCD

. 如图建立空间直角坐标系，则()()()()()0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,A B C D P --

(1,0,1),(1,1,0).CP CD =-=-

平面PCD 的一个法向量为()1,1,1=n . 设(0,,0)(11),(1,,0),Q y y CQ y -≤≤=-

由

3CQ n n

，得

2= 解得y =-

12或y =5

(舍去)，此时13

,22

AQ QD =

=，所以存在点Q 满足题意，此时

13AQ QD =.

高中数学必修和选修知识点归纳总结

高中数学必修+选修知识点归纳引言 1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3：由6个专题组成。选修3—1：数学史选讲。选修3—2：信息安全与密码。选修3—3：球面上的几何。选修3—4：对称与群。选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。选修4—1：几何证明选讲。选修4—2：矩阵与变换。选修4—3：数列与差分。选修4—4：坐标系与参数方程。选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。选修4—9：风险与决策。选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用

数学知识点苏教版高中数学(选修1-1)1.3《全称量词与存在量词》(量词)word教案-总结

1.3.1量词（三）教学过程学生探究过程：1．思考、分析下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）2x ＋１是整数； (2) x ＞３； (3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A 版的教科书；（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；（7）对所有的x ∈Ｒ, x ＞３；（8）对任意一个x ∈Ｚ，2x ＋１是整数。 1．推理、判断（让学生自己表述）（1）、（2）不能判断真假，不是命题。（3）、(4)是命题且是真命题。（5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。（5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A 版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假；命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x ＝2）， x ＜３．（至少有一个x ∈Ｒ, x ≤３）命题（8）是真命题。事实上不存在某个x ∈Ｚ，使2x ＋１不是整数。也可以说命题：存在某个x ∈Ｚ使2x ＋１不是整数，是假命题． 3．发现、归纳命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到 “所有的”“任意一个” 这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“?”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。命题（5）－（8）都是全称命题。通常将含有变量x 的语句用p （x ），q （x ），r （x ），……表示，变量x 的取值范围用M 表示。那么全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”可用符号简记为：?x M , p （x ），读做“对任意x 属于M ，有p （x ）成立”。刚才在判断命题（5）－（8）的真假的时候，我们还得出这样一些命题：（5），存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A 版的教科书；（6），存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．（7），存在一个（个别、某些）实数x （如x ＝2），使x ≤３．（至少有一个x ∈Ｒ, x ≤３）（8），不存在某个x ∈Ｚ使2x ＋１不是整数．这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。并用符号“?”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）命题（5），－（8），都是特称命题（存在命题）．特称命题：“存在M 中一个x ，使p （x ）成立”可以用符号简记为：,()x M p x ?∈。读做 “存在一个x 属于M ,使p （x ）成立”．全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“ 至多有一个”等. 4．巩固练习（1）下列全称命题中，真命题是：

高中数学选修4-4知识点清单

高中数学选修4-4 坐标系与参数方程知识点总结第一讲一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P 2.

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ 点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标＝ρcosθ，＝ρsinθＷ. (2)直角坐标化极坐标 2＝x2＋y2， θ＝y x（x≠0）. 三简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表：

苏教版高中数学知识点总结

苏教版高中数学知识点总结【篇一】等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。不等式基本性质有： (1)a>bb (2)a>b,b>ca>c(传递性) (3)a>ba+c>b+c(c∈R) (4)c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac 运算性质有： (1)a>b,c>da+c>b+d。 (2)a>b>0,c>d>0ac>bd。 (3)a>b>0an>bn(n∈N,n>1)。 (4)a>b>0>(n∈N,n>1)。应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。【篇二】 1.满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的一个解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集。 2.二元一次不等式(组)的每一个解(x，y)作为点的坐标对应平面上的一个点，二元一次不等式(组)的解集对应平面直角坐标系中的一个半平面(平面区域)。 3.直线l：Ax+By+C=0(A、B不全为零)把坐标平面划分成两部分，其中一部分(半个平面)对应二元一次不等式Ax+By+C>0(或≥0)，另一部分对应二元一次不等式Ax+By+C<0(或≤0)。 4.已知平面区域，用不等式(组)表示它，其方法是：在所有直线外任取一点(如本题的原点(0，0))，将其坐标代入Ax+By+C，判断正负就可以确定相应不等式。 5.一个二元一次不等式表示的平面区域是相应直线划分开的半个平面，一般用特殊点代入二元一次不等式检验就可以判定，当直线不过原点时常选原点检验，当直线过原点时，常选(1，0)或(0，1)代入检验，二元一次不等式组表示的平面区域是它的各个不等式所表示的平面区域的公共部分，注意边界是实线还是虚线的含义。“线定界，点定域”。 6.满足二元一次不等式(组)的整数x和y的取值构成的有序数对(x，y)，称为这个二元一次不等式(组)的一个解。所有整数解对应的点称为整点(也叫格点)，它们都在这个二元一次不等式(组)表示的平面区域内。 7.画二元一次不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时，应把边界画成实线，画二元一次不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域时，应把边界画成虚线。

高中数学选修-5知识点(最全版)

高中数学选修4-5知识点 1．不等式的基本性质 1．实数大小的比较 (1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系． (2)设a 、b 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A 、B .当点A 在点B 的左边时，a b ． (3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义) ???a >b ?a －b >0 a ＝ b ?a －b ＝0a ，<，≥，≤共5个． (2)相等关系和不等关系任意给定两个实数，它们之间要么相等，要么不相等．现实生活中的两个量从严格意义上说相等是特殊的、相对的，不等是普遍的、绝对的，因此绝大多数的量都是以不等关系存在的． (3)不等式的定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式． (4)不等关系的表示：用不等式或不等式组表示不等关系． 3.不等式的基本性质 (1)对称性：a >b ?b b ，b >c ?a >c ； (3)可加性：a >b ，c ∈R ?a ＋c >b ＋c ； (4)加法法则：a >b ，c >d ?a ＋c >b ＋d ； (5)可乘性：a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac b >0，c >d >0?ac >bd ； (7)乘方法则：a >b >0，n ∈N 且n ≥2?a n >b n ； (8)开方法则：a >b >0，n ∈N 且n ≥2?n a >n b . （9）倒数法则，即a >b >0?1a <1b . 2．基本不等式 1．重要不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式 (1)定理2：如果a ，b >0，那么a b +≥ a ＋b 2≥ab)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理2的应用：对两个正实数x ，y ， ①如果它们的和S 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的积P 取得最大值，

高中数学苏教版教材目录(必修+选修)

苏教版本高中高一数学必修一学习知识点归纳总结计划.doc

教版高一数学必修一知点【一】一、集合及其表示 1、集合的含： “集合” 个首先我想到的是上体育或者开会老常喊的“全体集合”。数学上的“集合”和个意思是一的，只不一个是一个是名而已。所以集合的含是：某些指定的象集在一起就成一个集合，称集，其中每一个象叫元素。比如高一二班集合，那么所有高一二班的同学就构成了一个集合，每一个同学就称个集合的元素。 2、集合的表示通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合A={a， b ，c}。 a、 b、 c 就是集合 A 中的元素，作a∈ A，相反， d 不属于集合A，作 dA 。有一些特殊的集合需要：非整数集 (即自然数集 )N 正整数集N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 数集 R 集合的表示方法：列法与描述法。 ①列法： {a,b,c ??} ② 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来。如{xR|x-3>2},{x|x-3>2} ，{(x,y)|y=x2+1} ③言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 例：不等式 x-3>2 的解集是 {xR|x-3>2} 或 {x|x- 3>2} ：描述法表示集合注意集合的代表元素 A={(x,y)|y=x2+3x+2} 与 B={y|y=x2+3x+2} 不同。集合 A 中是数元素(x，y)，集合 B 中只有元素y。 3、集合的三个特性 (1)无序性 B={2,1}，集合A=B。指集合中的元素排列没有序，如集合A={1,2}，集合例：集合A={1,2}，B={a,b}，若 A=B，求 a、 b 的。解：，A=B 注意：有两解。 (2)互异性指集合中的元素不能重复，A={2,2}只能表示{2} (3)确定性集合的确定性是指成集合的元素的性必明确，不允有模棱两可、含混不清的情况。二、集合的基本关系 1.子集， A 包含于 B，：，有两种可能 (1)A 是 B 的一部分， (2)A 与 B 是同一集合， A=B， A、B 两集合中元素都相同。反之 :集合 A 不包含于集合B,作。如：集合 A={1,2,3} ，B={1,2,3,4}， C={1,2,3,4}，三个集合的关系可以表示，，B=C。A是 C 的子集，同 A 也是 C 的真子集。 2.真子集 :如果 AB, 且 AB 那就集合 A 是集合 B 的真子集，作 AB(或BA)

高中数学选修4系列1-4-5知识点总结(全套)

1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3：由6个专题组成。选修3—1：数学史选讲。选修3—2：信息安全与密码。选修3—3：球面上的几何。选修3—4：对称与群。选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。选修4—1：几何证明选讲。选修4—2：矩阵与变换。选修4—3：数列与差分。选修4—4：坐标系与参数方程。选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。选修4—9：风险与决策。选修4—10：开关电路与布尔代数。

高中数学选修1 2知识点总结

知识点总结 1-2知识点总结选修统计案例第一章

．线性回归方程1 ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系?③线性回归方程：（最小二乘法） ay?bx?n??ynxxy??ii?1?i?b?其中，n2??2nxx?i?1?i? bx?a?y??. 注意：线性回归直线经过定点)y(x,n?)?yx)(y(x?ii．相关系数（判定两个变量线性相关性）：21i??r nn??22)y?x)?y((x ii1?i1i?负相关； <0时，变量注： ⑴>0时，变量正相关；y,xyx,rr接近，两个变量的线性相关性越强；② ⑵①越接近于1||r||r时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。0于条件概率3.ABAB发生的概对于任何两个事件和发生的条件下，，在已知BAAAPBPB)|, ) 其公式为|(. 率称为发生时发生的条件概率记为(ABP）（＝AP）（ 4相互独立事件 AB PABPAPB) ，则，如果_((())(1)一般地，对于两个事件＝，AB 相互独立．、称 AAAnPAAA PAPA)(…(2)如果_，)，…，＝相互独立，则有)(…(n2111 22PA). (n－－－－BBAABAAB也相互独立．(3)如果与，与相互独立，则，与，

：5．独立性检验（分类变量关系）列联表(1)2×2为两个变量，每一个变量设BA,变变量都可以取两个值，;?A,A:AA112量;?BB:B,B112通过观察得到右表所示数据：列联表．×2并将形如此表的表格称为2 (2)独立性检验B，×2列联表中的数据判断两个变量A根据2 列联表的独立性检验．是否独立的问题叫2×2 的计算公式统计量χ 2(3)2bc n ad）－（2=χ

高中数学知识点整理(苏教版)

第一讲集合一、知识精点讲解 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。（1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ?；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作N *或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R 。 2．集合的包含关系：（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ；（2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；（2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集； 4．交集与并集：（1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。交集}|{B x A x x B A ∈∈=?且。（2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。}|{B x A x x B A ∈∈=?或并集。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

高中数学定积分知识点讲解学习

数学选修2-2知识点总结一、导数 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；

6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如

高中数学知识点总结选修

第一章计数原理 1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。分类要做到“不重不漏”。分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。分步要做到“步骤完整”。 n元集合A={a1，a2?，a n}的不同子集有2n 个。 1.2排列与组合 1.2.1排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)

个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement)。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号表示。排列数公式： n 个元素的全排列数规定：0!=1 1.2.2 组合一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取

出m个元素的一个组合(combination)。从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或表示。组合数公式： ∴ 规定：组合数的性质： (“构建组合意义”——“殊途同归”) （杨辉三角） *

1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理(binomial theorem) *注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。 (n∈N *) 其中各项的系数 (k ∈{0，1，2，? ，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；式中的叫做二项展开式的通项，用T k+1 表示通项展开式的第k+1项：

苏教版高中数学必修+选修知识点归纳总结(精编版)

高中数学必修+选修知识点归纳恒则成人生一连串的奋斗追求理想要奋战不懈坚持到底有恒则成

引言 1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：三角函数、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有3个系列：选修系列1：由2个模块组成。选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图选修系列2：由3个模块组成。选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数的引入选修2—3：计数原理、概率，统计案例。选修系列4：由4个专题组成。选修4—1：几何证明选讲。选修4—2：矩阵与变换。选修4—4：坐标系与参数方程。选修4—5：不等式选讲。2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算

苏教版高中数学必修知识点总结

苏教版高三数学学习资料 1 高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 3. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 4. 集合的表示方法：列举法与描述法。 5. 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 6. 列举法：{a,b,c ……} 7. 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x ∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 8. 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 9. Venn 图: 4、集合的分类： (1) 有限集含有有限个元素的集合 (2) 无限集含有无限个元素的集合 (3) 空集不含任何元素的集合例：{x|x 2=－5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集注意：B A ?有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ? /B 或B ?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 10. 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n-1个真子集

苏教版高中数学选修4-4课时作业【4】及答案

1．将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程： (1)射线y ＝3x(x≤0)； (2)圆x 2＋y 2 ＋2ax ＝0(a≠0)．【解】 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝3x ，得ρsin θ＝3ρcos θ， ∴tan θ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3 . 又x≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝4π3 ， ∴射线y ＝3x(x≤0)的极坐标方程为θ＝4π3 (ρ≥0)． (2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0，得 ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＋2a ρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2acos θ)＝0， ∴ρ＝－2acos θ， ∴圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a≠0)的极坐标方程为 ρ＝－2acos θ. 2．分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程： (1)ρ＝5cos θ ；(2)ρ2＝tan θ. 【解】 (1)由ρcos θ＝5，得x ＝5. (2)x 2＋y 2＝y x (x≠0)，即x(x 2＋y 2)－y ＝0(x≠0)．又在极坐标方程ρ2＝tan θ中，极点(0,0)也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是x(x 2＋y 2)－y ＝0. 3．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π4 (ρ∈R)，曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点． (1)把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)求弦AB 的长度．【解】 (1)曲线C 2：θ＝π4 (ρ∈R)表示直线y ＝x ；曲线C 1：ρ＝6cos θ化为直角坐标方程，即x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9. (2)因为圆心C 1(3,0)到直线的距离d ＝322 ，r ＝3，所以弦长AB ＝3 2. 4．求点A(2，π3)到直线l ：ρsin(θ－π6)＝－2的距离．

数学知识点苏教版选修1-2高中数学4.1《流程图》word学案1-总结

4．1流程图 [学习目标] 1.通过具体实例，进一步认识程序框图，了解工序流程图.2.能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用． [知识链接] 1．什么是流程图？答由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图．流程图常常用来表示一些动态过程，通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”．流程图可以直观、明确地表示动态过程从开始到结束的全部步骤． 2．常用的流程图有哪些答(1)程序框图是流程图的一种，是算法步骤的直观图示．算法的输入、输出、条件、循环等基本单元构成了程序框图的基本要素，基本要素之间的关系由流向线来建立． (2)将处理事情的过程按先后次序用框图表示出来，这样的框图，称为工序流程图(又称统筹图)． [预习导引] 1．流程图 (1)流程图的作用就是表示一个动态过程或者描述一个过程性的活动，从而指导人们完成某一项任务或者用于交流． (2)流程图的特点：①通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”；②基本单元之间通过流程线产生联系；③流程图一般要按照从左到右、从上到下的顺序来画，并且自顶向下，逐步细化． (3)程序框图作为特殊的流程图主要适用于计算机程序的编写，而流程图的适用范围更为广

泛，在日常生活、生产实践等各个方面都有应用． 2．工序流程图 (1)工序流程图：用于描述工业生产流程的流程图．其特点是： ①每一个框代表一道工序； ②两相邻工序之间用流程线连接，且流程线上的箭头标识用以指示工序进展的方向． (2)工序流程图又称统筹图．常见的一种画法是：将一个工作或工程从头至尾依先后顺序分为若干道工序(即所谓自顶向下)，每一道工序用矩形框表示，并在该矩形框内注明此工序的名称或代号，两相邻工序之间用流程线相连．有时为合理安排工程进度，还在每道工序框上注明完成该工序所需的时间．开始时工序流程图可以画得粗疏，然后再对每一框逐步细化． (3)在工序流程图内不允许有闭合回路，即在工序流程图上不允许出现几道工序首尾相连的圈图或循环回路，当然对每道工序还可以再细分，还可以画出更精细的统筹图. 要点一画流程图例1山东省2015年成人高考网上报名需要遵循以下程序：首先网上登记，阅读报名须知，填写考生身份证号码，然后查看，如果身份证号码无效，则不允许报名，应重新填写身份证号码；如果身份证号码有效，则填写《山东省2015年各类成人高考学校招生网上报名登记表》，若登记信息无效应重新登记，若有效则显示考生登记信息，考生确认，上述过程完成，则登记成功，生成考生唯一的网报号，设计一个流程图，表示这个报名过程．解画出流程图如下．

高中数学选修知识点总结版

高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，平均变化率可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数 ) (x f y =在0x x =处的瞬时变化率是 x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0 x 处可导，并把这个极限叫做 ) (x f y =在 x 处的导数，记作) (0'x f 或 |'x x y =，即 )(0' x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 5、常见的函数导数

6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，()

.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。

(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值； ⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤（“以直代曲”的思想） 10.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 a b dx b a -=?1 性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则0)(≥?b a dx x f ①推广：1212[()()()]()()()b b b b m m a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±????L L

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