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高中数学必修4——任意角与弧度制导学案

任意角

【学习目标】1、了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念；

2、正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边

相同的角的集合表示.

【重点难点】正确理解终边相同的角的概念

【学习过程与方法】

1．角的定义：

2．角的分类：

正角：按方向旋转形成的角叫做正角；

负角：按方向旋转形成的角叫做负角；

零角：如果一条射线旋转，我们称它为零角。

说明：零角的始边和终边重合。

3．象限角：

在直角坐标系中，使角的与坐标原点重合，角的与x 轴的非负轴重合，若角的在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

如：30,390,330-都是第象限角；

300,60-是第象限角。

注：非象限角（也称象限间角、轴线角）：如果角的终边在上，就认为这个角

不属于任何象限。例如：90,180,270等等。

4．终边相同的角的集合

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：

{}|360,S k k Z ββα==+?∈，

小结：1、任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

2、终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。

【典型例题】

例1．（1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？

（2）若将钟表拨慢10分钟，则时针和分针分别转了多少度？

例2．在00到0360的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第

几象限角：

（1）0650 （2）0150- （3）0'99015-

例3、若3601575,k k Z α=?-∈，试判断角α所在象限。

例4．已知α与0240角终边相同，判断2α

是第几象限角.

例5．写出终边落在第一、三象限的角的集合.

【课堂练习】

1.与500°终边相同的角为（）

A .()36040k k Z ?+∈ B.()360140k k Z ?+∈

C .()360240k k Z ?+∈ D.()360340k k Z ?+∈

2.下列各命题，其中正确的有（）

①相等的角终边相同； ②终边相同的角一定相等；

③第二象限的角一定大于第一象限的任意角；

④若0180α<<,则α必是第一或第二象限的角

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

3.下列各角420°,-75°,855°,-510°所在象限依次为（）

A.一、二、三、四

B.二、四、一、三

C.一、四、二、三

D.二、一、四、三

4.下列命题中正确的是( )

A.终边在y 轴非负半轴上的角是直角

B.第二象限角一定是钝角

C.第四象限角一定是负角

D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同

5、（1）写出与1840-终边相同的角的集合M

（2）若M α∈，且360,360α??∈-??，则α= 。

6、若角β的终边在第一象限或第三象限的角平分线上，则角β的集合是．

7、若角α与β终边相同，则一定有( )

A.α＋β＝180°

B.α＋β＝0°

C.α－β＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ

D.α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z

弧度制

【学习目标】1. 理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度

数；

2. 掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式.

【重点难点】弧度与角度的换算及弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式.

【学习过程与方法】

1、弧度角的定义：

规定：周角为1度的角；叫做1弧度的角.

规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。

角α的弧度数的绝对值是：r

l =

||α 2、角度制与弧度制相互换算 360___rad =； 180__=rad ；

1801π=

?rad ≈＿＿＿＿rad ； 1rad =＿＿＿＿＿5718'≈.

3、扇形的面积公式 211||22

S rl r α=

=（其中l 为弧长，r 为半径） 4、常用弧度制与角度制的互化

【典型例题】

例1、把下列各角从弧度化为角度：

（1）

12π （2）25

π （3）43π- （4）12π-

例2．把下列各角从角度化为弧度：

（1）075 （2）0210- （3）0135 （4）0'2230

例3．已知扇形的周长为8厘米，圆心角为2弧度，求该扇形的面积.

【课堂练习】

1.下列各角中与?240角终边相同的角为（） 23A π、 B 、6

5π- C 、32π- D 、67π 2.把?-1125化成),20(2Z k k ∈<≤+παπα的形式是（） A.ππ64-- B.ππ647- C.ππ84-- D.ππ84

3.半径为π cm ，中心角为?120的扇形的弧长为（）

O A

B A.3π cm B. 3

2π cm C.32π cm D.322π cm 4.若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（）

A.4cm 2

B.2 cm 2

C.4πcm 2

D.π2 cm 2

5．已知扇形周长为20cm ，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？

6．集合|,,|2,22A k k Z B k k Z ππααπααπ????==+∈==±∈????????

的关系是（）（A ）A B = （B ）A B ? （C ）A B ? （D ）以上都不对。

7．若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积

是．

8．在以原点为圆心，半径为１的单位圆中，一条弦AB

AB 所对的圆心角α 的弧度数为．

9．如图，扇形OAB 的面积是24cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长。

高中数学必修四第一章知识点梳理-

高中数学必修四第一章知识点梳理一、角的概念的推广 ●任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。 ●正角、负角、零角按逆时针方向旋转成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所成的角叫做负角，一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。可见，正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。 ●象限角、轴线角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，那么角的终边在第几象限（终边的端点除外），就说这个角是第几象限角。当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。 ●终边相同角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合S={β|β=α+k ?360°,k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。二、弧度制 ●角度定义制规定周角的 360 1 为一度的角，记做1°，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制。 ●弧度制定义 1、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。1弧度记做1rad 。 2、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角α，它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关，而是一个仅与角α有关的常数，故可以取为度量标准。 ●弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是r l =||α。 α的正负由角α的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。三、任意角的三角函数 ●任意角的三角函数的定义设α是一个任意大小的角，α的终边上任意点P 的坐标是（x,y ），它与原点的距离r （0r = >），那么 1、比值 y r 叫做α的正弦，记做sin α，即sin y r α=。

高一数学必修4：任意角的三角函数的定义

能力提升一、选择题 1．已知P (2，－3)是角θ终边上一点，则tan(2π＋θ)等于( ) A.32 B.23 C ．－32 D ．－23 [答案] C [解析] tan(2π＋θ)＝tan θ＝－32＝－3 2. 2．如果θ是第一象限角，那么恒有( ) A ．sin θ 2>0 B ．tan θ 2<1 C ．sin θ2>cos θ2 D ．sin θ2

? ???? sin θ＋cos θ<0，sin θcos θ>0，所以有sin θ<0，cos θ<0，所以θ是第三象限角． 5．α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝2 4x ，则sin α的值为( ) A.104 B.64 C.24 D ．－10 4 [答案] A [解析] ∵|OP |＝x 2 ＋5，∴cos α＝x x 2＋5＝24 x 又因为α是第二象限角，∴x <0，得x ＝－ 3 ∴sin α＝ 5x 2＋5 ＝104，故选A. 6．如果α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( ) A.1 2 B ．－12 C ．－ 32 D ．－ 33 [答案] C [解析] ∵P (1，－3)，∴r ＝12＋(－3)2＝2， ∴sin α＝－ 32 . 二、填空题 7．已知角θ的终边经过点(－ 32，1 2 )，那么tan θ的值是________．

必修4_任意角和弧度制、任意角的三角函数练习

必修4 任意角和弧度制、任意角的三角函数各题型与练习题型一角的概念辨析例1 下列各命题正确的是（） A ．0°~90°的角是第一象限角 B ．第一象限角都是锐角 C ．锐角都是第一象限角 D ．小于90°的角都是锐角题型二终边相同的角例2 与-457°角终边相等的角的集合是（） A ．}{Z k k ∈?+??=，457360|αα B ．}{Z k k ∈?+??=，97360|αα C ．}{Z k k ∈?+??=，263360|αα D ．}{Z k k ∈?-??=，263360|αα 例3 如果角α与β终边相同，则有（） A ．α-β=π B ．α+β=0 C ．α-β=2k π（k ∈Z ） D ．α+β=2k π（k ∈Z ）题型三已知角α所在象限，求角2α、2α 所在象限问题例4 已知角α是第二象限角，求角2α是第几象限角例5 若α是第一象限角，则2α 是第几象限角？题型四弧度制的概念问题例6 下列诸命题中，假命题是（） A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．一度的角是周角的3601，一弧度的角是周角的π21 C ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关题型五角度与弧度互化问题例7 （1）将112°30′化为弧度（2）将125π -rad 化为度题型六与弧长、扇形面积有关问题例8 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，试求扇形的中心角的弧度数题型七用弧度表示终边相同角的问题例9 将-1485°表示成Z k k ∈+,2απ的形式，且πα20<≤

高中数学必修4第一章复习总结及典型例题

必修四第一章复习第一：任意角的三角函数一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角，与角终边相同的角的集合}{|2,k k z ββπα=+∈ ，弧度制，弧度与角度的换算，弧长l r α=、扇形面积2 1122 s lr r α==，二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是22r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a = sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a = tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1.平方关系：2 2sin cos 1 αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。正弦余弦正切第二、三角函数图象和性质基础知识:1、三角函数图像和性质

高中数学必修四第一章测试题

必修四第一章复习题一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分) 1．下列说法中，正确的是( ) A ．第二象限的角是钝角 B ．第三象限的角必大于第二象限的角 C ．－831°是第二象限角 D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 2．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( ) A ．0 B.33 C ．1 D. 3 3．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在( ) A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上 4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当 x ＝2时取得最大值，那么( ) A ．T ＝2，θ＝π2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π2 5．若sin ? ?? ??π2－x ＝－32，且π

7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y ＝sin ? ?? ??x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6 8．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θsin θ＋2cos θ 的值为( ) A ．0 B ．1 C.34 D.54 9．函数f (x )＝tan x 1＋cos x 的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点 cos A )＝m ，lg 11－cos A ＝n ，则lgsin A B ．m －n D.12(m －n ) C ， ②函数f (x )在区间? ?? ??－π12，5π12内是增函数； ③由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ，其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)

必修4-任意角和弧度制-练习题整理

1、下列六个命题：其中正确的命题有 . ①时间经过3小时，时针转过的角是90°②小于90°的角是锐角③大于90°的角是钝角④若α 是锐角，则α 的终边在第一象限 ⑤若α 的终边在第二象限，则α 是钝角⑥若α 的终边在第四象限，则α 是负角 2、练习：角度与弧度互化： 0°= .；30° ；45° ；3π ；2π ；120° ；135° ；150° ； 54π ，－43π 、310 π 、－210° 、75° ，0330 ，0900 23π- ，405° ， -280° ， 1680° ， π411- ，5π ，67π 780° ，-1560° ，67.5° ，π310- ， 12π ，4 7π 3、在0°～360°间，找出与下列角终边相同角：（将下列角化成0360()k k Z α?+∈的形式）－150° 、1040° 、－940° .0 300 01125 0660- －1050° 01485- 4、下列各对角中终边相同的角是( ) A.πππk 222+-和（k ∈z ） B.－3π和322π C.－97π和911π D. 9 122320ππ和 5、用弧度制表示下列角的集合。 (1)x 轴上的角； (2)第四象限角； (3)与 6 π的终边关于x 轴对称的角； (4)终边在直线y=x 上。 (5) 终边落在一、三象限角平分线上 6、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)． 7、若α 是第二象限的角，则2 α所在的象限是( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第二、三象限 8、若角α是第三象限角，则2 α角的终边在 . 9、若α是第四象限角，则π－α一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10、已知：α是第三象限角，求(1)2α (2) 2α (3) 3 α终边所在的位置

人教版高中数学必修四第一章单元测试(一)- Word版含答案

2018-2019学年必修四第一章训练卷三角函数（一）注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1 ） A ． B ． 2 3 C ． D ． 2 1 2．已知点33sin ,cos 44P ? ?ππ ??? 落在角θ的终边上，且[)0,2θ∈π，则θ的值为（） A ． 4 π B ． 4 3π C ． 4 5π D ． 4 7π 3．已知3tan 4α= ，3,2α?? ∈ππ ??? ，则cos α的值是（） A ．45 ± B ． 45 C ．45- D ．35 4．已知sin 24()5απ-=，32α?? ∈π,2π ???，则sin cos sin cos αααα+-等于（） A ． 1 7 B ．17 - C ．7- D ．7 5．已知函数()(2)sin f x x ?+=的图象关于直线8 x π =对称，则?可能取值是（） A ． 2π B ．4 π- C ． 4 π D ． 4 3π 6．若点sin cos ,t ()an P ααα-在第一象限，则在[)0,2π内α的取值范围是（） A ．35,,244πππ????π ? ????? B ．5,,424πππ????π ? ????? C ．353,,2442ππππ???? ? ????? D ．3,,244ππ3π????π ? ?? ? ? ? 7．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax +=的图象不可能是（） 8．为了得到函数sin 26y x π? ?=- ?? ?的图象，可以将函数cos2y x =的图象（） A ．向右平移6 π 个单位长度 B ．向右平移3 π 个单位长度 C ．向左平移 6 π 个单位长度 D ．向左平移 3 π 个单位长度 9．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数()sin 0,0,02I A x A ω?ω?π? ?=+>><< ? ? ?的图象如右图所示，则当1 100 t = 秒时，电流强度是（）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号

高中数学必修4第一章知识点总结及典型例题

高中数学必修四第一章知识点归纳第一：任意角的三角函数一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角，与角终边相同的角的集合 } {|2,k k z ββπα=+∈ ，弧度制，弧度与角度的换算，弧长l r α=、扇形面积2 112 2 s lr r α==，二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是22 r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1.平方关系： 22 sin cos 1αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 , 正弦 | 余弦 [ 正切 < 第二、三角函数图象和性质基础知识:1、三角函数图像和性质 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2π π -π o y x

2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等，会用五点法作 sin()y A x ω?=+简图：五点分别为：、、、、。 3、图象的基本变换：相位变换：sin sin()y x y x ?=?=+ 周期变换：sin()sin()y x y x ?ω?=+?=+ 振幅变换：sin()sin()y x y A x ω?ω?=+?=+ 4、求函数 sin()y A x ω?=+的解析式：即求A 由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。基础练习： / 1、tan(600)-= . sin 225?= 。 2、已知扇形AOB 的周长是6cm ，该圆心角是1弧度，则扇形的面积= cm 2. 3、设a <0,角α的终边经过点P （－3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于 4 、函数 y =的定义域是_____ __ 5、的结果是。 6、函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3 x 2sin(3y π -=的图象-------（）（A ）向左平移个6π单位（B ）向右平移个6π单位（C ）向左平移个3π单位（D ）向右平移个3 π 单位 7、已知0tan ,0sin ><θθ，那么θ是。 8.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在 9、下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 π = x 对称的是（）》 A ．sin(2)3π=-y x B.sin(2)6π=-y x C.sin(2)6π=+y x D.sin()23 π=+x y 10、下列函数中,周期为π的偶函数是（） A.cos y x = B.sin 2y x = C. tan y x = D. sin(2)2 y x π =+ 解答题解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 第一类型：1、已知角α终边上一点P （－4，3），求) 2 9sin()211cos() sin()2cos(απαπαπαπ +---+的值

高一数学必修4任意角教案

1.1.1 任意角教学目标知识与技能 (1)推广角的概念、引入大于360°角和负角； (2)理解并掌握正角、负角、零角的定义； (3)理解任意角以及象限角的概念； (4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；过程与方法会建立直角坐标系讨论任意角，能判断象限角，会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写。情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物. 教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．教学方法与教学用具教学方法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标。教学用具：投影仪。课型新授课课时 1课时教学过程（一）导入新课 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．（二）研讨新课 1．角的有关概念： ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的分类： ③注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角顶点 A O

⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ④练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，构成一个集合S={β|β=α+k ·360 °，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍； ⑷ 角α+k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例2．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇．答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；例3．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．解:{α|α=90°+ k ·180°,k ∈Z}．例4．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．（三）反馈练习 1、下列角中终边与330°相同的角是（） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° 2、－1120°角所在象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（） A ．45°－4×360° B ．－45°－4×360° C ．－45°－5×360° D ．315°－5×360° 4、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（） A ．｛α∣90°<α<180°｝ B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ (四)总结归纳 ①角的定义； ②角的分类： ③象限角； ④终边相同的角的表示法． (五)作业安排正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角

人教版高中数学必修四任意角和弧度制

任意角和弧度制 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解1弧度的角、弧度制的定义. 2.掌握角度与弧度的换算公式 3.熟记特殊角的弧度数 (一)角的概念： 1 任意角正角：按顺时针方向形成的角负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角定义：角的顶在原点始边与x 轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k 为任意整数）（1）在直角坐标系内讨论角：注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0 Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或（3）区间角的表示： ①象限角：象限角象限角的集合表示第一象限角的集合 o o o {|360<<36090,x k k k α??+∈Z } 第二象限角的集合 o o o o {|36090<<360180,x k k k α?+?+∈Z } 第三象限角的集合 o o o o {|360180<<360270,x k k k α?+?+∈Z } 第四象限角的集合 o o o o {|360270<<360360,x k k k α?+?+∈Z } ②写出图中所表示的区间角：由α的终边所在的象限，来判断 2α所在的象限，来判断3 α 所在的象限 (二)弧度制 1 弧度角的规定.

人教 B 版高中数学必修4第一章导学案

课题：角的概念的推广第一章第 1 节第 1 课时【学习目标】1.了解角的概念及推广。2.掌握终边相同的角及象限角的概念。【学习重点】角的概念的推广。【学习难点】1.角的旋转合成。2.终边相同的角的集合。【学习方法】阅读，讨论，练习【学习过程】一、预习成果展示（学生以思维导图形式展示预习成果）二、小组探究解疑（小组合作学习新知，讨论解疑） 1.角的概念的推广： 2.角的加减法运算： 3.终边相同的角的集合： 4.象限角（轴上角）： GAGGAGAGGAFFFFAFAF

三、反馈矫正点拨（将难点问题集中呈现，教师点拨） 1.（1）分别写出终边在x正半轴和负半轴，y正半轴和负半轴，x轴和y轴上的角的集合。（2）分别写出第一象限、第二象限、第三象限和第四象限的角的集合。 2.在直角坐标系中，判断下列语句的真假：（1）第一象限的角一定是锐角。（2）终边相同的角一定相等。（3）相等的角终边一定相同。（4）小于90°的角一定是锐角。（5）象限角为钝角的终边一定在第二象限。（6）终边在直线y=3x上的象限角表示为0 060 ?，k∈Z。 k+ 360 3.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角： GAGGAGAGGAFFFFAFAF

（1）-150°（2）650°（3）-950°15′ GAGGAGAGGAFFFFAFAF

GAGGAGAGGAFFFFAFAF 4.射线OA 绕端点O 逆时针旋转270°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转一周到达OC 位置，求∠AOC 的大小？四、强化巩固练习（通过精选习题训练巩固新知） 1.若α分别是第一，二，三，四象限的角，那么2 α分别是第几象限角？α2的终边又分别在哪呢？（你能总结出一点规律吗） 2.小明发现自己的手表走慢了10分钟，他想把时间调准那么时针和分针各旋转了多大的角度呢？ 3.（1）若 ? <<

高中数学必修4重难点

P x y A O M T 高中数学必修4重难点第一章三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、同角三角函数的基本关系： ()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；

高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总(教师版)

任意角与弧度制知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。例1、若 13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。（0,45）（180,270） 2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。正角：按照逆时针方向转定的角。零角：没有发生任何旋转的角。负角：按照顺时针方向旋转的角。例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是-960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是3 π． 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。例1、30?；390?；-330?是第象限角 300?；-60?是第象限角 585? ； 1180?是第象限角 -2000?是第象限角。例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=④（填序号）. ①{小于90°的角}②{0°～90°的角}

③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ） A ．B=A∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2 α 的终边所在位置. 解∵α是第二象限的角， ∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）. （1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜ 2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ），当k =2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2 α＜n ·360°+90°；当k =2n +1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜ 2α＜n ·360°+270°. ∴2 α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？ ∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3 α＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜ 3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3 α的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜ 3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3 α的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜ 3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3 α的终边在第四象限.

高中数学人教版必修4任意角和弧度制教学设计

1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角整体设计教学分析教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务. 学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义. 三维目标 1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念. 2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义. 3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础. 重点难点教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合. 教学难点:用集合来表示终边相同的角. 课时安排 1课时教学过程导入新课图1 思路 1.(情境导入)如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉

高中数学必修四第一章知识点(精华集锦)

高中数学必修4第一章三角函数知识点总结文献编辑者——周俞江 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<

可以利用数形结合思想，采用图示法巧妙对n α 角所在的象限做出正确判断。一、代数法就是利用已知条件写出α的围，由此确定n α角的围，再根据n α角的围确定所在的象限；【例1】已知α为第一象限角，求2 α角所在的象限。解：∵ α为第一项限角 ∴ 90360360+??k k ＜＜α )(Z k ∈ 451802 180+??k k ＜＜α )(Z k ∈ 若k 为偶数时：则)(2Z n n k ∈=,则 453602 360+??n n ＜＜α )(Z n ∈ ∴ 2 α角是第一象限角；若k 为奇数时：则)(12Z n n k ∈+=，则)(2253602 180360Z n n n ∈+?+? ＜＜α ∴ 2 α角是第三象限角；因此，2 α角是第一象限或第三象限角【例2】已知α为第二项限角，求2 α角所在的象限。解：∵ α为第二项限角 ∴ 180********+?<<+?k k α )(Z k ∈ 901802 45180+?<< +?k k α )(Z k ∈ 若k 为偶数时：)(2Z n n k ∈=,则 903602 45360+?<< +?n n α )(Z n ∈ ∴ 2 α角是第一象限角；

2019-2020年高中数学必修4(A)任意角的三角函数及诱导公式

2019-2020年高中数学必修4(A)任意角的三角函数及诱导公式一．课标要求： 1．任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切）。二．命题走向从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。预测xx 年高考对本讲的考察是： 1．题型是1道选择题和解答题中小过程； 2．热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容。三．要点精讲 1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点。为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 2．终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2k π(k ∈Z)，即β∈{β|β=2k π+α，k ∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|≤α≤}=[，]。 3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。角的弧度数的绝对值是：，其中，l 是圆心角所对的弧长，是半径。角度制与弧度制的换算主要抓住。弧度与角度互换公式：1rad ＝°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝≈0.01745（rad ）。弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：。 4．三角函数定义在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则；；。利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意

人教版高中数学必修四 1.1.1任意角

一、选择题 1．把－1 485°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是() A．315°－5×360°B．45°－4×360° C．－315°－4×360°D．－45°－10×180° 解析：∵0°≤α<360°，∴排除C、D选项，经计算可知选项A正确．答案：A 2．－435°角的终边所在的象限是() A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限解析：设与－435°角终边相同的角为α，则α＝－435°＋k·360°，k∈Z. 当k＝1时，α＝－75°. 因为－75°角为第四象限角，所以－435°角的终边在第四象限．答案：D 3．若角α和β的终边关于y轴对称，则有() A．α＋β＝90°B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z C．α＋β＝k·360°，k∈Z D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z 解析：结合图形分析，知α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)．答案：D 4．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有() A．1个B．2个 C．3个D．4个解析：由于－90°<－75°<0°，故－75°角为第四象限角；由于180°<225°<270°，故225°角是第三象限角；由于360°＋90°<475°<360°＋180°，故475°角是第二象限角；由于－360°<－315°<－270°，故－315°角是第一象限角，所以①②③④均为真命题．答案：D 二、填空题 5．若角α满足180°<α<360°，角5α与角α有相同的始边，又有相同的终边，那么角α