11年全国各地高考数学压轴题解析
11年高考数学压轴题
1、（安徽理）（21）（本小题满分13分）
设0>λ，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2x y =上运动，点Q 满足QA BQ λ=，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=，求点P 的轨迹方程
。
（21）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。
解：由MP QM λ=知Q,M,P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P(x,y),Q(x,y 0),M(x,x 2),则
)(202x y y x -=-λ,即
y x y λλ-+=20)1(
①
再设),(11y x B ，由λ=，即)1,1(),(0101y x y y x x --=--λ，解得
??
?-+=-+=.)1(,
)1(01
1λλλλy y x x ②
将①式代入②式，消去0y ，得
???-+-+=-+=.
)1()1(,
)1(2
211λλλλλλy x y x x ③
又点B 在抛物线2
x y =上，所以2
11x y =，再将③式代入2
11x y =，得
,))1(()1()1(222λλλλλλ-+=-+-+x y x
整理得0)1()1()1(2=+-+-+λλλλλλy x 因0>λ，两边同除以)1(λλ+，得
012=--y x
故所求点P 的轨迹方程为12-=x y 。 2、（广东理）21.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L:2
14y x =
.
实数p ，q 满足240p q -≥，x 1，x 2是方程20x px q -+=的两根，记{}
12(,)max ,p q x x ?=。 （1）过点2
0001(,
)(0)4
A p p p ≠作L 的切线教y 轴于点B. 证明：对线段A
B 上任一点Q(p ，q)有0
(,);2
p p q ?= （2）设M(a ，b)是定点，其中a ，b 满足a 2
-4b>0,a ≠0. 过M(a ，b)作L 的两条切线12,l l ，切点
分别为22112211
(,
),(,)44
E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交与F,F'。线段E
F 上异于两端点的点集记为X.证明：M(a,b) ∈X ?12P P >?(,)a b ?1
2p =;
（3）设D={ (x,y)|y ≤x-1,y ≥14(x+1)2-54
}.当点(p,q)取遍D 时，求(,)p q ?的最小值 （记为min ?）和最大值（记为max ?）.
21．解：（１）00011
'|()|22
AB x p x p k y x p =====
， 直线AB 的方程为200011()42y p p x p -
=-，即20011
24
y p x p =-， 20011
24
q p p p ∴=
-，方程20x px q -+=的判别式2204()p q p p ?=-=-， 两根001,2||22p p p p x ±-=
=或02
p
p -，
00p p ?≥ ，00||||||||22
p p
p p ∴-
=-，又00||||p p ≤≤， 000|
|||||||222p p p p ∴-≤-≤，得000||||||||||222
p p p
p p ∴-=-≤， 0
(,)|
|2
p p q ?∴=． （２）由2
40a b ->知点(,)M a b 在抛物线L 的下方，
①当0,0a b >≥时，作图可知，若(,)M a b X ∈，则120p p >≥，得12||||p p >； 若12||||p p >，显然有点(,)M a b X ∈； (,)M a b X ∴∈12||||p p ?>． ②当0,0a b ><时，点(,)M a b 在第二象限，
作图可知，若(,)M a b X ∈，则120p p >>，且12||||p p >； 若12||||p p >，显然有点(,)M a b X ∈；
(,)M a b X ∴∈12||||p p ?>．
根据曲线的对称性可知，当0a <时，(,)M a b X ∈12||||p p ?>， 综上所述，(,)M a b X ∈12||||p p ?>（*）；
由（１）知点M 在直线EF 上，方程2
0x ax b -+=的两根11,22p x =或12
p
a -， 同理点M 在直线''E F 上，方程2
0x ax b -+=的两根21,22p x =或22
p a -， 若1(,)|
|2p a b ?=，则1||2p 不比1||2p a -、2||2
p 、2||2p
a -小， 12||||p p ∴>，又12||||p p >(,)M a
b X ?∈，
1(,)||2p a b ?∴=?(,)M a b X ∈；又由（１）知，(,)M a b X ∈1(,)||2p
a b ??=； 1
(,)|
|2
p a b ?∴=?(,)M a b X ∈，综合（*）式，得证． （３）联立1y x =-，215
(1)44
y x =
+-得交点(0,1),(2,1)-，可知02p ≤≤， 过点(,)p q 作抛物线L 的切线，设切点为2001(,)4x x ，则
2
0001142
x q
x x p -=-， 得200240x px q -+=
，解得0x p =+
又215
(1)44
q p ≥
+-，即2442p q p -≤-，
0x p ∴≤
t =，20122x t t ∴≤-++215(1)22
t =--+，
0max max |
|2
x ?= ，又052x ≤，max 5
4?∴=；
1q p ≤-
，0|2|2x p p p ∴≥+=+-=，
min min |
|12
x ?∴==． 3、（湖北理）21．（本小题满分14分）
（Ⅰ）已知函数()1f x Inx x =-+，(0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最大值；
（Ⅱ）设,k k a b (1,2k =…，)n 均为正数，证明：
（1）若1122a b a b ++…n n a b ≤12b b ++…n b ，则12
121n k
k k n a a a ≤ ；
（2）若12b b ++…n b =1，则
1n
≤121222
2
12.n k k k n n b b b b b b ≤+++ 21．本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论
证的能力，以及化归与转化的思想。（满分14分） 解：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞，令1
'()10, 1.f x x x
=
-==解得 当01,'()0,()x f x f x <<>时在（0，1）内是增函数； 当1x >时，'()0,()(1,)f x f x <+∞在内是减函数； 故函数()1f x x =在处取得最大值(1)0.f = （II ）（1）由（I ）知，当(0,)x ∈+∞时， 有()(1)0,ln 1.f x f x x ≤=≤-即 ,0k k a b > ，从而有ln 1k k a a ≤-， 得ln (1,2,,)k k k k k b a a b b k n ≤-= ， 求和得
1
1
1
1
ln .n
n n
k k
k k k k k k a
a b b ===≤-∑∑∑
2
1
1
1
,l n 0
,n
n
n
k k
k k
k
k k k a
b b a
===≤
∴≤∑∑∑
即1212ln()0,n k k k
n a a a ≤ 1212 1.n k
k
k
n a a a ∴≤ （2）①先证12121.n k
k
k
n b b b n
≥ 令1
(1,2,,),k k
a k n n
b =
= 则111
1
1,n
n
n
k k k k k k a b b n ======∑∑∑于是
由（1）得1212111(
)()()1n k k k n nb nb nb ≤ ，即1212121
,n n
k k k k k k n
n n b b b +++≤=
12121.n k
k k n b b b n
∴≥
②再证12222
1212.n k
k
k
n n b b b b b b ≤+++
记2
1
,(1,2,,)n
k
k k
k b S b a
k n S
==
=
=∑ 令， 则2
1111
11n
n n
k k k k k k a b b b S ======∑∑∑，
于是由（1）得12
12(
)()() 1.n k k k n b b b S S S
≤ 即121212,n n
k
k k k k
k
n b b b S
S +++≤=
12222
1212.n k
k
k
n n b b b b b b ∴≤+++
综合①②，（2）得证。
4、（湖南理）22.（本小题满分13分） 已知函数f (x ) =3
x ，g (x )=x
（Ⅰ）求函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列*{}()n a n N ∈满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数M,使得对于任意的*
n N ∈，都有n a ≤ M .
解析：（I ）
由3()h x x x =-[0,)x ∈+∞，而(0)0h =，
且(1)10,(2)62h h =-<=>，则0x =为()h x 的一个零点，且()h x 在12（，）内有零点，因此()h x 至少有两个零点
解法1：12
21'()312h x x x -=--，记12
21()312
x x x ?-=--，则3
21'()64x x x ?-=+。
当(0,)x ∈+∞时，'()0x ?>，因此()x ?在(0,)+∞上单调递增，则()x ?在(0,)+∞内至多只有一个
零点。又因为(1)0,(
03??><，则()x ?
在(3
内有零点，所以()x ?在(0,)+∞内有且只有一个零点。记此零点为1x ，则当1(0,)x x ∈时，1()'()
0x x ??<=；当1(,)x x ∈+∞时，
1()'()0x x ??>=；
所以，
当1(0,)x x ∈时，()h x 单调递减，而(0)0h =，则()h x 在1(0,]x 内无零点； 当1(,)x x ∈+∞时，()h x 单调递增，则()h x 在1(,)x +∞内至多只有一个零点； 从而()h x 在(0,)+∞内至多只有一个零点。综上所述，()h x 有且只有两个零点。
解法2：12
2
()(1)h x x x x -=--，记12
2
()1x x x ?-=--，则3
21'()22
x x x ?-=+。
当(0,)x ∈+∞时，'()0x ?>，因此()x ?在(0,)+∞上单调递增，则()x ?在(0,)+∞内至多只有一个零点。因此()h x 在(0,)+∞内也至多只有一个零点， 综上所述，()h x 有且只有两个零点。
（II ）记()h x 的正零点为0x ，即300x x =+
（1）当0a x <时，由1a a =，即10a x <.而332100a a x x =<=，因此20a x <，由此猜
测：0n a x <。下面用数学归纳法证明：
①当1n =时，10a x <显然成立；
②假设当(1)n k k =≥时，有0k a x <成立，则当1n k =+时，由
33100k k a a x x +=<=知，10k a x +<，因此，当1n k =+时，10k a x +<成立。
故对任意的*
n N ∈，0n a x <成立。
（2）当0a x ≥时，由（1）知，()h x 在0(,)x +∞上单调递增。则0()()0h a h x ≥=，即3a a ≥
从而3321a a a a ==≤，即2a a ≤，由此猜测：n a a ≤。下面用数学归纳法证明：
①当1n =时，1a a ≤显然成立；
②假设当(1)n k k =≥时，有k a a ≤成立，则当1n k =+时，由
331k k a a a a +=≤≤知，1k a a +≤，因此，当1n k =+时，1k a a +≤成立。
故对任意的*
n N ∈，n a a ≤成立。
综上所述，存在常数0max{,}M x a =，使得对于任意的*
n N ∈，都有n a M ≤. 5、（江西理）21、（本小题满分14分）
（1）如图，对于任一给定的四面体4321A A A A ，找出依 次排列的四个相互平行的平面
4321,,,αααα，使
得i i A α∈（i=1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间 的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面4321,,,αααα，其中每相邻两个平面间的距离为1，若
一个正四面体4321A A A A 的四个顶点满足：i i A α∈（i=1,2,3,4），求该正四面体4321A A A A 的体积.
解：
（1）将直线41A A 三等分，其中另两个分点依次为32,A A '',连接3322,A A A A '',作平行于3322,A A A A ''的平面，分别过332
2,A A A A ''，即为32,αα。同理，过点41,A A 作平面41,αα即可的出结论。
（2）现设正方体的棱长为a,若则有,11==MN M A ，2
11a
M A =
， a E A D A E D 2
5
21121111=
+=，由于,1111111E D M A E A D A ?=?得5=a ，
那么，正四面体的棱长为102==a d ，其体积为3
5
5313=
=a V （即一个棱长为a 的正方体割去四个直角三棱锥后的体积） 6、（辽宁理）21．（本小题满分12分）
已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=． （I ）讨论)(x f 的单调性； （II ）设0>a ，证明：当a x 10<
<时，)1
()1(x a
f x a f ->+； （III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '（x 0）＜0．
21．解：
（I ）()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x
+-'=
-+-=- （i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加. （ii ）若10,()0,a f x x a
'>==
则由得
且当11
(0,),()0,,()0.x f x x f x a a
''∈>>
<时当时 所以1()(0,)f x a
在单调增加，在1(,)a
+∞单调减少. ………………4分
（II ）设函数11
()()(),g x f x f x a a
=+--则
3222
()ln(1)ln(1)2,2()2.
111g x ax ax ax a a a x g x a ax ax a x =+---'=+-=+--
当1
0,()0,(0)0,()0x g x g g x a '<<>=>时而所以. 故当10x a <<时，11
()().f x f x a a
+>- ………………8分
（III ）由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点，
故0a >，从而()f x 的最大值为1
1(),()0.f f a a
>且 不妨设1212121
(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a
<<<<<则 由（II ）得111211
(
)()()0.f x f x f x a a a
-=+->= 从而122102
1,.2x x x x x a a
+>
-=>于是 由（I ）知，0()0.f x '< ………………12分 7、（陕西理）21.(本小题满分14分)
设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1
(),()()().f x g x f x f x x
''==+ （Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论()g x 与1()g x
的大小关系； （Ⅲ）是否存在00x ?，使得01
()()g x g x x
-∠对任意成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.
解 （Ⅰ）由题设易知()ln f x x =，1()ln g x x x
=+
， ∴2
1
'()x g x x -=
，令'()0g x =得1x =，
当(0,1)x ∈时，'()0g x <，故（0,1）是()g x 的单调减区间， 当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，故(1,)+∞是()g x 的单调增区间，
因此，1x =是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1g =. （Ⅱ）1()ln g x x x
=-+，
设11()()()2ln h x g x g x x x x =-=-+，则2
2
(1)'()x h x x
-=-， 当1x =时，(1)0h =，即1
()()g x g x
=， 当(0,1)(1,)x ∈?+∞时'()0h x <，'(1)0h =， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减，
当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()()g x g x
>， 当1x >时，()(1)0h x h <=，即1()()g x g x
<. （Ⅲ）满足条件的0x 不存在. 证明如下：
证法一 假设存在00x > ，使01
|()()|g x g x x
-< 对任意0x > 成立， 即对任意0x >，有 02()Inx g x Inx x
<<+ ，（*） 但对上述0x ，取0()
1g x x e
=时，有 10()Inx g x =，这与(*)左边不等式矛盾，
因此，不存在00x > ，使01
|()()|g x g x x
-< 对任意0x >成立。 证法二 假设存在00x >，使 01
|()()|g x g x x
-< 对任意的0x >成立。
由（Ⅰ）知，0()
g x e 的最小值为()1g x =。
又1
()g x Inx x
=+
I nx >，而1x >时，Inx 的值域为(0,)+∞， ∴ 1x ≥ 时，()g x 的值域为[1,)+∞， 从而可取一个11x >，使 10()()1g x g x ≥+， 即1()g x -0()g x 1≥，故 10|()()|1g x g x -≥>
1
1
x ，与假设矛盾。
∴ 不存在00x > ，使01
|()()|g x g x x -< 对任意0x >成立。 8、（四川理）22．(本小题共l4分)
已知
函数21
(),()32
f x x h x =
+= (I)设函数()()()F x f x h x =-，求()F x 的单调区间与极值； (Ⅱ)设a R ∈，解关于x 的方程42233
log [
(1)]log ()log (4)24
f x h a x x --=--- (Ⅲ)试比较100
1
(100)(100)()k f h h k =-∑与16的大小. 解析： （1
）21
()32
F x x =
+- 1
'
2
21()32
F x x -=-
令'''9()0;169()0016
9()016
F x x F x x F x x >?>
=?=
所以916x =
是其极小值点，极小值为18。0x =是其极大值点，极大值为12 （2）33
(1)124
f x x --=-；
222
log ()log (4)log h a x x ---=由4222233log [
(1)]log ()log (4)log (1)log 244a x
f x h a x x x x ---=---?-=- 216404a x
x x x a x
--=
?-++=- 01364(4)05a a -+时方程无解 02364(4)05a a -+=?=时3x =
03364(4)05a a -+>?<
方程的根为1233x x ==
(3)2015(100)(100)3F h =
，100
1
()k h k ==++∑
9、（天津理）20．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 与{}n b 满足：112
3(1)0,2
n n n n n n n b a a b a b ++++-++==， *
n ∈N ，且
122,4a a ==．
（Ⅰ）求345,,a a a 的值；
（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列； （III ）设*
242,,k k S a a a k N =++???+∈证明：
4*17
()6n
k k k
S n N a =<∈∑． 20．本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合
分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.
（I ）解：由*3(1),,2
n
n b n N +-=
∈ 可得1,n n b ?=?
?为奇数2,n 为偶数
又1120,n n n n n b a a b a +++++=
123123234434543;5;4.
=-=-=当n=1时,a +a +2a =0,由a =2,a =4,可得a 当n=2时,2a +a +a =0,可得a 当n=3时,a +a +2a =0,可得a
（II ）证明：对任意*,n N ∈
2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++= ② 21222320,n n n a a a +++++=
③ ②—③，得
223.n n a a +=
④
将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+ 即*
1()n n c c n N +=-∈ 又1131,0,n c a a =+=-≠故c
因此
1
1,{}n n n
c c c +=-所以是等比数列. （III ）证明：由（II ）可得2121(1)k k k a a -++=-， 于是，对任意*
2k N k ∈≥且，有
133********,()1,1,(1)() 1.
k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-
将以上各式相加，得121(1)(1),k k a a k -+-=-- 即121(1)(1)k k a k +-=-+，
此式当k=1时也成立.由④式得12(1)(3).k k a k +=-+ 从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-
2124 3.k k k S S a k -=-=+
所以，对任意*
,2n N n ∈≥，
443424141143
42414()n
n
k m m m m
k m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑ 12221232(
)2222123n
m m m m m
m m m m =+-+=--++++∑ 1
23
(
)2(21)(22)(22)
n
m m m m m ==++++∑
2253
232(21)(22)(23)
n
m m m n n ==++
?+++∑ 2153
3(21)(21)(22)(23)
n m m m n n =<++
-+++∑ 151111113[()()()]3235572121(22)(23)
n n n n =+?-+-++-+-+++
1551336221(22)(23)
7.6
n n n =+-?+
+++<
对于n=1，不等式显然成立. 所以，对任意*,n N ∈
21212
12212n n n n S S S S a a a a --++++ 321212
41234212(
)()()n n n n
S S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)n n n =--+--++-----
22211121()()()41244(41)44(41)n n n n n =-+-+--+--
111().4123
n n ≤-+=-
9、（浙江理）22．（本题满分14分）
设函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2
（I ）若)(x f y e x ==为的极值点，求实数a ；
（II ）求实数a 的取值范围，使得对任意的]3,0(e x ∈，恒有)4(2
e x
f ≤成立，注：e 为自然对数的底数。
22．本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理
论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分14分。
（I ）解：求导得2()'()2()ln ()(2ln 1).x a a
f x x a x x a x x x
-=-+
=-+- 因为()x e f x =是的极值点， 所以'()()(3)0,a f e e a e
=--= 解得3a e a e ==或经检验，符合题意，
所以3.a e a e ==或
（II ）解：①当01x <≤时，对于任意的实数a ，恒有2
()04f x e ≤<成立； ②当13x e <≤时，由题意，首先有22
(3)(3)ln(3)4f e e a e e =-≤，
解得33e a e ≤≤+
由（I ）知'()()(2ln 1),a
f x x a x x
=-+- 令()2ln 1,(1)10,()2ln 0,a
h x x h a h a a x
=+-
=-<=>则
且(3)2ln(3)12ln(3)13a
h e e e e
=+-
≥+
2(ln 30.e =-
> 又()(0,)h x +∞在内单调递增
所以函数()(0,)h x +∞在内有唯一零点， 记此零点为000,13,1.x x e x a <<<<则 从而，当0(0,)x x ∈时，'()0;f x > 当0(,),'()0;x x a f x ∈<时 当(,)x a ∈+∞时，'()0.f x >
即0()(0,)f x x 在内单调递增，在0(,)x a 内单调递减， 在(,)a +∞内单调递增。
所以要使(]2
()41,3f x e x e ≤∈对恒成立，只要
2200022
()()ln 4,(1)
(3)(3)ln(3)4,(2)
f x x a x e f e e a e e ?=-≤??=-≤?? 成立。
由000
()2ln 10a
h x x x =+-
=，知 0002ln ,a x x x =+
（3）
将（3）代入（1）得2
32004ln 4.x x e ≤
又01x >，注意到函数[)3
3
ln 1,x x +∞在内单调递增，
故01x e <≤。
再由（3）以及函数2ln (1,)x x x ++∞在内单调递增，可得13.a e <≤ 由（2
）解得，33e a e ≤≤
所以33.e a e ≤≤
综上，a
的取值范围是33.e a e ≤≤
10、（安徽文）（21）（本小题满分13分）
在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a += 求数列{}n b 的前n 项和n S .
21．（本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力. 解：（I ）设221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则
,2121++????=n n n t t t t T ① ,1221t t t t T n n n ????=++ ②
①×②并利用得),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n
.1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=????=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n
（II ）由题意和（I ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+?+=n n n b n
另一方面，利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((
1tan k
k k
k k k ?++-+=-+=
得.11
tan tan )1tan(tan )1tan(--+=
?+k
k k k
所以∑∑+==?+==
23
1
tan )1tan(n k n
k k n k k b S
.
1tan 3tan )3tan()
11tan tan )1tan((
2
3
n n k
k n k --+=--+=∑+=
11、（广东文）21．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l x =-交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP
（1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；
（2）已知T （1，-1），设H 是E 上动点,求HO +HT 的最小值，并给出此时点H 的坐标； （3）过点T （1，-1）且不平行与y 轴的直线l 1与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的
斜率k 的取值范围。 21．（本小题满分14分） 解：（1）如图1，设MQ 为线段OP 的垂直平分线，交OP 于点Q ， ,,||||.MPQ AOP MP l MO MP ∠=∠∴⊥= 且
|2|,x =+即
24(1)(1).y x x =+≥-
①
另一种情况，见图2（即点M 和A 位于直线OP 的同侧）。
MQ 为线段OP 的垂直平分线，
.MPQ MOQ ∴∠=∠
又,.MPQ AOP MOQ AOP ∠=∠∴∠=∠ 因此M 在x 轴上，此时，记M 的坐标为(,0).x
为分析(,0)M x x 中的变化范围，设(2,)P a -为l 上任意点().a R ∈
由||||MO MP =
（即||x =
2
11 1.4
x a =--
≤- 故(,0)M x 的轨迹方程为
0,1y x =≤-
②
综合①和②得，点M 轨迹E 的方程为
24(1),1,
0, 1.x x y x +≥-?=?
<-?
（2）由（1）知，轨迹E 的方程由下面E 1和E 2两部分组成（见图3）：
21:4(1)(1)E y x x =+≥-；
2:0, 1.E y x =<-
当1H E ∈时，过Ｔ作垂直于l 的直线，垂足为T '，交E 1于3,14D ??
-- ???
。 再过H 作垂直于l 的直线，交.l H '于 因此，||||HO HH '=（抛物线的性质）。
||||||||||3HO HT HH HT TT ''∴+=+≥=（该等号仅当H T ''与重合（或H 与D 重合）时取
得）。
当2H E ∈时，则||||||||1 3.HO HT BO BT +>+>+>
综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H 的坐标为3,1.4??
-
- ???
（3）由图3知，直线1l 的斜率k 不可能为零。
设1:1(1)(0).l y k x k +=-≠
故11(1)1,x y E k =
++代入的方程得：24480.y y k k ??
--+= ???
因判别式2
21644482280.k k k ????
?=++=++> ? ?????
所以1l 与E 中的E 1有且仅有两个不同的交点。
又由E 2和1l 的方程可知，若1l 与E 2有交点，
则此交点的坐标为12111,0, 1.0,2k k k l E k k ++??
<--<<
???
且即当时与有唯一交点
1,0k k +??
???
，从而1l 表三个不同的交点。
因此，直线1l k 斜率的取值范围是1
(,](0,).2
-∞-?+∞ 11、（湖南文）22．（本小题13分） 设函数1
()ln ().f x x a x a R x
=-
-∈ (I)讨论()f x 的单调性；
（II ）若()f x 有两个极值点12x x 和，记过点1122(,()),(,())A x f x B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2?k a =-若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由． 解析：（I ）()f x 的定义域为(0,).+∞
222
11'()1a x ax f x x x x
-+=+-= 令2
()1,g x x ax =-+其判别式2
4.a =-
(1) 当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥ 时故()(0,)f x +∞在上单调递增．
(2) 当2a <- 时,
>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故()(0,)f x +∞在上单
调递增．
(3) 当2a > 时,>0,g(x)=0
的两根为12x x ==
， 当10x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时， '()0f x <；当2x x >时， '()0f x >，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减． （II ）由（I ）知，2a >． 因为12
12121212
()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+
--，所以 121
2121212
()()ln ln 1
1f x f x x x k a x x x x x x --=
=+--- 又由(I)知，121x x =．于是12
12
ln ln 2x x k a x x -=--
若存在a ，使得2.k a =-则
12
12
ln ln 1x x x x -=-．即1212ln ln x x x x -=-．亦即
2222
1
2ln 0(1)(*)x x x x -
-=> 再由（I ）知，函数1()2ln h t t t t
=--在(0,)+∞上单调递增，而21x >，所以
22211
2ln 12ln10.1
x x x -
->--=这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得2.k a =- 12、（江西文）21.(本小题满分14分）
（1）已知两个等比数列{}{}n n b a ,，满足()3,2,1,03322111=-=-=->=a b a b a b a a a ， 若数列{}n a 唯一，求a 的值；
（2）是否存在两个等比数列{}{}n n b a ,，使得44332211,,,a b a b a b a b ----成公差?
不为0
的等差数列？若存在，求 {}{}n n b a , 的通项公式；若?
不存在，说明理由．
解：（1）{}n a 要唯一，∴当公比01≠q 时，由332213,2,21a b a b a b +=+==+=且
?=312
2b b b ()()()
013431212
12
12
1=-+-?++=+a aq aq aq a aq ，
0>a ，0134121=-+-∴a aq aq 最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）
()()()014013442
≥+?≥--∴a a a a a ，此时满足条件的a 有无数多个，不符合。
∴当公比01=q 时，等比数列{}n a 首项为a ，其余各项均为常数0，唯一，此时由
()()()01343121212121=-+-?++=+a aq aq aq a aq ，可推得3
1,013==-a a 符合
综上：3
1=
a 。 （2）假设存在这样的等比数列{}{}21q q ,,，公比分别为n n
b a ，则由等差数列的性质可得：
()()()()44113322a b a b a b a b -+-=-+-，整理得：()()()()11131231--=--q a a q b b
要使该式成立，则12-q =101211==?=-q q q 或03131====a a b b 此时数列22a b -，
33a b -公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列{}{}n n b a ,。
13、（辽宁文）21．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．
（I ）设1
2
e =
，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．
21．解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设
22222
122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a
+=+=>>
设直线:(||)l x t
t a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得
((A t B t ………………4分
当1,,,22
A B e b y y =
=时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4
B A y b B
C A
D y a === ………………6分
（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，
即
a b t t a
=-
[数学]数学高考压轴题大全
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
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1．已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(2 2 =++y x 内切． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ； （3）在10< 3．已知点A （－1，0)，B （1,0)，C （－ 5712,0)，D （5712 ,0)，动点P （x , y )满足AP →·BP → ＝0，动点Q （x , y )满足|QC →|+|QD →|＝10 3 ⑴求动点P 的轨迹方程C 0和动点Q 的轨迹方程C 1； ⑵是否存在与曲线C 0外切且与曲线C 1内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由； ⑶固定曲线C 0，在⑵的基础上提出一个一般性问题，使⑵成为⑶的特例，探究能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由。 4．已知函数f (x )＝m x 2＋(m －3）x ＋1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧， ⑴求实数m 的取值范围； ⑵令t ＝－m ＋2，求[1 t ]；(其中[t ]表示不超过t 的最大整数，例如：[1]＝1， [2．5]＝2， [－2．5]＝－3) ⑶对⑵中的t ，求函数g (t )＝t ＋1t [t ][1t ]+[t ]+[1t ]+1的值域。高考数学压轴题专题训练20道