课题1:两角和与差公式的应用
一、【学习目标】
1、熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式;
2、利用公式进行三角函数式的化简和求值。 二、两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
(1)cos()αβ-= ;(2)cos()αβ+= ;
(3)sin()αβ+= ;(4)sin()αβ-= ;
(5)tan()αβ+= ;(6)tan()αβ-= ;
辅助角公式:sin cos )a x b x x ?+=+,其中
cos ??==
三、例1.求值:
(1)sin 75 (2)7cos 12
π
(3)tan105
(4)cos 20cos70sin 20sin 70- (5)sin119?sin181?-sin91?sin29?
(6)001cos152+ (700
例2. 已知A 、B 均为钝角且sin A B ==
,求(1))cos(B A +;(2)A+B.
例3. 已知
324π
βαπ<<<,12cos()13αβ-=,3
sin()5
αβ+=-.求sin 2α. 【同类变式】 1、求值:①
1tan151tan15+?
-?= ②sin 72cos 42cos72sin 42-=
③=o 15sin ④=0
15tan 。
2、已知βα、均为锐角,5
5
sin =α ,1010cos =β,求(1))sin(βα-;(2)βα-.
3、已知βα,?
?
? ??∈ππ,43,)sin(βα+=,53-,13124sin =??? ??
-πβ求cos ??? ??+4πα
4、若tan(α+β)=25,tan(β-π4)=14,求tan(α+π
4)的值。
【巩固提高】 1、已知0<α<π2<β<π,cos α=35,sin(α+β)=-3
5,则cos β的值为________.
2、已知sin α=55,sin(α-β)=-1010
,α、β均为锐角,则β等于________. 3、已知cos 3()45π
α-=,sin 512()413πβ+=-且β3(0,),(,)444
πππ
α∈∈,求sin(α+β).
4、已知α、β∈(,)22
ππ
-,且tan α,tan β是方程x 2的两个根,求α+β值。
5、已知函数()sin cos f x x x =+(1)求函数()f x 的周期、单调区间; (2)若[,]4
x π
π∈-
求函数()f x 的值域。
课题2:倍角公式与其他三角公式应用
一、【学习目标】
1、熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式以及一些公式的变形;
2、利用公式或变形形式进行三角函数式的化简和求值。 二、1、二倍角的正弦、余弦、正切公式: (1)sin 2α=
(2)cos 2α= = = (3)tan 2α= 2、公式的变形:
降幂公式:2
cos α= ,2
sin α= ,
=θθcos sin ,2tan α= 。
三、例1.求值:(1)
15cos 15sin (2)8sin 8cos 2
2
π
π
- (3)
5
.22tan 15.22tan 22-
(4)52sin cos 11212ππ
- (5) 12
cos 24cos 48cos 48sin 8ππππ
例2. 已知4
sin 5
θ=,并且θ在第二象限,求θ2sin 、θ2cos 、θ2tan 的值。
例3.已知函数2
1
()(2cos 1)sin 2cos 42
f x x x x =-+,(1)求()f x 的最小正周期及最大值; (2)若(0,),4
x π
∈求函数()f x 的值域。
【同类变式】1、求值(1)2
sin 2
cos 4
4α
α
- (2)
α
αtan 11
tan 11+--
(3)θθ2cos cos 212
-+ (4)35cos
cos
cos
cos 12
8
812
π
π
ππ
2、若已知23πθπ<<,且4
3
tan =θ,求θ2sin 、θ2cos 、θ2tan 的值。
3、已知函数2()cos sin cos f x x x x =+(1)求()f x 的最小正周期及最小值; (2) 若(,),42ππ
α∈
且3()8f πα+=,求cos α的值。
【巩固提高】
1、若270°<α<360°,则α2cos 2
1
212121++= 2、已知2
sin cos 3
x x +=
,则sin 2x =________. 3、化简:(1)2+2cos8+21-sin8 (2)2cos 22cot()cos ()
44
x
x x ππ
+-
4、已知α为锐角,且2
1
tan =α,求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值.
5、已知10,sin cos 2
5
x x x π
-
<<+=
. (1)求sin cos x x -的值.
(2)求
22
3sin 2sin cos cos 2222tan cot x x x x x x
-++的值.
课题3:倍角公式与其他三角公式应用(二)
一、【学习目标】
利用公式或变形形式进行三角函数式的化简和求值。 二、公式的变形:
(1)tan tan αβ±=
(2)降幂公式:2
cos α= ,2
sin α= ,
=θθcos sin ,2tan α= 。
例1. 求函数22sin cos 2sin 1y x x x =-+的最值、周期和单调区间。
【同类变式】
1、求x x x y cos sin cos 32+= 的最值、周期和单调区间。
2、已知3sin ,1)4x m =
(,2,cos )44
x x
n =(cos ,求()f x m n =?的最值和周期。
【巩固提高】
1、已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ
=-+-+, (1)求函数()f x 的最小值; (2)求函数()f x 的零点;
(3)求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域。
2、已知函数2
()sin cos 2
f x x x x ωωω=?+-
(0)ω>的最小正周期为2π。
(1)求()f x 的表达式;
(2)将函数()f x 的图像向右平移
8
π
个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图像,若关于x 的方程()0g x k +=在区间
[0,]2
π
上有解,求实数k 的取值范围。
课题4:三角恒等变换(一)
【学习目标】
一、会利用和、差、倍、半角公式解决比较复杂的求值和化简问题。 二、1、半角公式:sin 2
α
= ;cos
2
α
= ;
tan
2
α
= = = 。
2、倍角公式与其他三角公式应用时的基本思路:
(1)“化异为同”“切化弦” “1的代换”是三角恒等变换的常用技巧。“化异为同”是指“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”。
(2)角的变换是三角变换的核心,如()βαβα=+-,2()()ααβαβ=++-,
2()()βαβαβ=+--,22
α
α=?
例1. 已知:0<α<π2<β<π,cos(β-π4)=13,sin(α+β)=4
5
.
(1)求sin2β的值;(2)求cos(α+π
4)的值.
例2. 求值:
42212cos 2cos 22tan()sin ()
44
x x x x ππ-+
-+
例3. 求值: (1)
1cos 20sin10(cot 5tan 5)2sin 20+?
-??-??
(2)已知
sin 11cos 2αα=+,求sin cos αα+
【同类变式】
1、已知0,
22ππ
αβπ<<
<<,且15tan
,sin()2213
α
αβ=+=,
(1)求cos α和cos β的值.(2)求tan 2
αβ
-的值.
2、设3177cos(),45124x x π
ππ+=<<
,求2
sin 22sin 1tan x x x
+-值
3、求值:
课题5:三角恒等变换(二)
【学习目标】
一、利用和、差、倍、半角公式解决三角恒等变换的综合问题
二、1.三角恒等变换与三角函数性质的综合:三角函数的周期性、单调性、最值;
2.三角恒等变换与向量的综合:向量的模、向量共线、垂直;
三、例1、已知函数f (x )=-2sin ?
???2x +π
4+6sin x cos x -2cos 2x +1,x ∈R . ①求f (x )的最小正周期;
②求f (x )在区间???
?0,π
2上的最大值和最小值.
例2、设向量a =(3sin x ,sin x ),b =(cos x ,sin x ),x ∈????0,π2. ①若|a |=|b |,求x 的值;
②设函数f (x )=a ·b ,求f (x )的最大值.
【同步训练】
1、已知函数f (x )=(2cos 2x -1)sin 2x +1
2
cos 4x .
(1)求f (x )的最小正周期及最大值;
(2)若α∈????π2,π,且f (α)=2
2,求α的值.
2、已知函数f (x )=sin(ωx +φ),其中ω>0,|φ|<π
2
,若a =(1,1),b =(cos φ,-sin φ),且
a ⊥
b ,又知函数f (x )的最小正周期为π. (1)求f (x )的解析式;
(2)若将f (x )的图象向右平移π
6
个单位长度得到g (x )的图象,求g (x )的单调增区间.
3、设函数2
()2sin cos cos sin sin 2
f x x x x ?
?=+- (0)?π<<在x π=处取最小值。
(1)求?的值;(2) 在△ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别是a,b,c ,已知
1,,()a b f A =C
【巩固提升】
1、若1
cos cos sin sin 3
x y x y +=
,则()cos 22x y -=________. 2、设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______.
3、设f(x)=错误!未找到引用源。sin3x+cos3x,若对任意实数x 都有|f(x)|≤a,则实数a
的取值范围是____ .
4、设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=
->,且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为
4
π
,
(Ⅰ)求ω的值(Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2
π
π上的最大值和最小值。
课题6 三角恒等变换复习 知识点复习
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴()cos αβ-= ;⑵()cos αβ+= ;
⑶()sin αβ-= ;⑷()sin αβ+= ; ⑸
()tan αβ-=
?
tan tan αβ-= ;
()tan αβ+=
?tan tan αβ+= .
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴sin 2α= 1sin 2α?±= 。
⑵cos 2α= = = 。
?降幂公式2
c o s
α= ,2sin α= ,αα=sin cos .
⑶tan 2α= .
3、辅助角公式:sin cos a b θθ±= (其中
0,0,a b >> )
4、三角变换中对角的变形如:①α2是α的二倍;α4是α2的二倍;α是2α的二倍;2
α
是
4
α
的二倍; ②
2
304560304515o
o
o
o
o
o
=
-=-=;③
β
βαα-+=)(;
④
)4
(
2
4
απ
π
απ
--=
+;⑤)4
(
)4
(
)()(2απ
απ
βαβαα--+=-++=。
分类训练
知识点1:两角和差的余弦、正弦
1.cos 15= ;sin 105= 。
2
sin70cos25cos65sin 20
-= ;
cos82.5cos52.5cos7.5cos37.5+= 。
3.cos()αβ+=
13,cos()αβ-=1
5
,则tan tan αβ?= 。 4.已知,αβ为锐角,sin
αβ==
1)cos()αβ-(2)αβ-
知识点2:拆角与凑角 1.已知3cos(),0,,6
53π
παα??
+=
∈ ???
求sin α. 2.已知3123,cos(),sin()2
4135
π
πβααβαβ<<<
-=+=-,求cos 2β.
3.求值:(1)2cos 5sin 25cos 25
-; (2)sin 9cos15sin 6
cos9sin 15sin 6+-.
知识点3:两角和差的正切 1.
tan 42tan 181tan 42tan 18+-= ;cos15sin 15
cos15sin 15
-+= 。
2.(1)tan 20tan 403tan 20tan 40++= ; (2)tan 20tan 10tan 20tan 10k k ++=,则k = ; (3)若,(1tan )(1tan )4
π
αβαβ+=
++= 。
3.已知11
tan(),tan ,27
αββ-==-求tan α.
4.已知tan ,tan()4
π
θθ-是方程260x px ++=的两根,求p 值
知识点4:二倍角 1.4
4
cos
sin 12
12
π
π
-= ,2cos
cos
5
5
π
π
= . 2.43sin ,52παπα=-
<<,则cos 2α= ,tan 2α= . 3.43
sin ,cos 2525
αα==-,则α所在象限 .
4.化简:= . 5.已知1
sin cos ,05
αααπ+=-
<<, 求:(1)sin 2α (2)cos 2α (3)tan 4α
知识点5:升、降幂公式 1.化简
1sin 4cos 41sin 4cos 4αα
αα
+-++= .
2.3,22παπ??
∈
???
= . 3.2cos y x =的单调递增区间是 .
知识点6:4
π
α±与二倍角
1.1
sin(
),sin 243π
αα-=
= .
2.1
sin()sin(),cos 2442
ππααα-+== .
3.化简c o s c o s 44y x x ππ????
=+-
? ?????
= ,其单调递减区间为 .
知识点7:辅助角公式
1.合一变形:sin cos x x += ,
cos x x += ,
sin x x = ,sin 2cos x x -= .
2.cos2y x x +增区间是 .
3.化简(1)1sin 10 (2)cos10(3tan201)-.
知识点8:三角函数综合
1.cos24sin 3y x x =-+的最大值为 ,cos24cos 3y x x =-+最小值
为 . 2.已知函数2213
cos sin cos sin 22
y x x x x =
++. (1)求最小正周期; (2)求最大值及相应的x 的取值; (3)求单调增区间.
3.已知函数()cos cos()3
f x x x π
=?-.
(1)求2(
)3f π的值; (2) 求对称轴和对称中心; (3) 求使1
()4
f x <成立的x 的取值集合.
三 角 函 数 考点1:三角函数的有关概念; 考点2:三角恒等变换;(两角和、差公式,倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式) 考点3:正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质;(定义域、值域、最值;单调区间、最小正周 期、对称轴对称中心) 考点4:函数y =Asin()0,0)(>>+???A x 的图象与性质;(定义域、值域、最值;单调区间、最小 正周期、对称轴对称中心、图像的变换) 一、三角函数求值问题 1. 三角函数的有关概念 例1. 若角θ的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠,则sin θ= . 练习1.已知角α的终边上一点的坐标为(3 2cos ,32sin π π),则角α的最小正值为( ) A 、65π B 、32π C 、35π D 、6 11π 2、公式法: 例2.设(0,)2πα∈,若3 sin 5α=)4 πα+=( ) A. 75 B. 15 C. 75- D. 15 - 练习1.若πtan 34α??-= ??? ,则cot α等于( ) A.2- B.12 - C.12 D.2 2.α是第四象限角,5 tan 12 α=-,则sin α=( ) A .15 B .15- C .513 D .513 - 3. cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 。 4.已知1sin cos 5θθ+=,且324 θππ ≤≤,则cos2θ的值是 . 3.化简求值 例3.已知α为第二象限角,且sin α,求sin(/4)sin 2cos21 απαα+++的值 练习:1。已知sin α=,则44sin cos αα-的值为( ) A .15 - B .35 - C .15 D .35
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥CD , ∠ACB =90°, AB=10cm , BC=8cm , OD 垂直平分 A C .点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P 作 PE ⊥AB ,交 BC 于点 E ,过点 Q 作 QF ∥AC ,分别交 AD , OD 于点 F , G .连接 OP ,EG .设运动时间为 t ( s )(0<t <5) ,解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 E 在 BAC 的平分线上? (2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (4)连接 OE , OQ ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE ⊥OQ ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)4s t =;(2)PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ,(05)t <<;(3)5 2t =时, PEGO S 四边形取得最大值;(4)16 5 t = 时,OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 (1)当点E 在∠BAC 的平分线上时,因为EP ⊥AB ,EC ⊥AC ,可得PE=EC ,由此构建方程即可解决问题. (2)根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +(S △OPC +S △PCE -S △OEC )构建函数关系式即可. (3)利用二次函数的性质解决问题即可. (4)证明∠EOC=∠QOG ,可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ,推出EC GQ OC OG =,由此构建方程即可解决问题. 【详解】 (1)在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=10cm ,BC=8cm , ∴22108-=6(cm ), ∵OD 垂直平分线段AC , ∴OC=OA=3(cm ),∠DOC=90°, ∵CD ∥AB ,
创作编号:BG7531400019813488897SX 创作者: 别如克* 三角函数 一、选择题 1.已知 α 为第三象限角,则 2 α 所在的象限是( ). A .第一或第二象限 B .第二或第三象限 C .第一或第三象限 D .第二或第四象限 2.若sin θcos θ>0,则θ在( ). A .第一、二象限 B .第一、三象限 C .第一、四象限 D .第二、四象限 3.sin 3π4cos 6π5tan ??? ??3π4-=( ). A .- 4 3 3 B . 4 3 3 C .- 4 3 D . 4 3 4.已知tan θ+θtan 1 =2,则sin θ+cos θ等于( ). A .2 B .2 C .-2 D .±2 5.已知sin x +cos x =51 (0≤x <π),则tan x 的值等于( ). A .- 4 3 B .- 3 4 C . 4 3 D . 3 4 6.已知sin α >sin β,那么下列命题成立的是( ). A .若α,β 是第一象限角,则cos α >cos β B .若α,β 是第二象限角,则tan α >tan β C .若α,β 是第三象限角,则cos α >cos β D .若α,β 是第四象限角,则tan α >tan β
7.已知集合A ={α|α=2k π±3π2,k ∈Z },B ={β|β=4k π±3 π2,k ∈Z },C = {γ|γ=k π± 3 π 2,k ∈Z },则这三个集合之间的关系为( ). A .A ?B ?C B .B ?A ?C C .C ?A ?B D .B ?C ?A 8.已知cos (α+β)=1,sin α=31 ,则sin β 的值是( ). A .3 1 B .-3 1 C . 3 2 2 D .- 3 2 2 9.在(0,2π)内,使sin x >cos x 成立的x 取值范围为( ). A .??? ??2π ,4π∪??? ??4π5 ,π B .?? ? ??π ,4π C .?? ? ??4π5 ,4π D .??? ??π ,4π∪??? ? ?23π ,4π5 10.把函数y =sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2 1 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( ). A .y =sin ??? ? ? 3π - 2x ,x ∈R B .y =sin ?? ? ??6π + 2x ,x ∈R C .y =sin ??? ? ? 3π + 2x ,x ∈R D .y =sin ??? ? ? 32π + 2x ,x ∈R 二、填空题 11.函数f (x )=sin 2 x +3tan x 在区间??? ???3π4π ,上的最大值是 . 12.已知sin α= 552,2 π ≤α≤π,则tan α= . 13.若sin ??? ??α + 2π=53,则sin ?? ? ??α - 2π= . 14.若将函数y =tan ??? ? ? 4π + x ω(ω>0)的图象向右平移6π个单位长度后,与函数y =tan ??? ? ? 6π + x ω的图象重合,则ω的最小值为 . 15.已知函数f (x )=21(sin x +cos x )-2 1 |sin x -cos x |,则f (x )的值域是 . 16.关于函数f (x )=4sin ??? ? ? 3π + 2x ,x ∈R ,有下列命题:
三角函数 2018年6月 考纲要求: 基本初等函数Ⅱ(三角函数) 1.任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念. (2)了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 2.三角函数 (1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. (2)能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 π±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,能画出y =s i n x ,y =c o s x , y = t a n x 的图象,了解三角函数的周期性. (3)理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值、以及与x 轴的交点等),理解正切函数在,22ππ?? - ??? 内的单调性. (4)理解同角三角函数的基本关系式: sin 2x +cos 2x = 1, sin tan .cos x x x = (5)了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义;能画出sin()y A x ω?=+的图象,了解参数,,A ω?对函数图象变化的影响. (6)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 三角恒等变换 1.和与差的三角函数公式 (1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. (2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. (3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 2.简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). (十一)解三角形 1.正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 对于三角函数与三角恒等变换的考查: 1.涉及本专题的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算,同时也考查三角函数的图象与性质的应用等,解答题的考查则重点在于三角函数的图象与性质的应用. 2.从考查难度来看,本专题试题的难度相对不高,以三角计算及图象与性质的应用为主,高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等. 3.从考查热点来看,三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点,要能够熟练应用三角公式进行三角计算,能够结合正弦曲线、余弦曲线,利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合. 对于解三角形的考查: 1.涉及本专题的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式,考查三角形边、角、面积等的相关计算,同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合. 2.从考查难度来看,本专题试题的难度中等,主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用,高考中主要以三角形的方式来呈现,解决三角形中相关边、角的问题. 3.从考查热点来看,正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点,要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值,三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用. 考向一三角恒等变换 样题1 (2017年高考北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边, 它们的终边关于y轴对称.若 1 sin 3 α=,则cos() αβ -=___________. 【答案】 7 9 -
专题一 三角函数与解三角形 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式: 定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式 角的弧度数公式 r =α 角度与弧度的换算 ①rad 180 1π=? ② 弧长公式 扇形面积公式 2、任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 第一定义:设是任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则 第二定义:设 是任意角,它的终边上的任意一点 P(x,y),则 . 考点1 三角函数定义的应用 例1 .已知角α的终边在直线043=+y x 上,则=++αααtan 4cos 5sin 5 . 变式:(1)已知角α的终边过点)30sin 6,8(? --m P ,且5 4 cos - =α,则m 的值为 . (2)在直角坐标系中,O 是原点,A (3,1),将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点,则B 点坐标为__________. (3)4tan 3cos 2sin 的值( ) A .小于0 B .大于0 C .等于0 D .不存在 考点2 扇形弧长、面积公式的应用 例 2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为? 120,则扇形的弧长为 面积为 . 变式:已知在半径为10的圆O 中,弦AB 的长为10,则弦AB 所对的圆心角α的大小 为 ,α所在的扇形弧长 为 ,弧所在的弓形的面积S 为 .
二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1、1cos sin 2 2=+αα α αcos tan = 2、三角函数的诱导公式 例1.已知α是三角形的内角,且.5 cos sin =+αα (1)求αtan 的值; (2)把α α22sin cos 1 +用αtan 表示出来,并求其值. 变式:1、已知α是三角函数的内角,且3 1 tan -=α,求ααcos sin +的值. 2、已知.34tan -=α(1)求α αααcos 2sin 5cos 4sin +-的值;(2)求αααcos sin 2sin 2 +的值. 3.若cos α+2sin α=-5,则tan α=________.
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再
如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人:王震宇 张洪林 一、选择题(30分) 1、如果∠A 是锐角,且A cos A sin =,那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α,那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A 的正切值( ) A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,则sin A 的值等于( ) A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角,下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α,那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α,那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中,∠C =90°,53 sin = A ,则BC ∶AC 等于( ) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5: 9、 如果α是锐角,且5 4 sin = α,那么)90cos(α-?=( ) A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图,CD 是平面镜,光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,垂足分别为C 、D ,且AC =3,BD =6,CD =11,则tan α的值为( )
初中三角函数基础检测题 山岳 得分 (一)精心选一选(共36分) 1、在直角三角形中,各边都扩大2倍,则锐角A 的正弦值与余弦值都( ) A 、缩小2倍 B 、扩大2倍 C 、不变 D 、不能确定 2、在Rt △ABC 中,∠C=90 ,BC=4,sinA=5 4 ,则AC=( ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、若∠A 是锐角,且 sinA=31 ,则( ) A 、00<∠A<300 B 、300<∠A<450 C 、450<∠A<600 D 、600<∠A<900 4、若cosA=31,则A A A A tan 2sin 4tan sin 3+-=( ) A 、74 B 、31 C 、21 D 、0 5、在△ABC 中,∠A :∠B :∠C=1:1:2,则a :b :c=( ) A 、1:1:2 B 、1:1:2 C 、1:1:3 D 、1:1:22 6、在Rt △ABC 中,∠C=900,则下列式子成立的是( ) A 、sinA=sin B B 、sinA=cosB C 、tanA=tanB D 、cosA=tanB 7.已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,则下列各式中,正确的是( ) A .sinB=23 B .cosB=23 C .tanB=23 D .tanB=3 2 8.点(-sin60°,cos60°)关于y 轴对称的点的坐标是( )
A .(32,12) B .(-32,12) C .(-3 2,-12) D .(-12,-32) 9.每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们感受到了国旗的神圣.?某同学站在离旗杆12米远的地方,当国旗升起到旗杆顶时,他测得视线的仰角为30°,?若这位同学的目高1.6米,则旗杆的高度约为( ) A .6.9米 B .8.5米 C .10.3米 D .12.0米 10.王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地,再从B 地向正南方向走 200m 到C 地,此时王英同学离A 地 ( ) (A )350m (B )100 m (C )150m (D )3100m 11、如图1,在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30?, 向高楼前进60米到C 点,又测得仰角为45?,则该高楼的高度大约为( ) A.82米 B.163米 C.52米 D.70米 12、一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40o的方向行驶40海里到达B 地,再由B 地向北偏西10o的方向行驶40海里到达C 地,则A 、C 两地相距( ). (A )30海里 (B )40海里 (C )50海里 (D )60海里 (二)细心填一填(共33分) 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则sinB=_____. 2.在△ABC 中,若BC=2,AB=7,AC=3,则cosA=________. 3.在△ABC 中,AB= ,AC=2,∠B=30°,则∠BAC 的度数是______. 图1 45? 30? B A D C
三角函数复习专题 一、核心知识点归纳: ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ?? ≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时,max 1y =; 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时,min 1y =-. 当()2x k k π=∈Z 时, max 1y =; 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时,min 1y =-. 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22 2k k π πππ? ? - + ??? ? ()k ∈Z 上是增函数;在 32,222k k ππππ??++??? ? ()k ∈Z 上是减函数. 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数;在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数. 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数. 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ? ?+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 ★★2.正、余弦定理:在ABC ?中有: 函 数 性 质
①正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===(R 为ABC ?外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ? =?? ? =?? ? =?? 注意变形应用 ②面积公式:111 sin sin sin 222 ABC S abs C ac B bc A ?= == ③余弦定理: 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? ? 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 二、练习题 1、角α的终边过点 b b 则且(,5 3 cos ),4,--=α的值( ) A 、3 B 、-3 C 、3± D 、5 2、已知2π θπ<<,3 sin()25 πθ+=-,则tan(π-θ)的值为( ) A .34 B .43 C .34- D .4 3 - 3、2(sin cos )1y x x =--是 ( ) A .最小正周期为2π的偶函数 B .最小正周期为2π的奇函数 4、为得到函数πcos 3y x ? ?=+ ?? ?的图象,只需将函数sin y x =的图像( ) A .向左平移π 6个长度单位 B .向右平移 π 6 个长度单位 C .向左平移5π 6 个长度单位 D .向右平移 5π 6 个长度单位 5、()sin()(0,0,||)2 f x A x A ωφωφπ =+>>< 是( ) A. y = 2sin(x -4π) B. y = 2sin(x +4π) C. y = 2sin (2x -8π) D. y = 2sin (2x +8 π )