27.2 二次函数的图象与性质1(第2课时)
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26.2 二次函数的图象与性质1(第2课时)
学习目标：
1．知道二次函数的图象是一条抛物线； 2．会画二次函数y ＝ax 2的图象；
3．掌握二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用． 学习重点：掌握二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用．；学习难点：识图能力的培养
一、 知识回顾：
1、二次函数的定义：一般地，形如y= 叫做二次函数。
2、二次函数的解析式：（1）一般形式： ；（2）特殊形式
3、如果函数1222
)(--+=m m x m m y 是二次函数，那么m 的值是（ ） 4、将函数y=（-2+3x ）（5-x ）化成一般形式是 。 5、画函数图象的步骤：（1） ；（2） ；（3） 。
前面学过，一次函数12+=x y ，反比例函数x
y 3
=的图象分别
是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？它有什么特点？
二、实践与探索 三、探索新知：
画二次函数y ＝x 2的图象．
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x 、y 的对应值；②描点（表中x 、y 的数值在坐标平面中描点（x ，y ）；③连线（用平滑曲线）．】 列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2 … … 描点，并连线
由图象可得二次函数y ＝x 2的性质：
1．二次函数y ＝x 2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2．二次函数y ＝x 2中，二次函数a ＝_______，抛物线y ＝x 2的图象开口__________．
3．自变量x 的取值范围是____________．
4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y 值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
5．抛物线y ＝x 2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线y ＝x 2的_________． 因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________． 6．抛物线y ＝x 2有____________点（填“最高”或“最低”） ．
四、例题分析
例1 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝1
2 x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．
解：列表并填：
x … －4 －3 －2 －1
0 1 2 3 4
… y ＝12 x 2 …
…
y ＝x 2的图象刚画过，再把它画出来．
x … －2 －1.5 －1
－
0.5
0 0.5 1 1.5 2 …
y ＝2x 2 …
…
归纳：抛物线y ＝1
2
x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的二次项系数a_______0；顶点都是
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__________； 对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） 例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y ＝－x 2，y ＝－1
2
x 2， y ＝－2x 2的图象．
列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝
x 2 …
…
x
…
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y=－12
x 2 …
…
x … －4 －3 －2 －1
1 2 3 4 … y ＝－2x 2
… …
归纳：抛物线y ＝－x 2，y ＝－1
2 x 2， y ＝－2x 2的二次项系数a______0，顶点都
是________，对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”） ． 五、理一理
1．抛物线y ＝ax 2的性质
图象（草图） 开口 方向 顶点 对称
轴
有最高
或最低点
最值
a ＞0
当x ＝____时，y 有最_______值，是______． a ＜0
当x ＝____时，y 有最_______值，是______．
2．抛物线y ＝x 2与y ＝－x 2关于________对称，因此，抛物线y ＝ax 2与y ＝－ax 2
关于_______
对称，开口大小_______________．
3．当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________； 当a ＜0时，｜a ｜ 越大，抛物线的开口越_________；
因此，｜a ｜ 越大，抛物线的开口越________，反之，｜a ｜ 越小，抛物线的开口越________．
注意:在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．
例2．已知4
2)2(-++=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大． （1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．
试一试：已知函数42
)2(-++=m m x m y 是关于x 的二次函数。（1）求m 的值；（2）m 为何值时，图象有最高点？求出最高点的坐标；此时，当x 为何值时，y 随x 的增大而减小。
例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2．（1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．
分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内．
解 （1）由题意，得)0(16
1
2>=C C S ．列表
描点、连线，（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是 cm ．（3）根据图象得，当C cm 时，S ≥4 cm 2．
注意 ：（1）此图象原点处为空心点；（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ．（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．
三、课堂练习：
1、在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：（1）23x y =；（2）23
1
x y -=。
C 2 4 6 8 …
2
16
1C S =
…
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2、根据上题所画的函数图象填空：（1）抛物线23x y =的对称轴是 ，顶点
坐标是 ，当x 时，抛物线上的点都在x 轴的上方；（2）抛物线2
3
1
x y -=的开口向 ，除顶点外，抛物线上的点都在x 轴的 ，它的顶点是图象的最 点。
3．（1）函数232
x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；
（2）函数24
1
x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
4、设圆的半径为r ，面积为s ，s 是r 的函数。 （1）试写出s 关于r 的函数关系式；（2）画出这个函数的图象。
四、课堂小结：二次函数2ax y =的图象与性质： 1、二次函数2ax y =的主要特征：（1）)0(2≠=a ax y 是一条 ；（2）当0 a 时，画出图象 ；当0 a 时，画出图象 ；（3）当0 a 时，开口方向 ，顶点坐标 ，对称轴 ；当0 a 时，开口方向 ，顶点坐标 ，对称轴 ；（4）函数变化：0 a 当0 x 时y 随x 的增大而 ，当0 x 时y 随x 的增大而 ，当x=0时，=最小值y ；0 a 当0 x 时y 随x 的增大而 ，当0 x 时y 随x 的增大而 ，当x=0时，=最大值y 。
2、a 决定抛物线开口大小，a 越大，抛物线开口 。
五、作业：A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．（1）24x y -=；
（2）24
1
x y =
2．填空：（1）抛物线25x y -=，当x= 时，y 有最 值，是 ． （2）当m= 时，抛物线m
m
x m y --=2
)1(开口向下．（3）已知函数
1
222
)(--+=k k
x k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y 随x 的增大
而增大．
3．已知抛物线102
-+=k k kx y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大． （1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）．
4．已知抛物线2ax y =经过点（1，3），求当y=9时，x 的值．
5.已知点A （2，1y ），B （4，2y ）在二次函数23x y -=的图象上，则1y 2y . 6已知点A （－2，1y ），B （4，2y ）在二次函数)0(2>=a ax y 的图象上，则 1y 2y .
B 组5．底面是边长为x 的正方形，高为0．5cm 的长方体的体积为ycm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y ≥4．5 cm 3．
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6．二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．（1）求a 、b 的值； （2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小．
7、一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；
（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出⊿MON 的面积．
一元二次函数的图像和性质
§ 3.4一元二次函数的图象和性质 1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 １.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3．任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点 式:a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线a b x 2-=。 （2)最大（小）值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值，a b ac y 442 min -=，无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。 （３）当0>a ，函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数，在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0 二次函数的图象和性质 教学目标 1、知道二次函数的意义； 2、会用描点法画出二次函数的图象； 3、掌握二次函数的两种表达形式：一般式和顶点式. 会用配方法将一般式转化为顶点式； 4、能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置和最值； 5、会根据已知条件求出二次函数的解析式. 知识讲解 1、二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0)其特点是：解析式是自变量的整式表达式，自变量最高次数是二次，二次项系数必须不为零。当b＝c＝0时，就是一个特殊的二次函数y＝ax2(a≠0)，我们首先学习的就是这类最简单的二次函数，y＝ax2的图象是一条顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线.当a>0时抛物线开口向上，函数有最小值当x＝0时，最小值是0；当a<0时，抛物线的开口向下，函数有最大值当x＝0时，最大值是0。 2、二次函数的顶点式为y＝a(x－h)2＋k (a≠0)，顶点的坐标为(h，k)，对称轴为x＝h，当 a>0时，抛物线开口向上，此时，当x＝h时y有最小值为k；当a<0时，抛物线开口向下，此时当x＝h时y有最大值k.。 例题讲解 例3、根据下列条件，分别求二次函数的解析式： ⑴顶点为(2，3)，图象经过点(0，1) ⑵当x＝4时，函数有最小值－3，且图象经过点(1，0) ⑶对称轴为x＝2，图象经过(1，4)，(5，0) ⑷形状与y＝3x2相同，当x＝－1时，y有最大值2 巩固练习： 1．二次函数y=2x 2－4x+3通过配方化为顶点式为y=______． 2．将函数y=－2x 2 +8x －7，写成y=a （x －h ）2 +k 的形式为_______，其顶点坐标是______，对称轴是_______． 3．已知抛物线y=x 2－6x+5的部分图象如图1，则抛物线的对称轴为直线x=_______．?满足y<0的x 的取值范围是________，将抛物线y=x 2－6x+5向________平移______?个单位，可得到抛物线y=x 2 －6x+9． 4．老师给出一个二次函数,甲,乙,丙三位同学各指出这个函数的一个性质： 甲：函数的图像经过第一、二、四象限；乙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小． 丙：函数的图像与坐标轴．．． 只有两个交点． 已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数___________________． 5．不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的值恒大于0的条件是 ． 6．如图，如果抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，? 与y 轴交于C 点，且OB=OC= 12 OA ，那么b= _______________． 7．以下画抛物线y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的步骤，顺序正确的是（ ） ①利用函数的对称性列表；②确定抛物线的开口方向；③描点画图；?④将y=ax 2+bx+c 配方成y=a （x －h ）2+k 的形式 A ．③②①④ B ．④②①③ C ．②④①③ D ．③②④① 8．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2－3x+5，则有（ ） A ．b=3，c=7 B ．b=－9，c=－15 C ．b=3，c=3 D ．b=－9，c=21 9．抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图2，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a> 12 ；④b<1．其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④ 10．满足a<0，b>0，c=0的函数y=ax 2 +bx+c 的图象是图中的（ ） 第二章二次函数 1.二次函数所描述的关系 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对一次函数、反比例函数的相关知识如：各种变量、函数的一般形式、图像、增减性等知识有一定基础，相关应用也较常见，学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程，并可通过列表、解析式、图像了解变化过程，对各种函数的表达方法的特点有所了解，获得了探究学习新函数知识的基础；同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 本课的具体学习任务：本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题．让学生通过 分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。 教学目标 (一)知识与技能 1．探索并归纳二次函数的定义． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． (二)过程与方法 1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系． 2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题． (三)情感态度与价值观 1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． 3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识． 第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2 ，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质： 2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左 加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 二次函数图象性质及应用（讲义） ?课前预习 回顾一次函数、反比例函数与二次函数的相关知识，回答下列 问题： 1.对二次函数y =ax2 +bx +c 来说，a，b，c 符号与图象的关系： a 的符号决定了抛物线的开口方向，当时，开口向； 当时，开口向． c 是抛物线与交点的． b 的符号：与a ，根据可推 导．判断下面函数图象的a，b，c 符号： （1）已知抛物线y =ax2 +bx +c 经过原点和第一、二、三象限，那么（） A．a > 0，b > 0，c > 0 C．a < 0，b < 0，c > 0 B．a < 0，b < 0，c = 0 D．a > 0，b > 0，c = 0 （2）二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，给出下列结论：①abc＞0；②2a-b=0．其中正确的是． 2.函数y 值比大小，主要利用函数的增减性和数形结合．如点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y=kx+b 上，当k＞0，x1＜x2时，y1y2． 1 ?知识点睛 1.二次函数对称性：两点对称，则相等；纵坐标相等， 则两点；由(x1，y1)，(x2，y1)知，对称轴为直线．2.二次函数增减性：y 值比大小、取最值，常利用， 借助求解． 3.观察图象判断a，b，c 符号及组合： ①确定符号及信息； ②找特殊点的，获取等式或不等式； ③代入不等式，组合判断残缺式符号． ?精讲精练 1.若二次函数y=ax2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表： x -7 -6 -5 -4 -3 -2 y -27 -13 -3 3 5 3 A．5 B．-3 C．-13 D．-27 2.抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值 如下表： x …-2 -1 0 1 2 … y …0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号） ①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)； ②二次函数y =ax2 +bx +c 的最大值为6； ③抛物线的对称轴是直线x =1 ； 2 ④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大． 3.已知二次函数y =x2 - 2mx + 4m - 8 ．若x ≥2 时，函数值y 随 x 的增大而增大，则m 的取值范围是；若x≤1 时，函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是． 4.在二次函数y=-x2+2x+1 的图象中，若y 随x 的增大而增大， 则x 的取值范围是． 2 二次函数草图的画法： 1. 一般草图 1找准开口方向、对称轴、顶点坐标，画二次函数； 2根据各点与对称轴的距离描点（或结合函数间关系画图）．2. 坐标系下画草图时，往往要根 据四点一线来确定大致图 象．四点：二次函数顶点，二 次函数与y 轴的一个交点，二 次函数与x 轴的两个交点． 一线：二次函数对称轴． §2.2.2 二次函数的性质与图象（教案） 一、教学目标 1、知识目标 （1）使学生掌握研究二次函数的一般方法——配方法 （2）进一步掌握二次函数2(0) =++≠的性质及图象的画法。 y ax bx c a 2、能力目标 （1）培养学生的观察分析能力，引导学生学会用数形结合的方法研究问题； （2）培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。 3、情感目标 （1）通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲； （2）通过合作学习，培养学生团结协作的思想品质。 二、教学重点、难点 运用配方法研究二次函数的性质。 三、教学方法 采用“问题引导——合作探究”的教学方式，通过创设一个个问题情境，引导和激发学生对知识进行思考、探索，从而完成新知识的建构，用学案提高课堂效益，用多媒体辅助教学，以增强直观性。 四、教学过程 1、问题引入 问题1：二次函数的定义，二次函数的图象是一条抛物线。 2、研究函数2(0) y ax a =≠的性质 请同学们拿出预习时所做的8个二次函数图象，对照图象填写下表。 函数2 y ax =的性质 目的：由特殊到一般，同时为配方法打下基础。 3、配方法的引入 问题2：（1）函数2(1)(0)y a x a =-≠的图象可看作是函数2y ax =的图象怎样变换得到？平移后哪些性质将会发生改变？哪些性质没变？ （2）函数2(1)2(0)y a x a =-+≠的图象可看作是函数2y ax =的图象怎样变换得到？ 将2(1)2y a x =-+展开得2222y ax ax a =-++即二次函数的一般形式了。 因此要研究一般形式的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象及性质，我们可想法化为 2(1)y a x k =-+形式，那采用方法是： 配方法 4、实例演练 例1：（1）研究二次函数21()462 f x x x =++的性质和图象； （2）研究二次函数2()43f x x x =--+的性质和图象 先研究第一题 （1）配方：21()462 f x x x =++2211(8)6[(4)16]62 2 x x x =++=+-+ 21 (4)22 x =+- 图象开口方向向上，顶点（-4，-2） 龙文教育学科导学 教师:学生:年级：日期: 星期: 时段: 学情分析二次函数部分内容中考难度不大，所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。 课题二次函数的图像与性质 学习目标与考点分析学习目标：1、理解二次函数的概念；会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数； 2、熟练的画出各种抛物线的图像，根据解析式的变化判断图像的平移方法； 3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。 学习重点图像的平移；待定系数法求解析式 学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导 学习内容与过程 教学内容： 知识回顾 1.一般地，形如y=ax2 +bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，x 是自变量， a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项. 2.二次函数的解析式及其对称轴 （1）二次函数解析式的一般式（通式）：，它的顶点坐标为（，），对称轴为；（2）二次函数解析式的顶点式（通式）：，顶点坐标为（，）对称轴是；（3）二次函数解析式的交 点式：。此时抛物线的对称轴为。其中，（x 1,0）（x 2 ,0）是抛 物线与X轴的交点坐标。显然，与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的 3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质 4.二次函数的平移问题 5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a，b，c的符号与图像性质的关系： 6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系 二次函数的常规解法： 一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y＝ax2+bx+c(a≠0)求解。我们称y＝ax2+bx+c(a≠0)为一般式（三点式）。 例：二次函数图象经过A(1，3)、B(-1，5)、C(2，-1)三点，求此二次函数的解析式。 说明：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y＝ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。 二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y＝a（x＋m）2+k (a≠0)求解。我们称y ＝a（x＋m）2+k (a≠0)为顶点式（配方式）。 例：若二次函数图像的顶点坐标为（－2,3），且过点（－3,5）,求此二次函数的解析式。 说明：由于顶点式中要确定a、m、k的值，而已知顶点坐标即已知了－m、k的值。用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的，不妨让学生尝试一下加深印象。 三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)求解。我们称y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)为双根式（交点式）。 例：已知一个二次函数的图象经过点A（－1，0）、B（3，0）和C（0，－3）三点，求此二次函数的解析式。 说明：很多同学看到此例会想到使用一般式来解，将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标，而用双根式来求解就相对比较简单容易。 四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时，可选用 或 例：抛物线y＝2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4，求此二次函数的解析式。 说明：对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程，记住公式套进去就行了。注意相互之间不要混淆。 总之，要求一个二次函数的解析式，可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。当然，也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数，才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法，提高解题能力。 二次函数的概念 如果y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)，那么y叫做x的二次函数 注意：二次函数的表达形式为整式，且二次项系数不为0，b ，c可分别为0，也可同时为0 自变量的取值范围是全体实数 练习： 《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？ 学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个） 教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？ 学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！ 教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？ 学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾） 学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的） 学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏） 热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。 学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路） 教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？ 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？ 学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论） 教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？ 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质： 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ；开口向上；在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移。 （2）抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移；当0二次函数的图象和性质
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