理论力学课后答案第五章(周衍柏)
第五章思考题
5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？ 5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲?
5.3广义动量a p 和广义速度a q 是不是只相差一个乘数m ？为什么a p 比a q 更富有意义？ 5.4既然
a q T ??是广义动量，那么根据动量定理，???
?
????αq T
dt d 是否应等于广义力a θ？为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a
q T
??项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？
5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式()13.3.5得出式
()14.3.5？
5.6平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么22s 个常数只有2s 个是独立的？
5.7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？
5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？ 5.9 dL 和L d 有何区别？
a q L ??和a
q L
??有何区别？ 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？ 5.11哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？
5.12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？
5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号?能否这样？
5.14正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？
5.15哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤.
5.16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？
5.17在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故？
5.18分析力学学完后，请把本章中的方程和原理与牛顿运动定律相比较，并加以评价.
第五章思考题解答
5.1 答：作.用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功，而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的.即时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的.且与过程无关的
功，它与真实的功完全是两回事.从∑?=i
i i r F W
δδ可知：虚功与选用的坐标系无关，这
正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分.在虚功的计算中应注意：在任意虚过程中假定隔离保持不变，这是虚位移无限小性的结果.
虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的；另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性.由于虚功方程中不含约束反力.故不能求出约束反力，这是虚功原理的缺点.但利用虚功原理并不是不能求出约束反力，一般如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘数法，景观比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力.
5.2 答 因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力，故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系，αθ不含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动能，故αθ不含约束反作用力，最后，几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数，而几何约束限制力学体系的自由运动，使其自由度减小，这表明约束反作用力不对应有独立的广义坐标，故αθ不含约束反作用力.这里讨论的是完整系的拉格朗日方程，对受有几何约束的力学体系既非完整系，则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正.
广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标，它不一定是长度，可以是角度或其他物理量，如面积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然广义坐标不一定是长度的量纲.在完整约束下，广义坐标数等于力学体系的自由度数；广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以
是力也可以是力矩或其他物理量，如压强、场强等等，广义力还可以理解为；若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义坐标不变，则广义力的数值等于外力的功由
W q r F s i n i i δδθδααα==?∑∑==1
1
知，ααδθq 有功的量纲，据此关系已知其中一个量的量纲则可得到另一个量的量纲.若αq 是长度，则αθ一定是力，若αθ是力矩，则αq 一定是角度，若αq 是体积，则αθ一定是压强等.
5.3 答 αp 与αq 不一定只相差一个常数m ，这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐标的选用而定。直角坐标系中质点的运动动能)(2
1
222z y x m T ++=，若取y 为广义坐标，则y q y =，而y y q m y m y
t
p ==??=
，相差一常数m ，如定轴转动的刚体的动能221θ I T =
，取广义坐标θα=q ，而,θθ
θ I t
P =??=θp 与θq 相差一常数——转动惯量I ，又如极坐标系表示质点的运动动能)(2
1
222θ r r m T +=
，若取θα=q ，
θθ =q
，而θθ
θ 2mr t p =??=
，二者相差一变数2mr ；若取r q =α有r q r =，而r m r T p r =??=,二者相差一变数m .在自然坐标系中22
1s
m T =
，取
s q =α，有v s q s == ，而s m p s =，二者相差一变数m .从以上各例可看出：只有在广义坐标为长度的情况下，αp 与αq 才相差一常数;在广义坐标为角量的情形下，αp 与αq 相差为转动惯量的量纲.
αp 为何比αq
更富有物理意义呢？首先，αp 对应于动力学量，他建立了系统的状态函数T 、L 或H 与广义速度、广义坐标的联系，它的变化可直接反应系统状态的改变，而αq 是对应于运动学量，不可直接反应系统的动力学特征；再者，系统地拉格朗日函数L 中不含某一广义坐标i q 时，对应的广义动量=??=
i
i q L
p 常数，存在一循环积分，给解决问题带来方便，而此时循环坐标i q 对应的广义速度i q 并不一定是常数，如平方反比引力场中
()
r
m k r r m L 222221++=θ ，L 不含θ，故有==??=θθθ mr L p 常数,但θθ =q 常数；最后，由哈密顿正则方程知αp ,αq 是一组正则变量:哈密顿函数H 中不含某个广义坐标i q 时，对应的广义动量=i p 常数，不含某个广义动量i p 时，对应的广义坐标=i q 常数
5.4答只有对于完整系，广义坐标数等于自由度数，才能消去所有的约束方程，式（5.3.13）
01=??
???????? ??+??+??-∑=S
q Q q T
q T dt d αααααδ 各αδq 才能全部相互独立，得到式（5.3.14），故拉格朗日方程只适用于完整系，非完整力学体系，描述体系的运动需要的广义坐标多于自由度数，各αδq 不全部独立，不能得到（5.3.14）式，但（5.3.13）式结合拉格朗日方程未定乘数法可用于非完整系。
5.6 答 力学体系在平衡位置附近的动力学方程（5.4.4）得久期方程（本征值方程）（5.4.6）
式02=+αβαβλC a ，其中S 2,1,=βα，久期方程的各根（本征值）l λ的性质决定体系平衡位置附近的小振动性质。
因从本征方程（5.4.6）式中可求出S 2个的本征值l λ（S l 22,1 =），每一个l λ对应一个独立的常数故22S 个常数中只有S 2个是独立的。
5.7答多自由度体系的小振动，每一广义坐标对应于S 个主频率的谐振动的叠加。若通过坐标间线性变换使得每一广义坐标仅对应一个频率的振动，则变换后的坐标称之为简正坐标，对应的频率为简正频率，每一简正坐标对应一个简正频率，而简正频率数和力学体系的自由度数相等，故简正坐标数等于自由度数。
值得说的是，每一简正振动为整个力学体系所共有，反映的是各质点（整体）的振动之一，其他坐标都作为简正坐标的线性函数，由S 个简正振动叠加而成。这种方法在统计物理，固体物理中都有运用。
5.8答对一完整的稳定的力学体系在有阻尼的情况下，它们在平衡位置附近将作衰减运动。
引入耗散函数βαβααβq q b F S
∑==1
,21
则阻力
ββαβααq
b q F
R S
∑=-=??-=1
力学体系的运动方程改为
ααααq F q V q T q T
dt d ??-??-=??-???
? ???? 其中βαβααβq q a T S ∑==1,21，βαβααβq q C V S
∑==1
,21，F 中是的函数，把在平衡位形区域展开成
泰勒级数
()+????
????+=∑=r S r r
q q b b b 0
10αβ
αβαβ高级项
r q 很小，只保留头一项，则αβαβαβc b a ,,均为常数。F V T ,,代入运动方程得
()S q c q b q a S
2,1,01
==++∑=ββ
βαββαββαβ 把t e A q λββ=代入上式得本征值方程
S
S
c b a 2,12,10
2
===++βαλλαβ
αβαβ 在0>V ，VT F 42<的小阻尼情况下，本征值()S l i l l l 22,1 =+=γμλ，且0 ()()()(){ } ()S e i A e i A e q t i l l i l t i l l i l S l t l l l 2,11 =-++-=-=-∑βγμ?γμ? γβγβ μβ 显然是按指数率的衰减振动。 5.9答：因()()s t q q L L ,....2,1,,,==ααα ，故 ()dt t L q d p dq p dt t L q d q L dq q L dL s s ??++=??+???? ????+??=∑∑==11αααααααααα 由ααq L p ??= 解得 ()? ?? ? ??===s s t p q q q ,....2,1,.....2,1,,,βαββαα 所以 ()()()[]t t p q q q L t p q I ,,,,,,ββαααα = 则 dL dt t L q d q L dq q L dI s =??+???? ????+??=∑=1ααααα 而 αβαβαααq L q q q L q L q I s ??≠ ?????+??=??∑= 1 5.10答：拉格朗日方程只适用于完整系，哈密顿正则方程有保守系拉格朗日方程推出，故只能适用于完整的，保守的力学体系，对非保守体系（5.3.18）改写为 ()s Q q V q T q T dt d ...2,1,=+??-=??-??? ? ????ααααα 其中αQ 为非有势力，或写为 ()s Q q L q L dt d ....2,1,==??-??? ? ????αααα 即α ααq L Q p ??+= 。经勒让德变换后用课本上同样的方法可推得非保守系中的哈密顿正则方程 ()??? ??? ?=+??-=??=s Q q H p p H q ...2,1,,ααααα α 5.11答：若哈密顿函数不显含时间t ，则()常熟==ααp q H H ,；对稳定约束下的力学体系，动能不是速度的二次齐次函数，则V T H +=,是以哈密顿正则变量表示的广义总能量，因不稳定约束的约束范例可以做功，但拉格朗日方程中不含约束力，故有此差异，此时H 并不是真正的能量；对稳定的，保守的力学体系，若H 含t 则H 是能量但不为常熟。 5.12答：泊松括号是一种缩写符号，它表示已同一组正则变量为自变量的二函数之间的关系。若()()()s t q p t q p ...2,1,,,,,,===αψψ??αααα，则 []∑=??? ? ?? ????- ????=s q p p q 1,αααα αψ ?ψ?ψ? []H ,?是物理学中最常用的泊松括号，用泊松括号可表示力学体系的运动正则方程 [][]()s H q q H p p ...2,1,,,,===ααααα 用泊松括号的性质复杂微分运算问题化为简单的括号运算，这种表示法在量子力学，量子场论等课程中被广泛应用。 每一正则方程必对应一个运动积分，利用泊松括号从正则方程=积分 ()()21,,,,,C t q p C t q p ==ααααψ? 可以推出另外一个积分[]3,C =ψ?，这一关系称为泊松定理。 5.13 答：哈密顿原理是用变分的方法确定运动规律的，它是力学变分原理的积分形式。基本思想是在描述力学体系的S 维空间中，用变分求极值的方法，从许多条端点相同的曲线中挑选一条真是轨道确定体系的运动变化规律。 因为对等时变分0=t δ，故变分符号δ可置于积分号内也可置于积分号外，而不等时变分 0≠?t ，故全变分符号不能这样。 5.14答：力学体系的哈密顿函数H 中是否有循环坐标系或循环坐标的数目与坐标系（或参变数）的选取有关，故在正则方程形式不变的前提下，通过某种变数变换找到新的函数*H ，使之多出现一些循环坐标，此即正则变换的目的及公用。由于每一循环坐标对应一个运动积分，正则变换后可多得到一些运动积分，给解决问题带来方便，正则变换的关键是母函数的选取，其选取的原则是使*H 中多出现循环坐标，但并无一定的规律可循，要具体问题具体分析。 5.15答：哈密顿正则方程是s 2个一阶微分方程的方程组，用泊松定理解之，由而已知运动积分求出其余的运动积分往往是已知解的线性组合或横等时，并不能给出新的解；而用正则变换可多得到一些循环坐标是正则方程立即有解，但母函数的选取往往很困难，哈密顿—雅可毕理论的目的既是要弥补上述缺陷，通过一个特殊的正则变换，使得用新变量 ).....2,1(,,s Q P =ααα表示的哈密顿函数0*=H ，此时ααQ P ,全部为常数 )...2,1(,,s i i i =βα，这样哈密顿得主函数极为母函数，从而解决母函数难以寻找的困难。 5.16答：对（5.9.8）式若为不稳定约束，只需以h 代替E 即可，故对（5.9.8）式分离变量后推出的（5.9.12）中也只需以h 代E 即可用于不稳定约束。正则方程利用哈—雅理论后得到结果十分普遍，可同时得出运动规律，轨道级动量，故比拉格朗日方程优越。 5.17答：经典“牛顿力学”常用于几何的观点，运用形象化思维的方式，研究力学体系的受力情况及运动情况，然后通过运动非常及时物体的受力与运动变化间的相互联系和前因后果。这种方法形象，直观，物理意义鲜明，被广泛应用于工程实际。但由于它着眼于力，速度，加速度等矢量，给解决复杂的力学体系的运动问题带来许多不便；再者，它仅仅局限于纯力学体系的运动分析，其理论与方法难以建立与其它学科的联系。 5.18答：十九世纪发展起来的“分析力学‘方法弥补了上述缺陷，它用纯数学分析的方法用更具有概括性的抽象思维方式，从力学体系的一切可能的运动中挑选出实际运动的规律。这种方法尽管物理意义不如牛顿力学方法鲜明，但它给人们解决复杂力学体系的运动问题提供了有一方法；再者，由于广义坐标，广义力的引入使其理论在其它学科中也能广泛的应用。建立了经典物理学向近代物理学过渡的桥梁。 下面通过分析力学与牛顿力学理论及方法的比较扼要阐述分析力学的优越性。 牛顿力学的着眼点是力，实际力学体系除受到促使其运动状态改变的主动力，往往还存在很多限制其运动的约束条件体现这些约束的约束反作用力都要作为未知数出现于运动微分方程，使未知量增加给解算带来许多麻烦；分析力学着眼于功和能在一定条件下，常常可以不考虑约束反作用力。如在理想条件下，用虚位移原理解决力学体系的平衡问题可撇开众多的未知未知约束力，直接得出平衡条件，比用牛顿力学中刚体受力的平衡方程方便得多；达朗伯——虚位移原理解决力学体系的动力学问题，由于虚功的概念、广义坐标的引入，也可撇开约束力得解，比用牛顿方程即由此推出的动量定理，动量矩定理方便；拉格朗日方程、哈密顿原理即由此得到的分析力学一系列方程均具这一优点。从一分为二的观点来看，这也是分析力学的缺点——不能求出约束反作用力。当把待求的约束反力或做功的约束反力作为主动力来看，分析力学的理论修改后仍能应用。 牛顿力学用矢量的方法研究力学体系的运动，着眼于力、加速度、速度等矢量，而矢量具有方向性、相对性，在坐标变换中很费事，故牛顿力学的动力学方程都与参考系极坐标系的选取有关；分析力学用标量描述力学体系的运动及变化规律，着眼于功和能广义坐标和 广义速度等一系列标量，标量便于变换及叠加，标量形式的运动方程也是便于写出的，且由于广义坐标和广义力的引入，是指超出立宪的范围也能应用，给参变量的选用也带来了许多方便，提高了灵活性。如用拉格朗日方程，哈密顿原理或哈密顿正则方程推证极坐标系，球坐标系的质点运动方程，比用牛顿力学的方法简便，但分析力学不如牛顿力学方法直观物理意义也不如牛顿力学方法清晰。 牛顿力学的动量守恒定律动量矩守恒定律总是以牛顿第三定律为先决条件的；而分析力学中循环坐标对应的广义动量守恒原理并不以牛顿第三定律为先决条件，其先决条件是拉格朗日函数或哈密顿函数中不含某广义坐标。若拉格朗日函数中不含某广义坐标，则对应于拉格朗日动力学的广义动量守恒；若哈密顿函数中不含某广义坐标，则对应于哈密顿动力学的广义动量守恒。牛顿动力学的动量守恒定律，动量矩守恒定律都是广义动量守恒原理对应的某循环坐标下的特例。恩西力学的理论更具有概括性，广义动量守恒原理具有更普遍的意义。 牛顿力学研究力学问题也用到共和能的概念，但其功能关系动能定理，功能原理，机械能守恒定律等，只不过提供了力学体系运动的某一方面特征，它的注意力集中于实际实现，而在实际实现的运动中，功能关系只能给出一个独立的方程不能提供完全的解；分析力学则不然，它不只是注意实际实现的运动，而是以力学体系的一切可能存在的运动中挑选出真实的运动，故分析力学中的功能关系指的是一切可能出现的运动中的功能关系，比实际实现的运动中的功能关系要丰富的多，它可以给出一组与力学体系自由度数相等的运动方程，足以确定体系的运动。如用牛顿力学中的功能关系——机械能守恒定律研究抛体运动（不计空气阻力），只能给出一个独立的方程，不能提供完全的解；而用拉格朗日方程则可以给出与自由度数相等的两个独立的运动方程，足以解决其运动。 牛顿力学机械能守恒定律中的势能对应于所有的势力，包括主动力和约束反力，而分析力学中的拉格朗日函数或哈密顿函数中的势能只对应于广义力，广义力只包含主动力，故两种势能不同。再者，分析力学中哈密顿函数H的守恒原理，在非稳定的约束情况下 V T T H+ - = 2并非机械能，成为广义能量，只有在稳定的约束情况下V T H+ =才是机 械能。故牛顿力学的机械能守恒定律要求有势力，而哈密顿函数的守恒原理要求H不显含t 且为稳定约束，它们是从不同角度讨论机械能守恒的。分析力学的广义能量守恒比牛顿力学的机械能守恒有着更广泛的意义。 牛顿力学定律不便于与其它形式的运动建立直接的联系，分析力学着眼于能量，便于进一步考虑能量的量子化问题，为从经典力学向近代物理学及其它领域过渡提供了方便的“跳板”。如哈密顿——雅可比方程量子化得到的薛定谔方程，哈密顿正则方程量子化得到量子力学的海森堡方程，经典泊松括号考虑量子化效应得到量子力学的泊松括号；哈密顿原理推广到量子力学的变分原理等。再者，能量便于与其运动形式转化，由于广义坐标概念的引入使得一系列分析力学的方程都适用于非力学体系；另外，分析力学是在多维的非欧几得 空间中讨论问题的，故分析力学的理论及方法在物理学的各领域有广泛的应用，现代的场论都好似拉格朗日形成的，分析力学在物理学中有着重要的地位。 最后讨论一下哈密顿动力学与拉格朗日动力学的关系。在处理实际问题中哈密顿动力学不如拉格朗日动力学方便，拉格朗日动力学中从拉格朗日函数可直接写出力学体系的运动方程——拉格朗日方程；哈密顿动力学中则必须从拉格朗日函数转到哈密顿函数才可写出力学体系的运动方程——哈密顿正则方程，从哈密顿正则方程消去广义动量的结果其实不过是从另一途径达到拉格朗日方程，这样做的结果是绕了一个大圈子。 第五章习题 5.1 试用虚功原理解3.1题。 5.2 试用虚功原理解3.4题。 5.3 长度同为L的轻棒四根，光滑地联成一菱形ABCD。AB、AD两边支于同一水平线上相距为2a的两根钉上，BD间则用一轻绳联结，C点上系一重物W。设A点上的顶角为2a，试用虚功原理求绳中张力T。 第5.3题图 5.4 一质点的重量为W，被约束在竖直圆周 2 x—2y—2r= 0 上，并受一水平斥力2k x的作用，式中r圆的半径,k为常数。试用未定乘数法求质点的平衡位置及约束反作用力的量值。 5.5 在离心节速器中，质量为2 m的质点C沿着一竖直轴运动，而整个系统则以匀角速Ω 绕该轴转动。试写出此力学体系的拉氏函数。设连杆AB、BC、CD、DA等的质量均可不计。 D 1 5.5题图 5.6 试用拉格朗日方程解4.10题。 5.7 试用拉格朗日方程解本章补充例题5.3。 5.8 一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速ω转动。管中有一质量为m的质点。开始时，细管取水平方向，质点距转动轴的距离为a，质点相对于管的速度为 v， 试由拉格朗日方程求质点相对于管的运动规律。 5.9设质量为m的质点，受重力作用，被约束在半顶角为α的圆锥面内运动。试以r,θ为广义坐标，由拉格朗日方程求此质点的运动微分方程。 第5.9题图 5.10 试用拉格朗日方程解2.4题中的()a及()b。 5.11 试用拉格朗日方程求3.20题中的a及 a。 2 5.12 均质棒AB，质量为m，长为2a,其A端可在光滑水平导槽上运动。而棒本身又可 在竖直面内绕A 端摆动。如除重力作用外，B 端还受有一 水平的力F 的作用。试用拉割朗日方程求其运动微分方程。如摆动的角度很小，则又如何？ 答：() F a a x m =-+θθθθsin cos 2 ()[] θ θθθsin cos 2cos 22 mga Fa k a x a m -=++ 如θ很小，则 m F a x =+θ m F g a x 234=++θθ 式中x 为任一瞬时A 离定点O 的距离，θ为任一瞬时棒与竖直线间所成的角度，k 为绕质心的回转半径. 5.13行星齿轮机构如右图所示.曲柄OA 带动行星齿轮Ⅱ在固定齿轮Ⅰ上滚动.已知曲柄的质量为1 m ，且可认为是匀质杆.齿轮Ⅱ的质量为 2 m ，半径为r ，且可认为是匀质圆盘.至 于齿轮Ⅰ的半径则为R .今在曲柄上作用一不变的力矩M .如重力的作用可以忽略不计，试用拉格朗日方程研究此曲柄的运动. 第5.13题图 5.14质量为m 的圆柱体 S 放在质量为 的圆柱体P 上作相对滚动，而P 则放在粗糙平面上.已知两圆柱的轴都是水平的，且重心在同一竖直面内.开始时此系统是静止的.若以圆柱体 P 的重心的初始位置为固定坐标系的原点，则圆柱S 的重心在任一时刻的坐标为 ()() m m m c x +M +M +=2sin 3θ θ θ cos c y = 试用拉格朗日方程证明之.式中c 为两圆柱轴线间的距离，θ为两圆柱连心线与竖直向上的直线间的夹角. 5.15质量为M 、半径为a 的薄球壳，其外表面是完全粗糙的，内表面则完全光滑，放粗糙水平着上.在球壳内放一质量为m 、长为 2a αsin 的匀质棒.设此系统由静止开始运动，且在开始的瞬间棒在通过球心的竖直平面内，两端都与球壳相接触，并与水平线成β角.试用拉格朗日方程证明在以后的运动中，此棒与水平线的夹角θ满足关系 ()()[]θααα2 2 2 2 cos cos 9sin cos 335m m -++M 2 θ a ()()αβθcos cos cos 356-+M =m g 第5.15题图 5.16半径为r 的匀质小球，可在一具有水平轴、半径为R 的固定圆柱的内表面滚动.试求圆球平衡位置作微振动的方程及其周期. 5.17质点1M ，其质量为1m ，用 1l 的绳子系在固定点O 上.在质点1M 上，用长为2 l 的绳系另一质点2 M ，其 2m .以绳与竖直线所成的角度1θ与 2θ为广义坐标，求此 系统在竖直平面内作微振动的运动方程.如1m =2m =m ，1l =2l =l ，试再求出此系统的振动 周期. 2 第5.17题图 5.18在上题中，如双摆的上端不是系在固定点O 上，而是系在一个套在光滑水平杆上、质量为2m 的小环上，小环可沿水平杆滑动.如1m =2m =m ，1l =2l =l ，试求其运动方程及其 周期. 5.19质量分别为1m 、2m 的二原子分子、平衡时原子间的距离为a ，它们的相互作用力是准弹性的，取二原子的连线为x 轴，试求此分子的运动方程。 5.20 已知一带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数L （非相对论的）为 v A v A ?+-= ?+-=q q mv q q T L ??22 1 式中v 为粒子的速度，m 为粒子的质量， q 为粒子所带的电荷， ?为标量势，A 为矢量势。试由此写出它的哈密顿函数。 5.21 试写出自由质点在作匀速转动的坐标系中的哈密顿函数的表示式。 5.22 试写出§3.9中拉格朗日陀螺的哈密顿函数H ，并由此求出它的三个第一积分。5.23 试用哈密顿正则方程解4.10题。 5.24 半径为c 的匀质圆球，自半径为b 的固定圆球的顶端无初速地滚下，试由哈密顿正则方程求动球球心下降的切向加速度。 5.25 试求由质点组的动量矩J 的笛卡儿分量所组成的泊松括号。 5.26 试求由质点组的动量P 和动量矩J 的笛卡儿分量所组成的泊松括号。 5.27 如果?是坐标和动量的任意标量函数，即2 2p p r r c b a +?+=?， c b a ,,为 常数，试证[]z J ,?=0。 5.28 半径为a 的光滑圆形金属丝圈，以匀角速ω绕竖直直径转动，圈上套着一质量为m 的 小环。起始时，小环自圆圈的最高点无初速地沿着圆圈滑下。当环和圈中心的联线与竖直向上的直径成角θ时，用哈密顿原理求出小环的运动微分方程。 5.29 试用哈密顿原理解4.10题。 5.30 试用哈密顿原理求复摆作微振动时的周期。 5.31试用哈密顿原理解5.9题。 5.32 试证=Q ㏑,sin 1???? ??p q qctgp P =为一正则变换。 5.33 证：变换方程 ()()P k Q p P k Q q sin 2,cos 22 12 12 12 1 ==-代表一正则变换，并将正则方 程q H p p H q ??-=??=?? ,变为Q H P P H Q ??- =??=*?*?,式中()kQ H q k p H =*+=,21222 5.34 如果利用下列关系把系数p ，q 换为P ,Q : ()()Q P p Q P q ,,,21??== 则当 ()() 1,,=??P Q p q 时，这种变换是一正则变换，试证明之。 5.35 试利用正则变换，由正则方程求竖直上抛的物体的运动规律。已知本问题的母函数 ?? ? ??+=qQ gQ mg U 361，式中q 为确定物体位置的广义坐标，Q 为变换后新的广义坐标， g 为重力加速度。 5.36 试求质点在势场 3 2 r Fz r V - = α 中运动的主函数S ，式中α及F 为常数 5.37 试用哈密顿-雅科毕偏微分方程求抛射体在真空中运动的轨道方程。 5.38 如力学体系的势能V 及动能T 可用下列二函数表示： s s A A A V V V V ++++++= 2121 ()??? ? ??+++++=???22222112121s s s q B q B q B A A A T 式中()s B A V ,,2,1,, =αααα都只是一个参数αq 的函数，则此力学体系的运动问题可用积分法求解，试证明之。 5.39 试用哈-雅方程求行星绕太阳运动时的轨道方程。 5.40 试由()29.9.5及()30.9.5两式推证()31.9.5及()32.9.5两式。 5.41 试求质点在库仑场和均匀场 Fz R V -= α 的合成场中运动时的住函数S ，以抛物线坐标ξ，η，θ表 α及F 是常数，而 22z r R +=（参看图1.2.4） 。 5.42 刘维定理的另一表达式是相体积不变定理。这里又有两种不同的说法： （1）考虑相宇中任何一个区域。当这区域的边界依照正则方程运动时，区域的体积在运动中不变。 （2）相宇的体积元在正则变换下不变。试分别证明之。 第五章习题解答 5.1解 如题5.1.1图 题5.1.1图 杆受理想约束，在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆与水平方向夹角α所唯一确定。杆的自由度为1，由平衡条件： =δω0=∑i i r F δ 即 mg δ?y =0① 变换方程 y c =2rcos αsin α-αsin 2 l = rsin2ααsin 2l -② 故 =c y δδααα?? ? ? ? -cos 2 12cos 2l r ③ 代回①式即 0cos 21cos 2=?? ? ??-δαααl r 因δα在约束下是任意的，要使上式成立必须有： rcos2α-αcos 2 l =0 α αcos 2cos 4r l = ④ 又由于 cos α=r c 2 故 cos2α= 2 2 222r r c - 代回④式得 () c r c l 2224-= 5.2解 如题5.2.1图 5.2.1图 三球受理想约束，球的位置可以由α确定，自由度数为1，故。 ()αβsin sin 21r l r x +-=-= ()0 sin sin 232=+==x r l r x αβ ()()()β αα cos 2cos cos cos 321r a r l y r l y r l y -+=+=+= 得 ()()()δαδα δββ αδαδαδαδαδαδ?++-=+-=+-=sin 2sin sin sin 321r r l y r l y r l y 由虚功原理 1 =i 故 ()()()0 sin 2sin sin sin 0 332211=?++-+-+-=++δαδαδβ βαδααδααδαδδδr r l r l r l y P y P y P ① 因δα在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须 ()0sin 2sin 3=++-δα δβ β αr r l 故 ()α βδβδαsin 3sin 2r l r += ② 又由 ()αδαβδβδcos cos 21r l r x +-=-=得： ()α βδβδαcos cos 2r l r += ③ 由②③可得 αβtan 3tan = 5.3解 如题5.3.1图， 题5.31图 在相距2a 的两钉处约束反力垂直于虚位移，为理想约束。去掉绳代之以力T ，且视为主动力后采用虚功原理，α一确定便可确定ABCD 的位置。因此自由度数为1。选α为广义坐。 由虚功原理： 1 =i w 0=+-D D B B c x T x T y δδδ① 又 ααααcot cos 2,sin ,sin a l y l x l x c D B -==-= 取变分得 δαα αδαδδα αδαδαδ2 sin sin 2cos ;cos a l y l x l x c D B =-=?=-= 代入①式得： D T a l W +?? ? ??+-δαααδα2 sin sin 2()0cos cos =+δαααl l 化简得 0cos 2sin sin 22 =?? ????+??? ??+-δααααTl a l W ② 设 T T T D B == 因δα在约束条件下任意，欲使上式成立，须有： 0cos 2sin sin 22 =+??? ? ? +-αααTl a l W 由此得 ?? ? ??-=1csc 2tan 3ααl a W T 5.4解 自由度1=s ，质点位置为()y x ，。 由 1 1 =??+=??+∑∑==i k iy i k ix y f F x f F βββ βββ λλ① 由已知得 ,1=i ()0,222=-+=r y x y x f 故 02022=+=+y W x x k λλ② 约束方程 222r y x =+③ 联立②③可求得 ???????=±==r W r y x 20 λ 或 ???? ?????- ==-±=22 2 2 22k k W y k W r x λ 又由于 λ=R 2 2 ??? ? ????+??? ????=?y f x f f λ() r y x λλ2422=+= 故 W R r y x =±==0 或 r k R k W y k W r x 22 4 2 2 -==-±= 5.5解 如题5.5.1图 题5.5.1图 按题意仅重力作用，为保守系。因为已知Ω=ψ，故可认为自由度为1.选广义坐标q =θ，在球面坐标系中，质点的动 () 222222sin 2 1i i i i i i i i r r r m T ψθθ ++= ()D C B i ，，代表指标其中 由于 ,a r r D B == θθθ==D B 所以 () θθ222221sin 2 1a a m T T D B Ω+= = 又由于 0=c θ θcos 2a r c = 故 22222 2sin 2cos 221θθθ a m dt a d m T c =?? ? ??= () 2222 222221sin 2sin θθθθ a m a a m T T T T c D B +Ω+=++= 取Ox 为零势，体系势能为： ()θcos 221m m ga V +-= 故力学体系的拉氏函数为： () ()θ θθθθcos 2sin 2sin 21222222221m m ga a m a m V T L +++Ω+=-= 一、概念题 1．正方体仅受两个力偶作用，该两力偶矩矢等值、反向，即21M M =，但不共线，则正方体① 。 ①?平衡； ②?不平衡； ③?因条件不足，难以判断是否平衡。 2．将大小为100N 的力F 沿x 、y 方向分解，若F 在 x 轴上的投影为?N ，而沿x 方向的分力的大小为?N ， 则F 在y 轴上的投影为① 。 ①?0；②?50N ；③?；④?；⑤?100N 。 3．平面平行力系的五个力分别为F 1?=?10 N ，F 2?=?4 N ，F 3?=?8 N ，F 4?=?8 N 和F 5?=?10 N ，则该力系简化的最后结果为大小为40kN ·m ，转向为顺时针的力偶。 4．平面力系如图，已知F 1?=F 2?=?F 3?=?F 4?=F ，则： （1）力系合力的大小为F F 2R =； （2）力系合力作用线距O 点的距离为)12(2 -= a d ； （合力的方向和作用位置应在图中画出）。 5．置于铅垂面内的均质正方形簿板重P ?=?100kN ，与地面间的摩擦系数f ?=?，欲使簿板静止不动，则作用在点A 的力F 的最大值应为 。 6．刚体作平面运动，某瞬时平面图形的角速度为?，A 、B 是平面图形上任意两点，设AB ?=?l ，今取 CD 垂直AB ，则A 、B 两点的绝对速度在CD 轴上的投影的差值为 l ω 。 7．直角三角形板ABC，一边长b，以匀角速度??绕轴C转动，点M以s?=?v t自A沿AB边向B运动，其中v为常数。当点M 通过AB边的中点时，点M的相对加速度a r?=? 0；牵连加速度a e?=? bω2，科氏加速度a C?=? 2vω （方向均须由图表示）。 8．图示三棱柱ABD的A点置于光滑水平面上，初始位置AB边铅垂，无初速释放后，质心C的轨迹为B。 A．水平直线 B．铅垂直线 C．曲线1 D．曲线2 9．均质等边直角弯杆OAB的质量共为2?m，以角速 度ω绕O轴转动，则弯杆对O轴的动量矩的大小为 C。 A．L O?=?2 3 ml2ωB．L O ?=? 4 3 ml2ω C．L O?=?5 3 ml2ωD．L O ?=? 7 3 ml2ω 10．如图所示，质量分别为m、2m的小球M 1、M2，用长为l而重量不计的刚杆相连。现将M 1 置于光滑水平面上，且M1M2与水平面成60°角。如无初速释放、则当小球M2落地时，M1球移动的水平距离为向左移动l/3。 11．如图所示系统由匀质圆盘与匀质细杆铰连而成。 已知：圆盘半径为r、质量为M，杆长为l，质量为m。在 图示位置，杆的角速度为??、角加速度为??，圆盘的角速度、角加速度均为零。则系统惯性力系向定轴O简化后， 其主矩为。 班级姓名学号 第一章静力学公理与受力分析(1) 一．是非题 1、加减平衡力系公理不但适用于刚体，还适用于变形体。（） 2、作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点，该刚体必处于平衡状态。（） 3、刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型，在自然界中并不存在。（） 4、凡是受两个力作用的刚体都是二力构件。（） 5、力是滑移矢量，力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。（）二．选择题 1、在下述公理、法则、原理中，只适于刚体的有（） ①二力平衡公理②力的平行四边形法则 ③加减平衡力系公理④力的可传性原理⑤作用与反作用公理 三．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。整体受力图可在原图上画。 )a(球A )b(杆AB d(杆AB、CD、整体 )c(杆AB、CD、整体) f(杆AC、CD、整体 )e(杆AC、CB、整体) 四．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。多杆件的整体受力图可在原图上画。 )a(球A、球B、整体)b(杆BC、杆AC、整体 班级 姓名 学号 第一章 静力学公理与受力分析（2） 一．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑 接触。整体受力图可在原图上画。 W A D B C E Original Figure A D B C E W W F Ax F Ay F B FBD of the entire frame )a (杆AB 、BC 、整体 )b (杆AB 、BC 、轮E 、整体 )c (杆AB 、CD 、整体 )d (杆BC 带铰、杆AC 、整体 《理论力学基本教程》课程大纲第一部分：课程性质、课程目标与教学要求《理论力学基本教程》作为理论物理学的第一门课程，是高等师范院校物理 专业的一门基础理论课，因此把它设定为物理专业的本科专业必修课程。 《理论力学基本教程》的课程目标是：使学生系统地掌握理论力学的基本概念，基本规律及其中的物理思想和研究方法，具备分析问题和解决问题的能力，并为后继相关课程奠定基础；同时结合本课程特点，培养学生的辩证唯物主义世界观。 《理论力学基本教程》作为后续理论课程的基础课，并与高等数学密切相关，不仅要介绍物体的机械运动规律，还要引导学生如何应用数学去描写和分析物理问题；同时作为科学就必须使用严谨的方法去表达，去描写，去推演，去总结自然规律，因而我们重点放在培养学生正确理解和应用基本概念，基本方法上，在教学过程中注重贯彻少而精的原则，密切联系物理实际问题，注重培养分析问题和解决问题的能力。为此学习者必须先学习大学物理、线性代数、高等数学等课程，同时加强课后练习来帮助加深对该课程教学内容的理解。 第二部分：关于教材与学习参考书的建议 本课程拟采用科学出版社出版的、由管靖等人编写的《理论力学简明教程》作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书： 1、卢圣治主编：《理论力学基本教程》，北京师范大学出版社，2004年。 2、陈世民主编：《理论力学简明教程》，高等教育出版社，2001年。 3、周衍柏主编:《理论力学教程（第二版）》, 高等教育出版社出版,1986年。 4、金尚年等主编：《理论力学（第二版）》，高等教育出版社，2002年。 5、吴德明主编: 《理论力学基础》，北京大学出版社，1995年。 6、张宏宝主编: 《理论力学教程学习辅导书》，高等教育出版社，2004年。 7、H．戈德斯坦［美］著：《经典力学》（第二版），科学出版社，1996 年。 第三部分：教学内容与考试要求 绪论第一章质点运动学 §1.1质点运动的矢量描述与直角坐标描述 §1.2 质点运动的平面极坐标描述 §1.3质点运动的柱坐标描述 §1.4质点运动的球坐标描述 §1.5质点运动的自然坐标描述 本章要求： 1．掌握在直角坐标系、极坐标系、柱坐标、自然坐标系中描述质点运动的状态（位移、速度、加速度）和在球坐标系中质点速度表示式，并会推导质点的位移、速度、加速度在平面极坐标系、自然坐标系的分量式。（注意矢量要用 4-1 图示为一轧纸钳，其尺寸如图所示。工作时上、下钳口保持平行，设手握力为P ，求作用于纸片上的力Q 的大小。 解： 1）取整个轧纸钳为研究对象。 2）系统约束为理想约束。 3）主动力P 和Q 分别作用在B 点和A 点。 4）取A 点和B 点的无穷小真实位移为虚位移A y δ和B y δ。 5）建立虚位移和的关系。由几何关系得 ::A B y a y b δδ= 6）主动力的虚功为 0B A A P y Q y δδδ=-= 于是 B A y Pb Q P y a δδ== 4-2 图示机构的在C 处铰接，在D 点上作用水平力P ，已知AC =BC =EC =FC =DE =DF =l ，求保持 机构平衡的力Q 的值。 解：建立如图所示的坐标系，由几何关系得： θcos 2l y A =，θsin 3l x D = 由虚位移原理得： 0=+D A x P y Q δδ 所以： θPctg Q 2 3 = 4-4 反平行四边形机构ABCD 中的杆CD AB 、和BC 用铰链B 和C 互相连接，同时又用铰链A 和D 连在机架AD 上。在杆CD 的铰链C 处作用着水平力C F 。在铰链B 沿垂直于杆 AB 的方向作用有力B F ，机构在图示位置处于平衡。设AD BC =，AB CD =， ?=∠=∠90ADC ABC ，?=∠30DCB 。求B F 的大小。 解：根据题意，选三根杆组成的整体为研究对象，约束均为理想约束，主动力为B C F F 及。质系平衡，则由虚位移原理，有 0C C B B δδ+=F r F r g g 又由运动学知识， ）（3/cos /1)/()/(11πδδ==B C B C v v r r 其中11B B v r 及δ是沿CB 杆方向的分量。 联立上述两式可得， C B F F 2= 4-5 滑套D 套在光滑直杆AB 上，并带动CD 杆在铅垂滑道上滑动，如图所示。已知当0θ=o 时，弹簧等于原长，且弹簧系数为5kN/m 。若系统的自重不计，求在任意位置θ角平衡时，在AB 杆上应加多大力偶矩M 。 第一章静力学基础 一、是非题 1．力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （） 2．在理论力学中只研究力的外效应。（） 3．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。（）4．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。（）5．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。（） 6．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。（） 7．平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。 （）8．约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。（） 二、选择题 1．若作用在A点的两个大小不等的力 1和2，沿同一直线但方向相反。则 其合力可以表示为。 ①1－2； ②2－1； ③1＋2； 2．作用在一个刚体上的两个力A、B，满足A=－B的条件，则该二力可能是 。 ①作用力和反作用力或一对平衡的力；②一对平衡的力或一个力偶。 ③一对平衡的力或一个力和一个力偶；④作用力和反作用力或一个力偶。 3．三力平衡定理是。 ①共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点； ②共面三力若平衡，必汇交于一点； ③三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。 4．已知F 1、F 2、F 3、F4为作用于刚体上的平面共点力系，其力矢 关系如图所示为平行四边形，由此。 ①力系可合成为一个力偶； ②力系可合成为一个力； ③力系简化为一个力和一个力偶； ④力系的合力为零，力系平衡。 5．在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有。 ①二力平衡原理；②力的平行四边形法则； ③加减平衡力系原理；④力的可传性原理； ⑤作用与反作用定理。 三、填空题 理论力学部分 第一章 静力学基础 一、是非题 1．力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （ ） 2．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。 （ ） 3．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。 （ ） 4．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。 （ ） 5．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。 （ ） 6．约束反力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。 （ ） 二、选择题 线但方向相反。 1．若作用在A 点的两个大小不等的力1F 和2F ，沿同一直则其合力可以表示为 。 ① 1F －2F ； ② 2F －1F ； ③ 1F ＋2F ； 2．三力平衡定理是 。 ① 共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点； ② 共面三力若平衡，必汇交于一点； ③ 三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。 3．在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有 。 ① 二力平衡原理； ② 力的平行四边形法则； ③ 加减平衡力系原理； ④ 力的可传性原理； ⑤ 作用与反作用定理。 4．图示系统只受F 作用而平衡。欲使A 支座约束力的作用线与AB 成30?角，则斜面的倾角应为 ________。 ① 0?； ② 30?； ③ 45?； ④ 60?。 5．二力A F 、B F 作用在刚体上且 0=+B A F F ，则此刚体________。 ①一定平衡； ② 一定不平衡； ③ 平衡与否不能判断。 三、填空题 1．二力平衡和作用反作用定律中的两个力，都是等值、反向、共线的，所不同的是 。 2．已知力F 沿直线AB 作用，其中一个分力的作用与AB 成30°角，若欲使另一个分力的大小在所有分力中为最小，则此二分力间的夹角为 度。 3．作用在刚体上的两个力等效的条件是 [习题4-4] 一力系由四个力组成，如图4-17所示。已知F 1＝60Ｎ，F 2＝400Ｎ，F 3＝500Ｎ，F 4＝200Ｎ，试将该力系向Ａ点简化(图中长度单位为mm)。 解： 方向余弦: 4696.0877 .638300 cos == = ∑R x F F α 8553.0877 .63841 .546cos == = ∑R y F F β 2191.0877 .638140 cos -=-= =∑R z F F γ 主矢量计算表 主矩计算表 方向余弦: 6790.0831.162564 .110cos 0 -=-= = ∑M M x α 7370.0831.162120 cos 0 == = ∑M M y β 0831 .1620 cos 0 == = ∑M M z γ [习题4－6] 起重机如图4-19所示。已知AD ＝DB ＝１ｍ，CD ＝1.5ｍ，CM ＝１ｍ；机身与平衡锤E 共重kN W 1001=，重力作用线在平面LMN ，到机身轴线的距离为0.5ｍ；起重量kN W 302=。求当平面LMN 平行于AB 时，车轮对轨道的压力。 B N C N A N By R Bz R Bx R Ay R A T W D 解：因为起重机平衡，所以： 0)(=∑i AB F M 05.05.05.121=?+?+?-W W N C kN kN N C 3.43)(333.435.1/)5.0305.0100(≈=?+?= 0)(=∑i CD F M 045.01121=?-?+?-?W W N N A B 70=-A B N N (1) 0=∑iz F 021=--++W W N N N C B A 030100333.43=--++B A N N 667.86=+B A N N ………………(2) (1)+(2)得： 667.1562=A N kN kN N A 3.78)(334.78≈= kN kN N N A B 3.8)(333.8334.78667.86667.86≈=-=-= [习题4－11] 均质杆AB ，重W ，长l ，A 端靠在光滑墙面上并用一绳AC 系住，AC 平行于ｘ轴， B 端用球铰连于水平面上。求杆A 、B 两端所受的力。图中长度单位为m 。 解： 0=∑iz F 0=-W R Bz W R Bz = 0)(=∑i x F M 理论力学第一章习题答案 设开始计时的时刻速度为,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为. 则有: 由以上两式得 再由此式得 证明完毕. { { S S t t 题1.1.1图 0v a ()()??? ??? ? +-+=-=2 2121021102122 1t t a t t v s at t v s 1102 1 at t s v += () () 2121122t t t t t t s a +-= () 1第1.3题图 由题分析可知，点的坐标为 又由于在中，有 （正弦定理）所以 联立以上各式运用 由此可得 得 得 化简整理可得 此即为点的轨道方程. （2）要求点的速度，分别求导 y 题1.3.2图 C ? ? ?=+=ψψ ?sin cos cos a y a r x ?AOB ? ψsin 2sin a r = r y r a 2sin 2sin == ψ?1cos sin 22=+??r y a x r a x 2 2cos cos --= -=ψ?12422 222222=---++r y a x y a x r y 22222223y a x r a x y -=-++()() 2 222222234r a y x y a x -++=-C C ??? ? ?? ? =--=2cos sin cos 2cos sin ?ωψψ?ω?ωr y r r x 又因为 对两边分别求导 故有 所以 ①② 对①求导 ③ 对③求导 ④ 对②求导 ⑤ 对⑤求导 ⑥ 对于加速度，我们有如下关系见题1.7.1图 ? ω =ψ?sin 2sin a r =ψ ? ωψ cos 2cos a r = 22y x V +=4cos sin cos 2cos sin 2222 ? ωψψ?ω?ωr r r +??? ? ??--=()ψ?ψ??ψ ω ++= sin cos sin 4cos cos 22r ? ? ?==θθ sin cos r y r x θθθ sin cos r r x -=θθθθθθθcos sin sin 2cos 2 r r r r x ---=θθθcos sin r r y +=θθθθθθθsin cos cos 2sin 2 r r r r y -++= a 题1.7.1图 《理论力学》第四章作业参考答案 习题 4-1 解： 以棒料为研究对象，所受的力有重力P 、力偶M ，与V 型槽接触处的法向 约束力1N F 、2N F 和摩擦力1S F 、2S F ，且摩擦力的方向与棒料转动方向相反，如图所示。建立坐标系，列平衡方程： ?? ?? ???===∑∑∑0 )(00F M F F O y x ?? ???=-+=--=-+0 125.0125.00 45sin 0 45cos 210 12021M F F P F F P F F S S S N S N 临界条件下，补充方程： 11N S S F f F = 22N S S F f F = 联立以上各式得： 223.01=s f 491.42=s f （忽略） 答：棒料与V 型槽间的静摩擦因数223.0=s f 。 习题4-6 解法一： (1)取整体为研究对象，作用力有重力P 、提砖力F ，列平衡方程： 0=-P F 所以 )(120N F = (2)取砖块为研究对象，其受力情况如图所示：作用力有重力P 、法向约束 力NA F 、ND F 和摩擦力SA F 、SD F ，由于其滑动趋势向下，所以其摩擦力的方向向上。列平衡方程： ∑=0)(F M D 0250125=-SA F P 补充方程： NA S SA F f F ≤ 所以 )(60N F SA = )(160N F NA ≥ (3)取构件AGB 为研究对象，所受的力除提砖力F 外，还有砖块对其作用的 正压力NA F ' 、摩擦力SA F ' ， G 点的约束力G X F 、G Y F 。列平衡方程： ∑=0)(F M G 03095='-'+NA SA F b F F 其中NA F ' 与砖块所受的力NA F 、SA F ' 与砖块所受的力SA F 分别为作用力与反作用力关系，将各力的数值代入得 (b) 第2篇 工程运动学基础 第4章 运动分析基础 4－1 小环A 套在光滑的钢丝圈上运动，钢丝圈半径为R （如图所示）。已知小环的初速度为v 0，并且在运动过程中小环的速度和加速度成定角θ，且 0 ＜ θ ＜2 π，试确定小环 A 的运动规律。 解：R v a a 2 n sin ==θ，θ sin 2R v a = θ θtan cos d d 2t R v a t v a = ==，??=t v v t R v v 02d tan 1d 0θ t v R R v t s v 00tan tan d d -==θθ ??-=t s t t v R R v s 0000d tan tan d θθ t v R R R s 0tan tan ln tan -=θθθ 4－2 已知运动方程如下，试画出轨迹曲线、不同瞬时点的 1．?? ???-=-=225.1324t t y t t x ， 2．???==t y t x 2cos 2sin 3 解：1．由已知得 3x = 4y （1） ? ??-=-=t y t x 3344 t v 55-= ? ??-=-=34y x 5-=a 为匀减速直线运动，轨迹如图（a ），其v 、a 图像从略。 2．由已知，得 2arccos 21 3arcsin y x = 化简得轨迹方程：29 4 2x y -= （2） 轨迹如图（b ），其v 、a 图像从略。 4－3 点作圆周运动，孤坐标的原点在O 点，顺钟向为孤坐标的正方向，运动方程为 22 1 Rt s π=，式中s 以厘米计，t 以秒计。轨迹图形和直角坐标的关系如右图所示。当点第一次到达y 坐标值最大的位置时，求点的加速度在x 和y 轴上的投影。 解：Rt s v π== ，R v a π== t ，222 n Rt R v a π== y 坐标值最大的位置时：R Rt s 2 212ππ== ，12=∴t R a a x π==t ，R a y 2π-= A 习题4－1图 习题4－2图 习题4－3图 第一章 静力学公理与物体的受力分析 一、就是非判断题 1.1.1 在任何情况下,体内任意两点距离保持不变的物体称为刚体。 ( ∨ ) 1.1.2 物体在两个力作用下平衡的必要与充分条件就是这两个力大小相等、方向相反,沿同一直线。 ( × ) 1.1.3 加减平衡力系公理不但适用于刚体,而且也适用于变形体。 ( × ) 1.1.4 力的可传性只适用于刚体,不适用于变形体。 ( ∨ ) 1.1.5 两点受力的构件都就是二力杆。 ( × ) 1.1.6 只要作用于刚体上的三个力汇交于一点,该刚体一定平衡。 ( × ) 1.1.7 力的平行四边形法则只适用于刚体。 ( × ) 1.1.8 凡矢量都可以应用平行四边形法则合成。 ( ∨ ) 1.1.9 只要物体平衡,都能应用加减平衡力系公理。 ( × ) 1.1.10 凡就是平衡力系,它的作用效果都等于零。 ( × ) 1.1.11 合力总就是比分力大。 ( × ) 1.1.12 只要两个力大小相等,方向相同,则它们对物体的作用效果相同。 ( × ) 1.1.13 若物体相对于地面保持静止或匀速直线运动状态,则物体处于平衡。 ( ∨ ) 1.1.14 当软绳受两个等值反向的压力时,可以平衡。 ( × ) 1.1.15 静力学公理中,二力平衡公理与加减平衡力系公理适用于刚体。 ( ∨ ) 1.1.16 静力学公理中,作用力与反作用力公理与力的平行四边形公理适用于任何物体。 ( ∨ ) 1.1.17 凡就是两端用铰链连接的直杆都就是二力杆。 ( × ) 1.1.18 如图1、1所示三铰拱,受力F ,F 1作用,其中F 作用于铰C 的销子上,则AC 、BC 构件都不就是二力构件。 ( × ) 二、填空题 1.2.1 力对物体的作用效应一般分为 外 效应与 内 效应。 1.2.2 对非自由体的运动所预加的限制条件称为 约束 ;约束力的方向总就是与约束所能阻止的物体的运动趋势的方向 相反 ;约束力由 主动 力引起,且随 主动 力的改变而改变。 1.2.3 如图1、2所示三铰拱架中,若将作用于构件AC 上的力偶M 搬移到构件BC 上,则A 、 第一章 思考题 1.1 平均速度与瞬时速度有何不同？在什么情况下，它们一致？ 答：平均速度因所取时间间隔不同而不同，它只能对运动状态作一般描述，平均速度的方向只是在首末两端点连线的方向；而瞬时速度表示了运动的真实状况，它给出了质点在运动轨道上各点处速度的大小和方向（沿轨道切线方向）。只有在匀速直线运动中，质点的平均速度才与瞬时速度一致。 1.2 在极坐标系中，θθ&&r v r v r ==，为什么2θ&&&r r a r -=而非r &&？为什么 θθθ&&&&r r a 2+=而非θθθ&&&&r r a +=？你能说出r a 中的2θ&r -和θa 中另一个θ&&r 出现的原因和 它们的物理意义吗？ 答：在极坐标系中，径向速度和横向速度，不但有量值的变化，而且有方向的变化，单位矢量对时间的微商不再等于零，导致了上面几项的出现。实际上将质点的运动视为径向的直线运动以及以极点为中心的横向的圆周运动。因此径向加速度分量r a 中，除经 向直线运动的加速度r & &外，还有因横向速度的方向变化产生的加速度分量2θ&r -；横向加速度分量中除圆周运动的切向加速度分量θ&&r 外，还有沿横向的附加加速度θ&&r 2，其中的一半θ&&r 是由于径向运动受横向转动的影响而产生的，另一半θ&&r 是由于横向运动受径 向运动的影响而产生的。 1.3 在内禀方程中，n a 是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线的方向？当质点沿空间曲线运动时，副法线方向的加速度b a 等于零，而作用力在副法线方向的分量b F 一般不等于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢？ 答：由于自然坐标系是以轨道切线、主法线和副法线为坐标系，当质点沿着轨道曲线运动时，轨道的切线方向始终在密切平面内，由于速度方向的不断变化，产生了n a 沿 第四章 ^=_^= 习题4—1.用图示三脚架ABC 刖绞车E 从矿井中吊起重30kN 的30的重物，△ ABC 为 等边三角形，三脚架的三只脚及绳索 DE 均与水平面成60°角， 不记架重；求当重物被匀速吊起时各叫所受的力。 解：铰链D 为研究对象，坐标系如图示，受力分析为一空间汇交力系， O 为D 在 水平面上的投影。 平衡方程为: F 噩 ? cos^O'' -cosl20"十 F^t ? COS1205 - cos60 —备-cos 60° 十為-COS6C 0 = 0 工z = 0 弘=F 肋 -F 枢-cos30° -爲 ? cos30° 十 ■ cos30° + - cos 30° - G= Q 习题4 —2.重物M放在光滑的斜面上，用沿斜面的绳AM与BM拉住。已知物重W=1000N斜面的倾角a =60°，绳与铅垂面的夹角分别为B =30°和丫=60°。如 物体尺寸忽略不记，求重物对于斜面的压力和两绳的拉力。 解：重物M为研究对象，坐标系如图示，受力分析为一空间汇交力系，平衡方程为：丫* = 0 ^-G-cos30°^od200 =0 = 0 co^30° cod50°=0 ^Z = 0 JV-G cos60° =0 A JV = 500JV T A=750N T S= 4332V 习题4 —3.起重机装在三轮小车ABC上，机身重G=100kN重力作用线在平面LMNF 之内，至机身轴线MN的距离为；已知AD=DB=1mCD= CM=1m求当载重 P=30kN起重机的平面LMN平行于AB时，车轮对轨迹的压力。 I.* 4* /V介 解：起重机为研究对象，坐标系如图示，受力为一空间平行力系，平衡方程为: 乞2=0 N A + TV启十科匚一&一卩=0 ?（N A+N3）-MD = O 刀敝工=0 -N C =0 行走-珂总 DB-G Q.5m^ P■ 4m = 0 40 1-图[习题1-3] 计算图1-35中321,,F F F 三个力分别在z y x ,,轴上的投影。已知 kN F 21=，kN F 12=， kN F 33=。 解: )(2.16.025 3 11kN F F x -=?-=? -= )(6.18.0254 11kN F F y =?=?= 01=z F )(424.053 45sin 1cos sin 02222kN F F x =??==θγ )(566.05 4 45sin 1sin sin 02222kN F F y =??==θγ )(707.045cos 1cos 0222kN F F z =?==γ 03=x F 03=y F )(333kN F F z == [习题1-8] 试求图示的力F 对A 点之矩,，已知m r 2.01=， m r 5.02=，N F 300=。 解：010012030cos 60sin )30sin (60cos )(r F r r F F M A ?+--= )(152 32.023300)5.02.05.0(5.0300)(m N F M A ?-=??? +?-?-= 43 1-?图[习题1-11] 如图1-43所示，钢绳AB 中的张力kN F T 10=。写出该张力T F 对O 点的矩的矢量表达式。长度单位为m 。 解: 2)21()01(22=-+-=BC 2318)04()12()10(2 2 2==-+-+-=AB z y x F F F k j i F M 420 )(0→ → → = 式中, )(357.2212 3210cos cos kN F F T Tx =?? =?=θγ )(357.22 12 32 10sin cos kN F F T Ty -=? ? -=?-=θγ )(428.92 3410sin kN F F T Tz -=? -=-=γ 故428 .9357.2357.2420)(0--=→ → → k j i F M 357.2357.24428.9357.22---=→ →→→j i k i )(357.24)357.2428.9(2→ → → → --?---=j i k i → → → -+-=k j i 714.4428.9428.9 （)m kN ? [习题1-14(c)] 画杆AB 的受力图。 解： （1）确定研究对象 研究对象： 杆AB 。 （2）取分离体 把研究对象（即杆AB ）从物体系统中分离出来。也就是重新画杆AB 。 （3）画主动力 作用在梁AB 上的主动力有：P F 。 第四章 习题4－1.用图示三脚架ABCD和绞车E从矿井中吊起重30kN的30的重物，△ABC为等边三角形，三脚架的三只脚及绳索DE均与水平面成60o角，不记架重；求当重物被匀速吊起时各叫所受的力。 解：铰链D为研究对象，坐标系如图示，受力分析为一空间汇交力系，O为D在水平面上的投影。 平衡方程为： 习题4－2.重物M放在光滑的斜面上，用沿斜面的绳AM与BM拉住。已知物重W=1000N，斜面的倾角α=60o，绳与铅垂面的夹角分别为 β=30o和γ=60o。如物体尺寸忽略不记，求重物对于斜面的压力和两 绳的拉力。 解：重物M为研究对象，坐标系如图示，受力分析为一空间汇交力系，平衡方程为： 习题4－3.起重机装在三轮小车ABC上，机身重G=100kN，重力作用线在平面LMNF之内，至机身轴线MN的距离为；已知AD=DB=1m，CD=， CM=1m；求当载重P=30kN，起重机的平面LMN平行于AB时，车轮对轨 迹的压力。 解：起重机为研究对象，坐标系如图示，受力为一空间平行力系，平衡方程为： 习题4－4.水平轴上装有两个凸轮，凸轮上分别作用已知P力=800N和未知力F；如轴平衡，求力F和轴承反力。 解：取凸轮与轴为研究对象，坐标系如图示，受力分析为一空间任意力系，平衡方程为： 习题4－5.水平轴上装有两个带轮C和D，轮的半径r 1 =20cm， r 2=25cm，轮C的胶带是水平的，共拉力T 1 =2t 1 =5000N，轮D的胶带与 铅垂线成角α=30o，其拉力T 2=2t 2 ；不计轮、轴的重量，求在平衡情况 下拉力T 2和t 2 的大小及轴承反力。 第一章静力学公理和物体的受力分析 一、是非判断题 1.1.1 在任何情况下，体内任意两点距离保持不变的物体称为刚体。 ( ∨ ) 1.1.2 物体在两个力作用下平衡的必要与充分条件是这两个力大小相等、方向相反，沿同一直线。( × ) 1.1.3 加减平衡力系公理不但适用于刚体，而且也适用于变形体。 ( × ) 1.1.4 力的可传性只适用于刚体，不适用于变形体。 ( ∨ ) 1.1.5 两点受力的构件都是二力杆。 ( × ) 1.1.6只要作用于刚体上的三个力汇交于一点，该刚体一定平衡。 ( × ) 1.1.7力的平行四边形法则只适用于刚体。 ( × ) 1.1.8 凡矢量都可以应用平行四边形法则合成。 ( ∨ ) 1.1.9 只要物体平衡，都能应用加减平衡力系公理。 ( × ) 1.1.10 凡是平衡力系，它的作用效果都等于零。 ( × ) 1.1.11 合力总是比分力大。 ( × ) 1.1.12只要两个力大小相等，方向相同，则它们对物体的作用效果相同。 ( × ) 1.1.13若物体相对于地面保持静止或匀速直线运动状态，则物体处于平衡。 ( ∨ ) 1.1.14当软绳受两个等值反向的压力时，可以平衡。 ( × ) 1.1.15静力学公理中，二力平衡公理和加减平衡力系公理适用于刚体。 ( ∨ ) 1.1.16静力学公理中，作用力与反作用力公理和力的平行四边形公理适用于任何物体。 ( ∨ ) 1.1.17 凡是两端用铰链连接的直杆都是二力杆。 ( × ) 1.1.18 如图所示三铰拱，受力F ，F1作用，其中F作用于铰C的销子上，则AC、BC构件都不是二力构件。 ( × ) 周衍柏理论力学教学总结 篇一：理论力学总结 理论力学总结 姓名：黄亚敏班级0911物理学学号：20XX110102指导老师：夏清华前言：学习一门课程很重要的一个环节就是总结，这样才能知道自己学到了什么，还有那些不了解，还有哪些地方需要再进一步的学习，同时还可以总结出一些好的学习方法和学习习惯，这样皆可以运用到其他方面上。 初看周衍柏《理论力学》一书，只觉得满书全是数学公式，比如第一章质点力学中的极坐标系中的速度、加速度的分量表达式，对我来说就是一个大困难，怎么就弄不明白为什么 ?didt??did?d?dt ????j ， ? djdt ? ?djd?d?dt ?????i?，即曲线上的某点p的沿位矢方向的坐标i对 时间t求导之后为另一方向单位矢量，自己看的时候很不能理解，后 来经过推导之后发现确实是这样的，后来自己又推导一遍，发现是正确的，是数学上的微分运算 ?? 因为我开始的错误理解是:i与时间没有关系，因为在直角坐标系中，并没有对i求??? 导，但是不同的是，在直角坐标系中，单位矢量i，j，k是不变的，但在极坐标中，?? 单位矢量i，j的量值虽然为1，但方向一直随着位矢的方向的变化而变化，所以这????? ?里的单位矢量i，j是一个变量。求得的速度加速度表达式为v??ri??rj，??? 2??????)ja?(??r?r?)i?(r??2r ，还可以用自然坐标算出加速度，表达式简单一些，但前 ??ds? v?vi?i dt 提是要清楚曲线的曲率半径?，才会简化加速度表达式，为 ?? 2?2?dvdsdsdidv?v? a??i??i?j2 dtdtdtdtdt? ， 第一章 习题4-1．求图示平面力系的合成结果，长度单位为m。 解：(1) 取O点为简化中心，求平面力系的主矢： 求平面力系对O点的主矩： (2) 合成结果：平面力系的主矢为零，主矩不为零，力系的合成结果是一个合力 偶，大小是260Nm，转向是逆时针。 习题4－3．求下列各图中平行分布力的合力和对于A点之矩。 解：(1) 平行力系对A点的矩是： 取B点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对B点的主矩是： 向B点简化的结果是一个力R B和一个力偶M B，且： 1word版本可编辑.欢迎下载支持. 2word 版本可编辑.欢迎下载支持. 如图所示； 将R B 向下平移一段距离d ，使满足： 最后简化为一个力R ，大小等于R B 。 其几何意义是：R 的大小等于载荷分布的 矩形面积，作用点通过矩形的形心。 (2) 取A 点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对A 点的主矩是： 向A 点简化的结果是一个力R A 和一个力偶M A ，且： 如图所示； 将R A 向右平移一段距离d ，使满足： 最后简化为一个力R ，大小等于R A 。其几何意义是：R 的大小等于载荷分布的三角形面积，作用点通过三角形的形心。 习题4-4．求下列各梁和刚架的支座反力，长度单位为m。解：(1) 研究AB杆，受力分析，画受力图：列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 (2) 研究AB杆，受力分析，将线性分布的载荷简化成一个集中力，画受力图： 3word版本可编辑.欢迎下载支持. 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。校核： 结果正确。(3) 研究ABC，受力分析，将均布的载荷简化成一个集中力，画受力图：列平衡方程： 解方程组： 4word版本可编辑.欢迎下载支持. 第五章分析力学 本章要求（1）掌握分析力学中的一些基本概念；（2）掌握虚功原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密顿正则方程. 第一节约束和广义坐标 一、约束的概念和分类 加于力学体系的限制条件叫约束. 按不同的标准有不同的分类： 按约束是否与时间有关分类：稳定约束、不稳定约束； 按质点能否脱离约束分类：可解约束、不可解约束； 按约束限制范围分类：几何约束（完整约束）、运动约束（不完整约束）. 本章只讨论几何约束（完整约束），这种约束下的体系叫完整体系. 二、广义坐标 1、自由度 描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度. 设体系有n个粒子，一个粒子需要3个坐标（如x、y、z）描述，而体系受有K个约束条件，则体系的自由度为（3n-K） 2、广义坐标 描述力学体系的独立坐标叫广义坐标.例如：作圆周运动的质点只 须角度用θ描述，广义坐标为θ，自由度为1，球面上运动的质点， 由极角θ和描述，自由度为2. 第二节虚功原理 本节重点要求：①掌握虚位移、虚功、理想约束等概念；②掌握虚功原理. 一、实位移与虚位移 质点由于运动实际上所发生的位移叫实位 移；在某一时刻，在约束允许的情况下，质点可 能发生的位移叫虚位移. 如果约束为固定约束，则实位移是虚位移中 一的个；若约束不固定，实位移与虚位移无共同之处.例如图 5.2.1 中的质点在曲面上运动，而曲面也在移动，显然实位移与虚位移 不一致. 二、理想约束 设质点系受主动力和约束力的作用，它们在任意虚位移中作的功叫虚功. 若约束反力在任意虚位移中对质点系所作虚功之和为零，则这种约束叫理想约束.光滑面、光滑线、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束. 三、虚功原理 1、文字叙述和数学表示： 受理想约束的力学体系，平衡的充要条件是：作用于力学体系的 第二章习题解答 解 均匀扇形薄片，取对称轴为x 轴，由对称性可知质心一定在x 轴上。 题2.1.1图 有质心公式 ??= dm xdm x c 设均匀扇形薄片密度为ρ，任意取一小面元dS ， dr rd dS dm θρρ== 又因为 θcos r x = 所以 θ θθρθρsin 32a dr rd dr rd x dm xdm x c ===?????? 对于半圆片的质心，即2 πθ=代入，有 πππ θθa a a x c 342 2sin 32sin 32=? == 解 建立如图图所示的球坐标系 题2.2.1图 把球帽看成垂直于z 轴的所切层面的叠加（图中阴影部分所示）。设均匀球体的密度为ρ。 则 )(222z a dz y dv dm -===ρπρπρ 由对称性可知，此球帽的质心一定在z 轴上。 代入质心计算公式，即 ) 2()(432 b a b a dm zdm z c ++- ==?? 解 建立如题图所示的直角坐标，原来人W 与共同作一个斜抛运动。 y O 题2.3.1图 当达到最高点人把物体水皮抛出后，人的速度改变，设为x v ，此人即以 x v 的速度作平抛运动。由此可知，两次运动过程中，在达到最高点时两次运动的水平距离是一致的（因为两次运动水平方向上均以αcos v 0=水平v 作匀速直线运动，运动的时间也相同）。所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。第一次运动：从最高点运动到落地，水平距离1s t a v s ?=cos 01 ① gt v =αsin 0 ② ααcos sin 20 1g v s = ③ 第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒，有 )(cos )(0u v w Wv v w W x x -+=+α 可知道 u w W w a v v x ++ =cos 0 水平距离 αααsin )(cos sin 0202uv g W w w g v t v s x ++== 跳的距离增加了 12s s s -=?= αsin )(0uv g w W w + 2.4 解 建立如图图所示的水平坐标。 题2.4.1图 θ题2.4.2图 以1m ，2m 为系统研究，水平方向上系统不受外力，动量守恒，有 2211=+x m x m && ① 对1m 分析；因为 相对绝a a a += ② 1m 在劈2m 上下滑，以2m 为参照物，则1m 受到一个惯性力21x m F &&-=惯（方向与2m 加速度方向相反）。如图图所示。所以1m 相对2m 下滑。由牛顿第二定律有 θ θcos sin 21111x m g m a m &&+=' ② 理论力学第三版(周衍柏)习题答案 第一章 质点力学 第一章习题解答 1.1 由题可知示意图如题1.1.1图: { { S S t t 题1.1.1图 设开始计时的时刻速度为0v ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a . 则有: ()()??? ??? ? +-+=-=2 21210211021221t t a t t v s at t v s 由以上两式得 1102 1 at t s v += 再由此式得 ()() 2121122t t t t t t s a +-= 证明完毕. 1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1. 2.1图. 题1.2.1图 设A 船经过0t 小时向东经过灯塔,则向北行驶的B 船经过??? ? ?+2110t 小时经过灯塔任意时刻A 船的坐标 ()t t x A 15150--=，0=A y B 船坐标0=B x ， ?? ????-??? ??+-=t t y B 15211150 则AB 船间距离的平方 ()()2 22B A B A y y x x d -+-= 即 () 2 02 1515t t d -=2 01521115?? ????-??? ??++t t ()2 02 002211225225675900450??? ? ?++++-=t t t t t 2d 对时间t 求导 () ()67590090002 +-=t t dt d d AB 船相距最近，即() 02=dt d d ，所以 h t t 4 30= - 即午后45分钟时两船相距最近最近距离 2 2 min 231543154315??? ???-?+??? ? ? ?=s km 1.3 解 ()1如题1.3.2图 x y C a B A ψ ? r O a 第1.3题图理论力学练习题参考答案
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