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高考数学大题训练及解析

高考数学大题训练及解析

1.三角知识(命题意图:在三角形中,考查三角恒等变换、正余弦定理及面积公式的应用)

(本小题满分12分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知 sin C 2=104. (1)求cos C 的值;

(2)若△ABC 的面积为3154,且sin 2A +sin 2

B =1316sin 2

C ,求a ,b 及c 的值.

解 (1)因为sin C 2=10

4, 所以cos C =1-2sin 2C

2=-1

4.

(2)因为sin 2

A +sin 2

B =1316sin 2

C ,由正弦定理得

a 2+

b 2=13

16c 2,①

由余弦定理得a 2

+b 2

=c 2

+2ab cos C ,将cos C =-14代入,得ab =38c 2

由S △ABC =3154及sin C =1-cos 2C =15

4,得ab =6,③ 由①②③得?????a =2,b =3,c =4,或????

?a =3,b =2,c =4.

经检验,满足题意.

所以a =2,b =3,c =4或a =3,b =2,c =4.

2.数列(命题意图:考查数列基本量的求取,数列前n 项和的求取,以及利用放缩法解决数列不等式问题等.)

(本小题满分12分)已知数列{a n }中,a 1=1,其前n 项的和为S n ,且满

足a n =2S 2n

2S n -1

(n ≥2).

(1)求证:数列????

??

1S n 是等差数列;

(2)证明:当n ≥2时,S 1+12S 2+13S 3+…+1n S n <3

2.

证明 (1)当n ≥2时,S n -S n -1=2S 2n

2S n -1

S n -1-S n =2S n S n -1,1S n

-1

S n -1=2,

从而????

??

1S n 构成以1为首项,2为公差的等差数列.

(2)由(1)可知,1S n

=1

S 1

+(n -1)×2=2n -1,

∴S n =1

2n -1

∴当n ≥2时,1n S n =1n (2n -1)<1

n (2n -2)

=12·1n (n -1)=12? ????1n -1-1n

从而S 1+12S 2+13S 3+…+1n S n

<1+12? ?

?

??1-12+12-13+…+1n -1-1n =32-12n <32.

星期二 (概率统计与立体几何) 2017年____月____日

1.概率统计(命题意图:考查独立性检验及超几何分布列问题) (本小题满分12分)某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查,下表是在某单位得到的数据(人数):

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(1)能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关? (2)进一步调查:

①从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈述发言,求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率;

②从反对“男女延迟退休”的9人选出3人进行座谈,设参加调查的女士人数为X ,求X 的分布列和数学期望. 附:

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K 2

=n (ad -bc )2

(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )

解 (1)K 2的观测值k =25×(5×3-6×11)

2

16×9×11×14

≈2.932>2.706,

由此可知,有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关. (2)①记题设事件为A ,则所求概率为

P (A )=C 15C 211+C 25C 111

C 316

=1116, ②根据题意,X 服从超几何分布,P (X =k )=C k 3C 3-k

6

C 39

,k =0,1,2,3.

X 的分布列为:

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X 的数学期望为E (X )=0×521+1×1528+2×314+3×1

84=1. 2.立体几何(命题意图:考查线线垂直及面面角的求解)

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(本小题满分12分)在如图所示的多面体中,EF ⊥平面AEB ,AE ⊥EB ,AD ∥EF ,EF ∥BC ,BC =2AD =4,EF =3,AE =BE =2,G 是BC 的中点. (1)求证:BD ⊥EG ;

(2)求平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值.

(1)证明 ∵EF ⊥平面AEB ,AE ?平面AEB ,BE ?平面AEB ,∴EF ⊥AE ,EF ⊥BE ,又AE ⊥BE , ∴BE ,EF ,AE 两两垂直,

以点E 为坐标原点,EB ,EF ,EA 分别为x ,y ,z 轴.

建立如图所示的空间直角坐标系,

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由已知得,A (0,0,2),B (2,0,0),C (2,4,0),F (0,3,0),D (0,2,2),G (2,2,0), ∴EG

→=(2,2,0),BD →=(-2,2,2), ∴BD

→·EG →=-2×2+2×2=0,∴BD ⊥EG . (2)解 由已知得EB

→=(2,0,0)是平面DEF 的法向量, 设平面DEG 的法向量为n =(x ,y ,z ) , ∵ED

→=(0,2,2),EG →=(2,2,0), ∴???EG →·n =0,ED

→·n =0,即?

????y +z =0,x +y =0,令x =1,得n =(1,-1,1),

设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ, 则|cos 〈n ,EB →〉|=n ·EB →|n |·|EB →|=223=33,则cos θ=33. ∴平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为3

3.

星期三 (解析几何) 2017年____月____日

解析几何(命题意图:考查椭圆方程的求解及直线与椭圆相交情况下的范围问题)

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(本小题满分12分)如图,已知F 1、F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,以BF 2为直径的圆D 经过椭圆的上顶点A ,且|BF 1→|=|AF 1→|,F 1A →·BA →=6. (1)求椭圆C 的方程及圆D 的方程;

(2)斜率为k 的直线l 过右焦点F 2,且与椭圆C 交于M 、N 两点,若在x 轴上存在点P (m ,0),使得以PM 、PN 为邻边的平行四边形为菱形,求实数m 的取值范围.

解 (1)因为以BF 2为直径的圆经过椭圆的上顶点A ,且|BF 1→|=|AF 1→|, 所以∠BAF 2=π

2,∠BAF 1=∠ABF 1, 所以∠F 1AF 2+∠BAF 1=∠AF 2B +∠ABF 1, 所以∠F 1AF 2=∠AF 2F 1, 所以△F 1AF 2是等边三角形. 所以|AF 1→|=|F 1F 2→|=|BF 1→|=2c ,

又|AF 1→|2=|OF 1→|2+|OA →|2,即4c 2=c 2+b 2=a 2, 则B (-3c ,0),F 1(-c ,0),F 2(c ,0),A (0,b ), 所以F 1A →·BA →=(c ,b )·(3c ,b )=3c 2+b 2=6, 所以a 2=4,b 2=3,c 2=1, 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2

3=1. 由F 1(-1,0),|AF 1→|=2,得 圆D 的方程为(x +1)2+y 2=4.

(2)由(1)知F 2(1,0),则l :y =k (x -1),

联立???y =k (x -1),

x 24+y 23=1,

消去y 整理得(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0,

设M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2),则Δ=(-8k 2)2-4(3+4k 2)(4k 2-12)=16×9(k 2+1)>0,x 1+x 2=8k 2

3+4k 2,y 1+y 2

=k (x 1+x 2-2),

所以PM →+PN →=(x 1-m ,y 1)+(x 2-m ,y 2)=(x 1+x 2-2m ,y 1+y 2). 由于菱形的对角线互相垂直,则(PM →+PN →)·MN

→=0, 因为MN →的一个方向向量是(1,k ),故x 1+x 2-2m +k (y 1+y 2)=0,所以x 1+x 2-2m +k 2(x 1+x 2-2)=0,

所以k 2? ????8k 2

3+4k 2-2+8k

23+4k

2-2m =0,

由已知条件知k ≠0,

所以m =k 23+4k 2=13

k 2+4,所以0<m <1

4, 故实数m 的取值范围是? ?

?

??0,14.

星期四 (函数与导数) 2017年____月____日

函数与导数(命题意图:考查曲线的切线、最值及数列不等式的证明等.) (本小题满分12分)已知函数f (x )=ax 2+1,g (x )=ln(x +1).

(1)当实数a 为何值时,函数g (x )在x =0处的切线与函数f (x )的图象相切;

(2)当x ∈[0,+∞)时,不等式f (x )+g (x )≤x +1恒成立,求a 的取值范围;

(3)已知n ∈N *,试判断g (n )与g ′(0)+g ′(1)+…+g ′(n -1)的大小,并证明之.

解 (1)∵g (x )=ln(x +1), ∴g ′(x )=1

x +1,g ′(0)=1,

故g (x )在x =0处的切线方程为y =x .

由?

????y =x ,y =ax 2

+1,得ax 2-x +1=0, ∴Δ=1-4a =0, ∴a =14.

(2)当x ∈[0,+∞)时,不等式f (x )+g (x )≤x +1恒成立, 即ax 2+ln(x +1)-x ≤0恒成立. 设h (x )=ax 2+ln(x +1)-x (x ≥0), 只需h (x )max ≤0即可.

h ′(x )=2ax +1

x +1-1=x [2ax +(2a -1)]x +1

.

①当a =0时,h ′(x )=-x

x +1,当x >0时,h ′(x )<0,

函数h (x )在[0,+∞)上单调递减, 故h (x )≤h (0)=0成立.

②当a >0时,由h ′(x )=0,得x =1

2a -1或x =0.

1° 12a -1<0,即a >1

2时,在区间(0,+∞)上,h ′(x )>0,则函数h (x )在(0,+∞)上单调递增,h (x )在(0,+∞)上无最大值,此时不满足条件.

2° 若12a -1≥0,即0<a ≤1

2时,函数h (x )在? ??

??0,12a -1上单调递减,

在区间? ??

??

12a -1,+∞上单调递增,同样h (x )在[0,+∞)上无最大值,不满足条件.

③当a <0时,h ′(x )<0,函数h (x )在[0,+∞)上单调递减,故h (x )≤h (0)=0成立,

综上所述,实数a 的取值范围是(-∞,0]. (3)结论:g (n )<g ′(0)+g ′(1)+g ′(2)+…+g ′(n -1).

证明:当a =0时,ln(x +1)≤x (当且仅当x =0时取等号),令x =1n ,

∴ln ? ??

??1n +1<1n , ∴ln(n +1)-ln n <1n . 故有ln(n +1)-ln n <1

n , ln n -ln(n -1)<1

n -1,

ln(n -1)-ln(n -2)<1

n -2,

……

ln 3-ln 2<1

2,ln 2-ln 1<1, 所以ln(n +1)<1+12+13+…+1

n , 即g (n )<g ′(0)+g ′(1)+g ′(2)+…+g ′(n -1).

星期五 (选考系列) 2017年____月____日

一、(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位,以原点O 为极点,以

x 轴正半轴为极轴.已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=22sin ?

????

θ+π4,

曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ=a (a >0),射线θ=φ,θ=φ+π

4,θ=φ-π4,θ=π

2+φ与曲线C 1分别交异于极点O 的四点A ,B ,C ,D .

(1)若曲线C 1关于曲线C 2对称,求a 的值,并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程;

(2)求|OA |·|OC |+|OB |·|OD |的值.

解 (1)C 1:(x -1)2+(y -1)2=2,C 2:y =a , 因为曲线C 1关于曲线C 2对称,a =1,C 2:y =1.

(2)|OA |=22sin ?

????φ+π4,

|OB |=22sin ?

????

φ+π2=22cos φ,

|OC |=22sin φ,

|OD |=22sin ?

????φ+

3π4=22cos ?

????φ+π4

|OA |·|OC |+|OB |·|OD |=4 2.

二、(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f (x )=|x -a |.

(1)若f (x )≤m 的解集为[-1,5],求实数a ,m 的值;

(2)当a =2,且0≤t <2时,解关于x 的不等式f (x )+t ≥f (x +2). 解 (1)因为|x -a |≤m ,所以a -m ≤x ≤a +m ,

?????a -m =-1,

a +m =5,

∴a =2,m =3.

(2)a =2时等价于|x -2|+t ≥|x |,

当x ≥2,x -2+t ≥x ,∵0≤t <2,所以舍去, 当0≤x <2,2-x +t ≥x ,∴0≤x ≤t +2

2,成立. 当x <0,2-x +t ≥-x 成立,

所以原不等式解集是? ??

??

-∞,t +22. 星期六 (综合限时练) 2017年____月____日

解答题综合练(设计意图:训练考生在规定时间内得高分,限时:80分钟.)

1.(本小题满分12分)已知数列{a n }与{b n }满足a n +1-a n =2(b n +1-b n )(n ∈N *).

(1)若a 1=1,b n =3n +5,求数列{a n }的通项公式;

(2)若a 1=6,b n =2n (n ∈N *),且λa n >2n +n +2λ对一切n ∈N *恒成立,求实数λ的取值范围.

解 (1)因为a n +1-a n =2(b n +1-b n ),b n =3n +5. 所以a n +1-a n =2(b n +1-b n )=2(3n +8-3n -5)=6,

所以{a n }是等差数列,首项为a 1=1,公差为6,即a n =6n -5. (2)因为b n =2n ,所以a n +1-a n =2(2n +1-2n )=2n +1, 当n ≥2时,a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1 =2n +2n -1+…+22+6 =2n +1+2,

当n =1时,a 1=6,符合上式,所以a n =2n +1+2,

由λa n >2n +n +2λ得λ>2n +n 2n +1=12+n

2

n +1,

n +12n +2-n

2n +1=1-n 2n +2

≤0, 所以,当n =1,2时, 2n +n 2

n +1取最大值3

4,

故λ的取值范围为? ??

??

34,+∞.

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2.(本小题满分12分)如图,四棱锥P -ABCD 中,∠ABC =∠BAD =90°,BC =2AD ,△P AB 与△P AD 都是等边三角形. (1)证明:PB ⊥CD ;

(2)求二面角A -PD -B 的余弦值.

(1)证明 取BC 的中点E ,连接DE ,则四边形ADEB 为正方形,过P 作PO ⊥平面ABCD ,垂足为O , 连接OA ,OB ,OE ,OD ,

由△P AB 和△P AD 都是等边三角形可知P A =PB =PD ,所以OA =OB =OD ,

即点O 为正方形ADEB 对角线的交点,

故OE ⊥BD ,从而OE ⊥平面PBD ,所以OE ⊥PB , 因为O 是BD 的中点,E 是BC 的中点, 所以OE ∥CD ,因此PB ⊥CD .

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(2)解 由(1)可知,OE ,OB ,OP 两两垂直,以O 为原点,OE 方向为x 轴正方向,OB 方向为y 轴正

方向,OP 方向为z 轴正方向,建立如图所示的直角坐标系O -xyz .设|AB |=2,则A (-2,0,0),D (0,-2,0),P (0,0,2) AD

→=(2,-2,0),AP →=(2,0,2), 设平面P AD 的法向量n =(x ,y ,z ), ∴??

?n ·AD →=2x -2y =0,n ·AP

→=2x +2z =0,

取x =1,得y =1,z =-1,即n =(1,1,-1), 因为OE ⊥平面PBD ,设平面PBD 的法向量为m , 取m =(1,0,0),

则cos 〈m ,n 〉=13·1=33

由图象可知二面角A -PD -B 的大小为锐角. 所以,二面角A -PD -B 的余弦值为3

3.

3.(本小题满分12分)“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80 mg/100 mL(不含80)之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时,属醉酒驾车.” 2015年“7夕”晚8时开始,长沙市交警队在解放路一交通岗前设点,对过往的车辆进行抽查,经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名,下图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图.

(1)求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数;(图中每组包括左端点,不包括右端点)

(2)求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值;

(3)将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组,第二组,…,第七组,在第五组和第七组的所有人中抽出两人,记他们的血液酒精浓度分别为x 、y (mg/100 mL),则事件|x -y |≤10的概率是多少?

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解 (1)依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上者,共有0.05×60=3人.

(2)由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值=25×0.25+35×0.15+45×0.2+55×0.15+65×0.1+75×0.1+85×0.05=47(mg/100 mL). (3)第五组和第七组的人分别有:60×0.1=6人,60×0.05=3人. |x -y |≤10即选的两人只能在同一组中.

P (|x -y |≤10)=C 26+C 2

3

C 29

=15+336=12.

4.(本小题满分12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点?

????

1,32,

一个焦点为(3,0). (1)求椭圆C 的方程;

(2)若直线y =k (x -1)(k ≠0)与x 轴交于点P ,与椭圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q .求|AB |

|PQ |的取值范围.

解 (1)由题意得???

a 2-

b 2=3,1a 2+3

4b 2=1,

解得a =2,b =1. 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2

=1.

(2)由???y =k (x -1),x 24+y 2=1,

得(1+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-4=0.

设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),

则有x 1+x 2=8k 2

1+4k 2,x 1x 2=4k 2-41+4k 2,

y 1+y 2=k (x 1+x 2-2)=-2k

1+4k 2

.

所以线段AB 的中点坐标为? ????

4k 21+4k

2,-k 1+4k 2, 所以线段AB 的垂直平分线方程为 y --k 1+4k 2=-1k ? ??

??x -4k 21+4k 2. 于是,线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q ? ??

??

3k 2

1+4k 2,0,又点P (1,

0),

所以|PQ |=??????1-3k 2

1+4k 2=1+k 2

1+4k

2.

又|AB |=

(1+k 2)[(8k 2

1+4k 2)2

-4·4k 2-41+4k 2

]

=4(1+k 2)(1+3k 2)

1+4k 2

.

于是,|AB |

|PQ |=4(1+k 2)(1+3k 2)

1+4k 21+k 21+4k 2

=4

1+3k 2

1+k 2

=43-21+k 2

. 因为k ≠0,

所以1<3-2

1+k <3.

所以|AB |

|PQ |的取值范围为(4,43).

5.(本小题满分12分)已知函数f (x )=(2ax 2+bx +1)e -x (e 为自然对数的底数).

(1)若a =1

2,求函数f (x )的单调区间;

(2)若f (1)=1,且方程f (x )=1在(0,1)内有解,求实数a 的取值范围. 解 (1)当a =1

2,f (x )=(x 2+bx +1)e -x , f ′(x )=-[x 2+(b -2)x +1-b ]e -x ,

令f ′(x )=0,得x 1=1,x 2=1-b .当b =0,f ′(x )≤0;

当b >0时,当1-b <x <1时,f ′(x )>0,当x <1-b 或x >1时, f ′(x )<0;

当b <0时,当1<x <1-b 时,f ′(x )>0,当x >1-b 或x <1时, f ′(x )<0.

综上所述,b =0时,f (x )的单调递减区间为(-∞,+∞);

b >0时,f (x )的单调递增区间为(1-b ,1),递减区间为(-∞,1-b ),

(1,+∞);

b <0时,f (x )的单调递增区间为(1,1-b ),递减区间为(-∞,1),(1-b ,+∞).

(2)由f (1)=1得2a +b +1=e ,b =e -1-2a .

由f (x )=1得e x =2ax 2+bx +1,设g (x )=e x -2ax 2-bx -1,则g (x )在(0,1)内有零点.

设x 0为g (x )在(0,1)内的一个零点,则由g (0)=0、g (1)=0知g (x )在区间(0,x 0)和(x 0,1)上不可能单调递增,也不可能单调递减,设h (x )=g ′(x ),则h (x )在区间(0,x 0)和(x 0,1)上均存在零点,即h (x )在(0,1)上至少有两个零点.g ′(x )=e x -4ax -b ,h ′(x )=e x -4a .

当a ≤1

4时,h ′(x )>0,h (x )在区间(0,1)上递增,h (x )不可能有两个及以上零点;

当a ≥e

4时,h ′(x )<0,h (x )在区间(0,1)上递减,h (x )不可能有两个及以上零点;

当14<a <e

4时,令h ′(x )=0得x =ln(4a )∈(0,1), 所以h (x )在区间(0,ln(4a ))上递减,

在(ln(4a ),1)上递增,h (x )在区间(0,1)上存在最小值 h (ln(4a )).

若h (x )有两个零点,则有h (ln(4a ))<0,h (0)>0,h (1)>0. h (ln(4a ))=4a -4a ln(4a )-b =6a -4a ln(4a )+1-e ?

????1

4<a <e 4.

设φ(x )=3

2x -x ln x +1-e(1<x <e), 则φ′(x )=1

2-ln x ,令φ′(x )=0,得x =e ,

当1<x <e 时φ′(x )>0,φ(x )递增,当e <x <e 时φ′(x )<0,φ(x )递减,

φ(x )max =φ(e)=e +1-e <0,所以h (ln(4a ))<0恒成立.

由h (0)=1-b =2a -e +2>0,h (1)=e -4a -b >0,得e -22<a <1

2.当e -22<a <1

2时,设h (x )的两个零点为x 1,x 2,则g (x )在(0,x 1)递增,在(x 1,x 2)递减,在(x 2,1)递增,所以g (x 1)>g (0)=0,g (x 2)<g (1)=0,

则g (x )在(x 1,x 2)内有零点.综上,实数a 的取值范围是? ??

??

e -22,12. 6.请考生在以下两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

A.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

已知直线l 的参数方程为?

??x =-1-3

2t ,

y =3+1

2t

(t 为参数),以坐标原点为极

点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ=

4?

????θ-π6.

(1)求圆C 的直角坐标方程;

(2)若P (x ,y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ?

????

θ-π6的公共点,求3x +y 的

取值范围.

解 (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ=4sin ? ????

θ-π6,

所以ρ2

=4ρsin ?

????θ-π6=4ρ? ??

??

32sin θ-1

2cos θ, 又ρ2=x 2+y 2,x =ρcos θ,y =ρsin θ, 所以x 2+y 2=23y -2x ,

所以圆C 的普通方程为x 2+y 2+2x -23y =0. (2)设z =3x +y ,

由圆C 的方程x 2+y 2+2x -23y =0?(x +1)2+(y -3)2=4, 所以圆C 的圆心是(-1,3),半径是2, 将?

??x =-1-3

2t ,y =3+1

2t

代入z =3x +y 得z =-t ,

又直线l 过C (-1,3),圆C 的半径是2, 所以-2≤t ≤2,

所以-2≤-t ≤2.即3x +y 的取值范围是[-2,2]. B.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f (x )=|2x -a |+a .

(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |-2≤x ≤3},求实数a 的值; (2)在(1)的条件下,若存在实数n 使f (n )≤m -f (-n )成立,求实数m 的取值范围.

解 (1)由|2x -a |+a ≤6得|2x -a |≤6-a , ∴a -6≤2x -a ≤6-a ,即a -3≤x ≤3.

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