小波论文—
基于小波变换的图像边缘检测
1背景
当今社会可以说已经进入了数字化的信息时代，而占存储空间最大的信息量就是图像，图像中所包含的信息量比所有其他媒体信息量的总和还要多。图像处理简单的说就是把一副图像根据一定的目的变成另一幅经过修改的图像，就是对图像进行加工和处理来满足人们实际需求。边缘是图像的最基本的特征之一。边缘的定义有很多种，常用的定义为：边缘是指图像中灰度发生急剧变化的区域，或者说是指周围像素灰度有阶跃变化或屋顶变化的那些像素的集合。它广泛存在于物体与背景之间、物体与物体之间以及区域与区域之间。图像边缘和图像内在物理特性是直接相联系的，所以边缘蕴含着图像的大量的内在信息，也能够反映出目标轮廓的位置。而这些轮廓常常包含着我们在图像处理时所感兴趣目标的重要特征，为人们描述或识别目标以及解译图像提供了重要的特征信息，是图像分割所依赖的重要特征。
2原理叙述
图像的边缘是图像的基本特征之一，它包含了图像丰富的内在信息(如方向、阶跃性质与形状等)。边缘检测是图像处理、视觉计算的最基础的内容，它直接决定着高层次的图像处理、计算机视觉处理的成功与否。从噪声中提取图像边界是图像测试与分析的基础，边缘检测效果的好坏对图像特征提取影响很大，是图像预处理的关键一步。由于这些原因使得边缘检测在图像处理、计算机视觉的预处理算法中占有着重要的地位。
2.1经典方法
经典的边缘提取方法是考察图像的每个像素在某个区域的灰度变化，利用边缘邻近一阶或二阶方向导数的变化规律，用简单的方法检测边缘，这种方法成为微分算子。该方法中大部分使用的是滤波器模板，即让所处理的像素与模板中心重合，模板系数与对应像素值加权后相加，其结果作为该像素的梯度值，在整个图像中移动滤波器，就可得到一幅梯度图。常用的方法有Roberts、Sobel、Laplace、Canny和LoG算子。
2.2 Roberts算子
Roberts算子是一种一阶算子，它利用局部差分算子寻找边缘，在2×2的领域计算对角
导数，其中两个卷积核分别为：
1001
0110
x y
G G
????
==
????
--
????
，。采用1范数梯度来衡量梯
度的幅度。
2.3 Sobel 算子
Sobel 算子是奇数大小（3×3）模板下的全方向微分算子，其两个卷积核分别为：101121202000101121x y G G -????????=-=????????----????
，。采用无穷范数梯度来衡量梯度的幅度。 2.4 LoG （Laplacian of Gaussian ）算子
LoG 算子是一种该算法首先对图像做高斯滤波，然后再求其拉普拉斯（Laplacian ）二阶导数。即图像与 Laplacian of the Gaussian function 进行滤波运算。最后，通过检测滤波结果的零交叉（Zero crossings ）可以获得图像或物体的边缘。因而，也被业界简称为Laplacian-of-Gaussian (LoG)算子。
[]22(,)*(,)(,)*(,)G x y f x y G x y f x y ?=? 其中，
(,)f x y 为图像，(,)G x y 为高斯函数，222221(,)exp (,)22x y G x y G x y πσσ??+=-?????，即为LoG 算子。在对图像(,)f x y 用算子进行运算后，找边缘点就是零交叉点。
常用的LoG 算子是5×5的模板：
2444240804482484408
0424442G -----????--????=--??--????-----??
2.5 Canny 算子
John Canny 于1986年提出Canny 算子，它与Marr （LoG ）边缘检测方法类似，也属于是先平滑后求导数的方法。 John Canny 研究了最优边缘检测方法所需的特性，给出了评价边缘检测性能优劣的三个指标：
(1) 好的信噪比，即将非边缘点判定为边缘点的概率要低，将边缘点判为非边缘点的概率要低；
(2) 高的定位性能，即检测出的边缘点要尽可能在实际边缘的中心；
(3) 对单一边缘仅有唯一响应，即单个边缘产生多个响应的概率要低，并且虚假响应边缘应该得到最大抑制。
用一句话说，就是希望在提高对景物边缘的敏感性的同时，可以抑制噪声的方法才是好的边缘提取方法。
Canny 算子求边缘点具体算法步骤如下：
1. 用高斯滤波器平滑图像。
2. 用一阶偏导有限差分计算梯度幅值和方向。
3. 对梯度幅值进行非极大值抑制。
4. 用双阈值算法检测和连接边缘。
3基于小波变换的图像边缘检测
小波分析作为新兴学科迅速发展起来，由于其具有良好的时频局部特征，被广泛的应用到图像处理中。小波具有天然的多尺度特征，对图像信号的多分辨率分析能够把图像分解成交织在一起的多尺度成分，并对大小不同的尺度成分采用相应粗细的时域或空域取样步长，从而不断地聚焦到对象的任意微小细节，被誉为“数学显微镜”。非常适合提取图像信号的局部特征，给图像边缘检测带来了新的方法。边缘检测算子的尺度是指平滑算子的尺寸，尺度越大滤除噪声的能力越强，但得到的图像的一些弱边缘会被滤除掉；相反小尺度能得到图像的更多的弱边缘，但是也把更多的噪声点当作了边缘点检测出来。多尺度算子就是尽量在两者之间取得一种平衡，既要有效的滤除噪声又能得到较完整的边缘。
3.1基于边缘检测的小波基函数选取准则
在图像边缘检测中，小波函数的选取对图像边缘的检测结果影响非常大，在尺度一定时，小波变换的效果就相当于对图像进行带通滤波，抑制了一部分噪声，同时也滤除一部分模糊边缘。因此合理的选择小波函数非常重要，应该选择一个去噪特性好的小波，在滤除噪声的同时又能提取到效果好的边缘。
边缘在图像中为灰度发生突变的点，表现为图像的高频分量，而图像中的主要部分为低频部分，为“直流”分量。为了得到好的边缘检测效果，选取边缘检测小波基的一般应遵循的准则为：
准则一：作为图像边缘检测滤波器，边缘检测小波应选用是高通(或带通)滤波器，它对“直流”分量的滤波响应为零，对低频分量的响应受到抑制。
将滤波器的脉冲响应函数分解为奇对称和偶对称两部分：
()()()12f x f x f x =+
其中()()11f x f x -=-，()()22f x f x -=。
可以证明，当边缘信号函数是奇函数时，滤波器的脉冲响应的偶函数分量的作用仅仅是降低缘检测质量，当边缘信号函数是偶函数时，滤波器的脉冲响应的奇数分量的作用也仅仅是降低边缘检测质量。由此，我们得到选择小波基的准则二。
准则二：小波基函数应与被检测边缘函数的奇偶对称性一致，检测阶跃边缘的小波应是奇函数。
图像边缘点的灰度突变指的是局部范围内图像灰度有较大的起落。每一个孤立的边缘点都是图像的一个局部特性。上面提到的阶跃边缘点对应于图像灰度变化函数的一阶导数的极值点或二阶导数的过零点都是针对图像局部范围来说的。为了检测图像灰度的这种局部变化，则有选择小波基的准则三。
准则三：图像边缘检测的小波应该是一个窗口函数，最好是紧支窗口函数。准则一事实上就是一个函数称为小波函数的必要条件，当我们选择小波函数作为图像边缘检测滤波器时，这一点自然就满足。
小波基函数种类很多，也可以自己构造，根据上述三准则，我们选择的用于检测阶跃边缘的小波基应是一个紧支的奇函数小波，在选择小波的时候，结合Canny 提出的判定边缘检测算子的三个准则，来选择最优的用于边缘检测的小波函数。
3.2利用小波变换提取边缘
根据上面所述的利用小波变换进行边缘提取的基本原理，对于数字图像可设计出下述计算机实现方法：
(1) 选择MRA 滤波器、边界拓展方式、分解尺度J 和阈值T 。
(2) 对图像的每一行像素做一维小波变换，并取绝对值。
(3) 对图像的每一列像素做一维小波变换重复步骤(2)。
(4) 分别求取行列小波变换的模值极大值点，其余点置0。
(5) 若(,)Mf x y T >，则令(,)0g x y =，否则(,)255g x y =。
(6) 将(,)g x y 显示出来即为所求边缘图像。
(7) 重复步骤2-5，直至分解尺度J 。
4基于小波变换的图像边缘检测
图1 log 算子进行边缘检测图
log 算子进行边缘检测
图2 canny 算子进行边缘检测图
图3 roberts 算子进行边缘检测图
图4 sobel 算子进行边缘检测图
canny 算子进行边缘检
测
roberts 算子进行边缘检
测
sobel 算子进行边缘检测
图5小波变换进行边缘检测图
由图可以看出，小波具有良好的时频局域化特性及多尺度分析能力，因此，可以利用小波分析方法检测到的边缘比较完整，尤其是大的轮廓非常清楚，而且对噪声抑制能力较强，但是，其不足之处是边缘连续性不如Canny 算子。
参考程序
传统法程序：
I=imread('D:\aaaaaaa\c.gif');
figure,imshow(I);
BW1=edge(I,'sobel',0.1);
figure,imshow(BW1)
title('sobel 算子进行边缘检测');
BW2=edge(I,'roberts',0.1)
figure,imshow(BW2)
title('roberts 算子进行边缘检测');
BW3=edge(I,'log',0.1)
figure,imshow(BW3)
title('log 算子进行边缘检测');
BW4=edge(I,'canny',0.1)
figure,imshow(BW4)
title('canny 算子进行边缘检测');
小波变换进行边缘检测
小波分析法：
clear all;
load wbarb;%小波变换边缘提取程序
I = imread('D:\aaaaaaa\clockC.bmp');
I1 = imadjust(I,stretchlim(I),[0,1]);%调整图像的像素值，可以改变对比度和色figure;
imshow(I1);
[N,M] = size(I);
h = [0.125,0.375,0.375,0.125];
g = [0.5,-0.5];
delta = [1,0,0];
J = 0;
a(1:N,1:M,1,1:J+1) = 0;
dx(1:N,1:M,1,1:J+1) = 0;
dy(1:N,1:M,1,1:J+1) = 0;
d(1:N,1:M,1,1:J+1) = 0;
a(:,:,1,1) = conv2(h,h,I,'same');
dx(:,:,1,1) = conv2(delta,g,I,'same');
dy(:,:,1,1) = conv2(g,delta,I,'same');
x = dx(:,:,1,1);
y = dy(:,:,1,1);
d(:,:,1,1) = sqrt(x.^2+y.^2);
I1 = imadjust(d(:,:,1,1),stretchlim(d(:,:,1,1)),[0
1]);figure;imshow(I1);
lh = length(h);
lg = length(g);
for j = 1:J+1
lhj = 2^j*(lh-1)+1;
lgj = 2^j*(lg-1)+1;
hj(1:lhj)=0;
gj(1:lgj)=0;
for n = 1:lh
hj(2^j*(n-1)+1)=h(n);
end
for n = 1:lg
gj(2^j*(n-1)+1)=g(n);
end
a(:,:,1,j+1) = conv2(hj,hj,a(:,:,1,j),'same');
dx(:,:,1,j+1) = conv2(delta,gj,a(:,:,1,j),'same');
dy(:,:,1,j+1) = conv2(gj,delta,a(:,:,1,j),'same');
x = dx(:,:,1,j+1);
y = dy(:,:,1,j+1);
dj(:,:,1,j+1) = sqrt(x.^2+y.^2);
I1 = imadjust(dj(:,:,1,j+1),stretchlim(dj(:,:,1,j+1)),[01]);
figure;
imshow(I1);
title('小波进行边缘检测'); end
小波分析结课论文
小波分析结课论文 基于正交滤波器组的Daubechies 小波设计及Quartus ll 仿真 1.非平稳信号的局部变换 信号s(t)和其频谱S(w)构成Fourier 变换对,由于Fourier 变换或反变换都属于全局变换，不能告知某种频率分量发生在那些时间内，因此用来不能描述信号的局部统计特性。对于非平稳信号s(t)，应该采用局部变换来描述其随时间变化的统计特性。并且信号的局部性能需要使用时域和频域是我二维联合表示，才能精确描述。 1.1用内积构造信号变换 任何一种信号变换都可以写成该信号与某个选定的核函数之间的内积，因此可以用下面两种基本形式来构造。 信号s(t)的局部变换 = <取信号s(t)的局部，核函数无穷长> 或 信号s(t)的局部变换 = <取信号s(t)的全部，核函数局域化> 1.2小波变换 1.2.1选用小波变换的原因 三个信号局部变换的典型例子是短时Fourier 变换、Gabor 变换、小波变换，它们都是时频信号分析的线性变换。而短时Fourier 变换和Gabor 变换都属于“加窗Fourier 变换”，都以固定的滑动窗对信号进行分析，可以表征信号的局部频率特性。显然，这种时域固定等宽的滑动窗处理并不是对所有的信号都合适。因为有较多的自然界信号在低频端应具有很高的频率分辨率，在高频端的频率分辨率可以比较低。而从不相容原理的角度看，这类信号的高频分量应该具有高的时间分辨率，低频分量应该具有低的时间分辨率。对这类非平稳信号的线性时频分析，应该在时频平面的不同位置具有不同的分辨率，小波变换就是这样一种多分辨（率）分析方法，其目的是既见森林——信号概貌，又见树木——信号细节，所以，小波分析被称为数学显微镜。 1.2.2连续小波变换的定义及参数含义 平方可积分函数s(t)的连续小波变换定义为 (,)()*( )(),()s ab t b W T a b s t dt s t t a ψψ∞ -= =??? , a > 0
研究生《小波理论及应用》复习题
2005年研究生《小波理论及应用》复习题 1． 利用正交小波基建立的采样定理适合于：紧支集且有奇性（函数本身或其导数不连续）的函数（频谱无限的函数）。Shannon 采样定理适合于频谱有限的信号。 2． 信号的突变点在小波变换域常对于小波变换系数模极值点或过零点。并且信号奇异性大小同小波变换的极值随尺度的变化规律相对立。只有在适当尺度下各突变点引起的小波变化才能避免交迭干扰，可以用于信号的去噪、奇异性检测、图象也缘提取、数据压缩等。 3． 信号在一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小，α越大，该点的光滑性越小，α越小，该点的奇异性越大。光滑点（可导）时，它的1≥α；如果是脉冲函数，1-=α；白噪声时0≤α。 4． 做出三级尺度下正交小波包变换的二进数图，小波包分解过程？说明小波基与小波包基的区别？ 5． 最优小波包基的概念：给定一个序列的代价函数，然后在小波包基中寻找使代价函数最小的基――最优基。 6． 双通道多采样率滤波器组的传递函数为： ()()()()()()()()()()()()()z X z G z G z H z H z X z G z G z H z H z Y z Y z Y -??????-++??????+=+=∧∧∧∧212121请根据此式给出理想重建条件： 为了消除映象()z X -引起的混迭：()()()()0=-+-∧ ∧z G z G z H z H
为了使()z Y 成为()z X 的延迟，要求：()()()()k CZ z G z G z H z H -∧∧=+ （C,K 为任一常数） 7． 正交镜像对称滤波器()()n h n g ,的()jw e G 与()jw e H 以2π=w 为轴左右对称。如果知道QMF 的()n h ，能否确定()()()n h n g n g ∧ ∧,,？ ()()()n h n g n 1-= ，()()()n g n h n 1--=∧ ， ()()()n h n g n 1-=∧ 8． 试列出几种常用的连续的小波基函数 Morlet 小波，Marr 小波，Difference of Gaussian （DOG ），紧支集样条小波 9． 试简述海森堡测不准原理，说明应用意义？ 10． 从连续小波变换到离散小波变换到离散小波框架－双正交小波变换－正交变换、紧支集正交小波变换，其最大的特点是追求变换系数的信息冗余小，含有的信息量越集中。 11． 解释紧支集、双正交、正交小波、紧支集正交小波、光滑性、奇异性。 12． 已知共轭正交滤波器组（CQF ）()n h 请列出()()()n g n h n g ∧ ∧,,。 ()()() ()()()()()()???????-=--=-=---=∧∧n h n N g n g n N h n h n N h n g n n 11 13． 共轭正交滤波器()()n g n h ,的()jw e G 与()jw e H 的关系与QMF 情况
故障诊断分析方法-结课论文
故障诊断分析方法比较 摘要：小波变换作为信号处理的手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工 程技术人员重视和应用。在机械系统和电气系统中，故障时常发生，为了诊断 系统是否故障，小波分析是很好的方法。小波分析的方法很多，小波的选择也 很多类，为了研究哪种小波分析方法更加适合于故障检测。论文将通过一个例 子来分别采用功率谱、多分辨小波分析和小波包三种方法进行突发性故障诊断，来研究各自的分析特点。并总结在故障发生时，一个更加好的分析方法。 关键词：故障功率谱多分辨分析小波包分析 正文： 在对机械设备进行故障检测时，通常采用对振动信号进行频谱分析找出奇 异点的方法来实现设备监测。傅里叶变换是频谱分析的主要工具，其方法是研 究函数在傅里叶变换后的衰减以推断函数是否具有奇异性及奇异性的大小，但 傅里叶分析只能确定一个函数奇异性的整体性质而难以确定奇异点空间的位置 分布情况，这一局限性导致了频谱分析不能精确的确定信号的奇异性特点，给 进一步分析信号的规律带来了一定的障碍。 而在傅里叶基础上发展而来的功率谱可以识别不同信号的故障信号。将正 常信号的功率谱与运行过程中不断连续收集的信号功率谱进行对比，功率谱异 常就表示机械系统有故障，不同类型的故障会有不同类型的频谱特征，从故障 信号的功率谱中可以识别故障的类型。 然而利用传统的频谱分析方法只能从频谱图上了解故障信号的所包含的频 率成分，而无法确定具体的频率成分的震动形式。无法对具体的频率成分进行 分析，难以直接描述机械的状态。小波分析是近十年发展起来的一门适用于时 变信号分析的新兴工具，它可以把时域信号变换到时间—尺度域中，在不同尺 度下观察不同的局部化特性。在信号突变时，其小波变换后的系数具有模量极 大值，可通过对模的极大值点的检测来确定故障发生的时间点。在从小波基础 上发展的小波包，对各个子小波空间做出更加细致的分解，其对应的频带被进 一步分解，这使得时—频分析能聚焦于任意的细节，在故障诊断时，可从细节 上分析故障。 很多工作系统正常工作时，工作输出点的采样信号是蠕变信号，当由于多 种原因系统系统故障时，输出信号将产生一突变信号（主要表现在幅度和频率 的变化），信号的突变时刻被称为信号的奇异点。这些奇异点数值包含有重要 的故障信息，因此，对突变信号进行检测和处理，是故障诊断的关键。 因此，本文从功率谱、多分辨分析分析和小波包三种方法进行蠕变信号突发性 故障诊断，并比较总结它们的特点。 实例：由于日常机械中很多振动信号都是由不通频率的正弦余弦波组成的，于 是这里选择的原始信号采用的是单一频率正弦波的形式。为了研究上述三种分 析方法，并且由于还未在先研究阶段中未得到研究机械的信号，为了简化分析
小波变换的几个典型应用
第六章小波变换的几个典型应用 6.1 小波变换与信号处理 小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比，小波变换取得了质的飞跃，在信号处理方面具有更大的优势。比如小波变换可以用于电力负载信号的分析与处理，用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中的未知瞬态信号。本部分将举例说明。 6.1.1 小波变换在信号分析中的应用 [例6-1] 以含躁的三角波与正弦波的组合信号为例具体说如何利用小波分析来分析信号。已知信号的表达式为 应用db5小波对该信号进行7层分解。xiaobo0601.m 图6-1含躁的三角波与正弦波混合信号波形 分析： （1）在图6－2中，逼近信号a7是一个三角波。 （2）在图6－3中细节信号d1和d2是与噪声相关的，而d3（特别是d4）与正弦信号相关。 图6-2 小波分解后各层逼近信号 图6-3 小波分解后各层细节信号 6.1.2 小波变换在信号降躁和压缩中的应用 一、信号降躁 1．工程中，有用信号一般是一些比较平稳的信号，噪声通常表现为高频信号。2．消躁处理的方法：首先对信号进行小波分解，由于噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，我们可以利用门限、阈值等形式对分解所得的小波系数进行处理，然后对信号进行小波重构即可达到对信号的消躁目的。 小波分析进行消躁处理的3种方法： （1）默认阈值消躁处理。该方法利用ddencmp生成信号的默认阈值，然后利用wdencmp函数进行消躁处理。 （2）给定阈值消躁处理。在实际的消躁处理过程中，阈值往往可通过经验公式获得，且这种阈值比默认阈值的可信度高。在进行阈值量化处理时可利用函数wthresh。 （3）强制消躁处理。该方法时将小波分解结构中的高频系数全部置为0，即滤掉所有高频部分，然后对信号进行小波重构。方法简单，消躁后信号比较平滑，但易丢失信号中的有用成分。 小波阈值去噪方法是目前应用最为广泛的小波去噪方法之一。 3．信号降噪的准则： 1．光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。
【免费下载】小波分析及其应用
科技文献检索作业 卷 试 料 小波分析及其应用 测控技术1103 雷创新
小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪 数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家 J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反
小波变换论文
《图像处理与分析》结课论文小波变换及其在图像处理与分析中的应用 院(系)名称:遥感信息工程学院 专业名称:测绘工程 学号: 学生姓名: 指导老师: 二○一三年十一月
摘要 对小波变换的基本概念进行了简要介绍,分析了小波变换在图像压缩、图像去 噪以及图像融合等方面的应用,概述了相关算法原理。以Matlab为平台,进行了基于 小波变换的图像融合实验,并分析了实验结果。 关键词:小波变换图像压缩图像去噪图像融合 ABSTRACT The paper give a brief introduction of wavelet transform’s basic conception and analysis the applications of wavelet transform in image compression, image denoising and image fusion、Then it introduces some algorithms about image prosessing、Finally, give a experiment of image fusion based on wavelet transform, which is programmed in Matlab platform, and analyze the experimental results、 Key words: Wavelet transform Image compression Image denoising Image fusion
第1章引言 当从时域中观察一个信号时,得到的信息就是信号随着时间的变化,其幅度的起起伏伏。但就是,如果更进一步想研究起伏速度较快或较慢的部分,就不太容易从时域中信号的波形直接得到所需的信息。因此,需要将时域中的信号转换到频域中分析。传统的转换方式就是利用傅立叶变换,然而,傅立叶变换潜在的假设了信号就是平稳信号。所谓的平稳信号就就是信号的规律不随时间的变化而改变,而现实生活中的信号往往就是非平稳信号与平稳信号交织在一起的。另一方面,用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号全部时域的信息,也就无法通过傅立叶分析来刻画时域信号的局部特性。为解决傅立叶变换的不足,Gabor提出在傅立叶变换中加入高斯窗函数,将窗函数沿时间轴挪移,得到一系列包含时间信息的傅立叶变换结果,从而能同时分析信号的时间信息与频率信息。根据Heisenberg的测不准原理,窗口傅立叶变换对信号的时间定位与频率定位能力就是相互矛盾的,时间分辨率与频率分辨率不可能同时提高,而且变换窗口没有自适应性,只适于分析所有特征尺度大致相同的信号,不适于分析多尺度信号与突变过程。 由此,引入了小波变换。顾名思义,“小波”就就是小的波形。所谓“小”就是指它具有衰减性,而称之为“波”则就是指它的波动性,其振幅呈正负相间的震荡形式。傅立叶分析就是将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加,同样小波分析就是将信号分解为一系列小波函数的叠加,而这些小波函数都就是由一个母小波函数经过平移与尺度伸缩得来的。小波分析优于傅立叶分析的地方就是,它在时域与频域同时具有良好的局部化性质,且具有多分辨分析的特点。它就是一种窗口大小可以改变的分析方法,可以改变其时间窗与频率窗,根据高频与低频的不同,可以使时间——频率窗变窄或变宽,即:在低频部分时具有较高的频率分辨率与较低的时间分辨率,在高频部分时具有较低的频率分布率与较高的时间分辨率,非常适合于加带、瞬态、反常现象的探测正常信号中并展示其成分,所以被誉为分析信号的显微镜。 第2章小波变换的基本概念 2、1连续小波变换 给定基本小波函数ψ,信号f(t)的连续小波变换定义为: (a＞0,b∈R) (2、1) 式(2、1)也可以表示为,它可以瞧做就是求函数f(t)在的各尺度
小波分析的最新进展
高级数字信号处理 题目：小波分析的最新进展姓名： 学号： 年级： 专业：
小波分析的最新进展 摘要: 目前，小波分析的发展及应用引起人们的广泛关注。小波分析是国际上公认的最新时间——频率分析工具，由于其“自适应性”和“数学显微镜性质”而成为许多学科共同关注的焦点，对于信号处理及信急处理起着至关重要的作用。本文介绍了小波分析的产生和发展过程，小波及连续小波变换的概念，小波分析在信号处理中的应用以及未来的发展趋势。 Abstract At present, the development and application of wavelet analysis to cause widespread concern. Wavelet analysis is the latest international recognized -- time frequency analysis tools, due to the "adaptive" and "mathematical microscope nature" and has become the common focus of attention of many disciplines, for signal processing and signal processing plays a vital role in emergency. This paper introduces the generation and development process of the concept of wavelet analysis, wavelet and continuous wavelet transform, the application of wavelet analysis in signal processing and the development trend in the future. 关键词: 小波分析信号处理发展趋势 Key Words Wavelet analysis Signal processing Development trend 一、绪论 波分析(Wavelet Analysis)是上世纪末数学研究的重要成果之一，其在时域和频域同时具有良好的局部化性质，可以聚焦到对象的任意细节。小波分析是一种时域－频域分析，它可以根据信号不同的频率成分，在时域和空间域自动调节取样的疏密：高频率时则密，低频率时则疏。从信号分析的角度讲，小波分析相当于用一族带通滤波器对信号进行滤波，这族滤波器的特点在于其Q值（中心频率/带宽）基本相同即随着小波变换的尺度减小，滤波器的中心频率向高频移动的同时，其通带宽度也随之增加。因此，小波分析具有广泛的应用领域，在未来具有广阔的发展前景。
《小波分析及其应用》word版
现代数字信号处理作业 小波分析及其应用 电研111 梁帅
小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反演公示，但当时该理论未能得到数学家的认可。1986年法国数学家YMcyer偶尔构造出一个真正的小波基，并与
小波分析学习心得
小波分析学习心得 学习小波分析这门课程已经有一段时间了，我对于这一门课程已经有了一定程度的认识。由于学科专业所限，我平时接触小波分析的机会并不是很多，很高兴在这个学期能够有机会专门学习小波分析。经过这一段时间小波分析的学习，虽然我还不能说是精通小波分析，不过也是对其中的一些基本概念有了一定的理解。后文中，我将会对在小波分析学习过程中所得到的一些学习心得进行总结。 我们通常说的波一般指的是物质的一种运动方式，在数学中它对应于时间域或空间域的震荡方程。正弦波就是一种最为常见的波，它的振幅均匀的分布时域中，并不收敛，所具有的能量是无穷的。小波，顾名思义，就是小的波，它的能量是有限的，相对于正弦波而言，它的振幅在时域上是收敛的，能量并不是无穷的。傅里叶变换将函数投影到正弦波上，将函数分解成了不同频率的正弦波，这是一个非常伟大的发现，但是在大量的应用中，傅里叶变换的局限性却日趋明显，事实上在光滑平稳信号的表示中，傅里叶变换已经达到了近似最优表示，但是日常生活中的信号却并不是一直光滑的，傅里叶变换在奇异点的表现就令人非常不满意，从对方波的傅里叶逼近就可以看出来，用了大量不同频率的正弦波去逼近其系数衰减程度相当缓慢。其内在的原因是其基底为全局性基底，没有局部化能力，以至局部一个小小的摆动也会影响全局的系数。很多应用场合要求比较精确的时频定位，傅里叶变换的缺点就越来越突出了。 窗口傅里叶变换将信号乘上一个局部窗，然后再做傅里叶变换，获得比较好的时频定位特性，再沿时间轴滑动窗口，得到整个时间轴上的频率分布，似乎到这里就应该结束了，因为我们可以把窗设计小点获得较高的时间分辨率，并期望有同样高的频率分辨率，但测不准原理无情的告诉我们，没有这么好的窗能在时
时间序列的小波分析
时间序列的小波分析 时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。 20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。 目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。 一、小波分析基本原理 1. 小波函数 小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2 ∈ψ且满足： ? +∞ ∞ -=0dt )t (ψ （1） 式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系： )a b t ( a )t (2 /1b ,a -=-ψψ 其中， 0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。 需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数。 2. 小波变换 若)t (b ,a ψ是由（2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号)R (L )t (f 2 ∈，其连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简写为CWT ）为： dt )a b t ( f(t)a )b ,a (W R 2 /1-f ?-= （3） 式中，)b ,a (W f 为小波变换系数；f(t)为一个信号或平方可积函数；a 为伸缩尺度；b 平移参数；) a b x (-ψ为)a b x (-ψ的复共轭函数。 地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数)t k (f ?，（k=1,2,…,N; t ?
信号处理结课论文与作业
数字信号处理技术在电力系统中的发展现状和趋势 摘要：为了适应现代电力系统的要求，先进的数字信号处理技术被应 用到电力系统中，充分发挥了其快速强大的运算和处理能力以及并行 运行的能力，满足了电力系统监控的实时性和处理算法的复杂性等更 高的要求。本文首先简要介绍了电力系统和数字信号处理技术；然后 详细阐述了数字信号处理技术在电力系统中的应用，包括傅里叶变换、 小波变换、现代谱分析、相关分析、数学形态学，并介绍了数字信号 处理技术在电力系统应用中的现状和趋势。 关键词：数字信号处理，电力系统 Abstract: In order to meet the requirements of modern electric power system, the advanced digital signal processing technology is applied to the electric power system. this technology has gave full play to its fast computation and processing capacity and the ability to run in parallel, and it satisfies some higher requirements, such as the real time monitoring of electric power system and the complexity of handle algorithm. This article first briefly introduced the electric power system and digital signal processing technology; And then expounds the application of digital signal processing technology in power system, including Fourier transform, wavelet transform, the modern spectrum analysis, correlation analysis and mathematical morphology, and digital signal processing technology is introduced in the present situation and trend of power system applications. Keywords: digital signal processing, electric power system 1、引言 现代电力系统通过联网已经发展成供电区域辽阔和容量巨大的系统，作为国民经济发展的源动力，我国的电力系统正以空前的规模和速度扩大。随着互联电力系统的增长，尤其是长江三峡工程的崛起，超远距离输电的互联大电网的安全成为更加关心和突出的问题。电力系统是一个庞大的、瞬变的多输入输出的系统，为了保证其安全运行，需要实时地监视各节点的运行状况，及时发现电力系统的不正常状态及故障状态通知运行人员，或快速地进行控制和处理。这要求在电网各节点都要有数据采集单元，将测得的电力系统运行参数转化为数字量，进行分析和控制就地解决问题，或者通过远方通信送往调度中心进行处理。电力系统监视和控制的参数要求实时性较强，不仅包括频率、电压、
《水文小波分析原理及其应用》带答案
《水文小波分析原理及其应用》考试试题 课程编号：7.637 学分：3.0 任课教师：刘东考试形式：开卷 一、写出下列专业术语的英文表达（每小题1分，共10分） （1）小波分析: wavelet analysis； （2）小波变换：wavelet transformation； （3）小波函数：wavelet function； （4）小波消噪：Wavelet denoising； （5）小波方差：Wavelet variance ； （6）连续小波变换：Continuous wavelet transform； （7）离散小波变换：Discrete wavelet transform ； （8）小波人工神经网络模型：Wavelet artificial neural network model； （9）小波随机耦合模型：Wavelet stochastic coupling model； （10）快速小波变换算法：Fast wavelet transform algorithm。 二、论述学习“水文小波分析原理及其应用”课程的目的与意义。（10分）答：水文学是研究地球上水分分布、循环、运动等变化规律及水－环境相互作用的一门科学，属于地球科学的一个分支。水文时间序列在各种因素影响下具有确定性成分、随机成分）。水文学的一个重要研究途径就是利用现有分析技术对水文时间序列进行描述，探讨水文系统的演变规律。 小波变换克服了Fourier变换的不足，能够反映出水文时间序列在时频域上的总体特征以及时频局部化信息，被誉为“数学显微镜”。利用小波分析的多分辨率功能，可以充分挖掘水文时间序列所包含的信息，展现水文时间序列的精细结构，从而使我们更好地掌握水文时间序列的多时间尺度变化特征及突变特征。
基于小波变换的信号去噪论文
河南农业大学 本科生毕业论文 题目基于小波变换的信号去噪研究 学院理学院 专业班级信安3班 学生姓名秦学珍 指导教师吴莉莉 撰写日期：年月日
基于小波变换的信号去噪研究 秦学珍 摘要 小波变换是一种新型的数学分析工具，是80年代后期迅速发展起来的新兴学科。小波变换具有多分辨率的特点，在时域和频域都具有表征信号局部特征能力，适合分析非平稳信号，可以由粗及精地逐步观察信号。小波分析的理论和方法在信号处理、图像处理、语音处理、模式识别、量子物理等领域得到越来越广泛的应用，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。 信号的采集与传输过程中，不可避免会受到大量噪声信号的干扰，对信号进行去噪，提取出原始信号是一个重要的课题。那么究竟应该如何从含噪声的信号中提取出原始的信号，这就成了最重要的问题。经过长期的探索与努力、实验仿真，对比于加窗傅里叶对信号去噪，提取原始信号的方法，终于找到了一种全新的信号处理方法——小波分析。它将信号中各种不同的频率成分分解到互不重叠的频带上，为信号滤波、信噪分离和特征提取提供了有效途径，特别在信号去噪方面显出了独特的优势。 本文从小波变换的定义和信号与噪声的不同特性出发，在对比分析了各种去噪方法的优缺点基础上，运用了对小波分解系数进行阈值化的方法来对一维信号去噪，该方法对去除一维平稳信号含有的白噪声有非常满意的效果，具有有效性和通用性，能提高信号的信噪比。与此同时，本文还补充介绍了强制消噪处理、默认阈值处理、给定软阈值处理等对信号消噪的方法。在对含噪信号运用阈值进行消噪的过程中，对比了用不同分解层数进行处理的去噪效果。 本文采用的是用传感器采集的微弱生物信号。生物信号通常是噪声背景小的低频信号，而噪声信号通常集中在信号的高频部分。因此，应用小波分解，把信号分解成不同频率的波形信号，并对高频波进行相关的处理，处理后的高频信号在和分离出的低频信号进行重构，竟而，就得到了含少量噪声的原始信号。而且，随着分解层数的不同，小波去噪的效果也是不同的。并对此进行了深入
MATLAB结课论文
MA TLAB中的图形用户界面（GUI）一、MAYLAB简介 MA TLAB是一种高效能的、用于科学和技术计算的计算机语言。它将计算、可视化和编程等功能集于一个易于使用的环境。MA TLAB是一个交互式系统（写程序与执行命令同步），其基本的数据元素是没有维数限制的阵列，因此采用MA TLAB编制包含矩阵和向量问题的程序时比采用只支持标量和非交互式的编程C或FORTAN语言更加方便。MA TLAB的全名是Matrix Laboratory，意思是矩阵实验室，是由MathWorks公司推出的 二、MA TLAB语言的优点： (1)简单易学； (2)代码短小高效，只需熟悉算法特点、使用场合、函数调用格式和参数意义，不必花大量时间纠缠具体算法； (3)计算功能非常强大； (4)强大的图形表达功能； (5)可扩展性能。 三、MA TLAB的重要特色： 它有一套程序扩展系统和一组称之为工具箱（toolbox）的特殊应用子程序。工具箱是MA TLAB函数的子程序库，每一个工具箱都是为某一类学科专业和应用而定制的，主要包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波分析和系统仿真等方面的应用。
四、MAYLAB中的图形用户界面（GUI） GUI(Graphical User Interface)图形用户界面，是在图形界面下安排显示与用户交互的组件元素，用户可以只通过键盘、鼠标和前台界面下的组件发生交互，而所有的计算、绘图等内部操作都封装在内部，提高了终端用户使用MA TLAB程序的易用性。图形用户界面设计工具的启动方式： 1. 命令方式 图形用户界面GUI设计工具的启动命令为guide，格式为: (1)guide 功能：启动GUI设计工具，并建立名字为untitled.fig的图形用户界面。 (2)guide filename 功能：启动GUI设计工具，并打开已建立的图形用户界面filename。 在Matlab的主窗口中，选择File菜单中的New菜单项，再选择其中的GUI命令，就会显示GUI的设计模板。
小波变换及其应用_李世雄
现代数学讲座 小波变换及其应用 李世雄 (安徽大学数学系 合肥 230039) 科学技术的迅速发展使人类进入了信息时代。在信息社会中人们在各种领域中都会涉及各种信号(语音,音乐,图像,金融数据,……)的分析、加工、识别、传输和存储等问题。长期以来,傅里叶变换一直是处理这方面问题最重要的工具,并且已经发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。但是,用傅里叶变换分析处理信号的方法也存在着一定的局限性与弱点,傅里叶变换提供了信号在频率域上的详细特征,但却把时间域上的特征完全丢失了。小波变换是80年代后期发展起来的新数学分支,它是傅里叶变换的发展与扩充,在一定程度上克服了傅里叶变换的弱点与局限性。本文从信号分析与处理的角度来介绍小波变换的基本理论与应用,使具有微积分基础的读者通过本文能对这一新的数学分支有一初步了解。小波变换在函数论、微分方程、数值计算等方面也有着重要的应用,有兴趣的读者可参看[1][4]。 (一)从傅里叶变换谈起 数学中经常用变换这一技巧将问题由繁难化为简易,初等数学中用对数将较繁难的乘除法化为简易的加减法就是很典型的一个例子。而傅里叶变换(简称FT )则是利用积分将一个函数f (t )(-∞ 小波分析理论简介 （一） 傅立叶变换伟大的历史贡献及其局限性 1 Fourier 变换 1807年，由当年随拿破仑远征埃及的法国数学、物理学家傅立叶（Jean Baptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一个周期为T (=π2)的函数 )(t f ，都可以用三角级数表示： )(t f = ∑∞ -∞=k ikt k e C = 20 a + ∑∞=1cos k k kt a + ∑∞ =1 sin k k kt b (1) k C = π 21 ? -π 20 )(dt e t f ikt = * ikt e f , (2) k k k C C a -+= )(k k k C C i b --= (3) 对于离散的时程 )(t f ，即 N 个离散的测点值 m f ，=m 0,1，2，……,N-1, T 为测量时间： )(t f =2 0a + )sin cos (12 1∑-=+N k k k k k t b t a ωω+t a N N 2 2cos 21 ω=∑-=1 0N k t i k k e C ω （4） 其中 ∑-== 1 02cos 2 N m m k N km x N a π ，=k 0，1，2，…,2N (5) ∑-== 1 2sin 2N m m k N km x N b π , =k 1,2,…, 2N -1 (6) ∑-=-= 1 )/2(1N m N km i m k e x N C π ，=k 0，1，2，…,N-1 (7) t N k k ?=π ω2 ，N T t =? (8) 当T ∞→ 时，化为傅立叶积分（即 Fourier 变换）： ? ∞ ∞ --= dt e t f f t i ωω)()( =t i e f ω, （9） ωωπ ωd e f t f t i )(21 )(? ∞ ∞ -= (10) 小波变换及应用 一． 为什么研究小波变换 傅立叶变换（Fourier Transform ，缩写为FT ）由下列公式定义： 正变换公式 ?()()i t f f t e dt ωω∞ --∞ =?? （1） 逆变换公式 ? ∞ ∞ -?= dt e f t f t i ωωπ )(?21 )( （2） 分析： 1．对于确定信号和平稳随机过程，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，许多在时域内难以看清的问题，在频域中往往表现得非常清楚。 2．变换积分核t i e ω±的幅值在任何情况下均为1，即1=±t i e ω，因此，频 谱)(?ωf 的任一频率点值是由时间过程)(t f 在整个时间域),(∞-∞上的贡献决定的；反之，过程)(t f 在某一时刻的状态也是由)(?ωf 在整个频率域),(∞-∞上的贡献决定的。)(t f 与)(?ωf 彼此之间是整体刻画，不能够反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于局部分析。特别是傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳过程的突变成分。要知道所分析的信号在突变时刻的频率成分，傅立叶变换是无能为力的。 3．实际中存在许多信号具有局部时间范围（特别是突变时刻）内的信号特征（一般是频率成分），例如，在音乐和语音信号中，人们所关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；图像信号中的细节信息，如边缘特征。 4．为了对非平稳信号作较好的分析，可以对信号在时域上加一个窗函数 )(τ-t g ，使其对信号)(t f 进行乘积运算以实现在τ附近的开窗，再对加窗的信 号进行傅立叶分析，这就是短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, 缩写为STFT ），或者称为加窗傅立叶变换（Windowed Fourier Transform ）。STFT 定义如下： (,)()()i t f S f t g t e dt ωωττ∞ --∞ =-? （3） 2011-2012 学年第一学期 2011级硕士研究生考试试卷 课程名称：小波变换理论及应用任课教师：考试时间：分钟 考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）； B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）； C（√）课程论文或课程设计（70%）+平时成绩（30%）。 一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。（20分） 二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。（25分） 三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。（25分） 四、平时成绩。（30分） （一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵 将平方可积空间中任意函数f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记CWT ）其表达式为 t a b t t f a b a f W d )(*)(||1),(? ∞+∞--=ψψ （ 1.1） 其中，a ∈R 且a ≠0。式（1.19）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸 缩，b 为时间平移因子。其中)(| |1)(,a b t a t b a -=ψψ为窗口函数也是小波母函数。 从式（1.1）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。 ① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。 ② 计算该时刻的连续小波变换系数C 。如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。 图1.5 计算小波变换系数示意图 ③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。 ④ 调整参数a ，尺度伸缩，重复①～③步骤。 ⑤ 重复①～④步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图1.7所示。 图1.6 不同分析时段下的信号小波变换系数计算 图1.7 不同尺度下的信号小波变换系数计算 C =0.2247小波分析理论简介
小波变换及应用
小波变换理论及应用