第一讲幂的运算性质
幂的运算性质
知识要点
◆要点1 同底数幂的乘法：
a m ·a n ＝a m ＋n （m ，n 都是正整数） 可扩展为a m ·a n ·a p ＝a m ＋n ＋p ★说明：幂的底数相同时，才可运用此法则。
◆要点2 幂的乘方与积的乘方
(1) 幂的乘方：(a m )n ＝a mn （m ，n 都是正整数），可推广为()[]mnp p n m a a =
(2) 积的乘方：(ab )n ＝a n b n （n 为正整数），可扩展为(abc )n ＝a n b n c n
◆要点3 同底数幂的除法
a m ÷a n ＝a m －n （a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n ）
◆要点4 零指数与负整数指数的意义（两个规定）：
(1) 零指数： a 0＝1 （a ≠0）
(2) 负整数指数：p p a
a 1=-（a ≠0，p 是正整数） 即任何一个不等于0的数的－p (p 为正整数)次幂等与这个数的p 次幂的倒数。也可变形为:p
p p a a a ??? ??==-11 （观察前后幂的底数、指数变化） ★说明：(1)在幂的性质运算中，幂的底数字母a 、b 可以是单项式或多项式，运算法则皆可逆向应用；(2) 零指数幂和负整数指数幂中，底数都不能为0，即a ≠0；(3) 规定了零指数和负整数指数的意义后，正整数指数幂的运算性质，就可以推广到整数指数幂；(4) 在运算当中，要找准底数（即要符合同底数），如果出现底数互为相反数，或其他不同，则应根据有关理论进行变形，变形要注意指数的奇偶性。在计算过程中，时刻注意符号的变化。
易错易混点
(1) 将幂的意义与乘法的意义相混淆； (2) 不能正确理解幂的运算性质，而导致错误； (3) 忽略零指数幂、负整数指数幂的规定中底数不等为零的条件。
典型例题
【例1】填空
(1) ()=-4
322z y x _______； (2)a 2b 4c 8＝( )2; (3) b 12＝( )3＝( )4＝( )6; (4) 若x 2n ＝3，则x 10n ＝______；
(5) 已知3×9m ×27m ＝321，则m ＝_______； (6) 若()364
28=x ，则x ＝_______； 【例2】 (1) 8975.0311???? ??； (2)2003100120052004214532135??? ??-?-??? ??+???? ??
【例3】①已知10m ＝3，10n ＝4，求(1) 10m ＋n ＋1; (2) 103m －2n 的值.
②已知22x ＋1＝32，求x 。
学习自评
1. x a ＋b ＋1＝x a ＋2·________。若y 3＝－8a 6b 9，则y ＝______。
2. 若2m ＝5，2n ＝7，则2m ＋n ＝_________；23m －2n ＝_________。
3. 若2333632-++=?x x x ，则x ＝________。
4. 若153=-k 则k ＝_______；若27
13=
x ，则x ＝________。 5. ()()244432a a a ?+＝_________。 6. 下列说法正确的是（ ）
A. –a n 和(－a )n 一定互为相反数
B. 当n 为奇数时，–a n 和(－a )n 相等
C. 当n 为偶数时，–a n 和(－a )n 相等
D. –a n 和(－a )n 一定不相等
7. 下列各式中，正确的是（ ）
A. 2a 3＋3a 2＝5a 5
B. 2a －2＝221a
C. ()5565=÷a a
D. ()322a a a =÷-
8. 下列式子中与()2a -计算结果相同的是（ ）
A. ()12-a
B. 42-?a a
C. 42a a ÷-
D. ()2
4--?a a 9. 生物学指出：在生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能
量能够流动到下一个营养级，在H 1→H 2→H 3→H 4→H 5→H 6这条生物链中(H n 表示第n 个营养级，n ＝1，2，…，6)，要使H 6获得10千焦的能量，需要H 1提供的能量约为（ ）
A. 104千焦
B. 105千焦
C. 106千焦
D. 107千焦
10. 若x 是有理数，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A. ()114.30=-π
B. ()130
2=+x C. ()120040=+x D. ()[]133022=-----
11. 已知(2x －3)0＝1，则x 的取值范围是（ ）
A. x ＞23
B. x ＜23
C. x ＝23
D. x ≠2
3 12. 若1284·83＝2n ，则n 等于（ ）
A. 30
B. 37
C. 38
D. 39
13. ()20052004313??? ???-的结果为（ ）
A. 3
1- B. 31 C. －3 D. 3 14. 下列各式中，一定成立的是（ ）
A. 22＝(－2)2
B. 23＝(－3)2
C. (－2)3＝22-
D. (－2)3＝()3
2- 15. 若()0
3221,2,21??? ??--=-=??? ??=-c b a ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A. b ＜c ＜a B. b ＜a ＜c C. c ＜b ＜a D. a ＜c ＜b
16. 计算题
(1) 3a 3·a 4＋2a ·a 2·a 4－4a 5·(－a )2;
(2) ()()()4
2233221242??? ???--+-x x x x
(3)()
()3200820082125.0?-; (4) 7
8772153187??? ??-???? ??+???? ??-
(5) (x －y )7÷(y －x )6＋(－x －y )3÷(x ＋y )2; (6) ()4
5023321??? ?????? ??---π
17. 已知2a ＝3，2b ＝6，2c ＝24，求a 、b 、c 之间的关系。
18. 若x m ＝3，x n ＝2，求① x 2m ＋3n 的值；② x 3m －2n 的值。
19. (1) 若m ＋4n －5＝0，求2m ·16n 的值。
(2) 已知4m ·8m －1÷2m 的值是512，求m 的值。
(3) 已知1622,46416461213?=?=?--y x ，求()2005211y x -的值。
20. 证明：n n n b a b a =??? ?? (b ≠0，n 为正整数)