随机过程与马尔可夫链习题答案
信息论与编码课程习题1——预备知识 概率论与马尔可夫链
1、某同学下周一上午是否上课，取决于当天情绪及天气情况，且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好，则50%的可能会上课；若不下雨且心情好，则有10%的可能性不上课；若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课；若下雨且心情不好，则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%，该同学当天心情好的概率为20%，试计算该同学周一上课的可能性是多大？ 分析：
天气情况用随机变量X 表示，“0”表示下雨，“1”表示不下雨；心情好坏用Y 表示，“0”表示心情好用“0”表示，心情不好用“1”表示；是否上课用随机变量Z 表示，“0”表示上课，“1”表示不上课。由题意可知
已知[]5.00,0|0====Y X Z P ，[]5.00,0|1====Y X Z P []1.00,1|1====Y X Z P ，[]9.00,1|0====Y X Z P []4.01,1|0====Y X Z P ，[]6.01,1|1====Y X Z P []9.01,0|1====Y X Z P ，[]1.01,0|0====Y X Z P []3.00==X P ，[]7.01==X P []2.00==Y P ，[]8.01==Y P
即题目实际上给出了八个个条件概率和四个概率
[][][][]0,0|00|000===?==?===X Y Z P X Y P X P Z P
[][][]0,1|00|10===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,0|01|01===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,1|01|11===?==?=+X Y Z P X Y P X P 由于X ，Y 相互独立，则有
[][][][]0,0|0000===?=?===X Y Z P Y P X P Z P
[][][]0,1|010===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,0|001===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,1|011===?=?=+X Y Z P Y P X P
[]5.02.03.00??==Z P 1.08.03.0??+9.02.07.0??+1.08.07.0??+ =?
注意：全概率公式的应用
2、已知随机变量X 和Y 的联合分布律如又表所示，
且()Y X Y X g Z +==2
11,，()Y X Y X g Z /,22==，求：
1）1Z 的分布律与数学期望
2）2Z 的分布律与数学期望 3）1Z 大于10的概率
4）由上面的例子，你是否能得到离散随机变量函数的数学期望的一般表达式？包括一元和多元随机变量函数。 分析： 1）
[]()()()()()22
22
22112212221111212
12
1
11,p y x p y x p y x p y x p y x g Z E j i ij j i ?++?++?++?+==∑∑==()()()()4.0621.0523.0612.0512222?++?++?++?+=?=
2）
[]()()()()()22
22211212211111212
1
22////,p y x p y x p y x p y x p y x g Z E j i ij j i ?+?+?+?==∑∑==()()()()4.06/21.05/23.06/12.05/1?+?+?+?=?=
说明：主要考虑联合分布律与随机变量函数分布律的关系 3）
[]0101=>Z P
4）()[]()∑==i
i i p x g Y E then
X g Y if 11
()[]()∑∑==i
j
ij j i p y x g Z E than
Y X g Z if ,,22
()[]()∑∑∑==k
i
j
ijk k j i p z y x g A E than
Z Y X g A if
,,,,33
and so on.
3、已知随机变量X 的概率密度函数为???≥≥<>=-a
x b a
x or b x x f a
b X 1
0)(，其中
10,3==b a ，()2X X g Y ==为X 的函数，求：
1）随机变量X 小于或等于5的概率 2）随机变量Y 的概率密度函数 3）随机变量Y 大于10的概率 4）随机变量Y 的数学期望 分析
1）[]()7
25
37
15
5===
≤?
?
∞
-dx dx x f X P X 2）假设用()()()y F y f x F Y Y X ,,分别表示随机变量X 的分布函数、随机变量Y 的概率密度函数和分布函数，则有：
()[][]
y X P y Y P y F Y ≤=≤=2 [
]
??
?
≥≤
≤-<=0
00y y
X y P y
()???
?
?≥<=?-
00
y dx
x f y y y
X
()()
???≥--<=0
00
y y F y F y X
X
有
()()()()[]
???
?
??
?
≥--<==0
y dy
y F y F d y dy y dF y f X
X
Y Y
()()
??
???
≥?-+?
<=0
02121y y f y f y y
X y X
3）[][][]
()?
--=≤≤--=≤-=>10
10
11010110110dx x f X P Y P Y P X
7
3
101110
3
7
1--
=-
=?
dx 4）[][]()?10
37
1222
====??
∞
∞
-dx x dx x f x X E Y E X
4、已知随机变量X 和Y 的联合概率密度函数为
???≥≥≥≥=others y and x y x f XY 0
0231),(41，()Y X Y X g Z 2,2
+==。
1）求随机变量Z 的数学期望 2）求随机变量Z 的概率密度函数
3）结合习题3，总结连续随机变量的函数的数学期望的一般表达式，包括包括一元和多元随机变量函数。 分析： 1）
[]()()()?2,,2
03
1
4
12
=?+=?=?
??
?
∞
∞-∞
∞
-dy dx y x
dy dx y x f y x g Z E XY 2）
()[][
]z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=2=
()??≤+z y x XY
dxdy y x f 2
,
3）()[]()()?∞
∞
-==dx x f x g Y E then X g Y if X 11
()[]()()?
?∞∞-∞
∞
-==dy dx y x f y x g Z E than
Y X g Z if XY ,,,2
2
()[]()∑∑∑==k
i
j
ijk
k
j
i
p z y x g A E than
Z Y X g A if
,,,,3
3
and so on.
P352 T2给定随机过程
{}(),X t t T ∈,x 是任意实数，定义另一随机过程
1()()0
()X t x Y t X t x ≤?=?
>?
试将的均值函数和自相关函数用随机过程()X t 的一维和二位分布函数表示出来 分析：由题知，是随机过程，()Y t 的取值由()X t 决定，所以()Y t 也是随机过程。 由题中不知道随机过程()X t 是连续还是离散，但()Y t 一定是离散随机过程，它的样本空间是
{}0,1。概率分布可以表示成如下形式
因为()Y t 等于1的概率等于()X t 小于等于x 的概率（
），
()Y t 等于0的概率等于()X t 大于x 的概率（[][]()0()P Y t P X t x ==>）。
因此有
[][][][]()1()0()()(;)
X E Y t P X t x P X t x P X t x F x t =?≤+?>=≤=。
同理，由题知
()()1122
121
()()0
X t x X t x Y t Y t ≤≤??=?
?且其它
所以得到
[]()()[][]1212111111111212,1(),()0(),()(,;,)
Y X R t t E Y t Y t P X t x X t x P P X t x X t x F x x t t =?????
=?≤≤+?????=≤≤=其它
P352 T3设随机过程()At
X t e =，0t >，其中A 是在区间[
]0,a 服从均匀分布的随机变量。试求()X t 的均值函数和自相关函数。
分析：A 是随机变量，t 是普通变量，所以()X t 是随机过程。由题知A 的概率密度函数为
1
0()0
a
A y a f y ≤≤?=?
?其它 因为随机过程()X t 可以看作是随机变量A 的函数，因此有 ()1
()()a
yt yt X A a t E X t e f y dy e dy
μ∞
-∞
==?=???????
()()()121
2
1
12120
(,)()a y t t
yt yt X A a R t t E X t X t e e f y dy e
dy
∞
+-∞
=?=??=???????
注意A 才是随机变量，不是我们习惯的X 。注意理解其本质意义，否则换个符号表示就会难倒你。 P353 T9
()(),X t Y t t T
∈，是互不相关的随机过程。
()()()()()()
Z t a t X t b t Y t c x =++，其中
(),(),()a t b t c x 是普通函数。求()Z t 的均值函数和自相关函数。
分析：1
()()()()()()[]
()()()()()()Z t E Z t E a t X t b t Y t c x E a t X t E b t Y t E c t μ==++????????
=++????????
因为数学期望运算只对随机变量和随机过程起作用，对普通函数、普通变量和常量不起作用。（为什么？）。所以
()()()()()()()()()()()Z X Y t a t E X t b t E Y t c t a t t b t t c t μμμ=?+?+=++????????
分析2
()()()()()()()()Z X Y Z t t a t X t t b t Y t t μμμ-=-+-????????
()()(){}
121122,()()Z z z C t t E Z t t Z t t μμ=--????????
()(){
}()(){
}{}
111111222222()()()()()()()()X Y X Y E a t X t t b t Y t t a t X t t b t Y t t μμμμ=-+--+-????????????????
()()
()(){}()(){}
1212121211222211()(),()(),()()()()X Y X Y X Y a t a t C t t b t b t C t t E X t t Y t t E X t t Y t t μμμμ=++--+--????????????????
因为
()()
,X t Y t 相互独立，则其在任何时刻对应的随机变量之间也相互独立，即
()()()()i j i j E X t Y t E X t E Y t ????=????????。则有
()()(){}
()i x i j Y j E X t t Y t t μμ??--??????
()()()()()()()()i j i j i j Y j x i E X t Y t E t Y t E X t t E t t μμμμ????????=--+???????? ()()()()()()()()i j i j i j Y j x i E X t E Y t t E Y t E X t t t t μμμμ????=--+???
????????? ()()()()()()()()x i Y j x i Y j x i Y j x i Y j t t t t t t t t μμμμμμμμ=--+
0=
所以
()()()
1212121212,()(),()(),Z X Y C t t a t a t C t t b t b t C t t =+
二、马尔科夫链
P374 T5、设马氏链{},0n X n ≥的状态空间为{}1,2,3I =，初始分布为()111
424p(0)=,,，转
移概率矩阵为
3
14
41
11333314
412310230
??????????
(1) 计算{}
0121,2,2P X X X ===
(2) 证明{}1201222
2,2|1P X X X p p ====
(3) 计算
(){}
122022|1p P X X ===
(4) 计算22(2){2}p P X == （1）分析：
{}{}{}{}{}{}
012012010102011,2,21,22|1,212|12|1,2P X X X P X X P X X X P X P X X P X X X ======?=====?==?=== 由于马氏链的遗忘特性
{}{}
201212|1,22|2P X X X P X X ======。所以
{}{}{}{}0120102101,2,212|12|2,1P X X X P X P X X P X X X =====?==?===
由于只给出了一步转移概率矩阵，则应将马氏链改为齐次马氏链为宜。
{}{}{}{}012010211,2,212|12|2P X X X P X P X X P X X =====?==?==
{}()0121122213111,2,2044316
P X X X p p p ====??=
??= (2)分析：
{}
{}{}{}{}12010201102112222,2|12|12|1,22|12|2()P X X X P X X P X X X P X X P X X p p ======?======?===遗忘特性（齐次马氏链）
(3)分析：
(){}122022|1p P X X ===随机过程在0时刻处于状态1的条件下，
2时刻转移到2状态的概率。
即二步转移概率矩阵的第1行第2列。
()5741616167
4132369361133112
48
48P ???????
?
=????????
所以(){}1220722|116
p P X X ==== 4）分析
22002112222(2){2}(0)(2)(0)(2)(0)(2)p P X p p p p p p ===?+?+?
141131314162364480.40=
?+?+?≈ P375 T10 设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为000
q p
q p q
p ??
????????
，1,01q p p =-<<。试证明此链具有遍历性，并求其平稳分布 分析: 1）因为
2000000P ?????????????
??????=?????=????????????????????????????
即存在m=2使得m 步转移概率中每一项都大于0，因此该马氏链具有遍历性。 2）设平稳分布为()123,,πππ∏=则有
()()1231230,,,,00
q p q p q
p ππππππ??
??=???????
及1231πππ++=
计算可得()123,,πππ∏=，表达形式不唯一。
奖励加分题：
1、证明若齐次马氏链具有遍历性，则齐n 步转移概率矩阵（n 趋近于无穷大）每一列中的元素都相同。
2、当具有遍历性的齐次马氏链处于平稳状态时，经过一次转移后仍处于平稳状态。
最新随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-
随机过程试题带答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平）？050.=α解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0μ-=已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值.052.2)27(025.0=t 由于，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语 052.2>T 2622.2>成绩为85分.二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数 k 0 1 2 3 4 5 6≥7频数 f 8 16 17 10 6 2 1 0试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性水平） 050.=α解：由极大似然估计得.2?==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则有估计 }{k X P ==i p ? ,7,0,!2}{?2===-k k e k X P k =0?p 三、某公司在为期10年内的年利润表如下： 年份 1 2 3 4 5 6 7 8910利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9 通过管线敷设技术，不仅可以解决有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解： 由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布， 且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为： 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解： 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=??? 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 《随机过程期末考试卷》 1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 ___________ 。 2?设随机过程X(t)二Acos(「t+「),-：：vt<：：其中「为正常数，A和门是相互独立的随机变量，且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。 3?强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为_ 的同一指数分布。 4?设「W n ,n 一1是与泊松过程：X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列，则W n服从分布。5?袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回， r 对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3’如果t时取得红球，则这个随机过 e t, 如果t时取得白球 程的状态空间__________ 。 6 ?设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p j)，n步转移矩阵P(n)=8(；))，二者之间的关系为。 7?设汉.，n -0?为马氏链，状态空间I，初始概率P i二P(X。二i)，绝对概率 P j(n)二P^X n二j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为_____________ 。 8 .设｛X(t),t 一0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则 P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______ t 9?更新方程K t二H t ? .°K t-s dF s解的一般形式为__________________ 。10?记二-EX n,对一切a 一0,当t—一：时，M t+a -M t > ____________ 3.设］X n,n — 0?为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n—0,仁I 通信原理试卷(A ) 02.12.22 一 填空题：（每个空0.5分，共15分） 1. 基带传输系统的总误码率依赖于信号峰值 和噪声均方根值 之比。 2. 调制信道对信号的干扰分为乘性干扰 和加性干扰 两种。 3. 若线形系统的输入过程()t i ξ是高斯型的，则输出()t o ξ是高斯 型的。 4. 通断键控信号（OOK ）的基本的解调方法有非相干解调（包络检波法） 及相干解调（同步检测法） 。 5. 随参信道的传输媒质的三个特点分别为对信号的耗衰随时间而变 、 传输的时延随时间而变、多径 传播 。 6. 根据乘性干扰对信道的影响，可把调制信道分为恒参信道 和随参信道 两大类。 7. 包络检波法的系统误码率取决于系统输入信噪比 和归一化门限值 。 8. 起伏噪声又可分为 热噪声、散弹噪声 及宇宙噪声 。 9. 数字基带信号()t S 的功率谱密度()ωS P 可能包括两部分即连续谱 和离散谱 。 10. 二进制振幅键控信号的产生方法有两种，分别为 模拟幅度调制法和键控法 。 11. 模拟信号是利用 抽样、量化 和编码 来实现其数字传输的。 12. 模拟信号数字传输系统的主要功能模块是 A/D 、数字传输系统和D/A 。 13. 设一分组码（110110）；则它的码长是 6 ，码重是 4 ，该分组码与另一分组码（100011）的码距是 3 。 二 判断题：（正确划“√”，错误划“ ×”；每题0.5分，共5分） 1. 码元传输速率与信息传输速率在数值上是相等的。（ ×） 2. 一般说来，通过键控法得到二进制移频建控信号（2FSK ）的相位（n ?、n θ）与序列n 无关。（√ ） 3. 任何一个采用线性调制的频带传输系统，总可以由一个等效的基带传输系统所替代。（ √） 4. 白噪声是根据其概率密度函数的特点定义的。（ ×） 5. 基带传输系统的总误码率与判决门限电平有关。（√ ） 6. 对于受到高斯白噪声干扰的连续信道， B 与N S 可以互换。（× ） 7. 恒参信道对信号传输的影响是变化极其缓慢的，因此，可以认为它等效于一个时变的线性网络。（× ） 8. 对于受到高斯白噪声干扰的连续信道，若增加信道带宽B ，则信道容量C 无限制地增加。（× ） 9. 小信噪比时，调频系统抗噪声性能将比调幅系统优越，且其优越程度将随传输带宽的增加而增加。（ ×） 10. 一种编码的检错和纠错能力与该编码的最小码距的大小有直接关系。（ √） 三 选择题：（每题1分，共10分） a) 一个随机过程是平稳随机过程的充分必要条件是 B 。 （A ） 随机过程的数学期望与时间无关，且其相关函数与时间间隔无关； （B ） 随机过程的数学期望与时间无关，且其相关函数仅与时间间隔有关； （C ） 随机过程的数学期望与时间有关，且其相关函数与时间间隔无关； （D ） 随机过程的数学期望与时间有关，且其相关函数与时间间隔有关； b) 下列属于线性调制的是 C 。 （A ） 相移键控； （B ）频移键控； （C ）振幅键控； （D ）角度调制。 c) 采用同步解调残留边带信号时，只要残留边带滤波器的截止特性在载频处具有 C 特性，就能够准确地 恢复所需的基带信号。 （A ）互补 （B ）对称 （C ）互补对称 （D ）没有特殊要求 通信原理期末考试试题及答案 一、填空题（总分24 ，共 12 小题，每空 1 分） 1、数字通信系统的有效性用传输频带利用率衡量，可靠性用差错率衡量。 2、模拟信号是指信号的参量可连续取值的信号，数字信号是指信号的参量可离 散取值的信号。 3、广义平均随机过程的数学期望、方差与时间无关，自相关函数只与时间间隔有 关。 4、一个均值为零方差为n2的窄带平稳高斯过程，其包络的一维分布服从瑞利分布， 相位的一维分布服从均匀分布。 5 、当无信号时，加性噪声是否存在？是乘性噪声是否存在？否。 6 、信道容量是指：信道传输信息的速率的最大值，香农公式可表示为： C B log 2 (1S ) 。 N 7、设调制信号为 f（t）载波为cos c t，则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为 f (t) cos c t，频域表达式为1 [ F ( c ) F ( c )]。2 8、对最高频率为 f H的调制信号 m （t ）分别进行 AM 、DSB 、SSB 调制，相应已调 信号的带宽分别为2f H、2f H、 f H。 9、设系统带宽为W ，则该系统无码间干扰时最高传码率为2W波特。 10 、PSK 是用码元载波的相位来传输信息， DSP 是用前后码元载波的相位差来传 输信息，它可克服PSK 的相位模糊缺点。 11 、在数字通信中，产生误码的因素有两个：一是由传输特性不良引起的码间串 扰，二是传输中叠加的加性噪声。 12 、非均匀量化的对数压缩特性采用折线近似时， A 律对数压缩特性采用13折线 近似，律对数压缩特性采用15折线近似。 二、简答题（总分18 ，共 4 小题） 1 、随参信道传输媒质的特点？（ 3 分） 答：对信号的衰耗随时间变化、传输的时延随时间变化、多径传播 2、简述脉冲编码调制的主要过程。(6 分) 抽样是把时间连续、幅值连续的信号变换为时间离散，幅值连续的脉冲信号；量化是 把时间离散、幅值连续的脉冲信号变换为幅值离散、时间离散的多电平脉冲信号；编 码是把幅值、时间均离散的多电平脉冲信号用一组数字序列表示。 3 、简单叙述眼图和系统性能之间的关系？（ 6 分） 最佳抽样时刻对应眼睛张开最大时刻；对定时误差的灵敏度有眼图斜边的斜率决定；图的阴影区的垂直高度，表示信号幅度畸变范围；图中央横轴位置对应判决门 限电平；抽样时刻上，上下阴影区的间隔距离之半为噪声容限。 4、简述低通抽样定理。（ 3 分） 一个频带限制在（ 0，f H）内的时间连续信号m(t) ，如果以T 1 2 f H的时间 间隔对它进行等间隔抽样，则m(t) 将被所得到的抽样值完全确定 2 、设信息序列为 100000000001100001 ，试编为 AMI 码和 HDB 3 码（第一个非零码编 为 +1 ），并画出相应波形。（6 分） 100000000001100001 AMI+10000000000-1+10000-1 HDB3 +1 0 0 0+V-B 0 0-V 0 0+1-1+B 0 0+V-1 +1 0 0 0+1-1 0 0-1 0 0+1-1+1 0 0+1-1 AMI HDB3 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意0 12 ≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ，则167)2(12 =P ，16 1}2,2,1{210= ===X X X P ???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ，则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2 北京工业大学2007-2008学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试题 标准答案（仅供参考） 一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布 ),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下： 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？ 解：按题意，要检验的假设是 54:0=μH ，因2σ未知，故用-t 检验法，由05.0=α，查t 分布表得临界 值2622290250.)(.=t ，由样本值算得 382514654.,.==t x 因为26222. 1255804101145701312680122222222 9 2 2 .)()(==++++++++= -=∑ =i i i i np np f χ 查表得919160502 9.).(=χ 因为9191612552..<=χ, 所以接受0H ，认为X 服从 等概率分布. 三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米） 求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数. 346.9,857.16==y x 根据计算结果可得： （1） 回归方程：X Y 1845.0244.6+=∧ ?????? ???? ??? =??-?=-=====??-==?-=244.61845.01187142.6571??1845.0857.454906.83?906.8342.65118717.1186857.4541187 124442x b y a S S b S S xx xy xy xx 于是得 随机过程复习题(含答 案) 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为 ),,(4 12141， ???? ?? ?? ?????? ??? ?=434 10313131 043 411)(P ，则167)2(12=P ，16 1 }2,2,1{210= ===X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 期末随机过程试题及答 案 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解： 1o 当0cos 0t ω=，02 t k π ωπ=+ ，即0112t k πω??= + ??? （k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2o 当0cos 0t ω≠，02 t k π ωπ≠+ ，即0112t k πω?? ≠ + ??? （k z ∈）时， ()~01X N Q ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????. ()()20~0cos X t N t ω∴，. 则( )2202cos x t f x t ω- = ；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ()cos 2t X t t π?=??，出现正面，出现反面 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ?? ???；和()1F x ；，以及二维分布函数12112 F x x ?? ?? ? ，；， 。 00 11101222 11 期末随机过程试题及标准答案
(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案
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