多自由度系统振动分析典型教案

第2章多自由度系统的振动

基本要点：

①建立系统微分方程的几种方法；

②固有频率、固有振型的概念以及固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性；

③多自由度系统运动的解耦—模态坐标变换及运用模态叠加法求解振动系统的响应。

引言

多自由度振动系统的几个工程实例；多自由度系统振动分析的特点；多自由度系统振动分析与单自由度系统的区别与联系。

§2.1多自由度系统的振动方程

●方程的一般形式：质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激振力

§2.2建立系统微分方程的方法

●影响系数：刚度影响系数、柔度影响系数

●刚度矩阵法、柔度矩阵法及这两种方法的特点；Lagrange方程法

§2.3无阻尼系统的自由振动

●二自由度系统的固有振动：固有频率、固有振型。

●二自由度系统的自由振动

●二自由度系统的运动耦合与解耦

弹性耦合，惯性耦合；

振动系统的耦合取决于坐标系的选择；

●多自由度系统的固有振动

固有振动的形式及条件：特征值、特征向量、模态质量、模态刚度；

固有振型的性质：关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性；

刚体模态；

●运动的解耦：模态坐标变换（主坐标变换）。

●多自由度系统的自由振动

§2.4无阻尼系统的受迫振动

●频域分析：动刚度矩阵和频响函数矩阵，频响函数矩阵的振型展开式，系统反

共振问题。

●时域分析：单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应，模态截断问题，模态加速

度法。

§2.5比例阻尼系统的振动

●多自由度系统的阻尼：Rayleigh比例阻尼。

●自由振动

●受迫振动：频响函数矩阵，单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应。

§2.6一般粘性阻尼系统的振动

●自由振动：物理空间描述，状态空间描述。

●受迫振动：脉冲响应矩阵，频响函数矩阵，任意激励下的响应。

思考题：

①刚度矩阵和柔度矩阵在什么条件下是互逆的两个矩阵？从物理上和数学两方面加以解

释？

②为什么说模态质量、模态刚度的数值大小没有直接意义？

③证明固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，并讨论其物理意义。

④在实际的多自由度系统振动分析中，为什么要进行模态截断？

参考书目

1.胡海岩，机械振动与冲击，航空工业出版社，2002

2.故海岩，机械振动基础，北京航空航天大学出版社，2005

3.季文美，机械振动，科学出版社，1985。（图书馆索引号：TH113.1/1010）

4.郑兆昌主编, 机械振动上册,机械工业出版社，1980。（图书馆索引号：

TH113.1/1003-A）

5.Singiresu S R, Mechanical vibrations，Longman Prentice Hall, 2004(图书馆索引

号：TH113.1/WR32)

多自由度系统振动分析典型教案

第2章多自由度系统的振动 基本要点： ①建立系统微分方程的几种方法； ②固有频率、固有振型的概念以及固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性； ③多自由度系统运动的解耦—模态坐标变换及运用模态叠加法求解振动系统的响应。 引言 多自由度振动系统的几个工程实例；多自由度系统振动分析的特点；多自由度系统振动分析与单自由度系统的区别与联系。 §2.1多自由度系统的振动方程 ●方程的一般形式：质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激振力 §2.2建立系统微分方程的方法 ●影响系数：刚度影响系数、柔度影响系数 ●刚度矩阵法、柔度矩阵法及这两种方法的特点；Lagrange方程法 §2.3无阻尼系统的自由振动 ●二自由度系统的固有振动：固有频率、固有振型。 ●二自由度系统的自由振动 ●二自由度系统的运动耦合与解耦 弹性耦合，惯性耦合； 振动系统的耦合取决于坐标系的选择； ●多自由度系统的固有振动 固有振动的形式及条件：特征值、特征向量、模态质量、模态刚度； 固有振型的性质：关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性； 刚体模态； ●运动的解耦：模态坐标变换（主坐标变换）。 ●多自由度系统的自由振动 §2.4无阻尼系统的受迫振动 ●频域分析：动刚度矩阵和频响函数矩阵，频响函数矩阵的振型展开式，系统反 共振问题。 ●时域分析：单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应，模态截断问题，模态加速 度法。 §2.5比例阻尼系统的振动 ●多自由度系统的阻尼：Rayleigh比例阻尼。 ●自由振动 ●受迫振动：频响函数矩阵，单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应。 §2.6一般粘性阻尼系统的振动

●自由振动：物理空间描述，状态空间描述。 ●受迫振动：脉冲响应矩阵，频响函数矩阵，任意激励下的响应。 思考题： ①刚度矩阵和柔度矩阵在什么条件下是互逆的两个矩阵？从物理上和数学两方面加以解 释？ ②为什么说模态质量、模态刚度的数值大小没有直接意义？ ③证明固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，并讨论其物理意义。 ④在实际的多自由度系统振动分析中，为什么要进行模态截断？ 参考书目 1.胡海岩，机械振动与冲击，航空工业出版社，2002 2.故海岩，机械振动基础，北京航空航天大学出版社，2005 3.季文美，机械振动，科学出版社，1985。（图书馆索引号：TH113.1/1010） 4.郑兆昌主编, 机械振动上册,机械工业出版社，1980。（图书馆索引号： TH113.1/1003-A） 5.Singiresu S R, Mechanical vibrations，Longman Prentice Hall, 2004(图书馆索引 号：TH113.1/WR32)

第4章多自由度系统的振动题解

习 题 4-1 在题3-10中，设m 1=m 2=m ，l 1=l 2=l ，k 1=k 2=0，求系统的固有频率和主振型。 解：由题3-10的结果 22121111)(l g m l g m m k k +++ =，2 221l g m k -=，2212l g m k - =，2 2222l g m k k += 代入m m m ==21，021==k k ，l l l ==21 可求出刚度矩阵K 和质量矩阵M ??? ???=m m M 00；?? ?? ??????- - =l mg l mg l mg l mg K 3 由频率方程02=-M p K ，得 0322 =????? ??? ? ?-- - -=mp l mg l mg l mg mp l mg B 0242 2 2224 2 =+-∴l g m p l g m p m l g p ) 22(1-=∴ ，l g p )22(2+= 为求系统主振型，先求出adjB 的第一列 ???? ? ? ?? ??-=l mg mp l mg adjB 2 分别将频率值21p p 和代入，得系统的主振型矩阵为 ??????-=112) 1(A ?? ????+=112)2(A 题4-1图

4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m 1，求系统的频率方程。 解：设杆的转角θ和物块位移x 为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。 设0,1==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力 2111,k k ，由平衡条件得到， 222111a k b k k +=， a k k 221-= 设1,0==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2212,k k ，由平衡条件得到， 12k a k 2-=， a k k 222= 得作用力方程为 ?? ? ???=??????????? ?--++????????????? ?00003122222 2122 1x a k a k a k a k b k x m a m θθ 由频率方程02=-M K p ，得 031 2 22222 212221=----+p m a k a k a k p a m a k b k 4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l 的均匀刚性杆的质量为m 1及m 2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m 1=m 2=m 和 k 1=k 2=k 时系统的固有频率。 解：如图取21,θθ为广义坐标，分别画受力图。由动量矩定理得到， l l k l l k I 4 34343432 11111θθθ+-= 2 2434343432 2211122l l k l l k l l k I θθθθ--= 题4-3图 题4-2图

07210第四章--多自由度系统振动(讲1)

第3次作业题： 1、如图所示起重机小车，其质量为m 1=2220kg,在质心A 处用绳悬挂一重物B ，其质量为m 2=2040kg 。绳长l=14m,左侧弹簧是缓冲器，刚度系数k=852.6kN/m 。设绳和弹簧质量均忽略不计，当车连同重物B 以匀速v 0=1m/s 碰上缓冲器后，求小车和重物的运动。 2、两个质量块m 1和m 2用一弹簧k 相连，m 1的上端用绳子拴住，放在一个与水平面成а角的光滑斜面上，如习题下图所示。若t=0时突然割断绳子，两质量块将沿斜面下滑。试求瞬时t 两质量块的位置。 答案： α ωsin ]) (cos 2)([21222 221221g m m k t m t m m k m x +-++= αωsin ]) (cos 2)([21222 221222g m m k t m t m m k m x ++++= 3．如图，已知m 2＝2×m 1=m ，k 3=2k 1=2k 2=2k ，x 10=1.2,x 20=10x ＝20x ＝0，试求系统的固有频率，主振型以及相应。 答案：利用程序，易得 固有频率： ωn 1=3.162277rad/s ，ωn 2=5 rad/s 主振型： m 1 m 2 k 3 k 2 k 1

系统相应： t x 5cos 8.03.1622777t cos 4.01+= t x 5cos 4.03.1622777t cos 4.02-= 4．已知:?? ? ???=11009][m ,[c ]= ??????--11.01.01,][k =??????--905050110,)}({t f =? ?? ???21,激振力频率 ω=3rad/s,试求系统的稳态响应。 答案：利用给定程序，输入给定数据，即获得系统的稳态响应。 第四章 多自由度系统振动 §4-1 多自由度系统运动方程的建立 (引言：问题的提出。)工程中的机械振动问题，有一些可以简化成一个或两个自由度系统的振动问题，因此可以用前面几章中介绍的方法进行分析计算。但是也有很多问题不能采用这种过于简化的力学模型来进行分析。一般来说，各种机器及其零部件的质量和刚度都具有分布的性质，因此理论上都是无限多自由度系统，即为弹性体。但由于机器的结构比较复杂，若都按无限多自由度来处理，在数学上有很大的，甚至目前还无法解决的困难。因此，只好将系统的结构用一些离散的结构来理想化。这样就把弹性体变成数目有限个的离散单元组成的有限多自由度系统。 如前所述，振动系统有多少个自由度就有多少个固有频率和主振型，也就有多少阶主振动，因此弹性体就有无穷多阶主振动。但有意