整数奇偶性习题 (含答案)
1．选择题
(1)若n是大于1的整数，则p=n+(n2-1)1(1)
2
r
--
的值
(A)一定是偶数．(B)一定是奇数．
(C)是偶数但不是2．(D)可以是偶数也可以是奇数．
(1985年全国初中数学联赛题)
(2)设二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p，q都是奇数那么它的根一定是
(A)奇数．(B)偶数．(C)分数．(D)无理数．
(1983年上海市初中数学竞赛题)
(3)如果n是正整数，那么1
8
[1-(-1)n](n2-1)的值
(A)一定是零．(B)一定是偶数．
(C)是整数但不一定是偶数．(D)不一定是整数．
(1984年全国高考题)
(4)满足等式1983=1982x-1981y的一组自然数是
(A)x=12785，y=12768．(B)x=12784，y=12770．
(C)x=11888，y=11893．(D)x=1947，y=1945．
(1983年福建省初中数学竞赛题)
(5)若7个连续偶数之和为1988，则此7个数中最大的一个是
(A)286．(B)288．(C)290．(D)292．
(1987年全国部分省市初中数学通讯赛题)
(6)已知n是偶数，m是奇数，方程组
1988
1127
x y n
x y m
-=
?
?
+=
?
的解
x p
y q
=
?
?
=
?
是整数，
则
(A)p，q都是偶数．(B)p，q都是奇数．
(C)p是偶数，q是奇数．(D)p是奇数，q是偶数．
(1989年“祖冲之杯”初中数学邀请赛题)
(7)如果方程x2+(4n+1)x+2n=0(n为整数)有两个整数根，那么这两个根是
(A)都是奇数．(B)都是偶数．(C)一奇一偶．(D)无法判断．
(1985年成都市初中数学竞赛题)
(8)设a，b都是整数，给出四个命题：
(i)若a+5b是偶数，则a-3b也是偶数；
(ii)若a+b能被3整除，则a，b都能被3整除；
(iii)若a+b是素数，则a-b一定不是素数；
(iv)若c=a+b≠0，则
33
33
a b a b
a c a c
--
=
++
．
上述命题中是正确命题的个数是
(A)1个．(B)2个．(C)3个．(D)4个．
(第二届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题) (9)六个奇数，它们的和是42，它们的平方和只可能是
(A )280． (B )368． (C )382． (D )423．
(1990年南昌市初中数学竞赛题)
(10)自然数1，2，3，…，1989之和为一个奇数，若将前t 个数添上“-”号，则这1989个数的和
(A )总是奇数． (B )总是偶数．
(C )t 为奇数时其和为整数． (D )奇偶性不能确定．
(第6届缙云杯数学邀请赛题)
(11)设u =x 2+y 2+z 2，其中x ，y 是相邻的整数，且z =xy
(A )总为奇数． (B )总为偶数．
(C )有时为偶数，有时为奇数． (D )总为无理数．
(第6届缙云杯数学邀请赛题)
(12)设a 为任一给定的正整数，则关于x 与y 的方程x 2-y 2=a 2
(A )没有正整数解． (B )只有正整数解．
(C )仅当a 为偶数时才有整数解． (D )总有整数解．
(1988年江苏省初中数学竞赛题)
(13)将正奇数1，3，5，7，…依次排成五列，如下表所示．把最左边的一列叫做第1列，从左到右依次将每列编号．这样，数“1985”出现在
(A )第1列．(B )第2列．(C )第3列．(D )第4列．(E )第5列．
(1985年第36届美国中学生数学竞赛题)
2．扑克牌中的A ，J ，Q ，K 分别表示1，11，12，13．甲取13张红桃，乙取13张黑桃，分别洗和后，甲、乙依次各出一张牌，使红、黑牌配成13对，求证：这13对的差的积必为偶数．(1987年天津市初二数学竞赛题)
3．求证：1986不能等于任何一个整数系数二次方程ax 2+bx +c=0的判别式的值．(1985年苏州市初中数学竞赛题)
4．设有n 个实数x 1，x 2，…，x n ，其中每一个不是+1就是-1，且12x x +23x x +…+1
n n
x x ＋1
n x x =0，求证：n 是4的倍数．(1985合肥市初中数学竞赛题) 5．把n 2个互不相等的实数排成下表：
a 11，a 12，…，a 1n ，
a 21，a 22，…，a 2n ，
……
a n 1，a n 2，…，a nn ．
取每行的最大数得n 个数，其中最小的一个是x ；再取每列的最小值，又得n 个数，其中最大的一个是y ，试比较x n 与y n 的大小．(1982年上海市高中数学竞赛题)
6．把1980分解成连续整数之和．(1980年长沙市高中数学竞赛题)
7．求证：当n 为自然数时，2(2n +1)形式的数不能表示为两个整数的平方差．(1990年西安市初中数学竞赛题)
8．设n 是正的偶数，试问下列诸数：
1×(n -1)，2×(n -2)，…，(n -1)×1
中哪个数最大？为什么？(1989年浙江省初二数学竞赛题)
9．有一无穷小数A =0.a 1a 2a 3…a n a n +1a n +2…，其中a k (k =1，2，…)是0，1，2，…，9中的一个数，且a 1为奇数，a 2为偶数，a 3等于a 1+a 2的个位数，a 4等于a 2+a 3的个位数，…，a n +2等于a n +a n +1的个位数．求证：A 是一个循环小数．(1991年浙江省初中数学竞赛题)
10．在99张卡片上分别写着数字1，2，3，…，99，现将卡片顺序打乱，让空白面朝上，再在空白面上分别写上1，2，3，…，99，然后将每一张卡片两个面上的数字相加，再将这99个和数相乘，问这个乘积是奇数还是偶数？说明理由．(1991年浙江省初中数学竞赛题)
11．桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中的一枚，按这样的方法翻动硬币，问能否使桌上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上？说明你的理由．(1992年浙江省初中数学竞赛题)
12．求证：不存在两个连续的奇数，每个都可写成两个整数的平方和．
13．已知一个整数n ，当它减去48所得的差是一个整数的平方，当它加上41所得的和是另一个整数的平方，求n ．(1984年苏州市高中数学竞赛题)
14．给定自然数a ，b ，求证：(1)如果ab 是偶数，那么一定可以找到两个自然数c 和d ，使得a 2+b 2+c 2=d 2；(2)如果ab 是奇数，那么满足a 2+b 2+c 2=d 2的自然数c 和d 一定不存在．(1980年北京市初中数学竞赛题)
15．平面上的任意五个格点，若任何三点都不在同一条直线上，求证：以其中三点为顶点的所有三角形中，至少有一个面积为整数．
16．设数列{a n }：1，9，8，5，…，其中a i +4是a i +a i +3的个位数字(i =1，2，…)，
求证：222198519862000
a a a +++ 是4的倍数． 17．存在多少个不同的七位数字，其数字和为偶数．
18．设a ，b 是正整数，求证：仅有有限个正整数n 存在，使得
1122n n
a b ????+++ ? ??
???是整数．(1992澳大利亚数学竞赛题) 19．设a ，b ，c 是奇自然数，求证：方程ax 2+bx +c =0没有形如p q 的解，其中p ，q 是整数．(1991澳大利亚数学通讯赛题)
20．求满足|12m -5n |=7的全部正整数解．(第30届加拿大IMO 训练题)
21．求证：x 2+y 2=1983没有整数解．
22．求证：方程2x 2-5y 2=7没有整数解．
23．是否有整数m ，n 使得5m 2-6mn +7n 2=1987？
24．求证：5x +2=17y 没有正整数解．
25．求证：四个正整数之和为13时，它们的立方和不可能是120．你能否把这个命题推广到一般的情形？请证明你的结论．
26．一张8×8的方格纸，任意把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂成白色，接着对涂了色的方格纸进行“操作”，每次操作把任意横行或者竖列上每个方格同时变换颜色，问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？
27．用0至9十个不同数字，组成一个能被11整除的最大十位数．
28．在一个凸n 边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n 边形的顶点之间，用线段连结起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n 边形分为只有三角形的小块．求证：这种小三角形的个数与n 的奇偶性相同．
29．在1，2，3，…，1989之间填上“+、-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？(第15届全俄中学生数学竞赛题)
30．三个质数之积恰好等于它们和的7倍，求这三个质数．
31．置于暗室的一只抽屉内装有100只红袜子，80只绿袜子，60只蓝袜子，40只黑袜子，一个人从抽屉中选取袜子，但他无法看清所取袜子的颜色．为确保取出的袜子至少有10双(一双袜子是指两只相同颜色的袜子，但每只袜子只能一次用在一双中)，问至少需取多少只袜子？(第37届美国中学生数学竞赛题)
32．如图表示64间陈列室，凡邻室皆有门相通，一人从A 进，从B 出，但要求每室都到且只到一次，问这种路线是否存在？
33．求证：不存在三阶幻体．即将数1，2，…，27填入3×3×3的立方体中，不可能使所有“共线”的三数之和均相等．
34．设a ，b 是自然数，且有关系式123456789=(11111+a )(11111-b )，求证：a -b 是4的倍数．(1990年日本高考数学题)
35．求证：方程x 2+4xy +4y 2+6x +12y =1986无整数解．
36．已知多项式x 3+bx 2+cx +d 的系数都是整数，并且bd +cd 是奇数，求证：这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积．(1963年北京市中学数学竞赛题)
37．求证：x 4+1980x 2+2000x +1990不可能分解成两个整系数二次三项式之积．
38．设有7个3的不同方幂：13x ，23x ，…，73x ，(x i ≥0，i =1，2，…，7)．求证：可以从中找到四个数，它们的积等于某整数的四次方．
39．求出所有的正整数m ，n ，使得(m +n )m =n m +1413．
(1987年第2届东北三省数学邀请赛题)
40．给定关于x ，y 的方程组
22200
y x a y xy x b --=??-+-=? (其中a ，b 是整数)． 求证：如果这个方程组有一组有理数解，那么这组有理数一定是整数．
41．求证：勾股三角形(即边长为整数的直角三角形)的两条直角边长不可能是两个差为2的质数．
42．设n为大于2的整数，求证，可以找到一个整数边长的直角三角形，它的一条边长等于n．
43．设a，b，c为三个偶数，且a>b>c>0，它们的最小公倍数为1988．当a在它可取值的范围内取最小的一个时，试确定a，b，c可能组成的数组．(1988年天府杯初中数学竞赛题)
44．设有101个自然数，记为a1，a2，…，a101，已知
a1+2a2+3a3+…+100a100+101a101=S是偶数，求证：a1+a3+…+a99+a101是偶数．45．设n为正整数，k为大于1的正整数，求证：n k是n个连续奇数之和．46．设a，b，c为正整数，n为正奇数．如果a+b+c可被6整除，求证：a n+b n+c n可被6整除．
47．求证：任何形如2n的正整数，都不可能表示为两个或两个以上的连续整数之和，而其他形式的正整数都可以表示为这样的和．
48．设a，b，c，d都是奇数，0 49．设点O在凸1000边形A1A2...A1000内部，用整数1，2， (1000) 1000边形的各边任意编号，用同样的整数把线段OA1，OA2，…，OA1000任意编号．问能否找到这样一种编号法，使△A1OA2，△A2OA3，…，△A1000OA1各边上的号码和相等？ 50．已知如下数表： 将它的任一行或任一列中的所有数同时变号，称为一次变换．问能否经过若干次变换，使表中的数全变为正数？ 51．设集合M由奇数个元素组成，如果对于M中的每一个元素x，都有一个唯一确定的集合H x M与x对应，并且满足条件：(i)对于任意x∈M，都有x∈H x；(ii)对于任意两个元素x，y∈M，当且仅当y∈H x时，x∈H y．求证：至少有一个H x由奇数个元素组成．(1987年安徽省数学竞赛题) 52．在两张1994×1995的方格纸上涂上红蓝两种颜色，使得每一行及每一列都有偶数个方格是蓝色的，如果将这两张纸重叠时，有一个蓝格与一个红格重合，求证：至少还有三个方格与不同颜色的方格重合． 53．m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4n的最大值是多少？请证明你的结论．(第2届全国中学生数学冬令营试题) 54．在4000与7000之间有多少个偶数具有4个不同的数字？ (1993年第11届美国数学邀请赛试题) 55．设E ={1，2，3，…，200}，G ={a 1，a 2，…，a 100}?E ．且G 具有下列两条性质： (i)对任何1≤i ≤j ≤100，恒有a i +a j ≠201； (ii)100 1i i a =∑=10080． 求证：G 中的奇数的个数是4的倍数，且G 中所有数字的平方和为一个定数．(1990年全国高中数学联赛题) 56．每个正整数都可以表示成一个或者多个连续正整数之和，试对每个正整数n ，求n 有多少种不同的方法表示成这样的和．(1992年中国台北第1届数学竞赛题) 57．设r 为正整数，定义数列{a n }如下：a 1=1．且对每个正整数n ， a n +1=22(1)2 r n ma n n +++．求证：每个a n 都是正整数，且确定对哪些n ，a n 是偶数．(1992年中国台北第1届数学竞赛题) 习题一解答 1．(1)B ．(2)D ．(3)B ．(4)C ．(5)C ．(6)C ．(7)C ．(8)B ．(9)C ．(10)A ．(11)A ．(12)B ．(13)B ． 2．由于这13对数的差的和为0，所以不可能每对数的差都是奇数(原因是它们的和为奇数)．于是至少有一对数的差为偶数，即13对数的差的积必为偶数． 3．用反证法．设△=b 2-4ac =1986=4k +2(k 为正整数)，这时b 2能被2整除，因而b 为偶数，令b =2t ，b 2=4t 2且4t 2-4ac =4k +2．这时等式左边的数被4整除，而右边的数不能被4整数，矛盾． 4．由于n 个实数x 1，x 2，…，x n 中每一个不是+1就是-1，所以n 个实数12 x x ，23x x ，…，1 n x x 中每一个不是+1就是-1．设其中有a 个+1，b 个-1，则a +b =n ．又由12x x +23x x +...+1n x x =0，即a -b =0，∴a =b =2n ．又由于12x x .23x x .. (1) n x x =1，即1a ·(-1)b =-1，∴b 为偶数，设b =2m ，则n =4m ． 5．设x =a ij ，y =a pq ，a ij ≥a iq ≥a pq ，∴x ≥y ．(1)当n 是奇数时，x n ≥y n ；(2)当n 是偶数时，(i)如果x ≥y ≥0，则x n ≥y n ；(ii)如果0≥x ≥y ，则x n ≤y n ；(iii)如果x ≥0≥y ，则当x ≥-y 时，x n ≥y 时，x n ≤y n ． 6．设1980=a +(a +1)+…+(a +n -1)，即na +12 n (n -1)=22·32·11·5， 故有n (2a +n -1)=23×32×11×5．易知n 与2a +n -1有不同的奇偶性，由此可得n ，2a +n -1与a 的取值如下表： 可知分解成连续正整数的分解法有12种，分解成含有负整数的分解法也有12种，共有24种不同的分解法． 7．应用反证法，进行奇偶性分析． 8．所列各数可表示为i (n -i )(i =1，2，…，n -1)，由于 i (n -i )=-i 2+in =-(i 2-2·2n ·i +24n )+24n =24 n -(i -2n )2．故当i =2n 时，i (n -i )取得最大值，且最大值为2n (n -2n )=2 4 n ． 9．由题设知：A =0.a 1a 2…a n a n +1…中的a i 是0，1，2，…，9中的数，而a 1是奇数，a 2是偶数，a 3是由a 1+a 2确定的，个位数必为奇数，以下类推，可知有如下规律： A =0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇…… 因为0，1，2，…，9这10个数字只能组成不同的奇偶数组25个，开首的不同奇偶数组，便决定了不同的A ．另一方面，对于每一个A ，至多在小数点后第26个奇偶组之后便开始循环，出现重复的奇偶组，因此，A 必然是循环小数． 10．因为1，2，…，99中，奇数个数多于偶数个数，两面数字之和中必有一个是两面为奇数的情况，此时必然得到其和为偶数，99个和的乘积也必然是偶数． 11．能．按题目规定的翻法，共翻了1+2+3+…+1993=1993×997(次)，平均每枚硬币翻动了997次，这是奇数．翻动奇数次的结果，必使硬币朝向相反，只要在翻动n 个硬币时，选择翻动1993-n 个硬币时所剩余的硬币，则每个硬币恰好都翻动了997次，故能使所有1993枚硬币都反了面，将原来朝下的一面都变成朝上． 12．可表成两整数的平方和的奇数必是4m +1型，故不存在． 13．设n -48=m 2，n +41=l 2，解得m =±44，l =±45，∴n =48+442=1984． 14．(1)分两种情况讨论：a ，b 一奇一偶，则a 2+b 2为奇数．可设a 2+b 2=2k +1，所以a 2+b 2+k 2=(k +1)2．故可找到c =k ，d =k +1，使a 2+b 2+c 2=d 2成立；a ，b 同为偶数，则a 2+b 2是4的倍数，可设a 2+b 2=4m +4，所以，a 2+b 2+m 2=(m +2)2，故可找到c =m ，d =m +2，使a 2+b 2+c 2=d 2成立． (2)∵ab 是奇数，∴a ，b 都是奇数．不妨设a =2m+1，b =n +1，则 a 2+ b 2=(2m +1)2+(2n +1)2=4m 2+4n 2+4m +4n +2．可见a 2+b 2是偶数，但不能被4整除．如果存在 c ， d ，使a 2+b 2+c 2=d 2成立，则d 2-c 2=(d +c )(d -c )应为偶数，即d +c 与d -c 应都是偶数，因此a 2+b 2=d 2-c 2必能被4整除，这就导致了矛盾． 15．设五个格点为A k ，其坐标是(x k ，y k )(k =1，2，3，4，5)．在五个整数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中至少有三个同是奇数或者同是偶数．不妨设三个整数为x 1，x 2，x 3，则x 1-x 3和x 2-x 3都是偶数． △A 1A 2A 3的面积=11223311121 x y x y x y =12|(x 1-x 3)(y 2-y 3)-(x 2-x 3)(y 1-y 3)|． ∵y 2-y 3和y 1-y 3都是整数，∴(x 1-x 3)(y 2-y 3)-(x 2-x 3)(y 1-y 3)是偶数，∴△A 1A 2A 3的面积为整数． 16．当原数列中a i 为奇数，偶数时，分别记b i 为1，0，则得数列{b i }：1，1，0，1，0，1，1，0，0，1，0，0，0，1，1，1，1，0，1，0，…且a i 与b i 的奇偶性相同．由观察及{a i }，{b i }的定义可见，{b i }从第15项开始出现循环，即 b i =b i +15．∵1985=15×132+5，1986=15×132+6，…，2000=15×133+5，∴b 1985=b 5=0，b 1986=b 6=1，…，b 2000=b 5=0，即在a 1985到a 2000的16项中，奇数，偶数各有8项．由 于偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，∴21985a +…+22000a 是4的倍数． 17．研究以下10个七位数： a 1a 2a 3a 4a 5a 60，a 1a 2a 3a 4a 5a 61，…，a 1a 2a 3a 4a 5a 69，这里a 1，a 2…，a 6为任意数字，且a 1≠0．显然数字和为偶数的有5个．第一个数字a 1可以取9个不同的值，a 1，a 2…，a 6中的每一个可以取10个不同的值，∴存在9·105·5=45·105个不同的七位数字，其数字和为偶数． 18．当n 为偶数时，(2a +1)n +(2b +1)n =(4a 2+4a +1)2n +(4b 2+4b +1)2 n 是奇数的2倍， 不能被2n 整除，所以(a +12)n +(b +12 )n 不可能是整数；当n 为奇数时，(2a +1)n +(2b +1)n =2(a +b +1)[(2a +1)n -1-(2a +1)n -2(2b +1)+…+(2b +1)n -1]．这里第二个括 号内有n 个奇数项，它们的代数和为奇数，所以若(a +12)n +(b +12)n 是整数，必有2n 整除2(a +b +1)，显然这样的整数n 只有有限个． 19．假设x =p q 是方程的解，(p ，q )=1，则方程可化为ap 2+bpq +cq 2=0．由已知a ，b ，c 为奇数．(1)当p ，q 都为奇数时，方程左边=奇数，而右边为零，矛盾：(2)当p ，q 为一奇一偶时，可推知方程左边仍为奇数，矛盾． 20．若5n -12m =7，两边mod4，得1≡3(mod4)，这不可能．若12m -5n =7，而m ，n 中有一个大于1，则另一个也大于1，mod3可得(-1)n +1≡(mod3)，∴n 为奇数，而mod8可得-5n ≡-1(mod8)．∵n 为奇数，上式导出-5≡-1(mod8)．矛盾！∴m =1，n =1是唯一的解． 21．显然x ，y 的奇偶性相反．若x =2n ，则y =2k +1，(2n )2+(2k +1)2=1983，即 4(n 2+k 2+k )=1982，但41982，∴方程x 2+y 2=1983没有整数解． 22．设方程有整数解，则y 应是奇数，可设为y =2k +1，则2x 2-5(2k +1)2=7，整理得x 2-10k 2-10k =6，可见x 是偶数．设x =2M ，则有2M 2-5k (k +1)=3，因k (k +1)是偶数，而两个偶数之差不可能等于奇数，因此等式不成立，原方程没有整数解． 23．容易看出，若m ，n 同奇同偶，所给方和左边为偶数，而1987是奇数，矛盾．所以m ，n 一奇一偶，从而m +n 与m -n 是奇数．原方程为 4(m -n )2+(m +n )2+2n 2=1987．① (1)若n =2k ，m -n =2l +1，m +n =2p +1，由①式得4(2l +1)2+(2p +1)2+2(2k )2=1987， 即 16(l 2+l )+4p (p +1)+8k 2+5=1987．② ∵p (p +1)是偶数，∴16(l 2+l )+4p (p +1)+8k 2能被8整除，则②式可写成8M +5=1987，但1987被8除余3，故上式不可能成立． (2)若n 为奇数时，类似可推出②式左边为8k +7，矛盾，故满足要求的整数m ，n 不存在． 24．设有正整数x ，y 使得5x +2=17y ，即(3·2-1)x +2=(3·6-1)y ， ∴3k +(-1)x +2=3l +(-1)y ，即(-1)x +2=3m +(-1)y ．若y 为奇数，则(-1)x =3(m -1)，这不可能，∴y 必须是偶数．另一方面，由5x +2=17y =(5·3+2)y =5M +2y ，知2y -2可被5整除，但y 为偶数时，2y -2的末位数是2或4，又得矛盾． 25．由已知可知四数必是三奇一偶或一奇三偶，不论哪一种，四数之立方和为奇数，不可能为120．一般命题：如果偶数个正整数之和为奇数，则它们的幂之和必为奇数． 26．回答是否定的．可用奇偶性来证明：设横行或竖列内含k 个黑色方格及8-k 个白色方格(0≤k ≤8)．当改变方格颜色时，即得8-k 个黑色方格和k 个白色方格，因此，每进行一次操作，黑色方格数“增加了”(8-k )-k =8-2k (即改变了一个偶数)．于是无论进行多少次操作，方格纸上黑色方格数目的奇偶性无变化．所以原来32个黑色方格(偶数)进行操作后，最后还是有偶数个黑色方格，决不会得到恰有一个(奇数)黑色方格的方格纸． 27．设十位数中，五个奇数位数字之和为a ，五个偶数位数字之和为 b (10≤a ≤35，10≤b ≤35)，则a +b =45．又十位数能被11整除，则a -b 应为0，11， 22．由于a +b 与a -b 有相同的奇偶性，经分析所求的十位数是9876524130． 类似地，我们还可以求出由0到9十个不同数字组成的能被11整除的最小十位数为1203465879． 28．设小三角形的个数为k ，则k 个小三角形共有3k 条边，减去n 边形的n 条边及重复计算的边数后共有12(3k -n )条线段．显然只有k 与n 有相同的奇偶性时，12 (3k -n )才是整数． 29．除995外，可将1，2，…，1989所有数分为994对：(1，1989)，(2，1988)，…，(994，996)，每对数中两个数的奇偶性相同，所以在每对数前无论放置“+”、“-”号，运算结果只能是偶数．而995为奇数，所以数1，2，…，1989的总值是奇数，于是所求的最小非负数不小于1；数1可用下列方式求得：1=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(1986-1987-1988+1989)． 30．设三个质数分别为x ，y ，z ，则x +y +z =7 xyz ，∴x ，y ，z 中必有一个是7．若x =7，则yz =y +z +7，即(y -1)(z -1)=8．利用奇偶性分析求得y =5，z =3． 31．注意到一种袜子至多一只无配偶，而且，某一种颜色的袜子有一只无配对 该颜色的袜子取了奇数只．当取出袜子总数是奇数时，最坏的可能是有三种颜色为奇数只，由此可知至少要取23只袜子。 32．把第i 行第j 列的室记为a ij ，转化的方法是利用相邻的室i +j 的奇偶性不同．注意从一角A 到其对角B ，B 为a 81，A 为a 18，1+8与8+1为奇数．从A 出发要穿过64道门才到达B ，每穿过一个门，i +j 的奇偶性变化一次，变化63次不可能从奇数变到奇数，所以满足题设要求的路线不存在． 33．用反证法．若幻体存在，则相等的和为42．首先，幻体的每个面为三阶幻方．如下左图，将幻方标为9个位置，不难证明：5号位置只能排偶数．事实上，若5号为奇，则1，9必须一奇一偶；设1号为奇，则9号为偶，从而2，3必一奇一偶；设2号为奇，3号为偶．依次推得4号为偶，6号为奇，7号为偶，这样，3，5，7号位三数之和为奇数．其次，3×3幻方奇偶性分布只有两种可能：一种是六奇三偶，另一种是四奇五偶．注意到1，2，…，27中共14个奇数，从而幻体的上、中、下三层幻方中有且只有一个是第一类的．最后考虑每层行方的4号位，三数中两偶一奇，其和不可能为42． 34．由已知有 11111(a -b )=ab +4×617．① ∵a >0，b >0，∴a -b >0．首先易知a -b 是偶数，否则11111(a -b )是奇数，从而知ab 是奇数．进而知a ，b 都是奇数，知11111+a 及11111-b 都为偶数，这与已知矛盾．其次，从a -b 是偶数及①知ab 为偶数，进而知a ，b 都为偶数，从而ab +4×617是4的倍数，由①知a -b 是4的倍数． 35．方程左边=(x+2y )2+6(x +2y )=(x +2y )(x +2y +6)，故原方程为 (x +2y )(x +2y +6)=1986．由于x +2y 和x +2y +6同奇同偶，即(x +2y )(x +2y +6)或者是奇数或者是4的倍数，而1986既不是奇数又不是4的倍数，∴原方程无整数解． 36．假设f (x)=x 3+bx 2+cx +d 能分解为两个整系数多项式之积，则对所有实数 x 都有 x 3+bx 2+cx +d =(x +p )(x 2+qx +r )．① 令x =1，则1+b +c +d =(1+p )(1+q +r )．② 又由①有pr =d ，pq +r =c ，p +q =b ．③ ∵bd +cd =(b +c )d 是奇数，因此b +c 和d 为奇数，又由pr =d 可得p 和r 为奇数．考察②式，左边为1，b +c 和d 的和，即三个奇数之和，而右边的1+p 为偶数，于是②式不可能成立，从而①式不成立．即这个多项式不能分解成两个整系数多项式的乘积． 37．设原式=(x 2+ax +b )(x 2+cx +d )，则 a +c =0，① b +a c + d =1980，② bc +ad =2000，③ bd =1990．④ 由④，b ，d 一奇一偶．否则，要么bd 为奇数，要么bd 被4整除，都不可能等于1990．不妨设b 为奇数，d 为偶数，考察方程③，因d 为偶数，2000为偶数，则bc 为偶数，而b 为奇数，所以c 为偶数．再考察②，已有b 为奇数，c ，d 都为偶数，可知b +ac +d 为奇数，这与1980为偶数矛盾． 38．任三个数中必有两个同奇同偶，∴x 1，x 2，…，x 7中必有三组同奇同偶 的数组，设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6．这样y 1=122x x +，y 2=342x x +，y 3=562 x x +都为整数，且它们中也必有两个同奇同偶，设为y 1，y 2，于是 x =122y y +=12344 x x x x +++为整数，由此312443333(3)x x x x x ???=． 39．由于n m +1413=(m +n )m ≥m m +n m ，∴m m ≤1413，∴m ≤4．若m 为偶数，则不 论n 为奇数还是偶数，①式的左右两边一边为奇数，一边为偶数，都不可能成立，于是m 为奇数，m =1或3．当m =1时，则n +1=n +143不可能成立；当m =3时，则由(3+n )3=n 3+1413解得n =11或n =-14(舍去)．于是，所求的所有正整数m ，n 为m =3，n =11． 40．由①得x =2 y a -…③，代入②并整理得3y 2=4b -a 2，(3y )2=3(4b -a 2)…④． 假设x ，y 是满足①，②的有理数，则x ，y 也满足③，④．∵a ，b 是整数，∴④式右边为整数，于是(3y )2为整数，∴3y 也必是整数．又由④式，(3y )2是3的倍数，∴3y 也是3的倍数，∴y 是整数．以下证x 是整数：由④式有3y 2+a 2=4b 2，∵4b 是偶数，∴3y 2和a 2的奇偶性相同．∵3为奇数，∴y 和a 的奇偶性相同，∴y -a 为偶数，由③式，x 为整数． 41．设勾、股分别是质数p 及p +2(p ≠2，否则p +2=4不是质数)，弦为正整数k ．由p 2+(p +2)2=k 2，得2p 2+4p +4=k 2．上式左边是偶数，故k 为偶数．设k =2m ， 得2p 2+4p +4=4m 2，即p 2+2p +2=2m 2．又因p 为奇数，这样，上式左端为奇数，而右端为偶数，这是不可能的． 42．若n 为奇数，则n 2为奇数．又n >2，从而n 2+1，n 2-1为正偶数．由恒 等式(212n -)2+n 2=(212 n +)2知结论成立；若n 为偶数，则n 2为4的倍数，又n>2，从而是大于1的整数．由恒等式(24n -1)2+n 2=(24 n +1)2知结论成立． 43．∵a ，b ，c 为偶数，∴a ，b ，c 必都含有因数2．∵a ，b ，c 的最小公倍数为1988，将1988分解成质因数的连乘积．由a >b >c 知，a 必含有质因数2与71；b 必含有质因数2与7；c 必含有因数2．从而a 可取4×7×71，2×7×71，4×71，2×71．当a 取诸a 值中最小的一个值时，a =2×71=142．从而b 可取4×7，2×7；c 可能取2×7，4，2．故(a ，b ，c )=(142，28，14)，(142，28，4)，(142，28，2)，(142，14，4)，(142，14，2)． 44．设a 1+a 3+…+a 99+a 101=P ，则 a 1+2a 2+…+101a 101=P +(2a 2+4a 4+…+100a 100)+(2a 3+4a 5+…+100a 101)=P +2[(a 2+2a 4+…+50a 100)+(a 3+2a 5+…+50a 101)］．即S =P +偶数，而已知S 是偶数，所以P 是偶数． 45．利用辅助命题“设n 与m 是两个奇偶性相同的正整数，则mn 是n 个连续奇数的和”证明． 46．只须证a n +b n +c n 既可被2整除，又可被3整除．因a n 与a ，b n 与b ，c n 与c 分别具有相同的奇偶性，知a n +b n +c n 与a +b +c 具有相同的奇偶，因后者可被6整除，是偶数，知a n +b n +c n 也为偶数，可被2整除． 为证a n +b n +c n 可被3整除，可利用性质“若n 为正奇数，k 为正整数，则k n 与k 被3除的余数相同”． 现证此性质：设n 是大于1的正奇数，则有n -1=m ·2l ．其中l 为正整数，m 为正奇数，于是 11221 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)l l l l l l n m m m m m m k k k k k k k k k k k -+--+??????-=-=-+=-++这个分解过程可以一直进行下去，得到k n -k =k (k -1)(k +1)·p ，其中p 是关于k 的整多项式．由于k -1，k ，k +1是3个连续整数，其中一定有一个是3的倍数，所以k n -k 可被3整除，亦即k n 与k 被3除的余数相同． 47．因2n 仅含有因子2，不含有任何大于1的奇数因子，但若干个连续整数 之和为m +(m +1)+…+(m +k )=12 (2m +k )(k +1)， 由于2m +k 与k +1具有不同的奇偶性，所以其中必有一个(大于1的)奇数因 子，∴2n 不可能表示为若干个连续整数的和．设r 为奇数，则12(r +1)与12 (r -1)是两个连续整数，且有r =12(r +1)+12(r -1)．设r 为偶数，但r ≠2n ，则存在奇数p >1，和正整数l ，使r =p ·2l ，于是有 r =12 [(p +1)+(p -1)+(p +3)+(p -3)+…+(p +2l +1-1)+(p -2l +1+1)] 其中12(p -2l +1+1)，12(p -2l +1+3)，…，12(p -1)，12(p +1)，12 (p +2l +1-1)是2l +1个连续整数． 48．因a [(a +d )-(b +c )]=a 2+ad -ab -ac =(a -b )(a -c )>0，知a +d >b +c ，即2k >2m ，k >m ．又ad=bc ，即a (2k -a )=b (2m -b )，移项后得2m (b -2k -m a )=b 2-a 2=(b +a )(b -a )．因为a ，b 为奇数，所以b -2k -m a 也为奇数，b +a 与b -a 为偶数．另外b +a 与b -a 不可能都是4k 型或都是4k +2型偶数，否则它们的差应为4的倍数，但(b +a )-(b -a )=2a 不是4的倍数．这就是说b +a 和b -a 中有一个为4k +2型的数，将该数记作x ，由于2m -1≤x ≤b +a 122(2)m k m b a b a b a --?+=??-=-??或12(2)2 k m m b a b a b a --?+=-??-=?? 解得a ·2k -m +1=2m -1．因a 为奇数，故只可能a =1． 49．设各三角形三边上的号码和分别为S 1，S 2，…，S 1000，则当S 1=S 2=…=S 1000=S 时，1000S =S 1+S 2+…+S 1000=3(1+2+…+1000)=32 ×1000×1001，得2S =3003，矛盾！所以找不到这样的编号法． 50．因每次变换改变表中6个数的符号，而(-1)6=1，所以每次变换不会改变所变动的那行(或列)中6个数的乘积之符号，从而也不改变全表中36个数乘积之符号．这样，无论操作多少次变换，表中36个数之积总是负的．但全表中所有数为正时，36个数之积为正． 51．用反证法．将M 中的元素用点表示，如果y ≠x 且y ∈H x ，就在x ，y 之间连一线段，由条件(ii)知这条线段也表示x ∈H y ． 若H x 中元素的个数是偶数，因为由条件(i)x ∈H x ，故从x 引出的线段必是奇数条．现设所有H x 中元素的个数都是偶数，那么从M 中每一点引出的线段的条数的总和为k =奇数个奇数之和=奇数．另一方面，由于每条线段连接M 中的两个点，所以k 是图中所有线段的2倍，必是偶数，矛盾． 52．若某行有一个异色格相叠，则该行至少还有一个异色格相叠．否则，相叠两行蓝色小方格数之和为奇数，从而必有一张表上有一行蓝色小方格为奇数，与题设矛盾． 同理，某列有一个异色格相叠，则该列至少还有一个异色格相叠． 53．设a i (i =1，2，…，m )是互不相同的正偶数，b j (j =1，2，…，n )是互不相同的正奇数，且a 1+a 2+…+a m +b 1+…+b n =1987． 由a 1+a 2+…+a m 是偶数，1987是奇数，知n 为奇数．∵a i 互不相同，故 a 1+a 2+…+a m ≥2+4+…+2m =m (m +1)． 同理b 1+…+b n ≥1+3+…+2(n -1)=n 2，∴m 2+mn +n 2≤1987，即 (m +12)2+n 2≤1987+14 ． 于是问题归结为在这个条件下求3m +4n 的最大值．由平均不等式，易得 3(m +12)+4n ∴3m +4n ，3m +4n ≤221． 另一方面，当m =27，n =35时，有3m +4n =221且满足条件m 2+mn +n 2≤1987，故所求最大值为221． 54．设四位偶数为abcd ，则a =4，5，6，d =0，2，4，6，8．当d 取0，2，8时，a 可取4，5，6．此时有3×3×8×7个符合题设的数．当d 取4或6时，a 可取6或4，此时有2×2×8×7个符合题设的数，故共有 3×3×8×7+2×2×8×7=728个数． 55．将集E 中的数分成100个数对：(2p ，201-2p )(p =1，2，…，100)．由条件(i)，每一对数不能同属于集G ．但G 有100个数，所以上述每一对中必恰有一个数属于G ，易知这样的100个数满足条件(i)．试取E 中所有偶数，则其和为12 ×100×(2+200)=10100>10080，这说明G 不能全由偶数组成．试将k 个偶数2p 1，2p 2，…，2p k 换成奇数201-2p 1，201-2p 2，…，201-2p k ，使新的100个数总和为10080，即10100-112(2012)k k i i i i p p ==+-∑∑=10080，亦即 20-41k i i p =∑=-201k ，① 上式左边是4的倍数，右边201与4互质，所以G 中奇数个k 是4的倍数．G 中各数平方和为 10021(2)i i =∑-2 211(2)(2012)k k i i i i p p ==+-∑∑=410021i i =∑+201(201k-41k i i p =∑) =4×16 ×100×101×201-201×20=1349380． 56．设n 可以表示成m 个连续正整数之和．令n =k +(k +1)+…+[k +(m -1)]，则 n =mk +(1)2m m -=m 2(1)2k m +-?? ??? ① (1)若m 为奇数，则m -1为偶数，从而由①知m |n ，且(1)2 m m - ② 反之，由上述推理知，对n 的每个满足②的奇因数m ，相应有n 的一个表达式n =k +(k +1)+…+[k +(m -1)]． (2)若m 是偶数，把②改写成2n =m (2k +m -1)．由于2k +m -1是奇数， 所以m 是2n 的偶因数，且满足条件：若2t ‖n ，则2t +1‖m ．这里符合2t ‖n 的含义是：2t |n ，但2t +1n ．此外，与(1)相同，m 还应满足(2)．反之，对于每个满足上述条件的m ，相应有n 的一个表达式n =k +(k +1)+…+[k +(m -1)]． 综上讨论，若对每个n ∈N ，记所求的表示为和的方法总数为f (n )，则f (n )=f 1(n )+f 2(n )，其中f 1(n )是n 的满足不等式②的因数的个数；f 2(n )是n 的满足②且满足条件：若2t ‖n ，则2t +1‖m 的偶因数m 的个数． 57．由所设有(n +2)a n +1=na n +2(n +1)2r ，两边同乘以n +1，得 (n +2)(n +1)a n +1=(n +1)na n +2(n +1)2r +1．令b n =(n +1)na n (n =1，2，…)，便得b n +1=b n +2(n +1)2r +1(n =1，2，…)，或b k -b k -1=2k 2r+1(k =2，3，…)， ∴b n =12()n k k k b b -=∑+b 1=21 22n r k k +=∑+2(∵b 1=(1+1)+1×a 1=2)=2211n r k k +=∑=2n 2r +1+1211n r k k -+=∑+1211() n r k n k -+=-∑=2n 2r +1·121211[()]n r r k k n k -++=+-∑．注意到2r +1是奇数，故k +(n -k )|k 2r+1(n -k )2r +1，即n |k 2r +1+(n -k )2r +1，∴n |b n ．再将b n 改写成b n =211n r k k +=∑+211(1)n r k n k +=+-∑=21211[(1)]n r r k k n k ++=++-∑，即得n+1|b n ．由于n ，n +1互质，故n (n +1)|b n ，从而a n =(1) n b n n +(n =1，2，…)是正整数． 可用数学归纳法证明a n 为偶数． 函数单调性奇偶性经典练习 一、单调性题型 高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主. （一）函数单调性的判断 函数单调性判断常用方法： 121212121212()()0()()()()0()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x g x f x f x g x f x g x g x g x f x ->>??>Q 210x x ∴->，1(4)0x ->，2(4)0x -> 12()()f x f x ∴> 故函数()f x 在区间(4)+∞，上为减函数. 练习1 证明函数21 ()3 x f x x -=+在区间(3)-+∞，上为减函数（定义法） 练习2 证明函数2()f x x =2()3 -∞，上为增函数（定义法、快速判断法） 练习3 求函数3 ()2 x f x x -=+定义域，并求函数的单调增区间(定义法) 练习4 求函数()f x x =定义域，并求函数的单调减区间（定义法） 一、简答题 1、设． （1）判断函数的奇偶性； （2）求函数的定义域和值域． 2、设函数 （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）求在区间的最大值和最小值． 3、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数． (1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|； (3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值． 4、经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝115－|t－15|. (1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)． 5、某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是： P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*) (1)写出第x月的需求量f(x)的表达式； (2)若第x月的销售量g(x)＝ (单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403) 6、已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋a ln x(a为常数)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程； (2)当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间． 7、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因； (2)若该公司采用模型函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值． 8、已知函数图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底,); (Ⅲ)令,如果图象与轴交于,AB中点为,求 证:. 9、已知命题p：函数y＝log a(1－2x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x 恒成立．若p∨q是真命题，求实数a的取值范围． 函数单调性与奇偶性经典例题透析 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 函数单调性与奇偶性经典例题透析（一） 讲课人：张海青 授课时间：2014年9月23日 授课地点：教学楼二楼多媒体（二） 授课对象：高三文科优生 授课过程： 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴ ∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象. 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 函数奇偶性 知识梳理 1. 奇函数、偶函数的定义 （1）奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-， 则这个函数叫奇函数. （2）偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=， 则这个函数叫做偶函数. （3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性. （4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数. 注意：（1）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =． （2）若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数． 2．奇(偶)函数的基本性质 (1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反． 3. 判断函数奇偶性的方法 （1）图像法 （2）定义法 ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 例题精讲 【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数，求b 的值. 解：∵函数 f (x )＝ax 2＋bx 是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴ax 2＋bx= ax 2-bx. ∴2bx=0. ∴b ＝0. 【例3】已知函数21()f x x =在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象. 题型一 判断函数的奇偶性 【例4】判断下列函数的奇偶性. （1）2()||(1)f x x x =+； （2）1()f x x x =； 《函数的奇偶性》教案 授课教师 授课时间：授课班级： 教材：广东省中等职业技术学校文化基础课课程改革实验教材《数学》（广东高等教育出版社出版） 教材主要特点：这本教材注意与初中有关知识紧密衔接，注重基础，增加弹性，使用教材可以根据有关专业的特点，选用相关的章节，教学要求和练习内容分A、B两档，适应分层教学。练习A的题目主要是基础练习，供全体学生学习，也是最低的要求；练习B的题目为拓展延伸的练习，供学有余力并且准备进一步深造的学生学习。 教学要求：教师在授课时主要是探究用奇、偶函数的定义判断函数的奇、偶性，奇、偶函数的性质（课本不要求证明）是作为拓展延伸的内容，以学生自学为主，教师适当给予辅导。教材已经分层编写，有利于实施分层教学时可以不分班教学。 任教班级特点：会计072班共有学生62人，男生6人，女生56人。学生数学平均入学成绩为58.3分，上课纪律良好，学生上课注意力比较集中，使用了这本教材后，绝大多数学生喜欢学数学，学生的学习成绩越来越好。 【教学过程】： 一、创设情境，引入新课 [设计意图：从生活中的实例出发，从感性认识入手，为学生认识奇偶函数的图像特征做好准备] 对称性在自然界中的存在是一个普遍的现象．如美丽的蝴蝶是左右对称的（轴对称）。 现实生活中有许多以对称形式呈现的事物，如汽车的车前灯、音响中的音箱，汉字中也有诸如“双”、“林”等对称形式的字体，这些都给以对称的感觉。函数里也有这样的现象。 提出问题让学生回答：1、中心对称图形的概念（提醒学生：中心对称——图形绕点旋转180度）；2、轴对称图形的概念（提醒学生：轴对称——图形沿轴翻折180度）。 数学中，对称也是函数图象的一个重要特征，下面展示的是五个函数的图像，请你说出下面的图像是中心对称图形还是轴对称图形或者两者都不是？ [教学说明：图像（1）、（4）是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；图像（2）、（3） 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数， 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，； 《函数的奇偶性》教案 一、教材分析 “奇偶性”是人教版必修1中第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。 函数的奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的初中学过的的一些轴对称图形入手，体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。尝试画出和的图像，从特殊到一般，从具体到抽象，比较系统地介绍了函数的奇偶性．从知识结构看，奇偶性既是函数概念的拓展和深入，又是为以后学习基本初等函数奠定了基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。 二、学情分析 从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，上节课学习了函数单调性，积累了研究函数的基本方法与初步经验。 三、教学目标 【知识与技能】 1．理解奇函数、偶函数的概念及其几何意义； 2．能从定义、图像特征、性质等多种角度判断函数的奇偶性，学会函数的应用。 【过程与方法】 通过实例观察、具体函数分析、数与形的结合，定性与定量的转化，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。 【情感、态度与价值观】 1.在经历概念形成的过程中，培养学生内容、归纳、抽象、概括的能力； 2.通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。 四、教学重点和难点 重点：函数奇偶性的概念和函数图像的特征。 难点：利用函数奇偶性的概念和图像的对称性，证明或判断函数的奇偶性。 五、教学方法 引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。 六、教学手段 PPT课件。 七、教学过程 （一）情境导入、观察图像 出示一组轴对称和中心对称的图片。 设计意图：通过图片引起学生的兴趣，培养学生的审美观，激发学习兴趣。 师：“同学们，这是我们生活中常见的一些具有对称性的物体，你能说出它们有什么特点吗？” 生：“它们的共同点都是关于某一地方是对称的。” 师：“是的，而我们今天要学习的函数图像也有类似的对称图像，首先我们来尝试画一下和的图像，并一起探究几个问题。” （二）探究新知、形成概念 探究1．观察下列两个函数和的图象，它们有什么共同特征吗？ 函数的奇偶性 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。 二、函数的奇偶性的几个性质 ①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③、可逆性： )()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； )()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； ④、等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f )()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； ⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、 非奇非偶函数。 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分 条件。 此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。 命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。 此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x ∈〔-1,1〕),g(x)=x(x ∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。 命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。 此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|=? ??<-≥),0)((),(0)((),(x f x f x f x f 不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。 命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶 函数。 函数的性质的运用 1．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 y f x =()图象上的是（ ） A.(())a f a ，- B.(())--a f a ， C.(())---a f a ， D.(())a f a ，- 2. 已知函数)(1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?= 是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 3．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1 1)()(-= +x x g x f ，则f （x ） 的解析式为_______． 4．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有 实根之和为________． 5.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立， 求实数k 的取值范围． 6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2 1 x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值； （2）判断f(x ）的单调性； （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. 7.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2 -m-2)＜3. 8.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -= （1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）； （2）设f （2）=1，解不等式2)3 1 ( )(≤--x f x f 。 9.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同 的实数根，则这6个实根的和为（ ） A ． 0 B ．9 C ．12 D ．18 10.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 123 2 x x <<， 则实数m 的取值范围 11.已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =， 则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12.已知函数()f x 满足：4x ≥，则()f x ＝1()2 x ；当4x <时()f x ＝(1)f x +，则 2(2log 3)f +＝ A 124 B 112 C 18 D 38 13.已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f ( 2 1 )=－1,当且仅当0 奇偶性与单调性及典型例题 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象. 难点磁场 (★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明：f(x)在(0，+∞)上是增函数. 案例探究 ［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0 函数的基本性质 函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性 一、单调性 1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。 2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。） 3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2 )()0(≠a ， 当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2- =的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0-x f x f x f x f 或； ⑸根据定义下结论。 例2、判断函数1 2)(-+= x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明. 5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表： 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。 例3：函数322-+=x x y 的单调减区间是 （ ） A.]3,(--∞ B.),1[+∞- C.]1,(--∞ D.),1[+∞ 6．函数的单调性的应用： 判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。 例4：求函数1 2-= x y 在区间]6,2[上的最大值和最小值. 二、奇偶性 1．定义： 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-，那么函数f(x)就叫偶函数； （等价于：0)()()()(=--?=-x f x f x f x f ） 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-，那么函数f(x)就叫奇函数。 （等价于：0)()()()(=+-?-=-x f x f x f x f ） 注意：当0)(≠x f 时，也可用1) ()(±=-x f x f 来判断。 2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。 若函数)(x f 为奇函数，且在x=0处有定义，则0)0(=f ； 3．判断一个函数的奇偶性的步骤 ⑴先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵再判断)()(x f x f -=-或)()(x f x f =- 是否恒成立。 教案 教者李德双科目数学班级3班课题函数的奇偶性课型启发式教学 时间2019年12 月19 日地点多媒体教室 教学目标1．知识与技能目标：理解奇（偶）函数概念；会利用定义判断简单函数是否为奇（偶）函数；掌握奇（偶）函数图象性质； 2．过程与方法目标：在学习过程掌握从特殊到一般的研究方法；学会用对称的方法来方便问题的解决； 3．情感态度与价值观目标：锻炼学生思维的严谨性；体验探究的乐趣； 教学重点函数的奇偶性定义及其图像性质； 教学难点函数的奇偶性判断； 学情分析学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的知识储备，并能进行简单的特殊到一般的推导。 课前准备对称的图片和函数奇偶性的PPT 教学环节教学内容学生活动教学方 法 导入新授 一、创设情景，兴趣导入 出示一组轴对称和中心对称的图片 给出一组函数图像，根据图像对称性认识偶函数和 奇函数 二、动脑思考、探索新知 1．偶函数 探究1．观察函数 2 ) (x x f=的图象 （1）.求值并观察 f (-x) 与 f (x)的规律: f (1) = ；f (-1) = ； f (2) = ；f (-2) = ； f (a) = ；f (-a) = ； 关系：) (x f-______) (x f （2）.思考图像有何对称的特征？ 这类函数就是偶函数,具体定义和性质如下: 一般地，如果函数) (x f的定义域关于原点对称， 并且对定义域内任意一个值x，都有) ( ) (x f x f= -， 观察并回 答 回答 结果 通过图片 引起学生 的兴趣， 培养学生 的审美 观，激发 学习兴 趣。 从熟悉的 函数入 手，符合 学生的认 知规律 从“形” 函数的奇偶性的典型例题 函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分 函数的奇偶性 1．函数f （x ）=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是 （ ） A ．奇函数非偶函数 B ．偶函数非奇函数 C ．奇函数且偶函数 D ．非奇非偶函数 2. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是( ） A .奇函数 B .偶函数 C .既奇又偶函数 D .非奇非偶函数 3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数， 且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( ) A.(-∞,2) B. (2,+∞) C. (-∞,-2)?(2,+∞) D. (-2,2) 4．已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数. 当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则 当x ∈(0.+∞)时，f (x )= . 5. 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝lg (12+x -x ); (2)f (x )＝2-x +x -2 (3) f （x ）=? ? ?>+<-). 0() 1(),0()1(x x x x x x 6.已知g (x )=－x 2－3,f (x )是二次函数，当x ∈[-1,2]时，f (x )的最小值是1，且f (x )+g (x )是奇函数，求f (x )的表达式。 7.定义在（-1，1）上的奇函数f （x ）是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2 )<0,求a 的取值范围 8.已知函数21 ()(,,)ax f x a b c N bx c += ∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<且()[1,)f x +∞在上是增函数, (1)求a,b,c 的值; (2)当x ∈[-1,0)时,讨论函数的单调性. 9.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有 f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 函数的奇偶性 一、典型例题 例1 判断下列函数的奇偶性 （1）1()(1)1x f x x x +=-- （2）2lg(1) ()|2|2 x f x x -=-- （3）2 2(0)()(0)x x x f x x x x ?+?? （4）22 ()11f x x x =-- （5）()11f x x x =-+- （6）22 11()11 x x f x x x ++-= +++ 例2 已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，3 ()(1)f x x x =+，则()f x 的解析 式为________________. 例 3 ①已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有 )()1()1(x f x x xf +=+，则)2 5 (f 的值是________________. ②已知()f x 是奇函数,满足()()2f x f x += ,当[]0,1x ∈时,()21x f x =- ,则 =)2(f _____,21log 24f ? ? ?? ?的值是_________ . 例 4 ()f x 和()g x 的定义域都是非零实数，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 21 ()()1 f x g x x x += -+，求()()f x g x 的取值范围。 二、课后练习 1、判断下列函数的奇偶性 （1）x x y a a -=+ （2）x x y a a -=- （3）x x x x a a y a a ---=+ （4）1 1 x x a y a -=+ （5）1log 1a x y x -=+ （6）2 log (1)a y x x =+- （7）若0,1,()a a F x >≠是一个奇函数，讨论11()()12x G x F x a ??=+ ?-?? 的奇偶性。 2、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++ (b 为常数)，则 (1)f -=（ ） (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 3、已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， （1）求证：()f x 是奇函数； （2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f 4、已知3()sin 4f x a x b x =++（,a b 为实数）且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =____ 5、函数1 (1)1 y x x = ≠±-可以表示成一个偶函数()f x 与一个奇函数()g x 的和，则()f x =____ 6、已知)(x f y =是偶函数,当0>x 时,2 )1()(-=x x f ;若当? ? ??? ?--∈2 1,2x 时,m x f n ≤≤)(恒成立,则n m -的最小值为( ) A.1 B. 21 C. 31 D. 4 3 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数， 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 1)f(x)在[5，10]上单增，； 2)； (2)画出草图 1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2). 举一反三： 【变式1】已知函数. (1)判断函数f(x)的单调区间； (2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域. 解：(1) 上单调递增，在上单调递增； (2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增 ∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值 ∴x∈[1，3]时f(x)的值域为. 5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围. 解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知 只需； (2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 . 举一反三： 【变式1】（2011 北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________. 解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）. 类型四、判断函数的奇偶性 函数的单调性和奇偶性 例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围． 分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x ＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合． 例2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝- （2）f（x）＝（x-1）． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性． 函数基本性质——奇偶性知识点及经典例题 一、函数奇偶性的概念： ①设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 且()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数。 （如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出()00f =） ②设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 若()()g x g x -=，则这个函数叫偶函数。 从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。也就是说当x 在其定义域内时，x -也应在其定义域内有意义。 ③图像特征 如果一个函数是奇函数?这个函数的图象关于坐标原点对称。 如果一个函数是偶函数?这个函数的图象关于y 轴对称。 ④复合函数的奇偶性：同偶异奇。 ⑤对概念的理解： (1)必要条件：定义域关于原点成中心对称。 (2))(x f 与)(x f -的关系： 当)()(x f x f =-或0)()(=--x f x f 或 1)() (=-x f x f 时为偶函数； 当)()(x f x f -=-或0)()(=+-x f x f 或 1) () (-=-x f x f 时为奇函数。 二、函数的奇偶性与图象间的关系： ①偶函数的图象关于y 轴成轴对称，反之也成立； ②奇函数的图象关于原点成中心对称，反之也成立。 三、关于函数奇偶性的几个结论： ①若)(x f 是奇函数且在0=x 处有意义，则(0)0f = ②偶函数± 偶函数=偶函数；奇函数±奇函数=奇函数； 偶函数?偶函数=偶函数；奇函数?奇函数=偶函数； 偶函数?奇函数=奇函数 ③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性， 偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. 四．典型问题 （一）、关于函数奇偶性的判定 方法： ()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ()2图象法：观察图像是否符合奇、偶函数的对称性 说明： （1）分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用。 （2）判断函数的奇偶性，首先要考查定义域是否对称。 （3）若判断函数不具备奇偶性，只需举出一个反例即可。 （4）函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数。 1.判断下列函数的奇偶性： 1)x x x x f ++=1)(2； 2）()( 1f x x =- 3）()0f x = 4）()???≤+>+-=)0()0(2 2x x x x x x x f 5）()2 212-+-=x x x f高一函数单调性奇偶性经典练习题
基本初等函数专项训练经典题
函数单调性与奇偶性经典例题透析
(完整版)函数奇偶性知识点和经典题型归纳
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《函数的单调性和奇偶性》经典例题
函数的奇偶性公开课优秀教案(比赛课教案)
奇偶性的典型例题
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