安托万方程_Antoine equation_

常数系数系列第一弹——最全的安托因方程和常数表（Antoine equation and coefficient）2010年07月16日 星期五 07:59 P.M.

大家上面看到的这段公式相信有些人一定很熟悉吧！这是安托因方程的最初版本，发表于1888年，今天要给大家的是安托因方程的常数表，希望对需要的朋友有点用，一共700个化合物，当然还有个版本是4000个庞然大物，我会以excel的形式给大家，这里面提供了5

因子的安托因方程和常数。对科学没兴趣的绕道吧！以后我会定期更新一些重要的常数信息，当然我估计我这里的是最全的了，除非是专业的数据库，不信的话你去别处看看谁的文章里会有4000个之多的化合物。(*^__^*) 嘻嘻……

安托万方程(Antoine equation)是工程上广泛使用与实验数据吻合较好的经验方程，是一个最简单的三参数蒸汽压方程，其一般形式为log P = A - B / t +C，其中：P 单位为 mmHg, t 单位为 ℃, A = 6.91210, B = 1214.645, C = 221.205。A、B、C是与物质相关的特性常数，使用该方程要注意温度适用范围。适用的温度范围相当于饱和蒸气压范围为1.5～

200kPa，一般不宜外推。 蒸气压方程中，蒸气压仅是温度的单变量函数，因而只适用于不存在表面张力、流体静压力、重力和电磁场等的影响时。一般在化工计算中，上述影响可不考虑。但当液体表面曲率不容忽略时(如蒸气冷凝形成液滴时)，就要考虑表面张力的影响。当流体静压力较大时（如液面有高压惰性气体作用时），也要考虑压力的影响。

二次微分方程的通解

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2 pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2 pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程 的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无 关的解

这是因为 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0 )()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且 x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的 两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关 的实数形式的解 函数y 1e ( i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x ) (2 1cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x ) (21sin 2 1y y i x e x -= βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解

结构力学形常数和载常数表

（固端弯矩以顺时针方向为正；固端剪力以使杆件顺时针转动为正） 序号计算简图及挠度图弯矩图及固端弯矩 固端剪力 F QAB F QBA 1√ 2 ql （↑） 2 ql （↑） 2 ql 20 3 （↑） ql 20 7 （↑） 3 3 2) 2 ( l a l b F P + （↑） 3 2) 2 ( l b l a F P + （↑） 4√ 2 P F （↑） 2 P F （↑） 5 √ 00 6√ 8 5ql （↑） 8 3ql （↑） 75 2ql （↑） 10 ql （↑） 8 40 9ql （↑） 40 11ql （↑）

9 3 2 2 2 ) 3( l b l b F P - （↑） 3 2 2 ) 3( l a l a F P - （↑） 表1—载常数表（固端弯矩以顺时针方向为正；固端剪力以使杆件顺时针转动为正） 序号计算简图及挠度图弯矩图及固端弯矩 固端剪力 F QAB F QBA 10√ P F 16 11 （↑） P F 16 5 （↑） 11√ hl t EI 2 3? α （↑） hl t EI 2 3? α （↓） 12√ ql （↑） 13 P F （↑） 14√ P F （↑） 15√ P F （↑） P L QBA F F= （↓） = R QBA F 16 √ 00

17 M l ab 3 6 （↓） M l ab 3 6 （↑） 18√ l M 2 3 （↓） l M 2 3 （↑） 表1—载常数表（固端弯矩以顺时针方向为正；固端剪力以使杆件顺时针转动为正） 序号计算简图及挠度图弯矩图及固端弯矩 固端剪力 F QAB F QBA 19 3 2 2 2 ) (3 l M b l- （↓） 3 2 2 2 ) (3 l M b l- （↑） 20√ l M 8 9 （↓） l M 8 9 （↑） 21√ l M 2 3 （↓） l M 2 3 （↑） 2200 23 √ 00 24 2 ql （↑）

解一元一次方程同解方程精选试题附答案

6.2.6同解方程 完成时间：20min 一．选择题（共9小题） 1．已知关于x的方程7x+3k=12与7x+3=0的解相同，则k的值为（） A．﹣3 B．3C．﹣5 D．5 2．关于x的方程x+a=2x﹣3与2x﹣b=x有相同的解，则a、b的关系为（） A．a﹣b=3 B．b﹣a=3 C．b+a=3 D．b+a+3=0 3．已知方程4x=8与x﹣k=1的解相同，则4k2﹣1的值为（） A．1B．3C．8D．17 4．吴云科和孟家福是七年级四班的两名爱好数学的优等生，在学完第三章《一元一次方程》后，吴云科对孟家福说：“方程与方程的解相同，你能求出k的值吗？”孟家福用笔算了 一下给出正确答案，聪明的你知道是哪个吗？（） A．0B．2C．1D．﹣1 5．如果方程x=1与2x+a=ax的解相同，则a的值是（） A．2B．﹣2 C．3D．﹣3 6．下列方程中与方程3x=x+1的解相同的是（） A．2x=4 B．2x=4x﹣1 C．5x+3=6 D．6x﹣15x=3 7．如果方程6x+3a=22与方程3x+5=11的解相同，那么a=（） A．B．C． ﹣D． ﹣ 8．在方程：①3x﹣=1；②；③6x﹣5=2x﹣3；④x+=2x中，与方程2x=1的解相同的方程有（）A．1个B．2个C．3个D．4个 9．有4个关于x方程： （1）x﹣2=﹣1 （2）（x﹣2）+（x﹣1）=﹣1+（x﹣1） （3）x=0 （4） 其中同解的两个方程是（） A．（1）与（2）B．（1）与（3）C．（1）与（4）D．（2）与（4） 二．填空题（共15小题） 10．方程x+2=3的解也是方程ax﹣5=8的解时，则a=_________． 11．已知关于x的方程+3=x与方程3﹣2x=1的解相同，则m2=_________． 12．若方程2x﹣3=11与关于x的方程4x+5=3k有相同的解，则k的值是_________．

基本波动方程的求解方法

关于弦振动的求解方法 李航 一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程 达朗贝尔方程解无界的定解问题 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξ?φ?)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为 ??? ????=??=>+∞<<∞-??=??==)(|),(|0, ,0022222x t u x u t x x u a t u t t φ? 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。 2、一维非齐次波动方程的柯西问题 达朗贝尔方程解非齐次定解问题 ???????=??=>+∞<<∞-+??=??==)2()(|),(|)1(0,),(0022222 ， x t u x u t x t x f x u a t u t x φ? 令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题：

(I) ??? ????=??=>+∞<<∞-??=??== ，　)(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φ? (II) ??? ????=??=>+∞<<∞-+??=??== ，　0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要的定理。 定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题 ??? ????=??=>??=??== ， ),(|,0|22222τωωτωωττx f t t x a t t x 的解)0(≥τ，则?=t d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。 二、有界的弦振动方程 1、分离变量法 齐次条件的分离变量法 （1） （2） （3） 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程（1）得： ) ()()()('''t aT t T x X x X = ?????????====><

初中物理基本单位、基本公式、基本常数大全

初中物理公式 物理量计算公式备注 速度v= s / t 1m / s = 3.6 Km / h 声速v= 340m / 光速C = 3×10^8 m /s 密度ρ= m / V 1 g / cm^3 = 103 Kg / m 合力 F = F1 - F2 (F1、F2在同一直线线上且方向相反) F = F1 + F2 (F1、F2在同一直线线上且方向相同 ) 压强 p = F / S 适用于固、液、气 p =ρg h 适用于竖直固体柱和液体 浮力①F浮= G – F ②漂浮、悬浮：F浮= G ③F浮= G排=ρ液g V排 物体浮沉条件 ①F浮＞G（ρ液＞ρ物）上浮至漂 浮 ②F浮=G（ρ液=ρ物）悬浮 ③F浮＜G（ρ液＜ρ物）下沉杠杆平衡条件F1 *L1 = F2 *L 2 杠杆平衡条件也叫杠杆原理 滑轮组 F = G / n ( 理想滑轮组) F =（G动+ G物）/ n (忽略轮轴间的摩擦) η=G/ nF(实际情况n：作用在动滑轮上绳子股数) 功W = F S = P t 1J = 1N?m = 1W?s 功率P = W / t = Fv 1KW = 10^3 W，1MW = 10^3KW 有用功W有用= G h（竖直提升）= F S（水平移动）= W总– W额=ηW总额外功W额= W总– W有= G动h（忽略轮轴间摩擦）= f L（斜面） 总功W总= W有用+ W额= F S = W有用/ η 机械效率η= W有用/ W总 热量Q=cm(t-t°) 电流I=U/R 电功W=UIt =Pt 电功率P=W/t=UI =I2R=U2/R 串联电路I=I1=I2 电流处处相等 U = U 1+ U 2 干路电压等于各支路电压之和 R=R1+R2 总电阻等于的电阻之和

基本波动方程的求解方法

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关于弦振动的求解方法 李航 一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程 达朗贝尔方程解无界的定解问题 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξ?φ?)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间 ],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。 2、一维非齐次波动方程的柯西问题 达朗贝尔方程解非齐次定解问题 令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题： (I) ??? ????=??=>+∞<<∞-??=??== ，　)(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φ?

(II) ??? ????=??=>+∞<<∞-+??=??== ，　0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要的定理。 定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题 的解)0(≥τ，则?=t d t x t x V 0 ),,(),(ττω是问题(II)的解。 二、有界的弦振动方程 1、分离变量法 齐次条件的分离变量法 （1） （2） （3） 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程（1）得： 上式右端不含x ，左端不含t ，所以只有当两端均为常数时才能相等。令此常数为λ-，则有： ?????????====><

结构力学形常数和载常数表.docx

精品文档 表 1—载常数表（固端弯矩以顺时针方向为正；固端剪力以使杆件顺时针转动为正） 固端剪力 序号计算简图及挠度图弯矩图及固端弯矩 F QAB F QBA 1ql ql 22 √ （↑）（↑） 2 3 ql 7 ql 2020 （↑）（↑） F P b2 (l 2a)F P a2 (l 2b) 3l 3l 3 （↑）（↑） 4F P F P 22 √ （↑）（↑）5 √ 00 65ql3ql 88 √ （↑）（↑） 2ql ql 7510 （↑）（↑） 9ql11ql 84040 （↑）（↑） F P b(3l 2 b 2 )F P a2 ( 3l a) 92l 32l 3 （↑）（↑）

表 1—载常数表（固端弯矩以顺时针方向为正；固端剪力以使杆件顺时针转动为正） 固端剪力 序号计算简图及挠度图弯矩图及固端弯矩 F QAB F QBA 10√ 11√ 12√ 13 14√ 15√ 16√ 17 18√ 11 F P 5 F P 1616 （↑）（↑）3EI t3EI t 2hl2hl （↑）（↓） ql0 （↑） F P0 （↑） F P0 （↑） F QBA L F P F P（↓）（↑） F QBA R0 00 6ab3M6ab3M l l （↓）（↑） 3M3M 2l2l （↓）（↑）

表 1—载常数表（固端弯矩以顺时针方向为正；固端剪力以使杆件顺时针转动为正） 序号计算简图及挠度图弯矩图及固端弯矩 固端剪力 F QAB F QBA 3(l 2b2 )M3(l 2 b 2 ) M 192l 32l 3 （↓）（↑） 209M9M 8l8l √ （↓）（↑） 213M3M 2l2l √ （↓）（↑）2200 23 √ 00 ql 24 0 2 （↑） ql 25 0 2 （↑） qa 3 ( 2l 3qa3 2l 2l3 (2l a) 262la 2a3 ) （↑）（↑）

基本波动方程的求解方法

关于弦振动得求解方法 李航 一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程 达朗贝尔方程解无界得定解问题 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξ?φ?)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程得定解问题中，通常就是先求方程得通解，然后利用定解条件确定通解所含得任意常数，从而得到定解问题得解。考虑无界得定解问题一般方程为 ??? ????=??=>+∞<<∞-??=??==)(|),(|0, ,0022222x t u x u t x x u a t u t t φ? 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 得值由初始条件在区间],[at x at x +-内得值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 得依赖区域，在t x -平面上，它可瞧作就是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为得两条直线在x 轴上截得得区间。 2、一维非齐次波动方程得柯西问题 达朗贝尔方程解非齐次定解问题 ???????=??=>+∞<<∞-+??=??==)2()(|),(|)1(0,),(0022222 ， x t u x u t x t x f x u a t u t x φ?

令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题： (I) ??? ????=??=>+∞<<∞-??=??== ，　)(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φ? (II) ??? ????=??=>+∞<<∞-+??=??== ，　0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)得解可由达朗贝尔公式给出： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要得定理。 定理（齐次化原理）设),,(τωt x 就是柯西问题 ??? ????=??=>??=??== ， ),(|,0|22222τωωτωωττx f t t x a t t x 得解)0(≥τ，则?=t d t x t x V 0),,(),(ττω就是问题(II)得解。 二、有界得弦振动方程 1、分离变量法 齐次条件得分离变量法 （1） （2） （3） 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程（1）得： ) ()()()('''t aT t T x X x X = ?????????====><

基本波动方程的求解方法

精心整理 关于弦振动的求解方法 李航 一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程 达朗贝尔方程解无界的定解问题 t x u ,([x -a 1 ±2令(u (I)(II)??? ????=??=>+∞<<∞-+??=??== ，　0|,0|0,),(00222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要的定理。

定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题 的解)0(≥τ，则?=t d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。 二、有界的弦振动方程 1、分离变量法 齐次条件的分离变量法 λ-，则有：)(''+x X )('+a t T 0)0(=X 对λ用叠加原理。类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。 非齐次条件分离变量法 分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次,如果上述条件之一破坏，则不能采用分离变量法解。 ?????????==??=|),0(0222u t u t u t

分离变量法要求定解问题的边界条件是齐次的，这是因为用分离变量法要将特征函数叠加起来，如果边界条件非齐次，则通过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。所以当边界条件是非齐次时，必须设法将边界条件化成齐次的。如： 设),(),(),(t x W t x V t x u +=，通过适当选取),(t x W 使新的未知函数满足齐次边界条件，这只须使),(t x W 满足： 即可。a ， b ， c ， d ， e ， f ， 设),(),(),(t x W t x V t x U +=（4），其中构造） （）（t t ),(B A t x V +=让其满足（2）则： 所以对),(t x W 有：?????????====><<+??=??==）（）（）（ 8)(|),(|70),(),0(60,0,t sin t 0102 22222Λ ΛΛx u x u t l W t W t l x A x W a t W t t φ?ωω 令）（）（9t kx sin t ),(0k k Λ∑∞==πT t x W

结构力学-形常数和载常数表复习过程

结构力学-形常数和载 常数表

表1—载常数表（固端弯矩以顺时针方向为正；固端剪力以使杆件顺时针转动为正） 序号 计算简图及挠度图 弯矩图及固端弯矩 固端剪力 F QAB F QBA 1 √ 2ql （↑） 2ql （↑） 2 ql 203 （↑） ql 207 （↑） 3 32) 2(l a l b F P +（↑） 32) 2(l b l a F P +（↑） 4 √ 2P F （↑） 2P F （↑） 5 √ 6 √ 85ql （↑） 83ql （↑） 7 52ql （↑） 10 ql （↑） 8 409ql （↑） 4011ql （↑） 9 3 222) 3(l b l b F P -（↑） 3 22) 3(l a l a F P - （↑） 表1—载常数表（固端弯矩以顺时针方向为正；固端剪力以使杆件顺时针转动为正） 序号 计算简图及挠度图 弯矩图及固端弯矩 固端剪力 F QAB F QBA

10√ P F 1611 （↑） P F 165 （↑） 11√ hl t EI 23?α （↑） hl t EI 23?α （↓） 12√ ql （↑） 13 P F （↑） 14√ P F （↑） 15√ P F （↑） P L QBA F F = （↓） 0=R QBA F 16√ 17 M l ab 3 6 （↓） M l ab 3 6 （↑） 18√ l M 23 （↓） l M 23 （↑） 表1—载常数表（固端弯矩以顺时针方向为正；固端剪力以使杆件顺时针转动为正） 序号 计算简图及挠度图 弯矩图及固端弯矩 固端剪力 F QAB F QBA 19 3 222)(3l M b l - （↓） 3 222)(3l M b l - （↑）

第七章-一维波动方程的解题方法及习题答案

第二篇 数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； ４、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律） 1、来源 I ．质点力学：牛顿第二定律F mr = 连续体力学2222()(,)(,)0(()0;v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ?????-?=?????????+??=????-?+??=+=????? 弹性定律弦弹性体力学 杆 振动：波动方程);膜流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程 ;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+??=-?=????????? ???????????d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理 220;0.T k T t D t ρρ??-?=??????-?=??? 热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV. 量子力学的薛定谔方程： 22.2u i u Vu t m ?=-?+?

稳态方程 Laplace equation 20u ?= 椭圆型 二、数理方程的导出 推导泛定方程的原则性步骤： （1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。 （2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化” ---“无理取闹”（物理趣乐）。 （3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽 略---线性化。 （4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。 （5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。 Chapter 7 一维波动方程的傅里叶解 第一节 一维波动方程-弦振动方程的建立 7.1.1 弦横振动方程的建立 （一根张紧的柔软弦的微小振动问题） （1）定变量：取弦的平衡位置为x 轴。表征振动的物理量为各点的横向位移),(t x u ，从 而速度为t u ，加速度为tt u . （2）立假设：①弦振动是微小的，1<<α，因此，sin tan ααα≈≈，1cos ≈α，又 tan u x αα?=≈?，1<

结构力学-形常数和载常数表

序号 计算简图及挠度图 弯矩图及固端弯矩 固端剪力 F QAB F QBA 1 √ 2 ql （↑） 2 ql （↑） 2 ql 20 3 （↑） ql 20 7 （↑） 3 3 2) 2(l a l b F P +（↑） 3 2) 2(l b l a F P +（↑） 4 √ 2 P F （↑） 2 P F （↑） 5 √ 6 √ 8 5ql （↑） 8 3ql （↑） 7 5 2ql （↑） 10 ql （↑） 8 40 9ql （↑） 40 11ql （↑） 9 3 222) 3(l b l b F P -（↑） 3 22) 3(l a l a F P - （↑）

序号计算简图及挠度图弯矩图及固端弯矩 固端剪力 F QAB F QBA 10√ P F 16 11 （↑） P F 16 5 （↑） 11√ hl t EI 2 3? α （↑） hl t EI 2 3? α （↓） 12√ ql （↑） 13 P F （↑） 14√ P F （↑） 15√ P F （↑） P L QBA F F= （↓） = R QBA F 16 √ 0 0 17 M l ab 3 6 （↓） M l ab 3 6 （↑） 18√ l M 2 3 （↓） l M 2 3 （↑）

序号计算简图及挠度图弯矩图及固端弯矩 固端剪力 F QAB F QBA 19 32 2 2) (3 l M b l- （↓） 3 2 2 2 ) (3 l M b l- （↑） 20√ l M 8 9 （↓） l M 8 9 （↑） 21√ l M 2 3 （↓） l M 2 3 （↑） 22 0 0 23 √ 0 0 24 2 ql （↑） 0 25 2 ql （↑） 26 - 3 3 2( 2 l l qa ) 23 2a la+ （↑） ) 2( 23 3 a l l qa - （↑）

波动方程或称波方程

波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域。 历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。 波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足： 这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。 在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量，这种处理对应真实物理世界中的色散现象。此时，c应该用波的相速度代替： 实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程： 另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动（譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。这种情况下，标量u的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。 三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂，它必须同时考虑固体中的纵波和横波: 式中：

物理最常用常数

常用物理常数表 光速 101099792458.2×=c cm sec -1 万有引力常数 81067259.6?×=G dyn cm -2 g -2 普朗克常数 27106260.6?×=h erg sec 271005457266.12/?×==πh erg sec 玻尔兹曼常数 1610380662.1?×=k erg deg –1 里德堡常量 312.109737/2342==∞ch e m R e π cm -1 斯特藩—玻尔兹曼常数 51066956.5?×=σ erg cm -2 deg -4 sec -1 电子电量 101080325.4?×=e esu 1910602192.1?×= coulomb 电子质量 281010956.9?×=e m g 原子质量单位 2410660531.1?×=amu g 精细结构常数 0360.1372//12==e hc πα 第一玻尔轨道半径 82220105291775.04/?×==e m h a e π cm 经典电子半径 1322108179380.2/?×==c m e r e e cm 质子质量 2410672661.1?×=p m g 007276470.1= amu 中子质量 24 1067492.1?×=n m g 00866.1= amu 电子静止能量 5110034.02=c m e meV 常用天文常数表 地球质量 27 10976.5×=⊕M g 地球赤道半径 164.6378=⊕R km 地球表面重力 665.980=⊕g cm sec -2 天文单位 810495979.1×=AU km 1光年 ly = 9.460×1012 km 1秒差距 pc= 3.084×1013 km=3.262ly 千秒差距 kpc=1000pc 地月距离 3.8×105 km 太阳到冥王星的平均距离 5.91×109km 最近的恒星(除太阳)的距离 4×1013km =1.31pc= 4.3ly 太阳到银心的距离 2.4×1017km=8kpc 太阳质量 M ⊙ 3310989.1×= g 太阳半径 R ⊙10109599.6×=cm 太阳光度 L ⊙33 10826.3×= erg sec -1

方程_同解方程与同解原理

重点、难点 重点1、掌握方程的基本概念： ①已知数：未知数，已知项未知项。 ②元：方程的未知数。 ③次数：方程中各项未知数指数和的最大值。 ④方程：含有未知数的等式。 ⑤方程的解：一般地说，使方程中左，右两边的值相等（简称为使方程成立）的未知数的值叫做方程的解。 方程的根：只有一个未知数的方程的解。 ⑥解方程：求方程的解的过程。 2、同解方程的概念： 在两个方程中，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，我们就说这两个方程的解相同，这两个方程叫做同解方程。 3、方程的同解原理： ①方程的两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得的方程和原方程是同解方程。 ②方程的两边都乘以或除以同一个不等于0的数，所得的方程求原方程是同解方程。 难点 方程同解原理的应用及方程的变形。 【讲一讲】 例1：判断下列各式是不是方程： ①3x +5 ②x =3 ③5x ＞－1 ④3+2=5 ⑤3≠4x ⑥210x x - = 分析及解答：方程有②与⑥ ①不是等式 ③是不等式 ④无未知数 ⑤是不等式 例２：判断下列各数是否为方程的解， （１） 23515(6,4)x x x x -=-== （２）211110(2,,1)222 y y y y y --+==-== 分析：判断是否为方程的解，只需用方程的解的定义，把未知数的值代入到方程左，右两边，计算，若使左右相等，则未知数的值就是原方程的解。 解（１）把x =6代入原方程 把x =4代入原方程 左边232639x =-=?-= 左边232435x =-=?-= 右边515561515x =-=?-= 右边51554155x =-=?-= ∵左边≠右边 ∵左边＝右边 ∴x =6不是原方程的解 ∴x =4是原方程的解。 （2）把y =－2代入原方程， 左边2211111(2)(2)121102222 y y =--+=-?--?-+=-++= 右边＝０ ∵左边＝右边 ∴y =－2是原方程的解

基本物理常数大全

Fundamental Physical Constants—Adopted values Relative std. Quantity Symbol Value Unit uncert.u r relative atomic mass1of12C A r(12C)12(exact) molar mass constant M u1×10?3kg mol?1(exact) molar mass of12C M(12C)12×10?3kg mol?1(exact) conventional value of Josephson constant2K J?90483597.9GHz V?1(exact) conventional value of von Klitzing constant3R K?9025812.807?(exact) standard atmosphere101325Pa(exact) 1The relative atomic mass A r(X)of particle X with mass m(X)is de?ned by A r(X)=m(X)/m u,where m u=m(12C)/12=M u/N A=1u is the atomic mass constant,N A is the Avogadro constant,and u is the atomic mass unit.Thus the mass of particle X in u is m(X)=A r(X)u and the molar mass of X is M(X)=A r(X)M u. 2This is the value adopted internationally for realizing representations of the volt using the Josephson effect. 3This is the value adopted internationally for realizing representations of the ohm using the quantum Hall effect.

结构力学形常数和载常数表

表1—载常数表（固端弯矩以顺时针方向为正； 固端剪力以使杆件顺时针转动为正） 序 号 计算简图及挠度图 弯矩图及固端弯矩 固端剪力 F QAB F QBA 1 √ 2 ql （↑） 2 ql （↑） 2 ql 20 3 （↑） ql 20 7 （↑） 3 3 2) 2(l a l b F P +（↑） 3 2) 2(l b l a F P +（↑） 4 √ 2 P F （↑） 2 P F （↑） 5 √ 6 √ 8 5ql （↑） 8 3ql （↑） 7 5 2ql （↑） 10 ql （↑）

840 9ql （↑） 40 11ql （↑） 932 2 2) 3( l b l b F P - （↑） 3 2 2 ) 3( l a l a F P -（↑） 表1—载常数表（固端弯矩以顺时针方向为正；固端剪力以使杆件顺 时针转动为正） 序 号计算简图及挠度图弯矩图及固端弯矩 固端剪力 F QAB F QBA 10√ P F 16 11 （↑） P F 16 5 （↑） 11√ hl t EI 2 3? α （↑） hl t EI 2 3? α （↓） 12√ ql （↑） 13 P F （↑） 14√ P F （↑） 15√ P F （↑） P L QBA F F= （↓）

0=R QBA F 16 √ 17 M l ab 36 （↓） M l ab 36 （↑） 18√ l M 23 （↓） l M 23 （↑） 表1—载常数表（固端弯矩以顺时针方向为正；固端剪力以使杆件顺 时针转动为正） 序 号 计算简图及挠度图 弯矩图及固端弯矩 固端剪力 F QAB F QBA 19 3 222)(3l M b l - （↓） 3 222)(3l M b l - （↑） 20√ l M 89 （↓） l M 89 （↑） 21√ l M 23 （↓） l M 23 （↑） 22 0 0

二次微分方程的通解.

第六节二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性 微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程:方程 y''+py'+qy=0 称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数. 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么y=C1y1+C2y2就是它的通解. 我们看看,能否适当选取r,使y=e rx满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=e rx代入方程 y''+py'+qy=0 得 (r2+pr+q)e rx=0. 由此可见,只要r满足代数方程r2+pr+q=0,函数y=e rx就是微分方程的解.

特征方程: 方程r 2 +pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 1 1=、 x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又 x r r x r x r e e e y y )(21212 1-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2 1 21+=. (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 1 1=、x r xe y 1 2=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解. 这是因为, x r e y 1 1=是方程的解, 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 1 1 1 1 1 1 )1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(12111 1 =++++=q pr r xe p r e x r x r , 所以x r xe y 1 2=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1 11 2不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1 1 21+=. (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e ( α+i β)x 、

非齐次线性方程组同解的判定和同解类

非齐次线性方程组同解的判定和同解类 摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组同解的条件及当两个非齐次线性方程组的导出组的解空间相同时解集之间的关系。 关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题. 预备知识 定理1设,A B 是向量组C 两个线性无关的极大组，则存在可逆矩阵P ,使得 B PA =。 定理2设A 、B 为m n ?矩阵，且秩A =秩B ，如果存在矩阵C ,使得 CA B = 则存在m m ?可逆矩阵P ，使得 PA B = 证明 设秩A =秩B =r ，则存在可逆矩阵1P 与Q 使 011A P A A ??=????, 01B QB B ??=???? 其中0A ，0B 分别为秩数等于r 的r n ?矩阵，由于B CA =，则B 的行可由A 的行线性表出，从而B 的行可由0A 的行线性表出，进而0B 的行可由0A 的行线性表出， 于是矩阵00A B ?? ???? 的行向量组的极大线性无关组为0A 的各行，因为0B 的各行线性无 关且秩0B r =，所以0B 的各行亦构成一个线性无关组，则存在可逆矩阵r P 使得 00r B P A = 又设 110A C A =，12020r B C B C P A == 令 221 0r r n r P P C P C I -?? =? ?-?? 则1P 为可逆矩阵，且

常用物理基本常数表

常用物理基本常数表 物理常数符号最佳实验值供计算用值真空中光速 c 299792458±1.2m·s－1 3.00×108m·s－1 引力常数G0(6.6720±0.0041)×10－11m3·s－2 6.67×10－11m3·s－2阿伏加德罗(Avogadro)常 数 N0(6.022045±0.000031) ×1023mol－1 6.02×1023mol－1 普适气体常数R (8.31441±0.00026)J·mol－1·K－18.31 J·mol－1·K－1 玻尔兹曼(Boltzmann)常 数 k (1.380662±0.000041) ×10－23J·K－1 1.38×10－23J·K－1理想气体摩尔体积V m(22.41383±0.00070) ×10－322.4×10－3m3·mol－1基本电荷(元电荷) e (1.6021892±0.0000046) ×10－19 C 1.602×10－19 C 原子质量单位u (1.6605655±0.0000086)×10－27kg 1.66×10－27kg 电子静止质量m e(9.109534±0.000047)×10－31kg 9.11×10－31kg 电子荷质比e/m e (1.7588047±0.0000049)×10－11C· kg －2 1.76×10－11C· kg－2 质子静止质量m p(1.6726485±0.0000086)×10－27kg 1.673×10－27kg 中子静止质量m n(1.6749543±0.0000086)×10－27kg 1.675×10－27kg 法拉第常数 F (9.648456±0.000027 )C·mol－196500 C·mol－1 真空电容率ε0(8.854187818±0.000000071)×10－12 Ｆ·m－2 8.85×10－12Ｆ·m－2 真空磁导率μ012.5663706144±10－7H·m－14πH·m－1 电子磁矩μe(9.284832±0.000036)×10－24J·Ｔ－1 9.28×10－24J·Ｔ－1 质子磁矩μp (1.4106171±0.0000055)×10－23J·Ｔ－ 1 1.41×10－23J·Ｔ－1 玻尔(Bohr)半径α0(5.2917706±0.0000044)×10－11m 5.29×10－11m 玻尔(Bohr)磁子μB(9.274078±0.000036)×10－24J·Ｔ－1 9.27×10－24J·Ｔ－1核磁子μN(5.059824±0.000020)×10－27J·Ｔ－1 5.05×10－27J·Ｔ－1普朗克( Planck)常数h (6.626176±0.000036)×10－34J·ｓ 6.63×10－34J·ｓ精细结构常数 a 7.2973506(60)×10－3 里德伯(Rydberg)常数R 1.097373177(83)×107m－1 电子康普顿(Compton)波长 2.4263089(40)×10-12m 质子康普顿(Compton)波长 1.3214099(22)×10-15m 质子电子质量比m p/m e1836.1515