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专题5.3 解析几何中的范围问题-玩转压轴题,突破140分之高三数学选填题高端精品(原卷版)

玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品

专题03 解析几何中的范围问题

一．方法综述

圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：

（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：

①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；

③利用基本不等式求出取值范围；④利用函数的值域的求法，确定取值范围．

二．解题策略

类型一利用题设条件，结合几何特征与性质求范围

【例1】【安徽省淮北一中2017—2018第四次月考】若点坐标为，是椭圆的下焦

A ()1,11F 2

5945y x +=点，点是该椭圆上的动点，则的最大值为，最小值为，则__________．

P 1PA PF +M N M N -=【举一反三】【湖北省重点高中联考协作体2016-2017期中考试】已知双曲线的右

222:41(0)x C y a a

-=>

顶点到其一条渐近线的距离等于

，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线2

:2E y px =C E 上的动点到直线和的距离之和的最小值为__________．

M 1:4360l x y -+=2:1l x =-类型二通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围

【例2】【2017届云南省云南师范大学附属中学适应性月考（五）】抛物线

上一点

到抛物线准线的距离为

，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与

切

于点，点为内切圆上任意一点，则

的取值范围为__________．

【举一反三】【河南省漯河市高级中学2018届上学期第三次模拟】已知椭圆是椭圆

上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是__________．（用表示）

类型三利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围

【例3】【江西省九江市2017年三模】在平面直角坐标系中，已知抛物线，点是的xOy 2

:4C x y =P C 准线上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，则面积的最小值为（）l P C ,A B AOB ?

A ．

B ．

C ．

D ． 24

【举一反三】【2016-2017学年江苏泰州中学月考】已知直线与椭圆相交

1y x =-+()222210x y a b a b

+=>>

于两点，且（为坐标原点），若椭圆的离心率，则的最大值为

,A B OA OB ⊥O 12e ?∈??a ___________．

类型四利用基本不等式求范围

【例4】【江西省南昌市第二中学2017-2018期中考试】如图，已知抛物线的焦点为，直线过

4y x =F l 且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（）F ()2

x y -+=

,,,A B C D 4AB CD +

A ．

B ．

C ．

D ． 172152132112

【举一反三】【吉林省普通中学2018届第二次调研】已知为抛物线的焦点，点在该抛物线

F 2

y x =,A B 上且位于轴的两侧，而且（为坐标原点），若与的面积分别为和，则x ·6OA OB =

O ABO ?AFO ?1S 2S 最小值是（）

124S S +

A ．

B ．

C ．

D ． 613

类型五求解函数值域得范围

【例5】【云南省师范大学附属中学2018届12月适应性月考】已知椭圆：的右焦点为，C 22

143

x y +=F 过点的两条互相垂直的直线，，与椭圆相交于点，，与椭圆相交于点，，则下F 1l 2l 1l C A B 2l C C D 列叙述不正确的是（）

A ．存在直线，使得值为71l 2l A

B CD +B ．存在直线，使得值为1l 2l AB CD +48

C ．弦长存在最大值，且最大值为4AB

D ．弦长不存在最小值

AB 【举一反三】【河南省2018届12月联考】已知过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，

C 2

8y x =F l P 两点，若为线段的中点，连接并延长交抛物线于点，则

的取值范围是（）

Q R PQ OR C S OS OR

A ．

B ．

C ．

D ． ()0,2[)2,+∞(]0,2()

2,+∞类型六利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围

【例6】【福建省2016届高三毕业班总复习形成性测试】设直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，2

2y px =与圆相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取()2

225(0)x y r r -+=>值范围是（）A ．

B ．

C ．

D ． ()1,3()1,4()2,3()

2,4【举一反三】【2017-2018学年黑龙江省黑河市孙吴一中期中考试】已知椭圆的上、

22221(0)x y a b a b

+=>>下顶点、右顶点、右焦点分别为B 2、B 1、A 、F ，延长B 1F 与AB 2交于点P ，若∠B 1PA 为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为_____．

三．强化训练

1．【辽宁省凌源市2018届上学期期末】已知直线截圆所得的弦长

:10l x y +-=()2

:0x y r

r Ω+=>

为，点在圆上，且直线过定点，若，则

,M N Ω()():12130l m x m y m -'++-=P PM PN ⊥的取值范围为__________．

MN 2．【福建省莆田市第二十四中学2017-2018期第二次月考】已知椭圆上一点关于

22221(0)x y a b a b

+=>>A 原点的对称点为点为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率,B F AF BF ⊥ABF α∠=,64ππα??

∈?

???

的取值范围是__________．

e 3．【江西省临川第二中学2018届上学期第四次月考】如图所示，点是抛物线的焦点，点F 2

8y x =,A B 分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周

8y x =()2

2216x y -+=AB x FAB ?长的取值范围是__________．

5．【福建省2016届高三毕业班总复习形成性测试】如图，P 是双曲线 (a >0，b >0，xy≠0)上的

221x y a b

-=动点，F 1，F 2是双曲线的焦点，M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且．某同学用以下方法研究

20F M MP ?=

|OM|：延长F 2M 交PF 1于点N ，可知△PNF 2为等腰三角形，且M 为F 2N 的中点，得|OM|=

|12

NF 1|=…=a ．类似地：P 是椭圆 (a >b >0，xy≠0)上的动点，F 1，F 2是椭圆的焦点，M 是∠F 1PF 2

221x y a b

+=的平分线上一点，且，则|OM|的取值范围是________．

20F M MP ?=

6．【贵州省凯里市第一中学2016-2017效果检测】点是圆上的点，点是抛物线

P ()()22

251x y -+-=Q 上的点，则点到直线的距离与到点的距离之和的最小值是__________．

24y x =Q 1x =-P 7．【山东省日照第一中学2017届高三4月考试】过抛物线的焦点的直线交抛物线于A ，2

2(0)y px p =>B 两点，且，这样的直线可以作2条，则P 的取值范围是_____________．

4AB =8．【2017届上海市奉贤区4月调研测试（二模）】双曲线的左右两焦点分别是，若点2

y x -=12,F F P

在双曲线上，且为锐角，则点的横坐标的取值范围是________．

12F PF ∠P 9．【河南省豫南六市2016-2017第一次联考】已知椭圆C ：的左右焦点分别为，

221(0)x y a b a b

+=>>1F ，点P 在椭圆C 上，线段与圆：相切于点Q ，若Q 是线段的中点，e 为C 的离

2F 2PF 222x y b +=2PF 心率，则的最小值是______________

3a e b

10．【2016-2017学年湖北省黄冈市黄冈中学上学期期末】如图，已知抛物线的焦点为，直线过且

依次交抛物线及圆

于点

四点，则

的最小值为__________．