高中数学经典易错题会诊与试题预测11
高中数学经典易错题会诊与试题预测（十一）
考点11 空间向量 ?求异面直线所成的角 ?求直线与平面所成的角 ?求二面角的大小 ?求距离 ?利用空间向量解立体几何中的探索问题 ?利用空间向量求角和距离 经典易错题会诊 命题角度 1
求异面直线所成的角 1．（典型例题Ⅰ）如图11-1，四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=DC=
2
1
AB=1，M 是PB 的中点。
（1）证明：面PAD ⊥面PCD ； （2）求AC 与PB 所成的角；
（3）求面AMC 与面BMC 所成二面角A-CM-B 的大小。
[考场错解] 第（2）问。∵PA ⊥底面ABCD ，且∠DAB=90°∴AD 、AB 、AP 两两互相垂直，建立如图所示的坐标系，则A （0，0，0），C （1，1，0），B （0，2，0），P （0，0，1），∴=（1，1，0），PB =（0，-2，1），∴cos θ510-
=∴AC 与PB 所成的角为arccos(-5
10
).
[专家把脉] 上述错解中有两个错误：（1）PB 的坐标应用B 的坐标减P 的坐标，∴PB =（0，2，-1）；（2）异面直线所成角的范围不正确，公式记忆不准确，实际上异面直线所成的角的范围不正确，公式记忆不准确，实际上异面直线所成的角的范围为（0°，90°），而arccos(-510
)为钝角，cos θ [对症下药] （1）∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ，又CD ?平面PCD ，∴平面图PAD ⊥平面PCD 。
（2）∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD ，PA ⊥AB ，又AD ⊥AB ，∴可以建立如图所示空间坐标系，则由已知A （0，0，0）、C （1，1，0）、B （0，2，0）、P （0，0，1）∴=（1，1，0），=（0，2，-1），设与PB 成角为θ，则cos θ510=
,∴AC 与PB 所成的角为arccos 5
10
. (3) ∵M 为PB 的中点，∴M （0，1，21），∴AM =（0，1，2
1），AC =（1，1，0）设n 1=(x,y,z)为平面AMC
的法向量，则n 1⊥AM ,n 1⊥AC ,∴y=2
1z=0,x+y=0,令x=1,得y=-1,z=2, ∴n 1=(1,-1,2)为平面AMC 的一个法向量，同理可求得n 2=(1,1,2)为平面BMC 的一个法向量，∴n 1、n 2的夹角为arccos 3
2,而从图中可看出A-MC-B 为钝角，∴二面角A-CM-B 的大小为3
2arccos -π。
2．（典型例题）如图11-2，在直四棱术ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2，DC=23，AA 1=3，AD ⊥DC ，AC
⊥BD ，垂足为E 。 （1）求证BD ⊥A 1C ；
（2）求二面角A 1-BD-C 1的大小；
（3）求异面直线AD 与BC 1所成角的大小。
[考场错解]第（3）问，由已知AD 、DC 、DD 1两两互相垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系，∴A （2，
0，0）、D （0，0，0）、B （2， 23，0）C 1（0，23，3）∴AD （-2，0，0）1BC =（-2，0，3）。cos θ11=
,7
7
2724=?∴AD 与BC 1所成的角为 arccos
7
7
2. [专家把脉] B 点坐标计算错误,其实质是位置关系未分析清楚,错误地认为AB ⊥AD,BC ⊥CD,本题还会出现以
BD 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为 z 轴的建立坐标系的错误.
[对症下药] (1) ∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为直四棱柱。∴AA 1⊥底面ABCD ，∴A 1C 在底面ABCD 上的射影为AC ，又
由已知AC ⊥依三垂线定
理可得BD ⊥A 1C 。
（2）如图，以D 为坐标原点，DA 、DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐
标系。
连接A 1E 1、C 1E 1、AG 1。与（1）同理可证，BD ⊥A 1E 1，BD ⊥C 1E 1，∴∠A 1EC 1为二面角A 1-BD-C 1
的平面角。 由
A 1（2，0
3
）、C 1（0，2
3
，
3
）、E （
0,2
3,23），得
,
,034943),3,233,23(),3,23,21(111111EC EA EC EA EC EA ⊥∴=+--=?∴-=-=
即EA 1⊥EC 1。∴二面角A 1-BD-C 1的大小为90°。
（3）在平面ABCD 中，过A 作BF ⊥AD ，交DA 的延长线于F ，由AD=2，CD=23，得AC=4，∠DAE=60°，
∴AE=1，在Rt △AEB
中，AB=2，AE=1，∠BAE=60°，在Rt △AFB 中AB=2，∠BAF=60°，∴BF=3，AF=1，DF=2+1=3，∴B 的
坐标为（3，3，0）由
D （0，0，0）、A （2，0，0）、C1（0，2
3
，
3
）、B （3，
3
，0），得
,15||,2||.6),3,3,3(),0,0,2(111===?∴-=-=BC AD BC AD BC AD
∴cos （AD 、1BC ）51515
261=
=
，∴异面直线AD 与BC 1所成角的大小为arccos 5
15。 本题还可以E 为坐标原点，EB 、EC 分别为x 轴和y 轴，则z 轴与AA 1平行，E （0，0，0）、A 1（0，-1，3）、
C 1（0，3，3）B （3，）
0，0）、D （3-，0，0）、A （0，-1，0），其中A 1、D 、A 的坐标容易求错。 专家会诊
利用空间向量求异面直线所成的角，公式为cos ,|
||||
|b a b a ??=
θ关键是正确地建立坐标系进而写出各有关点的
坐标，建立坐标会出现用三条
两两不垂直的直线作x 轴、y 轴、z 轴的错误，还会出现用三条两两互相垂直但不过同一点的三条直线作x
轴、y 轴、z 轴的错误。写点的
坐标也容易出现错误，学习时要掌握一些特殊点坐标的特点，如x 轴上的点坐标为（a ，0，0），xoz 面上
的点坐标为（a,0,b ）等，其次还
应学会把某个平面单独分化出来，利用平面几何的知识求解，如本节的例2，求B 的坐标。 考场思维训练
1．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2a,高为b ，求异面直线AC 1和A 1B 所成的角。 答案：如图：∵ABC-A1B1C1为正三棱柱，∴AA 1⊥平面空间直角坐标系.则A （0，0，0）、A 1（0，0，b ）、B （a,3a,0）
、C 1（2a,0,b ）, ∴),3,(),,0,2(11b a a A b a AC -== ∴ cos θ,,
22,4|2|2
22211时当b a b a b a ≥
+-=
AC 1与A 1B 所成的角为arc cos ,22
;422
222时当b a b a b a <+- AC 1与A 1Ba 所成的角为π-arc cos
2242b a b a +-.
2．如图11-4，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在CD 上，且CG=4
1
CD ，H 为C 1G 的中 点。
（1）求证：EF ⊥B1C ；
答案：建立如图所示的空间直角坐标系，由已知有E （0，0，2
1
）、F （2
1，2
1，0）、C （0，1，0）、B 1（1，
1，1）、G （0，4
3，0）
（1）∵得,0).1,0,1()2
1,2
1,21(11=?∴--=-=B B EF ⊥B 1C. （2）求EF 与C 1G 所成角的余弦；
答案：=G C 1(0,4
3,0)-(0,1,1)=(0,-4
1,-1), ∵,83
,23||,417||11=?==
G C EF EF G C ∴cos θ=
.1751
2
341783=
? （3）求FH 的长。
答案：由中点坐标公式，得H 的坐标为（0，2
1,87）又F （2
1，2
1，0）, ∴=(-21,83,2
1),FH=.8
41||=FH 3．如图11-5 四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB=1，BC=2。 （1）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；
答案：由已知PA ⊥平面ABCD ，又ABCD 为矩形， ∴CD ⊥AD, ∴CD ⊥平面PAD ，∴面PAD ⊥面PCD.
（2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值； 答案： A(0,0,0)、P （0，0，1）、D （0，2，0），E 为PD 中点， ∴E(0,1, 2
1
)、C （1，2，0），∴,10
302
56212,cos ),1,2,1(),2
1,1,0(=
?
->=
∠∴-==AE PC PC AE ∴AE 与PC 所成角的余弦值为
10
30 （3）在BC 边上是否存在一点G ，使得D 点在平面PAG 的距离为1，如果存在，求出BG 的值；如果不存
在，请说明理由。 答案：假设BC 边上存在一点G 满足D 到PAG 的距离为1，设G （1，y ,0）,则AP =（0,0,1）=(1,y,0),设n=(a 、b 、c)为平面PAG 的一个法向量，由n ⊥AP ,得c=0,由n ⊥AG ，得a+by=0,令a=1,得b=-y
1
,∴n =(1, -y 1,0) 为平面PAG 的一个法向量，∴d=1|
|||=?n n ,解得y=3,∴BC 上存在一点G ，BG=3，使得D 到平面PAG 的距离为1.
命题角度 2
求直线与平面所成的角 1．（典型例题）如图在三棱锥P —ABC 中，AB ⊥BC ，AB=BC=KPA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，
OP
⊥底面ABC 。
（1）当k=2
1
时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小；
（2）当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？
[考场错解]（1）∵PO ⊥OC ，PO ⊥OB ，又AB=BC ，O 为AC 的中点，∴BO ⊥OC ，∴以O 为坐标原点，OB 、
OC 、OP 所在直线x 、y 、z 轴建立穿间直角坐标系，则O （0，0，0）、C （0，a,0）其中设AC=2a ，A （0，-a,0）P(0,0,a 7)、B （a,0,0）
∴PA =(0,-a,-7a),PB = (a,0,-7a)
PC =(0,a,-7a),设n=（x,y,z ）为平面PBC 的一个法向量，由n ⊥PB ,得ax-7az=0,由n ⊥PC ,得ay-7az=0,
令x=1,得z=
7
7
,y=1, ∴n=(1,1, 77
)为平面PBC 的一个法向量，设PA 与平面PBC 所成的角为θ，则cos θ30
210
=. [专家把脉]
公式记忆错误,其实质是未能把直线与平面所成的角与向量的夹角联系上,
应为直线与平面所成
角的正弦值.
[对症下药](1)由错解和错因知,设PA 与平面PBC 所成的角为θ,则cos θ30
210
|
|||=
?n PA , ∴θ=arcsin
30
210
. ∴PA 与平面PBC 所成的角为arcsin
30
210
. (2)设 P(0,0,b),则=(a,0,-b),=(0,a,-b),设G 为△PBC 的重心,则由穗主坐标公式得G(3
,3,3b a a ),由已知OG ⊥
平面PBC, ∴
PB OG PC OG ⊥⊥,,得a=b,即PO=a ，在Rt △POA 中，PA=2a,又AB=2a, ∴R=1, ∴当k=1时O 在平面PBC
内的射影为△PBC 的重 心。 2．（典型例题Ⅱ）如图11-7，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD=PD ，E 、F
分别为CD 、PB 的中点。 （1）求证EF ⊥平面PAB ；
（2）设AB=2BC ，求AC 与平面AEF 所成的角的大小。
[考场错解] 第（2）问，由已知PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，CD ⊥AD ，∴建立如图所示的空间直角坐标系，设BC=a ，
则AB=2a ，可得D （0，
0，0）、C （2a ，0，0）、A （0，a,0）、B （a, 2a,0），以后算出的坐标，平面AEF 的一个法向量的坐
标，利用公式sin θ得出结果。
[专家把脉] B 的坐标写错，由于本题中所建坐标系与通常所建坐标系在直观上有所不同，其实质还是求点
的坐标不熟练所致。 [对症下药] （1）连接PE 、BE 、CF 、FD 。在Rt △PED 中，PE=22PD ED +，在Rt △BCE 中，BE=,
22CE BC +又由已知AD=BC=PD ，
CD=ED ，∴PE=BE ，又F 为PB 中点，∴EF ⊥PB ，又在Rt △PBC 中，CF=2
1
PB ，在Rt △PDB 中，DF=2
1PB ，∴CF=DF ，∴EF ⊥CD ，
又AB ∥CD ，∴EF ⊥AB ，∴EF ⊥平面PAB ；
（2）由已知PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，又AD ⊥CD ，所以建立如图11-8所示的空间直角坐标系，设BC=a ，则
AB=2BC=2a ，得D （0，0，
0）、C （2a,0,0）、A （0，a,0）B （2a,a,0）、P （0，0，a ），由中点坐标公式得E （
0,0,22a ），F （2
,2,22a
a a ）
∴
)0,,2
2(),2,2,0(),0,,2(a a AE a a EF a a AC -==-=设n=（x,y,z ）为平面AEF 的一个法向量，由n ⊥EF ，得
)2
2,22,1(,22,22,1,022,,022-=∴-====-⊥=+n z y x ay ax AE n z a y a 得令得由为平面AEF 的一个法向量，设AC 与平面AEF 所成 的角为θ，则sin θ.63=
∴AC 与平面AEF 所成的角为arcsin 6
3. [专家会诊]
求直线与平面所成角的公式为：sin θ=
|
||||
|n a n a ??,其中a 为直线上某线段所确定的一个向量，n 为平面的一个
法向量，这个公式很容易记错，
关键是理解，有些学生从数形结合来看，认为n 应过直线上某个点，如例4中n 应过C 点，这是错误的，
这里n 是平面的任意一个法向量，
再说一个向量过某一个具体的点这种说法也是错误的。 考场思维训练
1 如图11-9，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°AC=2，BC=6，D 为A 1B 1的中点，异面直线CD 与
A 1
B 垂直。
（1）求直三棱术ABC-A 1B 1C 1的高；
答案：以CA 、CB 、CC1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则由已知有A1（2,0,x ）、B （0，6，0）、D （1，3，x ），C （0，0，0），其中x 为直三棱柱，∴=--=x A ),,6,25(1（1，3，x ）,又A1B ⊥CD ，∴B A 1·CD =0，得（-2）×1+6×3-x 2
=0,解得x=4或x=-4(舍去) ∴直三棱柱的高为4.
（2）求直线A 1B 与平面CC 1A 1C 所成的角。
答案：由(1)知A 1=(-2，6，-4)，又BC ⊥平面ACC 1A 1 ∴为平面CC 1A 1C 的—个法向量,又(0，-6，0) ∴sin θ=
.14
4
36
5636|
||||
|11=
?=
??BC B A BC B A ∴直线A 1B 与平面CC 1A 1C 所成的角为arc sin
.14
4
3 2 如图，已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面边长AB=2，侧棱BB 1的长为4，过点B 作B 1C 的垂线交侧
棱CC 1于点E ，交B 1C 于点F 。 （1）求证：A 1C ⊥平面BED ；
答案：以DA 、DC 、DD1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)、A(2，0，0)、A1(2，0，4)、B(2，2，0)，设E(0，2，x)则BE =(-2，0，x)，C B 1=(-2，0，-4)，由已知BE ⊥C B 1∴BE ·C B 1=0,得x=1，∴E(0，2，1)，∴BE = (-2，0，1)，BD =(-2，-2，0)，C A 1=(-2，2，-4)，由C A 1·BE =0知A 1C ⊥BE ，C A 1·BD=0知A 1C ⊥BD ，∴A 1C ⊥平面BED （2）求A 1B 与平面BDE 所成的角是正弦值。
答案：由(1)知C A 1=(-2，2，-4)为平面BED 的一个法向量，B A 1=(0，2，-4),∴sin θ,6
301111=
∴θ=arc sin
6
30
. ∴A 1B 与平面BDE 所成的角为arc sin
6
30. 3 已知四棱锥P-ABCD （如图），底面是边长为2的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，M 、N 别为AD 、BC 的
中点，MQ ⊥PD 于Q ，直线PC 与平面PBA 所成角的正弦值为
3
3
（1）求证：平面PMN ⊥平面PAD ；
答案：以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 所在的直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系(图略)． 设PA=a ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2， 0)，P(0，0，a)，M(0，1，0)，N(2，1，0)．
∴MN =(2，0，0)，AP =(0，0，a)，AD =(0，2，0)，
∴??
???=?=?00AD MN AP MN ,∴MN ⊥平面PAD. ∵MN ?平面PMN ，∴平面PMN ⊥平面PAD. （2）求PA 的长；
答案：=(2，2，-a)，平面PBA 的一个法向量为n=AM =(0，1，0) ∵直线PC 与平面PBA 成角的正弦值为3
3
， ∴|cos<,n>|=3
3 即3
3010)(222
2
22222｜＝
｜
++?-++a , ∴a=2，即PA=2．
（3）求二面角P-MN-Q 的余弦值。
答案：由(Ⅰ)，MN ⊥平面PAD ，知MQ ⊥MN,MP ⊥MN, ∴∠PMQ 即为二面角P —MN —Q 的平面角． 而PM=5,MQ=
22，MD=2
2, ∴cosPMQ=.1010
5
22PM MQ == ∴二面角P-MN-Q 的余弦值为
.10
10
命题角度 3 求二面角的大小
1．（典型例题）在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面
ABCD ，如图11-12。 （1）证明：AB ⊥平面VAD ； （2）求二面角A-VD-B 的大小。
[考场错解]（2）过V 作VO ⊥AD 于O ，由已知平面VAD ⊥底面ABCD ，∴VO ⊥底面ABCD ，∴以OA 、OV 分
别为x 、z 轴建立空间坐 标系，则分别算出VAD 与VBD 的法向量n 1=（0，1，0）,n 2=（1，-1，
33），∴cos(n 1·n 2)=-7
21。∴二面角A-VD-B 的大小为.7
21arccos
-π [专家把脉] 认为两平面的法微量是的夹角等于二面角的大小，这是错误的，实际上法向量的夹角与二面角
的平面角相等或互补。本题中A-VD-B 为一锐二面角。 [对症下药]（1）∵平面VAD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，
∴根据两面垂直的性质和AB ⊥平面VAD 。
（2）过V 作VO ⊥AD 于O ，由平面VAD ⊥平面ABCD ，得VO ⊥底面ABCD ，∴可以建立如衅11-13所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，则A （2
1
，0，0）、B （2
1，1，0）、
C （-21
，1，0）、D （-21，0，0）、V(0,0,
23)由（1）知AB =（0，1，0）为平面VAD 的一个法向量，=-=BD VB ),2
3,1,21(（-1，-1，0），设n=(x,y,z)为平面VDB 的一个法向量，由n ⊥,,02
3
2
1
,BD n z y x VB ⊥=-+由得得，x+y=0,令x=1,得y=-1,z=-33
。∴cos 7 21 . 2．（典型例题）如图11-14，已知三棱锥P-ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，△ABC 、△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB 。 （1）证明：PC ⊥平面PAB ； （2）求二面角P-AB-C 的平面角的余弦值； （3）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，求△ABC 的边长。 [考场错解] 以EB 、EC 、EP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系。 [专家把脉] 坐标系建立错误，实际上BE ⊥EC ，PE ⊥EC 都可以证得，但PE 与EB 不垂直，本题用穿间向量来解没有用传统方法来解方便，建立坐标系错误或不知息样建立坐标系的穿间向量中的常见错误。 [对症下药] ∵F 为AB 中点，PF ⊥AB ，∴PA=PB ，又△PEF 为正三角形，∴PE=PF ，在△PAE 与△PAF 中，PE=PF ，AE=AF ，∴△PAE ≌△PAF ，∴∠PEA=∠PEF=90°，又E 为AC 中点，∴PA=PC ，∴PA=PB=PC ，∴P 在底面ABC 上的射影为正△ABC 的中心，建立如图11-14所示的空间坐标系，设底面△ABC 的边长为2a ，则PA=PB=PC=2a ，∴PO=,3 63 4222a a a =- ∴P （0，0，36a ），C （,332a 0，0），A （a a -,330），C （,332a -0，0），B （,,3 3a a 0）。 （1）)3 6 ,,33(),36,0,332(a a a PA a a PC --=-- =由,0=?PA PC 知PC ⊥PA ，同理PC ⊥BP ，∴PC ⊥平面PAB 。 （2）由（1）知PC =（a a 36,0,332--）为平面PAB 的一个法向量，OP =（0，0，a 36 ）为平面ABC 的一个法向量，cos<,.33= 又由图形知P-AB-C 的平面角的余弦值为3 3 。 （3）由已知球半径为3，又PA 、PB 、PC 两两互相垂直，∴PA 2+BP 2+PC 2=（23）2，得PA=2，∴AB=22，即正三角形的边长为22 专家会诊 利用空间向量求二面角，先求两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出两法现量的夹角，二面角的平面 角与法向量的夹角相等或互补，具体是哪一种，一般有两种判断方法：（1）根据图形判断二面角是锐角还是钝角；（2）根据两法向量的方向判断。实际上很多求二面角的题目，还是传统方法（如三垂线定理作出二面角的平面角）简单，或传统方法与空间向量相结合来解。 考场思维训练 1 如图，在三棱锥P-OAC 中，OP 、OA 、OC 两两互相垂直，且OP=OA=1，OC=2，B 为OC 的中点。 （1）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值； 答案：解：以OA 、OC 、OP ，所在直线为，x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则O(0，0，0)、P(0，0，1)、C(0，2，0)、B(0，1，0)． (1)=(0，2，-1)，=(-1，1，0)，cos<，510= ，∴PC 与AB 所成角的余弦值为5 10. （2）求点C 到平面PAB 的距离； 答案： PA =(1，0，-1)，AB =(-1，1，0)，设n 1=(x ，y ，z)为平面PAB 的一个法向量，则x-z=0,x-y=0，令x=1得n 1=(1，1，1)为平面PAB 的一个法向量． CB =(0，-1，0)，∴.3 3 31| |11==n ∴C 到平面PAB 的距离为 3 3 ． （3）求二面角C-PA-B 的大小（用反余弦表示）。 答案： =(-1，2，0)，PA =(1，0，-1)，设n 2=(x ，y ，z)为平面PAC 的一个法向量，由2y-x=0，x-z=0，令x=1，得n 2=(1，2 1，1)为平面PAC 的一个法向量．∴cos ∠n 1,n 2>= 9 3 5,又由图形知C-PA-B 为锐二面角. ∴C-PA-B 的大小为 93 5. 2 如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=2，点M 、N 分别在棱PD 、PC 上，且PC ⊥平面AMN 。 （1）求证：AM ⊥PD ； 答案：解析：(1)由已知PC ⊥平面AMN ，得PC ⊥AM ，又可得 CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥AM ，∴AMA ⊥平面PCD ， ∴AM ⊥PD ． （2）求二面角P-AM-N 的大小； 答案：以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则由已知A(0，0，0)，P(0，0，2)C(2，2，0)，可以算得N 分PC 的比为21，∴N(32，32，3 4)、M(0，1，1)、PC =(2，2，-2)为平面AMN 的一个法向量，AB =(2，0， 0)为平面PAM 的一个法向量，且cos ∠AB ，PC >3 3. ∴P ——AM ——N 的大小为arc cos 3 3 . （3）求直线CD 与平面AMN 所成角的大小。 答案：CD =(-2，0，0)，sin θ3 3= . ∴CD 与平面AMN 所成角为arcsin 3 3. 3 如图所示，已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面边长为4，AA 1=6，Q 为BB 1的中点，P ∈DD 1，M ∈A 1B 1，N ∈C 1D 1，AM=1，D 1N=3。 （1）当P 为DD 1的中点时，求二面角M-PN=D 1的大小； 以A 1D 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，DD 1,为z 轴，D 1为原点，建立空间直角坐标系则D 1(0，0，0)、A 1(4，0，0)、P(0，0，3)、M(4，1，0)、N(0，3，0) ∴11A D =(4，0，0)，PN =(0，3，-3)，PM =(4，1，-3) 显然11A D 是面PD 1N 的法向量． 设面PMN 的法向量为n=(x ，y,z) 则由.0 0330 340???????? ?=?? ??=-=-+=?n z y z y x PM n 得 ∴y=z=2x 不妨取n=(1，2，2)，设11A D 与n 成角θ 则cos θ.3 1 221004)2,2,1()0,0,4(| |||2 222221111=++?++?= ?n A D ∴θ=arc cos 3 1. 由题知二面角M--PN--D 1大小为arccos 3 1. （2）在DD1上是否存在点P ，使QD1⊥面PMN ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，请说明理由； 答案：MN =(-4，2，0)，1QD =(-4，-4，-3) ∵1QD ·MN =(-4，-4，-3)·(-4，2，0)=8≠O ∴QD 1与不垂直． ∴不存在点P 使QD 1⊥面PMN ． （3）若P 为DD 1中点，求三棱锥Q=PMN 的体积。 答案： P(0，0，3)、M(4，1，0)、N(0，3，0)、PM =(4，1，-3)， PN =(0，3， -3) ， |PM |=.1322 32693,cos 18)3(30||26)3(14222222= ?+= >= ∠=-++==-++PN PM PN ) 0,4,4(.913 3182621sin ||||21.13 31341sin ==???=∠???= ?=-=∠PQ MPN PN PM PMN S MPN 由(1)取平面PMN 的法向量n=(1，2，2)则Q 到平面PNM 的距离h= 42 21| 84|||||22=+++=?n PQ n ∴V Q-PMN =3 1×S △PMN ·h=3 1×9×4=12． 命题角度 4 求距离 1．（典型例题）如图11-18，直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点且BF ⊥平面ACE 。 （1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求二面角B-AC-E 的大小； （3）求点D 到平面ACE 的距离。 [考场错解] 第（3）问，以A 为坐标原点，AB 、AD 分别为y 轴，z 轴建立空间坐标系，由（1）知∠AEB=90°∴∠EAB=45°，可得E （1，1，0），在Rt △BCE 中，F 分CE 的比为2，∴F （32,34,32），)3 2,32,32(-=BF 为平面BCE 的一个法向量，=DB （0，2，-2），∴D 到平面ACE 的距离.3 2 2= [专家把脉] 点到面的公式用错，求A 到平面α的距离的公式为,| || |n n d ?= 其中a 为A 且与α相交的线段所确定的向量，n 为平面的任一非零法向量。本题若用D 到面ACE 的距离等于B 到面ACE 的距离，而后者即为BF ，将会更简单。 [对症下药] （1）∵BF ⊥平面ACE ，∴BF ⊥AE ，又D-AB-E 为直二面角，CB ⊥AB ，∴CB ⊥平面AEB ，∴CB ⊥AE ，∴AE ⊥平面BCE 。 （2）以A 为坐标原点，AB 、AD 分别为y 轴、z 轴建立如衅11-18所示的空间坐标系，则由∠AEB=90°， AE=EB ，得∠EAB=45°，AE=2，得E （1，1，0），在Rt △BCE 中，F 分CB 的比为2，∴F （32 ,34,32），)3 2 ,32,32 (-=BF 为平面ACE 的一个法向量，平面ABC 的一人法向量为x 轴，取n=(1,0,0), ∴cos(n,BF )=3 3 ,又由图知B-AC-E 为锐二面角。∴B-AC-E 的大小为arccos 3 3 . (3) =DB （0，2，-2）, ∴D 到平面ACE 的距离.3 2 2| |=BF 2．（典型例题）如图11-19，在三棱锥S-ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=32，M 、N 分别为AB 、SB 的中点 （1）证明：AC ⊥SB ； （2）求二面角N-CM-B 的大小。 （3）求点B 到平面CMN 的距离。 [考场错解] 因为平面SAC ⊥平面ABC ，∴SC ⊥平面ABC ，∴C 为坐标原点，CB 、CS 为y 轴、z 轴建立空间坐标系。 [专家把脉] 坐标系建立错误，实质是对二面垂直的性质不熟悉所致，SC 与平面ABC 不垂直。 [对症下药] 取AC 中点O ，连续OS 、OB ，∵SA=SC ，AB=BC ，∴AC ⊥SO ，AC ⊥OB ，又平面SAC ⊥平面ABC ，SO ⊥AC ， ∴SO ⊥平面ABC ，∴SO ⊥BO 。以OA 、OB 、OC 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如下图。 （1）A （2，0，0）、B （0，23，0）、C （-2，0，0）、S （0，0，22）、M （1，3，0）、N （0，3，2）∴=（-4，0，0），=（0，23，-22）∵,0=?∴AC ⊥SB 。 （2）由（1）得),2,0,1(),0,3,3(-==MN CM 设n=（x,y,z ）为平面CMN 的一个法向量，则 ???? ?=+-=?=+=?, 020 33z x n MN y x n CM 可得n=（1,6,2-）为平面CMN 的一个法向量，又OS =（0，0，22）为平面ABC 的一个法向量，∴ cos |||= ?OS n 又由图知二面角N-CM-B 的大小为锐角，∴二面角N-CM-B 的大小为arccos 3 1 。 （3）由（1）、（2）得)1,6,2(),0,3,1(-=-=n MB 为平面CMN 的一个法向量。 ∴点B 到平面CMN 的距离d=.3 2 4||||=?n MB n 专家会诊 立体几何中的距离以点到面的距离最为重要利用空间和量求点到面的距离关键是对公式d= | || |n n a ?的理解和记忆，其中a 为过该点且与平面相交的线段确定的向量，n 为平面的任意一个法向量，这个任意给解题 带来了很大的方便。当然有些题目用空间向量来解可能没有传统方法简单。 考场思维训练 1 已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，PC 垂直于ABCD 所在的平面，且PC=2。 求点B 到平面PEF 的距离。 答案：解：以CD 、CB 、CP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)、P(0，0，2)、F(4，2，0)、E(2，4，0)、B(4，4，0)，∴PE =(2，4，-2)，DF =(4，2，-2)，设n=(x ，y ，z)为平面PEF 的一个法向量，则由n ⊥,得2x+4y-2z=0，由n ⊥得4x+2y-2z=0，令x=1，得y=1，z=3，∴n=(1，1，3)为平面PEF 的一个法向量． ∴d= .1111 2 ||||=?n BE n 2 如图：正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长是3，侧棱长是3，点E 、F 分别在BB1、DD1上，且AE ⊥A1B ，AF ⊥A2C 。 （1）求证：A1C ⊥平面AEF ； 答案：∵CB ⊥平面A 1B ，∴A 1C 在平面A1B 上的射影为A 1B ，又A 1B ⊥AE,AE ?平面A 1B ．∴A 1C ⊥AE ．同理A 1C ⊥AF ，∴A 1C ⊥平面AEF ． （2）求二面角A-EF-B 的大小； 答案：以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DD 1在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)、A(3，0，0)、A 1(3，0，3)、C(0，3，0)，由(1)知C A 1=(-3，3，-3)为平面AEF 的一个法向量，设n 为平面AEB 的一个法向量，可以算得F(0，0，1)、E(3，3，1)，∴=(0，0，1)、 (-3，-3,0)，由n ⊥BE ,得z=0，n ⊥EF ，得x+y=0，令x=1，则y=-1，∴n=(1，-1，0)为平面BEF 的一个法向量．∴cos ∠n, C A 1>=,5 10 ||||11=??C A n C A n 又从图知A —EF —B 为锐二面角，∴二面角A —EF —B 的大小为 a1ccos 5 10. （3）求点B 1到平面AEF 的距离。 答案： B 1(3，3，3)、B 1(0，0，-2)、A 1 (-3，3，-3)为平面AEF 的一个法向量，∴d= .155 2 ||||11=?C A C A BE 3 在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=PC ，BC=2a ，AC=a ，AB=3a ，点P 到平面ABC 的距离为2 3a （1）求二面角P-AC-B 的大小； 答案：设O 为BC 中点，则可证明PO ⊥面ABC ，建立如图3所示的空间直角坐标系，则A （a 2 1，-2 3 a,0）、B （-a,0,0）、C(a,0,0)、P （0，0，a 2 3 ），AC 中点D （ )2 3,43;43(),0,23,23(),0,43,43a a a DP a a AB a a -=-=-，AB ⊥AC ，PA=PC ，PD ⊥AC ，cos AB ,>即为二面角P-AC-B 的余弦值。而 cos 214 9163169043490 43 23)43)(23(2 2222=++?+++?+--a a a a a a a a a ∴二面角P-AC-B 的大小为60° （2）求点B ’到平面PAC 的距离。 答案：由（1）知AP =（设)2 3 ,0,(),23,23, 21a a a a a -=n=(x,y,z)为平面PAC 的一个法向量，则由n ⊥. 23 ),0,0,2(,)32,33,1(,3 3 ,32,1,023,,0232321,a d a BC PAC n y z x az ax CP n az ay ax AP ==∴=-=∴-====+-⊥=++- 的一个法向量为平面得令得得 ∴B’到平面PAC 的距离为a 2 3. 探究开放题预测 预测角度 1 利用空间向量解立几中的探索性问题 1．如图11-23，PD ⊥面ABCD ，ABCD 为正方形，AB=2，E 是PB 的中点，且异面直线DP 与AE 所成的角的余弦为 3 3。 试在平面PAD 内求一点F ，使EF ⊥平面PCB 。 [解题思路] 建立空间坐标系，DP 与AE 所成的角的余弦为 3 3 ，求出E 的坐标，再设F 的坐标，得用PC EF CB EF ⊥⊥,求解。 [解答] 以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图11-24所示的穿间直角坐标系，则A （2，0，0）、B （2，2，0）、C （0，2，0），设P （0，0，2m ）则E （1，1，m ），)2,0,0(),,1,1(m DP m AE =-=∴ ∴cos ,3 3 211222= ?++m m m 得m=1. ∴P(0,0,2),E(1,1,1) ∵F ∈平面PAD ，∴可设F （x,0,z ）,EF =(x-1,-1,z-1)、EF ⊥平面PCB ，∴CB EF ⊥，∴CB EF ⊥=0，即（x-1,-1,z-1）·(2,0,0)=0, ∴x=1,又由FC EF ⊥，得（x-1,-1,z-1）·(0,z,-1)=0,得z=0. ∴点F 的坐标是（1，0，0），即点F 是AD 的中点时EF ⊥平面PCB 。 2．如图11-25，直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，面ABCD 是一个直角梯形，AB 、CD 为梯形的两腰，且AB=AD=AA 1=a 。 （Ⅰ）如果截面ACD1的面种为S ，求点D 到平面ACD1的距离； （Ⅱ）当 BC AB 为何值时，平面AB 1C ⊥平面AB 1D 1。证明你的结论。 [解答思路] 第（1）问用传统方法的等体积法求解较为方便，第（2）问是一个探索条件的题目，在立体几何中这一类问题用空间向量是来解具有优越性。 [解答] （1）由VD-ACD 1=VC-ADD 1，过C 作CE ⊥AD 。∵ABCD-A 1B 1C 1D 1为直四棱柱。∴平面ABCD ⊥平面AA 1BD ，∴CE ⊥平面ADD 1A 1，∴CE=a 是C 到平面ADD 1的距离。∴3 1sh=.2,2 1313 2s a h a a = ??解得∴即点D 到ACD 1的距离为.23s a （2）分别以A 1B 1，A 1D 1，A 1A 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图11-26所示的空间直角坐标系，则A 1（0，0，0）、A （0，0，a ）、B 1（a,0,0）,设c(a,b,a),设n 1=(x,y,z)是平面AB 1C 的一个法向量，1AB （a,0,-a ）,=AC (a,b,0), ∴n 1·1AB =0， n1·=AC 0，得ax-az=0,ax+by=0,令x=1, ∴n 1=(1,-b a ,1),同理算出平面ABD 1的法向量n 2=(1,1,1). ∵平面AB 1C ⊥平面AB 1D 1，∴n 1⊥n 2,即n 1·n 2=0 ∴1-b a +1=0,解得b a =2,即当 2=BC AB 时，平面ABC ⊥平面AB 1D 1。 预测角度 2 利用空间向量求角和距离 1．已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=1，BC=a ，AA 1=1。 （1）棱BC 上是否存在点P ，使A 1P ⊥PD ，说明理由； （2）若BC 上有且仅有一点P ，使A 1P ⊥PD ，试求此时的二面角P-A 1D-A 的大小。 [解答思路] 建立空间直角坐标系，设出P 的坐标，将问题转化为方程是否有解来求解第（1）问，第（2）问利用公式求解。 [解答] 以AB 、AD 、1AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0）、A 1（0，0，1）、D （0，a ，0） （1）假设存在这样的P ∈BC ，使得A 1P ⊥PD ，设P （1，y,0），则)0,,1(),1,,1(1y a PD y P A --=-=∴ 0121=--=?y y PD P A ，∴y 2 -ay+1=0, △=a 2 -4，当a>2时，存在两点，使得A 1P ⊥DP ；当a=2时存在一点， 使得A 1P ⊥DP ；当0 （2）由题意得a=2，此时P （1，1，0），P A 1=（1，1，-1），=PD （-1，1，0），设n 1=(x,y,z)为平面PA 1D 的一个法向量，由n 1⊥A 1P 及n 1⊥PD 得：x+y-z=0,x-y=0,令x=1,得y=1,z=2, ∴n 1=(1,1,2)平面A 1DA 的法向量n 2=(1,0,0), ∴cos 6661= ,又由图知P-A 1D-A 为锐二面角。∴P-P 1D-A 的大小为arccos .6 6 考点高分解题综合训练 1 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和BB 1的中点，则CM 与D 1N 夹角的正弦值为 （ ） 3 2.59 2.5 54.9 1 . D C B A 答案： B 解析：以DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，则M （2，0， 1）、N （2，2，1）、C （0，2，0）、D 1（0， 0，2），∴=（2，-2，2），,91,c o s ),1,2,2(1111-=>=<∴-N D CM N D ∴CM 与D 1N 所成角的正弦值为 9 5 4，∴选B 2 矩形ABCD 的两边AB=3，AD=4，PA ⊥平面ABCD ，且PA= 5 3 4，则二面角A-BD-P 的度数为 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 答案： A 解析：以AB 、AD 、AP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABCD 的法向量n1=(0,0,5 3 4),平面BDP 的一个法向量为（4，3，35），∴二面角的余弦值为 2 3 ，∴二面角的大小为30° ∴选A 。 3 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中点，M 、N 分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM A ．是AC 和MN 的公垂线 B ．垂直于A C ，但不垂直于MN C ．垂直于MN ，但不垂直于AC D ．与AC 、MN 都不垂直 答案： B 解析：以1,,DD DC DA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D （0，0，0）、D 1（0,0,2a ）、M （ 0,0,a ） A(2a,0,0) 、 C （ 0,2a,0 ）、 O(a,a,0) 、 N(0,a,2a), ∴ ,0,0),0,2,2(),,,0(),,,(2≠-=?=?∴-==--=a OM MN AC OM a a AC a a MN a a a OM ∴OM ⊥AC,OM 与MN 不垂直. ∴选B. 4 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1积与平面CBC1所成的角为 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案： B 解析：以A 为坐标原点，AC 、AA 1所在的直线分别为y 轴和z 轴建立空间坐标系，设底面边长为2a,侧棱长为2b,则A （0，0，0）C （0,2a,0）、D （0,a,0）、B （a 3,a,0）、C 1（0,2a,2b ）、B 1（a 3,a,2b ）由0,1111=?⊥BC AB BC AB 得，即2b 2 =a 2 ，分别算出DBC 1与平面CBC 1的一个法向量，利用公式cos θ=, | |||212 1n n n n ?得θ=45°。 ∴选B 。 5 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，BC=AC=2，AA 1=4，D 为棱CC 1上 的一动 点，M 、N 分别为△ABD 、△A 1B 1D 的重心。 （1）求证：MN ⊥BC ； 答案：设C1D=a(0≤a ≤4),依题意有：D （0,0,a ）、A （2，0，4）、B （0，2，4）、C （0，0， 4）、C 2（0，0，0），因为M 、N 分别为△ABC 、△A 1B 1D 的重心。 所 以 M （ )3 8,32,32a +），N （ ,32 ,323 a ） .,0)0,1,0()3 8 ,0,0(),38,0,0(BC MN CB NM NM ⊥∴=?=?=? （2）若二面角C-AB-D 的大小为arctan 2,求点C 1到平面A 1B 1D 的距离； 答案：因为平面ABC 的法向量n 1(0,0,-1),设平面ABD 的法向量n 2(x 1,y 1,z 1), ??????? ??=?? ??=?-=?--?=?00),,()0,2,2(0 ),,()4,0,2(0 21111112n AB z y x z y x a n ),42,1,1(1),42, ,(211112a n x x a x x n -=?=-=?令 设二面角C-AB-D 为θ，则由tan θ=2,3 3 cos = ?θ因此 ,23 3 |36 1622||) 42(242 | || |||| cos 22 212 1=?= +-=-+-=??=a a a a a n n n n θ设平面A 1B 1D 的法向量为n 3(x,y,z)， 则 1),,,(0),,()2,0,2(0),,()2,0,2(0 B A 0D A 33113 1==????=?-=?-????? ?=?=?x x x x n z y x z y x n n 令 有n 3=(1，1，1)，设C 1到平面A 1B 1D 的距离为d ，则d= .3 3 2|||1|33=?n n D A （3）若点C 在△ABD 上的射影正好为M ，试判断点C 1在△A 1B 1D 的射影是否为N ？并说明理由。 答案：若点C 在平面ABD 上的射影正好为M ，则CM ⊥0=??AD CM AD ,即(3 4 , 32,32-a )·(-2，0，0，a-4) =023 43)4(2=?=-?a a ,a=6(舍)，因此D 为CC 1的中点，根据对称性可知C l 在平面A 1B 1D 的射影正好为N. 6 四棱锥P=ABCD 中，AB ⊥CD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2，M 为PC 的中点。 （1）求证BM ∥平面PAD ； 答案：取PD 的中点E ，连结AE 、ME ，∵M 为PC 的中点，∴EM 2 1CD ，又AB 2 1CD ，∴ME AB ，四边形ABME 是平行四边形，∴BM ∥EA ，BM ?平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD ． （2）在△PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； 答案：以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B(1，1，0)、C(2，2，0)、D(0，2，0)、M(1，1，1)、E(0，1，1)在平面PAD 内设N(0，y ，z)，则MN =(-1，x-1，z-1)，PB =(1，0，-2)，DB (1， -2，0)，由MN ⊥PB ，⊥DB ，有-1-2(z-1)=0，-1-1(y-1)=0，∴y=2 1,z=2 1,即N(0，2 1,2 1)，∴当N 为△PAD 边 PD 中线的中点时MN ⊥面PBD ． （3）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值。 答案：设PC 与平面PBD 所成的角为θ，∵PC =(2，2，-2)，MN =(-1，-2 1,-2 1)，∴sin θ=3 2 ，∴直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值为 3 2 . 7 在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1在底面上的射影在线段AC 上，底面△ABC 是以∠B 为直角的等腰三角形，M 为AC 的中点，又AB=AA 1=a （1）求证：BM ⊥AA 1； 答案：在三棱柱ABC--A 1BC 1中，A 1在底面的射影落在线段AC 上，因此平面A 1ACC 1⊥底面ABC ，又底面△ABC 是以AC 为底的等腰三角形，M 为AC 的中点， ∴BM ⊥AC ． ∴BM ⊥平面A 1ACC 1，从而BM ⊥A 1A ． （2）若A 1C ⊥平面BMC 1，求证：三棱柱ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱。 答案：以M 为坐标原点，MB 、MC 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系，则M(0，0，0)、B(2 2 a ，0，0)，设C 1(0， 22a+b,c)则A 1(0，-22a+b,c)，∴C 1=(0，-22a-b ，-c),1BC =(-22a,2 2a+b,c)A 1=(0, 2a-b,-c)由 C A 1·M C 1=0，得-a 2 +b 2 - 2 2ab+c 2=0,又c 2=a 2-b 2 , ∴ 22ab=0，得b=0，即A1(0，-2 2a,c) ∴1AA =(0，0，c)， ∴1AA ⊥底面ABC ． ∴ 三棱柱ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱． 8 四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，).1,2,1(),0,2,4(),4,1,2(--==--= （1）求证：PA ⊥底面ABCD ； 答案：∵,0,0=?=?AD AP AB AP ∴AP ⊥PB ，AP ⊥AD ， ∴AP ⊥底面ABCD ． （2）求四棱锥P-ABCD 的体积； 答案：设∠BAD=θ，∴cos θ,105 3= ∴sin θ= 35 24,S ABCD=|AB |·|AD |·sin θ=86. ∴V P-ABCD =31 S ABCD ·|AP |=16． （3）对于向量 a=（x 1,y 1,z 1）.b=(x 2,y 2,z 2),c=(x 3,y 3,z 3)定义一种运算： （a×b）·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1试计算（AD ?的绝对值的值；说明其与四棱锥 AB?）AP P-ABCD体积的关系，并同此猜想这一运算（AD AB?）AP ?的绝对值的几何意义。 答案：|( AB×AD)·AP|=48，它是P-ABCD体积的3倍，可以猜想|( AB×AD)·AP|在几何上表示以AB、AD,AP为棱的平行六面体的体积． 高中数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(9 5 )2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2 )1()1(-+-βα的最小值是 2017年高考备考：高中数学易错点梳理 一、集合与简易逻辑 易错点1 对集合表示方法理解存在偏差 【问题】1: 已知{|0},{1}A x x B y y =>=>，求A B I 。 错解：A B =ΦI 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。 正确结果：A B B =I 【问题】2: 已知22 {|2},{(,)|4}A y y x B x y x y ==+=+=，求A B I 。 错解： {(0,2),(2,0)}A B =-I 正确答案：A B =ΦI 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。 反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。 易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集 【问题】: 已知2 {|2},{|21}A x a x a B x x =<<=-<<，且B A ?，求a 的取值范围。 错解：[-1，0） 剖析：忽视A =?的情况。 正确答案：[-1，2] 反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合B A ?就有可能忽视了A =?，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。 易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性 【问题】: 已知1∈{2a +,2 (1)a +, 2 33a a ++ }，求实数a 的值。 错解：2,1,0a =-- 剖析：忽视元素的互异性，其实当2a =-时，2 (1)a +=233a a ++=1；当1a =-时， 2a +=2 33a a ++=1；均不符合题意。 正确答案：0a = 反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。 易错点4 命题的否定与否命题关系不明 【问题】: 写出“若a M a P ??或，则a M P ?I ”的否命题。 错解一：否命题为“若a M a P ??或，则a M P ∈I ” 剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。 错解二：否命题为“若a M a P ∈∈或，则a M P ∈I ” 剖析：知识不完整，a M a P ??或的否定形式应为a M a P ∈∈且。 正确答案：若a M a P ∈∈且，则a M P ∈I 高中数学中的易错题分类及解析关键词：高考数学易错题全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩. 易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性. 易错题的分类解析: 分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析. 本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集. 下表是易错题分类 表： 数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动 . 从 数学学习的认知结构上讲， 数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深 度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构 . 所以，数 学中有许多题目，求解的思路并不繁杂， 但解题时，由于读题不仔细， 或者对某些知识点的 理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨 论??等等原因，都会导致错误的出现 . “会而不对，对而不全” ，一直以来都是严重影响考 生数学成绩的重要因素 . 一．易错题的典型特征 解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有 关 度有关 . 同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关 . 1．考生自我心理素质 ：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的 产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程 . 部分考生题意尚未 明确， 加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维 定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍 . 2．易错点的隐蔽性 ：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体， 而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五 个因素组成 . 数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考 生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用 . 个体思维的跳跃性是产生思维漏洞 的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强 3．易错点形式多样性 ：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般 有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、 数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等 . 4．易错题的可控性 ：学生的认识结构有其个性特点 . 在知识总量大体相当的情况下，有的 学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对 知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取 . 在学生形成了 一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理 和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和 完善，所谓“吃一堑长一智” . 只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的 “警戒点” , 养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少 . 1. 数学概念的理解不透 数学概念所能反映的数学对象的属性， 不仅是不分精粗的笼统的属性， 它已经是抓住了 数学对象的根本的、 最重要的本质属性 . 每一个概念都有一定的外延与内涵 . 而平时学习中对 概念本质的不透彻， 对其外延与内涵的掌握不准确， 都会在解题中反映出来， 导致解题出错 例 1. 若不等式 ax 2 +x+a < 0 的解集为 Φ，则实数 a 的取值范围（ ） 1 1 1 1 1 1 A.a ≤ - 或 a ≥ B.a < C.- ≤ a ≤ D.a ≥ 2 2 2 2 2 2 【错解】选 A.由题意，方程 ax 2 +x+a=0的根的判别式 0 1 4a 2 0 , 又与试题的难易程 易错题的分类解析 高考数学易考易错点总结 高考数学易考易错点总结? 1.指数、对数函数的限制条件你注意了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)它们的函数值分布情况是如何的? 2.利用换元法证明或求解时，是否注意“新元”的范围变化?是否保证等价转化? 3.利用放缩法证明或求解时，是否注意放缩的尺度及方向的统一? 4.图像变换的时候是否清楚任何变换都是对“变量本身” 进行的? 5.对于集合，你是否清楚集合中的元素(数、点、符号、图形等)是什么及元素的特性(确定性、互异性、无序性)?在集合运算时是否注意空集和全集? 6.命题的否定(只否结论)与否命题(条件、结论全否)的区别你知道吗? 7.求一个函数或其反函数的解析式的时候你标明函数的定 义域了吗? 8.映射的概念你了解吗?对于映射f:A→B，是否注意到集合A中元素的任意性和集合B中与它对应元素的唯一性(B中可有多余元素)? 9.根据定义证明函数的单调性时的一般步骤是什么(取值规定大小、作差化连乘积、判断符号下结论)? 10.判断一个函数的奇偶性时是否注意到定义域关于原点对称这个必要非充分条件了? 11.“三个二次”的关系你清楚吗?(二次函数的图像与轴的交点的横坐标即二次方程的根;不等式的解集为二次函数图像上方或下方的点的横坐标的集合)含有参数的二次型你是否注意对二次项系数、对称轴、定义域、判别式、根的大小等的讨论? 12.数列也是一种特殊的函数你忽视了吗?是否能利用数列 性质解题? 13.你还记得三角变换化简的通性通法吗(“角”的变换、“名”的变换、“幂”的变换、“形”的变换等)? 14.利用“均值不等式”证明或求最值的时候是否注意“一正、二定、三相等”的条件?如果等号取不到经常采用哪些办法(利用单调性、配凑、图像法等)? 15.分式不等式的一般解法是什么(移项、通分、合并同类项、分式化整式)? 16.理解直线的倾斜角和斜率的概念了吗?在设直线方程解 题时是否忽略斜率不存在的情况? 17.直线的截距概念如何理解(截距可以是正数、负数、零)? 18.会求球面距离吗?它的基本类型有哪些?你能把它们转化为熟悉的图形吗(经度同纬度不同转化为线面角、纬度同经度不同转化为二面角)? 高中数学易错题集锦 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37 )3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固 地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2)1()1(-+-βα的最小值是 不存在)D (18)C (8)B (4 49)A (- 思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 【高中数学】高中数学18个易错知识点汇总，看完拿高分！ Part 1 集合与简单逻辑 01易错点：遗忘空集致误 错因分析：由于空集是任意非空集合的真子集，因此，对于集合B，就有B=?，B≠?两种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B=?这种情况，导致解题结果错误。尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或解题不全面。 02易错点：忽视集合元素的三性致误 错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参数的范围，再具体解决问题。 03易错点：四种命题的结构不明致误 错因分析：如果原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A 则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。这里面有两组等价的命题，即“原命题和逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”。 04易错点：充分必要条件颠倒致误 错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。 05易错点：逻辑联结词理解不准致误 错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真<=>p真或q真，p∨q假<=>p假且q 假(概括为一真即真);p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假(概括为一假即假) Part 2 函数与导数 06易错点：求函数的定义域时忽视细节致误 错因分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此要求定义域就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。 在求一般函数定义域时要注意下面几点： (1)分母不为0; (2)偶次被开放式非负; (3)真数大于0; 高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合M={y |y =x 2 ＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ） 解：M={y |y =x 2 ＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }． ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2 ＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2 ＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的． 2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2} 3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个) 解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。 4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围． 解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2 }．若A=B ，求c 的值． 分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2 －2ac=0， a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c 2 －2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2 －ac －a=0， ∵a≠0，∴2c 2 －c －1=0， 即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－ 21． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则 a -11∈A ，1≠a 且1?A. ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－ a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素. 高中数学易错题集锦 指导教师：任宝安 参加学生：路栋胡思敏 李梅张大山 ?【例1②×2①×2③+b a 和 993)3(f ∴3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到4 49 - ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如 果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根βα、 ∴0)6k (4k 42≥+-=??.3k 2k ≥-≤或 当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2)已知(x+2)2+=1,求x 2+y 2的取值范围。 错解∴当分析∴ x 2 【例3错解)2的最小 值是分析2 1 ,第二 原式 由ab ∴原式≥2×17+4=2(当且仅当a=b=2时，等号成立)， ∴(a+a 1)2+(b+b 1 )2的最小值是。 ●不进行分类讨论，导致错误 【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a 错误解法.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a 。 错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。 集合部分错题库 1．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 2.已知集合M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝3}，N ＝{(x ，y)|x －y ＝5}，那么集合M ∩N 为 A.x ＝4，y ＝－1 B.(4，－1) C.{4，－1} D.{(4，－1)} 3.已知集合A ＝{x|x 2－5x+6<0}，B ＝{x|x< a 2 }，若A B ，则实数a 的范围为 A.［6，+∞) B.(6，+∞) C.(－∞，－1) D.(－1，+∞) 4.满足{x|x 2－3x ＋2＝0}M {x ∈N|0 高中数学易错题 一．选择题（共6小题） 1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5 2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（） A．缺条件，不能求出B．C．D． 3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（） A．3＜d＜4 B．C．D． 4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（） A．B．C．D． 5．（2009?闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（） A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0 6．（2011?江西模拟）下面命题： ①当x＞0时，的最小值为2； ②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条； ③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象； ④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12． 其中正确的命题是（） A．①②④B．②④C．②③D．③④ 二．填空题（共10小题） 7．Rt△ABC中，AB为斜边，?=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________． 8．（2011?武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且 35种高中数学易错题失分题汇总解析 关键词：高考数学易错题 全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩.易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性.易错题的分类解析:分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析.本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集.下表是易错题分类表： 正文 数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动.从数学学习的认知结构上讲，数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构.所以，数学中 有许多题目，求解的思路并不繁杂，但解题时，由于读题不仔细，或者对某些知识点的理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨论……等等原因，都会导致错误的出现.“会而不对，对而不全”，一直以来都是严重影响考生数学成绩的重要因素. 解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有关,又与试题的难易程度有关.同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关. 1．考生自我心理素质：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程.部分考生题意尚未明确，加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍. 2．易错点的隐蔽性：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体，而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五个因素组成.数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用.个体思维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强. 3．易错点形式多样性：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等. 4．易错题的可控性：学生的认识结构有其个性特点.在知识总量大体相当的情况下，有的学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取.在学生形成了一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和完善，所谓“吃一堑长一智”.只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的“警戒点”,养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少. 1.数学概念的理解不透 数学概念所能反映的数学对象的属性，不仅是不分精粗的笼统的属性，它已经是抓住了数学对象的根本的、最重要的本质属性.每一个概念都有一定的外延与内涵.而平时学习中对 高中数学37个易错知识点汇总分析 为了帮助同学们复习备考，减少不必要的丢分，下面对高中数学易错知识点37个进行汇总分析，供同学们参考。 1．在应用条件A∪B＝B，A∩B＝A 时，易忽略A是空集Φ的情况。 2．求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则，尤其是在与实际生活相联系的应用题中，判断两个函数是否是同一函数也要判断函数的定义域，求三角函数的周期时也应考虑定义域。 3．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称，优先考虑定义域对称。 4．解对数不等式时，易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1这一条件。 5．用判别式法求最值（或值域）时，需要就二次项系数是否为零进行讨论，易忽略其使用的条件，应验证最值。 6．用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为0。尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略。 7．用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正（几个数或代数式均是正数）二定（几个数或代数式的和或者积是定值）三等（几个数或代数式相等）”这一条件。 8．用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性。 9．求反函数时，易忽略求反函数的定义域。 10．求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示，而应用逗号连接多个区间。 11．用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝1的情况。 12．已知Sn求a n 时，易忽略n＝1的情况。 13．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时，易忽略斜率不存在的情况；题目告诉截距相等时，易忽略截距为0的情况。 14.求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽略直线与x轴或者y 轴平行的情况。 15．用到角公式时，易将直线L 1、L 2 的斜率ｋ 1 、ｋ 2 的顺序弄颠倒；使用到 高中数学错题精选一：三角部分 1．△ABC 中，已知cosA= 135，sinB=5 3 ，则cosC 的值为（ ） A 、6516 B 、6556 C 、6516或6556 D 、65 16 - 2．为了得到函数??? ? ? -=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A 向右平移 6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3 π 3．若sin cos θθ+=1，则对任意实数n n n ，sin cos θθ+的取值为（ ） A. 1 B. 区间（0，1） C. 121 n - D. 不能确定 4．函数]),0[)(26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是…………………( ) A. ]3, 0[π B. ]127, 12[ ππ C. ]65,3[ππ D. ],6 5[ππ 5．在锐角⊿ABC 中，若1tan +=t A ，1tan -=t B ，则t 的取值范围为（ ） A 、),2(+∞ B 、),1(+∞ C 、)2,1( D 、)1,1(- 6．已知53sin +-= m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ <<2），则=θtan （C ） A 、324--m m B 、m m 243--± C 、125- D 、12 543--或 7．曲线y=2sin(x+)4 πcos(x-4 π)和直线y=2 1 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、 P 3……，则|P 2P 4|等于 （ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 8．函数的图象的一条对称轴的方程是（） 9．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π 3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得 函数图象对应的解析式为 （ ） A ．y=sin(－2x+ π 3 ) B ． y=sin(－2x － π3 ) C ．y=sin(－2x+ 2π3 ) D ． y=sin(－2x －2π 3 ) 10．函数x x y cos sin =的单调减区间是（ ） A 、]4 ,4 [π ππ π+- k k （z k ∈） B 、)](43 ,4[z k k k ∈++ πππ π C 、)](2 2,4 2[z k k k ∈+ + π ππ π D 、)](2 ,4 [z k k k ∈+ + π ππ π 11．已知奇函数()[]上为，在01 -x f 单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ） A 、f(cos α)＞ f(cos β) B 、f(sin α)＞ f(sin β) C 、f(sin α)＜f(cos β) D 、f(sin α)＞ f(cos β) 高中数学错题精选二：不等式部分 1、若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A a ≤- 21或a ≥21 B a ＜21 C -21≤a ≤21 D a ≥ 2 1 正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。 2、已知函数y =㏒2 1(3x )52 +-ax 在[-1，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围（ ） A a ≤-6 B -60＜a ＜-6 C -8＜a ≤-6 D －8≤a ≤-6 正确答案：C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件。 3、f(x)=︱2x —1｜，当a ＜b ＜c 时有f(a)＞f(c)＞f(b)则（ ） A a ＜0,b ＜0,c ＜0 B a ＜0,b ＞0,c ＞0 C 2 a -＜2c D 22+a c ＜2 正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。 4、已知实数x 、y 满足x 2+y 2=1，则(1－xy)(1+xy)( ) A.有最小值 2 1 ，也有最大值1 B.有最小值 4 3 ，也有最大值1 C.有最小值 4 3 ，但无最大值 D.有最大值1，但无最小值 正确答案：B 。 错误原因：容易忽视x 、y 本身的范围。 5、已知21,x x 是方程)(0)53()2(2 2R k k k x k x ∈=+++--的两个实根，则2 22 1x x +的最大值为 （ ） 高中数学易错题 数学概念的理解不透 必修一（1）若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A.a ≤-2 1或a ≥2 1 B.a ＜2 1 C.-2 1≤a ≤2 1 D.a ≥ 2 1 【错解】选A.由题意，方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a ?0且20140120 a a a ??≤?-≤?≥?>?. 必修一（2）判断函数f(x)=(x －1) x x -+11的奇偶性为____________________ 【错解】偶函数.f(x)= (x -===，所以 ()()f x f x -===，所以f （x ）为偶函数. 【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为： (1)(1)0101110 1x x x x x x +-≥?+≥??-≤ 数学 高中数学易错、易混、易忘问题备忘录（留着） 1.在应用条件A∪B＝B <=> A∩B＝A <=> A B时，易忽略A是空集Φ的情况，并且要时刻注意集合的三要素中的互异性和无序性 2.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 3.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 4.根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(任取, 作差, 判正负.) 5.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或” 6.单调区间不能用集合或不等式表示.两个单调区间之间要用逗号相连 7.用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正二定三等”这一条件. 8.函数(其在第一象限的图像就象“√”，特命名为：对号函数，对号函数是奇函数，图像关于原点对称)在上单调递增；在 上单调递减） 9.函数的单调区间：在上单调递增；是奇函数，图像关于原点对称. 10.对数函数真数与底数的限制条件：真数大于零，底数大于零且不等于1，字母底数需要讨论 11.用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性，也就是换元之后的自变量的取值范围 12.用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０. 尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略. 13.等差数列中的重要性质：若m+n=p+q，则;（反之不成立） 14.等比数列中的重要性质：若m+n=p+q,则. （反之不成立） 15. 用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝1的情况. 16.已知求时, 易忽略n＝1的情况. 17.等差数列的一个性质：设是数列{}的前n项和, {}为等差数列的充要条件是： (a, b为常数)其公差是2a. 18.数列求和之“错位相减”法——若其中{}是等差数列，{}是等比数列，求{}的前n项的和 19.数列求和之“裂项求和”（如） 20.在解三角问题时，注意到正切函数、余切函数的定义域，注意到正弦函数、余弦函数的有界性了，并且在求解三角函数的题目时，要时刻注意角范围 21.三角化简的通性通法（切化弦、降幂扩角、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名） 22.在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？——） 23.在三角函数中的“1”代换 这些统称为1的代换) 常数“1”的种种代换有着广泛的应用. 24.与实数0有区别，的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定. 可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直. 25.，则，但不能得到或. 有. 26.时，有. 反之不能推出 27.一般地，即向量运算中不存在分配率 28.在中， 高中数学知识易错点梳理 一、集合、简易逻辑、函数 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy}, 集合 B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈ R},N={y ｜y=x 2 +1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的 子集B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成 立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？ 4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次 为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+== 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A =I A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: 9、 否 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 必修2易错填空题集锦 2011-10-26 1. 下列四个命题： ① 两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行； ② 和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线； ③ 平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变； ④ 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形。 其中错误的说法有 ①、② 、④。 2. 有下列四个命题： ① 平行于同一条直线的两个平面平行； ② 平行于同一个平面的两个平面平行； ③ 垂直于同一条直线的两个平面平行； ④ 与同一条直线成等角的两个平面平行。 其中正确的命题是 ②、③ 。（写出所有正确命题的序号） 3. 以下四个命题： ① PA 、PB 是平面α的两条相等的斜线段，则它们在平面α内的射影必相等； ② 平面α内的两条直线l 1、l 2，若l 1、l 2均与平面β平行，则α//β； ③ 若平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α//β； ④ α、β为两斜相交平面，面α内有一定直线a ，则在平面β内有无数条直线与a 垂直. 其中正确命题的序号是 ④ 4. 两条异面直线在同一平面内的射影可能是： ①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点；⑤一条直线和一个点。 上述五个结论正确的是 ①②⑤ 。（写出所有正确结论的序号） 5. 直线,l m 与平面,αβ满足,l m αβ⊥?，有下列命题： ①//l m αβ?⊥ ；②//;l m αβ⊥?； ③//.l m αβ?⊥ 其中正确的命题是 ① ③ 。（写出所有正确命题的序号） 6. 已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题： （1）若,//n m n αβ=I ，则//,//m m αβ； （2）若,m m αβ⊥⊥，则//αβ； （3）若//,m m n α⊥，则n α⊥； （4）若,m n αα⊥?，则.m n ⊥ 其中所有正确命题的序号是 （2）（4） 7. 已知直线a 、b 、c ，平面α、β、γ，并给出以下命题： ①若α∥β，β∥γ，则α∥γ， ②若a ∥b ∥c ，且α⊥a ，β⊥b ，γ⊥c ，则α∥β∥γ， ③若a ∥b ∥c ，且a ∥α，b ∥β，c ∥γ，则α∥β∥γ； ④若a ⊥α，b ⊥β，c ⊥γ，且α∥β∥γ，则a ∥b ∥c ． 其中正确的命题有 . ①②④ 8. 已知βα,,γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若ββα⊥⊥l ,，则α//l ； ②若βα//,l l ⊥，则βα⊥； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若γαβα//,⊥，则βγ⊥。 其中正确命题的序号是 ②④ 高中数学易错、易混、易忘备忘录 1.在应用条件A ∪B ＝Ｂ?A ∩B ＝Ａ?ＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况 2.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则 3 根据定义证明函数的奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称 4 求反函数时，易忽略求反函数的定义域 5 单调区间不能用集合或不等式表示. 6 用基本不等式求最值时，易忽略验证“一正二定三等”这一条件 7 你知道函数(0,0)b y ax a b x =+>>的单调区间吗？（该函数在(,)-∞+∞和 上单调递增；在[和（0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！(其在第一象限的图像就象“√”，特命名为：对勾函数) 是奇函数，图像关于原点对称. 8 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？ （真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀 9 用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０ 尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略 10 等差数列中的重要性质：若m+n=p+q ，则m n p q a a a a +=+;（反之不成立） 等比数列中的重要性质：若m+n=p+q,则m n p a a a a = （反之不成立） 11 用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况 12 已知n S 求n a 时, 易忽略n ＝１的情况 13 等差数列的一个性质：设n S 是数列{n a }的前n 项和, {n a }为等差数列的充要条件是： 2n S an bn =+（a, b 为常数）其公差是2a 14 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若n n n c a b =其中{n a }是等差数列， {n b }是等比数列，求{n c }的前n 项的和） 15 你还记得裂项求和吗？（如111(1)1 n n n n =-++） 16 在解三角问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的 有界性了吗？ 17 你还记得三角化简的通性通法吗？（ 异角化同角，异名化同名，高次化低次）高中数学易错题举例解析
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