23.1.1 成比例线段

课 题

23.2.1 成比例线段

教 学 目 标 1、了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例。 2、利用比例的性质，会求出未知线段的长。 教 学

重 点

成比例线段的定义；比例的基本性质及直接运用

教 学

难 点

比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其它性质

教 具

学 具

多媒体课件

教 学 内 容 及 教 师 活 动

二次备课

一、复习引入： 挂上两张中国地图，问：

1．这两个图形有什么联系?它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似形。 2．这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢?相似的两个图形有什么主要特征呢?为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例。 二、新课讲解

1．两条线段的比

（1）回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？

如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比

AB ∶CD ＝m ∶n ，或写成

CD AB

＝n

m ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项． 如果把n m 表示成比值k ，则CD

AB

＝k 或AB ＝k ·CD ．

注意：在量线段时要选用同一个长度单位．

（2）．做一做：量出数学书的长和宽（精确到0.1cm ），并求出长和宽的比．

改用m 作单位，则长为0.211m ，宽为0.148m ，长与宽的比为0.211∶0.148＝211∶148。只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变． （3）．求两条线段的比时要注意的问题

①两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；

②两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； ③两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 问：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？（学生讨论） （答:线段的长度比与所采用的长度单位无关） 2．成比例线段的定义

你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗？如果将点的横坐标和纵坐标都乘以（或除以）同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？

四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d

c

b a ＝，那么这四条线段a ，

b ，

c ，

d 叫做成比例线段，简称比例线段．

3．比例的基本性质

两条线段的比实际上就是两个数的比．如果a ，b ，c ，d 四个数满足d

c

b a ＝，那么ad ＝b

c 吗？

反过来，如果ad ＝bc ，那么d

c

b a ＝吗？与同伴交流．

如果d c b a ＝，那么ad ＝bc 。 若ad ＝bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么d c b a ＝．

4．线段的比和比例线段的区别和联系

线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如d

c

b a ＝是线段a 、b 、

c 、

d 成比例，而不

是线段a 、c 、b 、d 成比例． 三、例题讲解

例题1：在某市城区地图（比例尺1∶9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16cm 、10cm ．

（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？

（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？

例题2：如图，已知

d c b a =＝3，求b b a +和d d c +； 例题:3：如果d c b a =＝k （k 为常数），那么d d

c b b a +=+成立吗？

为什么？

四．探究延伸，拓展思维（想一想再回答）

（1）如果d

c b a =，那么

d d

c b b a -=-成立吗？为什么？ （2）如果f e

d c b a ==，那么

b a f d b e

c a =++++成立吗？为什么？ （3）如果d

c b a =，那么

d d

c b b a ±=

±成立吗？为什么． （4）如果d c b a =＝…＝n

m （b ＋d ＋…＋n ≠0），那么

b a

n d b m c a =++++++ 成立吗？为什么． 五、课堂练习

1．已知

d c b a =＝3，求

b b a -和d d

c -，b b a -＝d

d

c -成立吗？ 2．已知d

c b a =＝f e ＝2 （b ＋

d ＋f ≠0），求：（1）f d b

e c a ++++；（2）

f d b e c a +-+-；（3）f d b e

c a 3232+-+-

作业设计

教后反思

1、注意点：（1）两线段的比值总是正数；（2）讨论线段的比时，不指明长度单位；（3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示．

2、比例尺：图上长度与实际长度的比

3、熟记成比例线段的定义；2．掌握比例的基本性质，并能灵活运用．

平行线分线段成比例定理基础练习

第二课时：《平行线分线段成比例》练习 1．判断题 （1）三条平行线截两条直线，所得的线段成比例（ ） （2）一条直线交△ABC 的边AB 于点D ，交AC 边于点E ，如果 AB ＝9，BD ＝5，AC ＝3.5，AE ＝2，那么DE ∥BC ．（ ） （3）如图1，321////l l l ，则BF AE DF CE BD AC ==（ ） （4）如图2，在△ABC 中，DE ∥BC ，则BC DE EC AE DB AD ==（ ） 2．选择题 （1）如图3，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列 不能成立的比例式一定是（ ） A ． EC AE DB AD = B ．AE AC AD AB = C ．DB EC AB AC = D ．BC DE DB AD = （2）如图4，E 是□ABCD 的边CD 上一点，CD CE 3 1 =，AD ＝12，那么CF 的长为（ ） A ．4 B ．6 C ．3 D ．12 （3）如图5，□ABCD ，E 在CD 延长线上，AB ＝10，DE ＝5，EF ＝6，则BF 的长为（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．16 （4）如图6，在ABC 中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 若AB=9, DE=2, 则线段FC 的长度是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 （5）如图3，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ， 若AD=4，DB=2，则AE ︰EC 的值为（ ） （A ）0.5 （B ）2 （C ）32 （D ）2 3 3．填空题 （1）如图8， 则 ＝________， ＝________； （2）如图9，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝3， CD ＝4.5，则ND ＝________，CN ＝________； （3）如图10，D 、E 分别为AB 的三等分点，DF ∥EG ∥BC ，若BC ＝12，则DF ＝___ ___， EG ＝________； （4）如图11，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝2∶3，DB -AD ＝3，则AD ＝________， DB ＝________； 4．如图， 已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ， DN ∥CP 交AB 于N ，若AB=6cm ，求AP 的值. 5、如图：P 是四边形OACB 对角线的任意一点，且PM ∥CB ，PN ∥CA ， 求证：OA ：AN=OB ：MB 6、如图，△ABC 中，AF ∶FD ＝1∶5，BD ＝DC ，求：AE ∶EC ． 21//l l DE AD AC AB 图6 B A C F D E 图7 E D C B A 图1 图2 图3 图4 图5 图11 图10 图9 图8

平行线分线段成比例教案

l1 l2 l3m n F E D C B A 23.1.2 平行线分线段成比例 （新授课 1课时） 一、教学内容： ① 平行线等分线段定理； ② 平行线分线段成比例定理； ③ 平行线分线段成比例推论. 二、教学目标： 1、 知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、 过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题； 3、 情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过程，培养欣赏数学表达式 的对称美。 三、教学重、难点： 1、 重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用； 2、 难点：定理的推导证明。 四、教具：普通教室/多媒体计算机/三角板 五、教法：讲练结合法 六、教学过程： 活动一：复习旧课 成比例线段： a) 概念，强调顺序性：(比例式：a:b=c:d,等积式：ad=bc) b) 比例的性质： 基本性质：a c ad bc b d =?= 合比性质：a b c d b d ++= 分比性质：a b c d b d --= 合分比性质：a b c d a b c d ++=-- 等比性质： 123123123123 123(0)k k k k k a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b ++++==== =++++≠+++ + 活动二：创设情境，引入新课 问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线段有什么关系呢 即：已知l 1∥l 2∥l 3 AB=BC 求DE 与EF 的关系 （DE=EF ） 推导见右图 （平移m 证全等） （引导得）结论：一组等距离的平行线在直线m 上所截得的线段相等，那么在直线n 所截得的线段也相等（平行线等分线段定理）。 那如果所截得的线段不等呢这就是我们今天要研究的内容；平行线分线段成比例定理. 活动三：分析探索，新知学习 问题2：已知l 1∥l 2∥l 3∥l 4 AB=BC=CD,可知EF=FG=GH ，那么擦出其中1条如l 3后有何结论 l1l2l3m n m'C'(B') A'F E D C B A

平行线分线段成比例经典例题与变式练习(含标准答案)

平行线分线段成比例 知识梳理 1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则 BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF = . l 3 l 2l 1F E D C B A 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则 AD AE DE AB AC BC == A B C D E E D C B A 3. 平行的判定定理：如上图，如果有 BC DE AC AE AB AD = =，那么DE ∥BC 。 专题讲解 专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

E D C B A 【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：1 11c a b =+. F E D C B A 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和 BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明： 111 AB CD EF += . F E D C B A 【巩固】如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

O F E D C B A 【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。 Q P F E D C B A 专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试卷） （1）如图（1），在ABC ?中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14 AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则 BC CD =_______. （2）如图（2），已知ABC ?中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF FC FD + 的值为（ ） A.5 2 B.1 C.32 D.2 (1) M E D C B A (2) F E D C B A 【例5】 （2001年河北省中考试卷）如图，在ABC ?中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当 1A 2 AE C =时，求AO AD 的值； E A O

6.2平行线分线段成比例定理

A C §6．4 平行线分线段成比例定理 主备：盛莉莉 审核：袁泉 学习目标 会用平行线分线段成比例定理. 学习重点与难点 掌握平行线分线段成比例定理和平行线等分线段定理. 教学过程 一、自主探索 如图，已知321////l l l ，求证： l 1l 2 l 3 1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段对应成比例. 2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等。 3.平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理的联系: . 例1 填空： 例2已知：如图321////l l l ，AB=3 ，DE=2 ，EF=4。求AC 的长。 l 1l 2 l 3 例3已知AD // EF // BC ，AD=15，BC=21，2AE = EB ，求EF 的长 例4 已知：AD 为△ABC 的中线，EF//BC, EF 交AD 于G.求证：EG=FG . 例5 已知：梯形ABCD ，AD//BC, EF//BC ，EF 交BD 于G 交AC 于H. 求证：EG=FH . EF DE BC AB =) 1(DF DE AC AB =) 2(DF EF AC BC =) 3 (= ==∴BC BE CD AC AD CD AB DE //)1( ==GC AG BC EF AD 则若////)2(==FB CF AE AB ABCD 则已知平行四边形)3(

c b a A B C 例6 如图，△ABC 中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，延长ED 与射线CB 交于点F ． 若AE ∶EC=1∶2，AD ∶BD=3∶2．求FB ∶FC 的值． 随堂演练 1．已知：如图，DE // BC ，EO: OC =3:7， 2．已知：BE 平分∠ABC ，DE//BC. AD=3, DE=2, AC=12,AE 的长度为 . 3. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥BC 于点E. AD= 5, DB=10, CE= 4. DE 的长度为 AC 的长度为 . 4.如图,已 知DE // FG // BC ， AD : DF : BF= 2 : 3 : 4，则DE : FG : BC = . 5.若a // b// c ，DE=3, EO=2, OF=4, OB=1, 求AB 、OC 的长. 6．已知：EF//BC 求证： 7．如图，已知□ABCD ，E 、F 为BD 的三等分点，CF 交AD 于G ，GE 交BC 于H . (1) 求证：点G 为AD 的中点； 8．已知：□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在BC 延长线上，OE 交CD 于F. 若AB=8，BC=10，CE=3，求CF 的长度. F C =BC ED )1(=AB AE )2(BC EF AD AG =.)2(HC BH 求A E D B C O 第1题图 第2题图 第3题图 A B C 第4题图

最新平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)

平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则 BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF = . l 3 l 2l 1F E D C B A 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则 AD AE DE AB AC BC == A B C D E E D C B A 3. 平行的判定定理：如上图，如果有 BC DE AC AE AB AD = =，那么DE ∥ BC 。

专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。 E D C B A 【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：1 11c a b =+. F E D C B A 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和 BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明： 111 AB CD EF += . F E D C B A 【巩固】如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A

【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。 O F E D C B A 【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。 Q P F E D C B A 专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题） （1）如图（1），在ABC ?中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14 AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则 BC CD =_______. （2）如图（2），已知ABC ?中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF FC FD + 的值为（ ） A.5 2 B.1 C.32 D.2 (1) M E D C B A (2) F E D C B A 【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ?中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .

平行线分线段成比例定理(一)

[文件] sxc2jja0013.doc [科目] 数学 [年级] 初二 [章节] [关键词] 平行线分线段成比例 [标题] 平行线分线段成比例定理(一) [内容] 教学目标 1.理解平行线分线段成比例定理，并能初步应用它进行简单的计算. 2.培养学生类比联想及用运动的思维方式看待问题的能力. 教学重点和难点 平行线分线段成比例定理及应用. 教学过程设计 一、类比联想、发现定理 1.复习平地线等分线段定理的内容及数学表达式，如图5-13. ∵l 1//l 2//l 3，AB=BC ， ∴EF=FG. 2.将上述命题改写成比例的形式. ∵l 1//l 2//l 3//l 4，AB:BC=1:1， ∴EF:FG=1:1，则有 1==FG EF BC AB 3.运用类比方式将比值从1推广到正实数m 得出猜想. 教师启发学生思考： 在图5-13中，l 1//l 2//l 3//l 4，AB=BC=CD ，1,1≠≠BD AB CD AC ，那么还有类似比例式成立吗? 学生可从图中看出 2 1,12====FH EF BD AB GH EG CD AC ，猜想推广应成立.

4.举例进一步验证猜想. 教师可再举出图5-14中，AB BC 等于其它更一般的实数的两个例子，来进一步验证猜想. 5.(选)用面积法证明猜想. 对于学生程度较好的班级，教师可用三角形面积公式来严格证明猜想成立，具体做法见设计 说明. 二、用运动的观点深刻认识定理的内容 1.让学生归纳以上情况，并用语言准确叙述定理内容，以及画图写出部分数学表达式. 2.教师强调“对应”的含义，并介绍结合图形形象记忆的方法，如： 右全 左全右下 左下右上 左上右全 右下左全 左下右全 右上左全 左上右下 右上右下 左上=====,,, 3.用运动的观点识别定理的各种变式图形中的比例线段.(见图5-15，不断平移DF) 强调由平行线分线段成比例定理所得比例式中，四条线段与平行直线和被截 两直线的交点位置无关，尤其是图5-15(a)中的M 点，图5-15(c)的N 点. 三、应用举例、变式练习 例1 已知：如图5-16，l 1//l 2//l 3. (1)AB=3，DE=2，EF=4，求BC ； (2)AC=8，DE=2，EF=3，求AB.

平行线分线段成比例教案

1 / 5 l1 l2 l3m n F E D C B A 23.1.2 平行线分线段成比例 （新授课 1课时） 一、教学内容： ① 平行线等分线段定理； ② 平行线分线段成比例定理； ③ 平行线分线段成比例推论. 二、教学目标： 1、 知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、 过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题； 3、 情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过程，培养欣赏数学表达式 的对称美。 三、教学重、难点： 1、 重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用； 2、 难点：定理的推导证明。 四、教具：普通教室/多媒体计算机/三角板 五、教法：讲练结合法 六、教学过程： 活动一：复习旧课 成比例线段： a) 概念，强调顺序性：(比例式：a:b=c:d,等积式：ad=bc) b) 比例的性质： 基本性质：a c ad bc b d =?= 合比性质：a b c d b d ++= 分比性质：a b c d b d --= 合分比性质：a b c d a b c d ++=-- 等比性质： 123123123123 123(0)k k k k k a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b ++++==== =++++≠+++ + 活动二：创设情境，引入新课 问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线段有什么关系呢？ 即：已知l 1∥l 2∥l 3 AB=BC 求DE 与EF 的关系 （DE=EF ） 推导见右图 （平移m 证全等） l1l2l3m n m'C'(B') A'F E D C B A

六年级上册人教版《比的运用》《比例的应用》练习题(附答案)

六年级上册人教版《比的运用》《比例的应用》练习题 1. 下面的说法正确吗？ （1）两个分数相除，商一定大于被除数。 （ ） （2）如果a ÷b=1 3 ,b 就是a 的3倍。 （ ） （3）如a ：b=3：5,那么a=3,b=5. （4）从学校走到电影院，小明用8分钟，小红用10分钟，小明和小红的速度之比是4：5. （ ） 2.比和除法、分数有什么关系？比的基本性质是什么？请化简下列各比。 24：36 0.75：1 3/4：9/10 3.（1）张大爷养了200只鹅，鹅的只数是鸭的2 5 ，养了多少只鸭? (2) 张大爷养了200只鹅，鹅的只数比鸭少3 5 ，养了多少只鸭? (3)张大爷养的鸭和鹅共有700只，鸭和鹅的只数之比是5：2，鸭和鹅分别有多少只？ 你能用上面的数据编出其他的分数乘除法问题吗？ 4.用120厘米的铁丝做一个长方形的框架，长、宽、高的比是3：2：1，这个长方体的长、宽、高分别是多少? 5.家里的菜地共800平方米，农民伯伯准备用2 5 种西红柿，剩下的按 2：1的面积比种黄瓜和茄子，三种蔬菜的面积分别是多少平方米？ 6.甲数和乙数的比是2：3，乙数和丙数的比是4：5，甲数和丙数的

比是多少？ 答案： 1.错 对 错 错 2.2：3 3：4 5：6 3.（1）200÷2 5 =500（只） （2）200÷（1-3 5 ）=500（只） （3）700×5 7 =500（只） 700×2 7 =200（只） 4.1204=30(厘米) 3+2+1=6 30×36 =15（厘米） 30×2 6 =10 (厘米) 30×1 6 =5(厘米) 5.800×2 5 =320（平方米） 800-320=480（平方米） 2+1=3 480×2 3 =320 （平方米） 480×1 3 =160（平方米） 人教版小学数学第十一册第四单元 《比》练习题 一、填空题： 1、5.4 ：1.8化成最简整数比是（ ），比值是（ ）。

初数学平行线分线段成比例定理

初二数学 【教学进度】 几何第二册第五章 §5.2 [教学内容] 平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析] 一、主要知识点 1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、重点剖析 1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比 EF BC = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE AC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DF EF AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形

又∵ 43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴7 3 =DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则 ∵ 32=DC BD ∴ DB=x x DC 3 14 73232=?= ∴9 14 3314==x x EG BD

例3分析 BC//FE 证明：∵则例4 分别连结E ，DB 首先观察证明：∵点评 （1（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可 例5 如图9，,,,C B A '''分别在△ABC 的三边BC 、AC 、AB 或其延长线上，且C C B B A A '''//// 求证：C C B B A A ' ='+'111 分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题， 一般情况下，要将其转化为线段比的形式。 证明：∵A A C C ''// ∴ BA C B A A C C '='' ∵B B C C ''// ∴B B C C ='' ∴1='+'='+'=''+''AB C A C B AB C A BA C B B B C C A A C C ∴B B A A '+'11

初数学平行线分线段成比例定理

初数学平行线分线段成比例定理

初二数学 【教学进度】 几何第二册第五章§5.2 [教学内容] 平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析] 一、主要知识点 1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、重点剖析 1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。 定理的基本图形

∵l 1∥l 2∥l 3 ∴EF BC DE AB DE AB = == 应。 ② 为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式： EF DE BC AB = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE AC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DF EF AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 L L L 图1-（1） C F A B E D F C 图1-（2）3 E D 12B A F 3 L C 图1-（3） 2L L 1B E A 图1-（4） F L 3 C L 2L 1B D A 3 L 2L L 1(D)(E)

比例的基本性质 平行线分线段成比例

数学辅导11： 比例的基本性质 一、知识点： 1. 成比例线段：线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d c b a =，那么这四条线段a ，b ，c ， d 叫做成比例线段，简称比例线段. 2. 比例的性质： （1如果d c b a =，那么bc ad =；如果bc ad =(a ，b ，c ，d 都不为0)，那么d c b a =. （2如果 d c b a =，那么c d a b =. （3如果d c b a =，那么d b c a =. （4如果d c b a =，那么d d c b b a +=+，d d c b b a -=-,d c d c b a b a +-=+-. （5如果)0(≠+++===n d b n m d c b a ΛΛ，那么 b a n d b m c a =++++++ΛΛ. 二、典型例题： （1）已知71=-a b a ，则b a 的值为___________________.已知38=+y y x ，则y x =_______________. 已知32=b a ，则=+b b a _________，b b a -=______________. （2）已知)0(53≠+==d b d c b a ，则d b c a ++的值为____________. 已知572 c b a ==，则a c b a -+=______________. 已知75== d c b a ，那么d b c a 3232--=_____________. （3）在△ABC 与△DEF 中，若4 3===FD CA EF BC DE AB ，且△ABC 的周长为36cm ，则△DEF 的周长为______. （4）已知5 43c b a ==，且6=-+c b a ，则a =__________. （5）如果d c b a =（0≠+b a ，0≠+d c ），那么c d c a b a +=+成立吗？请说明理由. （6）已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中cm a 3=，cm b 2=，cm c 6=，则线段d =___________. （7）已知2:4:3::=c b a ，且182=-+c b a ，求c b a 23+-的值.

平行线分线段成比例定理测试题

平行线分线段成比例定理测试题 一．选择题（共10小题） 1．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的延长线上，下列不能判定DE∥BC的条件是（） A．EA：AC=DA：AB B．DE：BC=DA：AB C．EA：EC=DA：DB D．AC：EC=AB：DB 2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED∥BC的是（） A．B．C．D． 3．如图，△ABC中，DE∥BC，=，AE=2cm，则AC的长是（） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 4．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB=4，AC=6，DF=9，则DE=（） A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图，直线a、b被三条互相平行的直线l1，l2，l3所截，AB=3，BC=2，则DE：DF=（） A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．3：5 6．如图，l1∥l2∥l3，若，DF=6，则DE等于（） A．3 B．3.2 C．3.6 D．4

7．如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、E、B点，直线CD分别交l1、l2、l3于C、F、D三点，且AE=2，BE=4，则的值为（）A．B．C．D．2 8．如图，三角形ABC中，D、E、F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF ∥AB，AD：DB=1：2，BC=30cm，则FC的长为（） A．10cm B．20cm C．5cm D．6cm 9．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（） A．12 B．9 C．8 D．4 10．如图，△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE=EF=FC．则BN：NQ：QM等于（） A．6：3：2 B．2：1：1 C．5：3：2 D．1：1：1 二．填空题（共10小题） 11．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F， 已知=，则的值为． 12．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB=4，AB=6，BE=3，则EC的长是． 13．已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=．

平行线分线段成比例测试题

D B E F 4.1-4.2平行线等分线段定理与 平行线分线段成比例定理 考纲要求： 1．探索并理解平行线分线段定理的证明过程； 2．能独立证明平行线分线段定理的推论1、推论2 ； 3.平行线分线段成比例定理与推论的区别 4.能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题 一：知识梳理 1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 2.三条平行线截两条直线，所得的对应线段 推论：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线。所截得的三角形的三边与原三角形的三边 二：基本技能： 判断下列命题是否正确 1. 如图△ABC 中点D 、E 三等分AB ，DF ∥EG ∥BC ，DF 、EG 分别 交AC 于点F 、G ，则点F 、G 三等分AC （ ） 2. 四边形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CD 上若AM=BM 、 DN=CN 则AD ∥MN ∥BC ( ) 3. 一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相等，则这组 平行线能等分线段。 （ ） 4. 如图l 1//l 2// l 3且AB=BC ，那么AB=BC=DE=EF （ ） 5．如图，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 则： BC DE AC AE AB AD = = （ ） 三:典型例题 1 已知线段AB ，求作：线段AB 的五等分点。 2 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，E 是CD 的中点.求证EA ＝EB 。 4 3. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 的中 点，BM 的延长线交AC 于N ，求证：AN= 2 1 CN 。 4.如下图，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=60°,AB=BC,E 为AB 的中点，求证:△ECD 为等边三角形。 5：已知：△ABC 中，E 、G 、D 、F 分别是边AB 、CB 上的一点，且GF ∥ED ∥AC ，EF ∥AD 求证：.BC BD BE BG = A C G C B E D F l 3 l 2 l 1 A

成比例线段同步练习及答案

成比例线段同步练习及 答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

成比例线段 ◆随堂检测 1、如图,格点图中有2个三角形, 若相邻两个格点的横向距离和纵向距离都为1，则AB =BC = ， DE = ，EF = ，计算DE AB = ，EF BC = ，我们会得到AB 与DE 这两条线段的比值与BC ，EF 这两条线段的比值 （填相等或不相等），即 DE AB ＝EF BC ，那么这四条线段叫做 ，简称比例线段． 2、已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例 （1）a =16 cm b =8 cm c =5 cm d =10 cm; （2）a =8 cm b =5 cm c =6 cm d =10 cm. 3、已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，且a =3㎝，b =2㎝，c =6㎝， 求线段d 的长. 4、已知d c b a ==3，b b a -= d d c -成立吗 5、在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm ，矩形运动场的实际尺寸是多少 ◆典例分析 6、已知a b b c c a k c a b +++=== ，求k 是的值． 分析：解决这个问题时一定要注意分类讨论，不能只用等比性质，而把 a + b + c =0这种情况漏掉. 点评：在利用等比性质时，一定要注意等比性质成立的条件，千万不能忽视这一点. ◆课下作业

●拓展提高 1、下列各组中的四条线段成比例的是( ) =2，b =3，c =2，d =3 =4，b =6，c =5，d =10 =2，b =5，c =23，d =15 =2，b =3，c =4，d =1 2、若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.d c b a = B.c c b d d a +=+ C.c d b a =22 D.d a cd ab = 3、若2x －5y =0，则y ∶x =________， x y x +=________. 4、若53=-b b a ，则b a =________. 5、已知a ∶ b ∶ c =4∶3∶2,且a +3b －3c =14.（1）求a ,b ,c ;（2）求4a －3b +c 的值.. 6、在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB =15 cm ，AC =10 cm ，且BD ∶DC =AB ∶AC ， BD －DC =2 cm ，求B C. 7、现有三个数1，2，2，请你再添上一个数写出一个比例式 . ●体验中考 1、（2008年泰州市）在比例尺为1︰2000的地图上测得AB 两地间的图上距离 为5cm ，则AB 两地间的实际距离为 m ． 2、（2009年台湾） 某校一年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4：5：7.若由外校转入1人加入 乙队，则后来乙与丙的人数比为何 （ ） (A) 3：4 (B) 4：5 (C) 5：6 (D) 6：7 。 参考答案： 随堂检测： 2.（1）b a =2，c d =2，则c d b a =，所以a 、b 、d 、c 成比例.

平行线分线段成比例教案

l1 l2 l3m n F E D C B A 23.1.2 平行线分线段成比例 （新授课 1课时） 一、教学内容： ① 平行线等分线段定理； ② 平行线分线段成比例定理； ③ 平行线分线段成比例推论. 二、教学目标： 1、 知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、 过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题； 3、 情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过程，培养欣赏数学表达式 的对称美。 三、教学重、难点： 1、 重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用； 2、 难点：定理的推导证明。 四、教具：普通教室/多媒体计算机/三角板 五、教法：讲练结合法 六、教学过程： 活动一：复习旧课 成比例线段： a) 概念，强调顺序性：(比例式：a:b=c:d,等积式：ad=bc) b) 比例的性质： 基本性质：a c ad bc b d =?= 合比性质：a b c d b d ++= 分比性质：a b c d b d --= 合分比性质：a b c d a b c d ++=-- 等比性质： 123123123123 123(0)k k k k k a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b ++++==== =++++≠+++ + 活动二：创设情境，引入新课 问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线段有什么关系呢？ 即：已知l 1∥l 2∥l 3 AB=BC 求DE 与EF 的关系 （DE=EF ） 推导见右图 （平移m 证全等） l1l2l3m n m'C'(B') A'F E D C B A

平行线分线段成比例及相似多边形—知识讲解

平行线分线段成比例及相似多边形 责编：常春芳 【学习目标】 1. 平行线分线段成比例及其推论. 2. 平行线分线段成比例及其推论的应用. 3.相似多边形的有关概念. 【要点梳理】 要点一、平行线分线段成比例及其推论 平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 要点诠释： (1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 右全 左全右上左上全上全上下上下上===,,等等. （2）有推论可以得出以下结论： 要点二、行线分线段成比例及其推论的应用 行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度. 要点三、相似多边形的有关概念 相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”. 相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比. 要点诠释： （1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； （2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等. （3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． 【典型例题】 类型一、平行线分线段成比例及其推论 1、如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC= 13 AC ，DE=4，那么EF 的值是__________.

【思路点拨】根据BC=1 3 AC可得 2 1 AB BC =，再根据条件AD∥BE∥CF，可得 AB DE BC EF =，再把DE=4代入可得EF的值．【答案】2. 【解析】 解：∵BC=1 3 AC， ∴ 2 1 AB BC =， ∵AD∥BE∥CF， ∴AB DE BC EF =， ∵DE=4， ∴ 4 EF =2， ∴EF=2． 故答案为：2． 【总结升华】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 2、（2015?安庆一模）如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长． 【思路点拨】根据PQ∥BC可得，进而得出，再解答即可． 【答案与解析】 解：∵PQ∥BC， ∴=， ∴，

【教学设计】平行线分线段成比例的基本事实

平行线分线段成比例的基本事实 一、学生知识状况分析 学生在本章前两课时的学习中，通过对相似图形的直观感知，体会到可以用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系。从而认识了线段的比，成比例线段。通过对方格纸中成比例线段的探究，了解了合比性质与等比性质，并在探究活动中积累了一定的合作交流的经验，培养了提出问题与解决问题的能力。同时学生通过对合比性质与等比性质的演绎证明，也进一步发展了逻辑推理能力。 二、教学任务分析 本节课依旧采用前两节在方格纸中探究的方式，引导学生得出平行线分线段成比例及其推论。平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。在知识技能方面，要求学生理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用。学生经历运用平行线分线段成比例及其推论解决问题的过程，在观察、计算、讨论、推理等活动获取知识。让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 教学目标： （一）知识目标 理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 （二）能力目标 通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 （三）情感与价值观目标 （1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。 （2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。 教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。 教学难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习设疑，引入新课；第二环节：探索发现平行线分线段成比例定理及其推论；第三环节：平行线分线段成比例定理及其推论的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．

初数学平行线分线段成比例定理

初数学平行线分线段成 比例定理 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

初二数学 【教学进度】 几何第二册第五章 § [教学内容] 平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析] 一、 主要知识点 1． 平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2． 三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3． 三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4． 三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、 重点剖析 1． 平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。 EF DE BC AB = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE AC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DF EF AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2． 三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形

解：过E 作EG ∥BC 交AD 于G ，则在△ADC 中，AC AE DC GE =

又∵ 43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴7 3 =DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则 ∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 3 14 73232=?= ∴9 14 3314==x x EG BD B B C C ' '//AB C A B B C C '=''1='+'='+'=''+''AB C A C B AB C A BA C B B B C C A A C C C C B B A A ' ='+'1 11C C B B A A ' ='+'1 111=''+''B B C C A A C C 1==AD BF BC DE AD =CB DB =1=-=-DE DB AD BC 1=-AD BC FC BF =CE FC AE EN =EM BF =射线AM 2. 在AM 3. 连结BE

平行线分线段成比例-- 知识讲解

平行线分线段成比例----知识讲解 【学习目标】 1、掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边平行线的性质与判定定理，并会灵活应用. 2、经历运用类比思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学思考的策略. 3. 认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美. 【要点梳理】 要点一、一组等距离的平行线截直线 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 当 l 1∥l 2∥l 3，AB=BC 时，则有DE=EF . 要点诠释： 常用的比例式: AB DE BC EF = A B D E A C D F = B C E F A B D E = BC EF AC DE = 要点二、一组不等距的平行线截直线 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.简称为平行线分线段成比例. 要点诠释：当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 要点三、平行于三角形一边的直线的性质 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例. 要点诠释： (1)主要的基本图形：分A 型和X 型；

A 型 X 型 （2）常用的比例式：,,AD AE AD AE DB EC DB EC AB AC AB AC ===. 【典型例题】 类型一、三角形一边的平行线性质定理 CD EF C .BO OE D.BC BE 【答案】D. BC BE =. 【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． 举一反三 【变式】如图,在⊿ABC, DG ∥EC, EG ∥BC,求证:2AE AB AD =? 【答案】∵DG ∥EC,∴AD AG AE AC =, ∵EG ∥BC,∴AE AG AB AC =, B C